大物-上册动力学

质点动力学(3)主要内容：力的时间积累效应动量守恒定律质心质心运动定理碰撞§2.5力的时间积累效应动量守恒定律（本节

力的时间积累效应）1.质点动量定理质点的动量(momentum)定律的微分形式：p

mvFdt

dp上式也称为质点动量定理的微分形式。如果力的作用时间，两边积分从

t

t

，质点动量从0

p0

p0

00

ttv

mvF

dt

p

p

m式中是力对时间的积分，称为力的冲量(impulse)

，tt0F用

I

表示,

即0ttF

(t)

dt

(N.s)

I

质点动量定理(theorem

ofmomentum)

：即:质点动量的增量等于合外力对它的冲量.1t2I

t

F

(t)

dt

变力的冲量：恒力的冲量：I

F

t00

ttF

dt

mv

mvI

注意：(1)动量定理中F指合外力；(2)动量定理是矢量式，应用时，可以直接画矢量图求解，也可以列坐标分量式求解。冲量I

是矢量，方向是动量增量即p

的方向。00

ttov

mvdt

p

p

m

I

F直角坐标系中，动量定理的分量式为（3）碰撞、打击之类的问题，冲力的作用时间极短，力的变化规律难以确定，常用平均力的冲量代替变力的冲量，即000tF

(t

t

)

Fdt

p

pt或

F

t

p

p0000tttttIy

Iz

I

v

mvFy

dt

mvy

mvy

0Fz

dt

mvz

mvz

0解1:

作矢量图求解Ft

m

mv2

v1例:质量为m的弹性小球与墙壁碰撞前后的速度大小都是v,方向与墙的法线成450角, .如小球与墙的作用时间为

t

,

求小球对墙的平均冲力.v1v2设墙对球的平均作用力为F忽略重力的影响,由动量定理,有,由图得1mv2mvFt作矢量图Ft

m

v

sin

450t2

F

2mv

sin

450

2mvt解2:

列分量式求解小球对墙的平均冲力方向与图示相反.mv1mv2

t

F

Fx

2mv

cos

450

2mvtx取坐标系如图Fxt

mv2

cFy

t

mv2

sin

mv1

sin

0负号表示小球受到墙的作用力方向与x

轴正向相反。yf

F1F21m2mtt0(F1

f

)dt

m1v1

m1v10

tt02

202

22

m

v(F

f

)dt

m

v

两式相加,注意f

f

0

tt(F1

F2

)dt

(m1v1

m2

v2

)

(m1v10

m2

v20

)2.质点系动量定理对每个质点用动量定理推广到n

个质点组成的系统0tt

Fi

dt

mi

vi

mivi0合外力的冲量等于质点系总动量的增量——质点系动量定理。内力不能改变系统的总动量。3.质点系动量守恒定律(lawofmomentumconservation)质点系动量定理中，若

Fi

0

，则

m

m

常矢量ivi

ivi0这就是质点系动量守恒定律碰撞、 等)时，可近似应用动量守恒定律条件：

Fi当外力远小于内力，且可以忽略不计(如mv几点说明：动量的矢量性：系统的总动量不变是指系统内各物体动量的矢量和不变，而不是指其中某一个物体的动量不变。系统动量守恒的条件：①系统不受外力；②合外力=0；等相互作用时间极短的过程③内力>>外力。在碰撞、打击、中，内力>>外力，可略去外力。若

Fi

0

，但合外力在某个坐标轴上的分量为零，则在该方向上的分动量守恒。动量守恒定律在微观高速范围仍适用。动量守恒定律只适用于惯性系。动量守恒。设下滑过程中的任意时刻，M、m对地的速度分别为V

和v取水平向右为正，由动量守恒有例、质量为M，斜面长为l，倾角为

的光滑斜面在光滑水平面上,另一质量为m的小物体自斜面顶点下滑.求当小物体m滑到底时,M在水平面上移动的距离.解：取M、m为系统。水平方向系统Mm0

mvx

MV即

mvx

MV上式两边对

m下滑的时间

t

积分00t

tmxv

dt

MVdt式中x

和X

分别为m、M

对地的水平位移x

l

cos

X因为mx

MX即代入上式解得M

后退的距离l

cosmm

MX

Mmx00ttVdtv

dt

Mm§2.6质心质心运动定理*n

个质点：m1，m2，，mn质心位置：M

mi

rirc

m1

m2

mnm1r1

m2r2

mn

rn位置矢量：rn

r1

r2r12rZyxCrco1.

质心(center

of

mass)——物体的质量中心分立质点的质心位置M

m1

m2

mn式中质心的坐标分量式：ii

ic

m

m

xx

ii

ic

m

m

yy

ii

ic

m

m

zz

质量连续分布的物体的质心位置：cx

xdmMcy

ydmMcz

zdmM对于密度均匀、形状对称的物体，其质心就在它的几何中心上。2.

质心运动定理(theorem

ofmotion

forcenter

ofmass)MMii

mi

vi

mdtdrvc

dt

drcM

vc

mi

vi将质心坐标的矢量式对t

求导，得质心运动的速度即：结论：质点系的总动量p

等于它的总质量与它的质心运动速度的乘积。M

mi

rirc

p

M

vc右边是质点系的总动量p

，所以有iF

F

Mac

Macddt

dt总动量的变化率为dp

M

vcca

是质心运动的加速度，或写成这就是质心运动定理质心运动定理表明：不管物体的质量分布如何，也不管外力作用在物体的什么位置上，质心的运动就好象是物体的全部质量集中于质心处，而且所有外力也都集中作用其上的一个质点的运动一样。内力不能改变系统的质心位置例、质量为M，长为L的船于湖面上,另一质量为m的人自船尾走到船头.求船对岸移动的距离.解1：用动量守恒定律求解取M、m为系统。水平方向系统动量守恒。设人走动过程中的任意时刻，M、m对地的速度分别为V

和v取水平向右为正，由动量守恒有0

mv

-

MV即

MV

mv上式两边对人走动的时间t

积分t

tM00Vdt

mvdtxmMMX

mxx

L

X即因为m

MX

mL

所以解2：用质心运动定律求解因为系统水平方向不受外力，系统质心的x

坐标不改变人在船尾cm

Mmx

Mxx

1

2人到船头cm

Mmx

Mxx

21因为xc

xcx2x1x1x2mLm

M

X

mx1

Mx2

mx1

Mx2M

(x2

x2

)

m(x1

x1

)M

X

mxx

L

X作业P56~64页15，23，26

计50碰撞1、弹性碰撞v10v202mv21m1v2mv201m10v碰撞后碰撞前

碰撞时系统动量守恒，能量守恒碰撞分类弹性碰撞(elastic

collision)非弹性碰撞(inelastic

collision)完全非弹性碰撞(comple y

inelastic

collision)m1v10

m2v20

m1v1

m2v2（1）22

221

122

2021

101212m

vm

vm

vm

v

12

12（2）联立以上两式解得碰后两球的速度2m1

m2m1

m2v1

(m2

m1

)v20

2m1v10(m1

m2

)v10

2m2

v20（3）v

：1）m1

m2

则v1

v20

,

v2

v102）

m2

m1

且v20

0,则v1

v10，v2

0v1

v2

vv

m1v10

m2

v20（4）2、完全非弹性碰撞动量守恒，能量不守恒。碰后两物粘在一起由(1)解得m1

m2(能量不守恒)3、一般碰撞碰撞定理v10

v20e

v2

v1（5）v2

v1

称碰后两物体的分离速度v10

v20称碰前两物体的接近速度e

称为恢复系数。0

e

1由（1）和（5）可求得碰后两物体的速度（6）202101m1

m2m1

m2

(1

e)m1(v20

v10

)v

v

(1

e)m2

(v10

v20

)v

v：

1）

e

1,(6)式回到(3)式,即弹性碰撞;2）

e

0

,(6)