复变函数和积分变换重要知识点归纳

(圆满版)复变函数和积分变换重要知识点概括(圆满版)复变函数和积分变换重要知识点概括(圆满版)复变函数和积分变换重要知识点概括.WORD.格式.复变函数复习要点(一)复数的见解1.复数的见解：zxiy，x,y是实数,xRez,yImz.i.21注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：zx2y2；2）幅角：在z0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Argz（多值函数）；主值argz是位于(,]中的幅角。3）argz与arctanyx之间的关系以下：当x0,argarctanzyx；当x0,y0,argzarctany0,argzarctanyxyx；4）三角表示：zzcosisin，此中argz；注：中间必定是“+”号。5）指数表示：izze，此中argz。(二)复数的运算1.加减法：若zxiyzxiy，则z1z2x1x2iy1y2111,2222.乘除法：1）若zxiyzxiy，则111,222zzxxyyixyxy；1212122112xiyxiyzxiyxxyyyxyx111112212121221i2222zxiyxiyxiyxyxy22222222222。2）若zzezze,则ii11,2212.专业资料.整理分享.izzzze；121212zz11zz22ie123.乘幂与方根1）若(cossin)zzizei，则(cossin)znzninzein。nn2）若(cossin)

zzize，则inzzn12ki2kkncossin(0,1,21)L（有n个相异的值）nn（三）复变函数1．复变函数：wfz，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的照耀.2．复初等函数1）指数函数：cossineeyiy，在z平面各处可导，各处分析；zx且zzee。注：ze是以2i为周期的周期函数。（注意与实函数不一样样）3）对数函数：Lnzlnzi(argz2k)(k0,1,2L)（多值函数）；主值：lnzlnziargz。（单值函数）Lnz的每一个主值分支lnz在除掉原点及负实轴的z平面内各处分析，且lnz1z；注：负复数也有对数存在。（与实函数不一样样）3）乘幂与幂函数：(0)aea；(0)zezbbLnabbLnz注：在除掉原点及负实轴的z平面内各处分析，且bb1zbz。4）三角函数：izizizizeeeesinzcoszsinz,cosz,tgz,ctgz2i2coszsinzsinz,cosz在z平面内分析，且sinzcosz,coszsinz1注：有界性sinz1,cosz1不再建立；（与实函数不一样样）zzzzeeee4）双曲函数,shzchz；22shz奇函数，chz是偶函数。shz,chz在z平面内分析，且shzchzchzshz。,（四）分析函数的见解1．复变函数的导数1）点可导：fz=0limz0fzzfz00z；2）地区可导：fz在地区内点点可导。2．分析函数的见解1）点分析：fz在z及其z0的邻域内可导，称fz在z0点分析；02）地区分析：fz在地区内每一点分析，称fz在地区内分析；3）若f(z)在z点不分析，称z0为fz的奇点；03．分析函数的运算法例：分析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为分析函数；分析函数的复合函数仍为分析函数；（五）函数可导与分析的充要条件1．函数可导的充要条件：fzux,yivx,y在zxiy可导uxy和vx,y在x,y可微，且在x,y处知足CD条件：,uvuv,xyyx此时，有uvfzixx。2．函数分析的充要条件：fzux,yivx,y在地区内分析2uxy和vx,y在x,y在D内可微，且知足CD条件：,uvuv,xyyx；此时uvfzixx。注意：若ux,y,vx,y在地区D拥有一阶连续偏导数，则ux,y,vx,y在地区D内是可微的。所以在使用充要条件证明时，只需能说明u,v拥有一阶连续偏导且知足CR条件时，函数f(z)uiv必定是可导或分析的。3．函数可导与分析的鉴别方法1）利用定义（题目要求用定义，如第二章习题1）2）利用充要条件（函数以fzux,yivx,y形式给出，如第二章习题2）3）利用可导或分析函数的四则运算定理。（函数fz是以z的形式给出，如第二章习题3）（六）复变函数积分的见解与性质n1．复变函数积分的见解：fzdzlimfz，c是圆滑曲线。kkcnk1注：复变函数的积分实质是复平面上的线积分。2．复变函数积分的性质1）fzdzfzdz（1cc1c与c的方向相反）；2）[],,

fzgzdzfzdzgzdz是常数；ccc3）若曲线c由c与c2连结而成，则1fzdzfzdzfzdz。ccc1233．复变函数积分的一般计算法1）化为线积分：fzdzudxvdyivdxudy；（常用于理论证明）ccc2）参数方法：设曲线c：zzt(t)，此中对应曲线c的起点，对应曲线c的终点，则fzdzf[zt]z(t)dt。c（七）对于复变函数积分的重要定理与结论1．柯西—古萨基本定理：设fz在单连域B内分析，c为B内任一闭曲线，则?cfzdz02．复合闭路定理：设fz在多连域D内分析，c为D内随意一条简单闭曲线，c1,c2,Lcn是c内的简单闭曲线，它们互不包含互不订交，并且以c1,c2,Lcn为界限的地区全含于D内，则n①?cfzdz?此中c与fzdz,k1ckc均取正向；k②?fzdz0，此中由c及ckLn所构成的复合闭路。1(1,2,)1(1,2,)3．闭路变形原理：一个在地区D内的分析函数fz沿闭曲线c的积分，不因c在D内作连续变形而改变它的值，只需在变形过程中c不经过使fz不分析的奇点。4．分析函数沿非闭曲线的积分：设fz在单连域B内分析，Gz为fz在B内的一个原函数，则z2z1fzdzGz2Gz1(z1,z2B)说明：分析函数fz沿非闭曲线的积分与积分路径没关，计算时只需求出原函数即可。5。柯西积分公式：设fz在地区D内分析，c为D内任一正向简单闭曲线，c的内部完整属于D，z0为c内随意一点，则4?cfzzz0dz2ifz06．高阶导数公式：分析函数fz的导数仍为分析函数，它的n阶导数为?cfzi2ndzfz(n1,2L)0n1(zz)n!0此中c为fz的分析地区D内环绕z0的任何一条正向简单闭曲线，并且它的内部圆满属于D。7．重要结论：12i,n0?。（c是包含a的随意正向简单闭曲dzn1(za)0,n0c线）8．复变函数积分的计算方法1）若fz在地区D内各处不分析，用一般积分法fzdzf[zt]ztdtc2）设fz在地区D内分析，c是D内一条正向简单闭曲线，则由柯西—古萨定理，0fzdz?cc是D内的一条非闭曲线，z1,z2对应曲线c的起点和终点，则有z2fzdzfzdzFzFz21cz13）设fz在地区D内不分析曲线c内仅有一个奇点：?c?cfzdz2ifz0zz0fz2indzfzn10(zz)n!0（f(z)在c内分析）n曲线c内有多于一个奇点：?cfzdz?fzdz（kc1kc内只有一个奇i5点zk）n或：?（留数基本定理）fzdz2iRes[f(z),z]kk1c若被积函数不可以表示成fzn(zz)o1，则须改用第五章留数定理来计算。（八）分析函数与调解函数的关系1．调解函数的见解：若二元实函数(x,y)在D内有二阶连续偏导数22且知足220xy，(x,y)为D内的调解函数。2．分析函数与调解函数的关系分析函数fzuiv的实部u与虚部v都是调解函数，并称虚部v为实部u的共轭调解函数。两个调解函数u与v构成的函数f(z)uiv不用然是分析函数；但是若u,v假如知足柯西—黎曼方程，则uiv必定是分析函数。3．已知分析函数fz的实部或虚部，求分析函数fzuiv的方法。vv1）偏微分法：若已知实部uux,y，利用CR条件，得,xy；对vuyx两边积分，得uvdygxx（*）再对（*）式两边对x求偏导，得vudygxxxx（）由CR条件，uvyx，得uudygxyxx，可求出gx；6代入（*）式，可求得虚部uvdygxx。2）线积分法：若已知实部uux,y，利用CR条件可得vvuudvdxdydxdyxyyx，故虚部为x,yuuvdxdycx,yyx00；因为该积分与路径没关，可采纳简单路径（如折线）计算它，其中x0,y0与x,y是分析地区中的两点。3）不定积分法：若已知实部uux,y，依据分析函数的导数公式和CR条件得悉，uvuu

fzii

xyxy将此式右端表示成z的函数Uz，因为fz仍为分析函数，故fzUzdzc（c为实常数）注：若已知虚部v也可用近似方法求出实部u.（九）复数项级数1．复数列的极限1）复数列{}{}nanibn（n1,2L）收敛于复数abi的充要条件为limana,limbnb（同时建立）nn2）复数列{}n收敛实数列{an},{bn}同时收敛。2．复数项级数1）复数项级数(aib)收敛的充要条件是级数nnnna与nb同nn0n0n0时收敛；2）级数收敛的必需条件是lim0n。n7注：复数项级数的敛散性可以概括为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。（十）幂级数的敛散性1．幂级数的见解：表达式nczz或( )n0ncz为幂级数。nn0n02．幂级数的敛散性1）幂级数的收敛定理—阿贝尔定理(Abel)：假如幂级数ncz在z00nn0处收敛，那么对知足zz0的全部z，该级数绝对收敛；假如在z处发散，那么对知足0zz的全部z，级数必发散。02）幂级数的收敛域—圆域幂级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散。3）收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径。比值法假如cn1lim0ncn，则收敛半径1R；根值法limcn0，则收敛半径n1R；假如0，则R；说明在整个复平面上各处收敛；假如，则R0；说明仅在zz0或z0点收敛；注：若幂级数出缺项时，不可以直接套用公式求收敛半径。（如2ncz）nn03．幂级数的性质1）代数性质：设nnazbz的收敛半径分别为R1与,nnn0n0R，记2RRR，min,128则当zR时，有nnn( )abzazbz（线性运算）nnnnn0n0n0nnn( )( )( )azbzababLabz（乘积运算）nnn0n110nn0n0n02）复合性质：设当r时，nfa，当zR时，gz分析nn0且gzr，则当zR时，nf[gz]a[gz]。nn03）分析运算性质：设幂级数naz的收敛半径为R0，则nn0其和函数nfzaz是收敛圆内的分析函数；nn0在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变；且nfznaznn01zR在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变；z0annfzdzz0n1n1zR（十一）幂函数的泰勒张开1.泰勒张开：设函数fz在圆域zzR内分析，则在此圆域内fz0可以张开成幂级数nfz0fzzz0n0n!n；并且此张开式是独一的。注：若fz在z0分析，则fz在z的泰勒张开式建立的圆域的收敛0半径Rz0a；此中R为从z0到fz的距z近来一个奇点a之间的距离。092．常用函数在z的泰勒张开式001）23n1zzzznez1zLLzn!2!3!n!n02）11zn0n2nLLz1z1zzz3）sinn35n(1)zz(1)2n12n1zzzLzLzn0(2n1)!3!5!(2n1)!4）n24n(1)zz(1)2n2ncoszz1LzLzn0(2n)!2!4!(2n)!3．分析函数张开成泰勒级数的方法1）直接法：直接求出1ncfzn0n!n，于是fzczz0。nn02）间接法：利用已知函数的泰勒张开式及幂级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数张开。（十二）幂函数的洛朗张开1.洛朗级数的见解：nczz，含正幂项和负幂项。n0n2．洛朗张开定理：设函数fz在圆环域RzzR内各处分析，102c为圆环域内绕z0的随意一条正向简单闭曲线，则在此在圆n环域内，有fzczz0，且张开式独一。nn3．分析函数的洛朗张开法：洛朗级数一般只好用间接法张开。*4．利用洛朗级数求围线积分：设fz在rzzR内分析，c为0rzzR内的任何一条正向简单闭曲线，则?21。此中fzdzic0cc为f(z)在rzz0R内洛朗张开式中11zz0的系数。说明：围线积分可转变为求被积函数的洛朗张开式中1(zz)的系010数。（十三）孤立奇点的见解与分类1。孤立奇点的定义：fz在z点不分析,但在0z的0zz0内解0析。2。孤立奇点的种类：1）可去奇点：睁开式中不含zz的负幂项；02fzcczzczzL010202）极点：张开式中含有限项zz的负幂项；0ccc(m1)12mfzLcc(zz)c(zz)Lmm101020(zz)(zz)(zz)000gzm(zz)0,此中m1mgzcczzLczzczzL在z0分析，mm(1)(0)1(0)0(0)且gz00,m1,cm0；3）天性奇点：张开式中含无量多项zz的负幂项；0ccm1mLLLL

fzcc(zz)c(zz)

m010m0(zz)(zz)00（十四）孤立奇点的鉴别方法1．可去奇点：limzz0fzc常数；02．极点：limzz0fz3．天性奇点：limzz0fz不存在且不为。4．零点与极点的关系1）零点的见解：不恒为零的分析函数fz，假如能表示成mfz(zz)z，0此中z在z0分析，z00,m为正整数，称z0为fz的m级零点；2）零点级数判其他充要条件11z是fz的m级零点0nfz0,(n1,2,Lm1)0mfz003）零点与极点的关系：z是fz的m级零点z0是01fz的m级极点；4）重要结论若za分别是z与z的m级与n级零点，则za是zgz的mn级零点；当mn时，za是zz的mn级零点；当mn时，za是zz的nm级极点；当mn时，za是zz的可去奇点；当mn时，za是zz的l级零点，lmin(m,n)当mn时，za是zz的l级零点，此中lm(n)（十五）留数的见解1．留数的定义：设z为fz的孤立奇点，fz在z0的去心邻域00zz内分析，c为该域内包含z0的任一正向简单闭曲线，则称0积分1i?为fz在fzdz2cz的留数（或残留），记作0Res[fz,z]01i?2cfzdz2．留数的计算方法若z0是fz的孤立奇点，则Res[fz,z]c1，此中c1为fz在0z的去心邻域内洛朗张开式中01(zz)的系数。01）可去奇点处的留数：若z是fz的可去奇点，则0Res[fz,z]00122）m级极点处的留数法例I若z是fz的m级极点，则0Res[fz,z]0m11dmlim[(zz)fz]0m1(m1)!dzzz0特别地，若z0是fz的一级极点，则Res[fz,z]0lim(zz)fz0zz0注：假如极点的实质级数比m低，上述规则仍旧有效。法例II设fzPzQz，Pz,Qz在z0分析，Pz00,QzQz，则00,00PzPz0Res[,z]QzQz00（十六）留数基本定理设fz在地区D内除有限个孤立奇点z1,z2L,zn外各处分析，c为D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则?cfzdz2iRes[fz,zn]n1说明：留数定理把求沿简单闭曲线积分的整体问题转变为求被积函数fz在c内各孤立奇点处留数的局部问题。积分变换复习纲领一、傅里叶变换的见解13jwtF[f(t)]f(t)edtF(w)11jtF[F( )]F( )edf(t)2二、几个常用函数的傅里叶变换1F[e(t)]j1F[u(t)]( )jF[(t)]1F[1]2( )三、傅里叶变换的性质位移性（时域）：jwtF[f(tt)]eF[f(t)]00位移性（频域）：jwtF[ef(t)]F(w)F(ww)0www001位移性推论：000F[sinwtf(t)][F(ww)F(ww)]2j位移性推论：1F[coswtf(t)][F(ww)F(ww)]0002微分性（时域）：F[f(t)](jw)F(w)（t,f(t)0），Ff(n)tjwnFw，[( )]( )( )Ff(n)tjwnFw，(n1)t,f(t)0微分性（频域）：n(n)F[(jt)ft]Fw,F[(jt)f(t)]F(w)相像性：1wF[f(at)]F( )aa(a0)四、拉普拉斯变换的见解stL[f