课标中考数学总复习专题分类讨论题课件

专题二分类讨论题专题二分类讨论题题型概述方法指导因题目已知条件存在一些不确定因素,解答无法用统一的方法或者结论不能给以统一表述的数学问题,我们往往将问题划分为若干类,或若干个局部问题来解决.2017年安徽中考中,将近10年的结论判断正误题被分类讨论题所代替,这给我们传递了一个信号,安徽中考压轴填空题将改变题型.分类讨论题难度大,同学们容易漏掉解,出题角度多,可以很好地考查同学们思维的条理性、缜密性、科学性.2020年中考压轴填空题设置为分类讨论题可能性非常大.题型概述方法指导因题目已知条件存在一些不确定因素,解答无法用题型概述方法指导1.对问题进行分类讨论时,必须按同一标准分类,且做到不重不漏.解题中,分类讨论一般分为四步:第一,确定讨论的对象以及讨论对象的取值范围;第二,正确选择分类标准,合理分类;第三,逐类、逐段分类讨论;第四,归纳并做出结论.2.引起分类讨论的七种基本形态.并非所有的数学问题都需要进行分类讨论,但若涉及以下七种情况,常常需要进行分类讨论使问题简单化.(1)概念分段定义.像绝对值这样分段定义的概念,在中学数学中还有直线的斜率等,当这些概念出现时,一般要进行分类讨论.(2)公式分段表达.在解决数学问题时,常常要用到数学公式,若该公式是分段表达的,那么在应用到这些公式时,需分类讨论.题型概述方法指导1.对问题进行分类讨论时,必须按同一标准分类题型概述方法指导(3)实施某些运算引起分类讨论.在解决数学问题时,不论是化简、求值还是论证,常常要进行运算,若在不同条件下实施这些运算时会得到不同的结果,就需要分类讨论.(4)图形位置不确定.如果图形的位置不确定,常常会引起分类讨论,因此,如果图形可能处于不同位置并且影响问题的结果时,首先要有分类讨论的意识,其次要全面考察,分析各种可能的位置关系,然后合理分类讨论,防止漏解.(5)图形的形状不同.当图形的形状不确定时,要对各种可能出现的形状进行分析讨论.(6)字母系数参与引起分类讨论.字母系数的出现,常常会使问题出现多种不同的情况,从而影响问题结果,因此引起分类讨论.(7)条件不唯一引起分类讨论.由于条件不唯一,可能引起方程类型不确定,曲线种类不确定,位置关系不确定,形状不确定等出现,需要对不同情况合理分类,正确讨论.题型概述方法指导(3)实施某些运算引起分类讨论.在解决数学问类型一类型二类型三类型一类型二类型三类型一类型二类型三类型一图形形状不同引起的分类讨论例1(2017·安徽,14)在三角形纸片ABC中,∠A=90°,∠C=30°,AC=30cm,将该纸片沿过点B的直线折叠,使点A落在斜边BC上的一点E处,折痕记为BD(如图1),减去△CDE后得到双层△BDE(如图2),再沿着过△BDE某顶点的直线将双层三角形剪开,使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形,则所得平行四边形的周长为cm.

类型一类型二类型三类型一图形形状不同引起的分类讨论类型一类型二类型三解析:∵∠A=90°,∠C=30°,AC=30cm,∴AB=10cm,∠ABC=60°,∵△ADB≌△EDB,如图2,平行四边形的边是DE,EG,且DE=AG=10cm,∴平行四边形的周长=40cm,综上所述:类型一类型二类型三解析:∵∠A=90°,∠C=30°,AC=类型一类型二类型三类型二图形不确定引起的分类讨论例2(2020·安徽)矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足△PBE∽△DBC,若△APD是等腰三角形,则PE的长为.

解析:由题意知,点P在线段BD上,(1)如图1所示,若PD=PA,则点P在AD的垂直平分线上,则点P为BD中点,故PE=DC=3;(2)如图2所示,若DA=DP,则DP=8,类型一类型二类型三类型二图形不确定引起的分类讨论类型一类型二类型三例3(2012·安徽,10)在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点,分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形,剩下的部分是如图所示的直角梯形,其中三边长分别为2,4,3,则原直角三角形纸片的边长是(

)A.10类型一类型二类型三例3(2012·安徽,10)在一张直角三角类型一类型二类型三答案:C类型一类型二类型三答案:C类型一类型二类型三类型三运算引起的分类讨论例4(2020·安徽,14)已知实数a,b,c满足a+b=ab=c,有下列结论:②若a=3,则b+c=9;③若a-b=c,则abc=0;④若a,b,c中只有两个数相等,则a+b+c=8.其中正确的是.(把所有正确结论的序号都选上)

类型一类型二类型三类型三运算引起的分类讨论②若a=3,则b类型一类型二类型三求得a=c且b=0,所以abc=0,③正确;由a,b,c只有两个数相等,分三种情况:(1)a=b≠c,因为a+b=ab,得a=0或a=2,所以b=0或b=2,所以c=0或c=4,其中a=0,b=0,c=0舍去,所以a+b+c=8;(2)a=c≠b,由a+b=c,得b=0,所以c=ab=0,a=0,不合题意舍去;(3)b=c≠a,同(2)求得a=0,b=0,c=0舍去.综上所述,若a,b,c中只有两个数相等,则a+b+c=8.④正确.答案:①③④类型一类型二类型三求得a=c且b=0,所以abc=0,③正确12345671.(2017·青海西宁)若点A(m,n)在直线y=kx(k≠0)上,当-1≤m≤1时,-1≤n≤1,则这条直线的函数解析式为y=x或y=-x

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解析:分类讨论单调性,可知图形过点(-1,-1)和(1,1)或者图象过点(-1,1)和(1,-1),故得y=x或y=-x.12345671.(2017·青海西宁)若点A(m,n)在直12345672.(2020·山东枣庄)如图1,点P从△ABC的顶点B出发,沿B→C→A匀速运动到点A.图2是点P运动时,线段BP长度y随时间x变化的关系图象,其中M为曲线部分的最低点,则△ABC的面积是12

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解析:动点P的运动过程:①当动点P在BC上时,BP由0到5逐渐增加,所以可得BC=5;②当动点P在AC上时,BP先变小后变大且当BP⊥AC时,BP最小为4;③当动点P在AB上时,BP由5到0逐渐减小,所以可得AC=5,由题意可得△ABC是等腰三角形,AB=BC=5,且底边上高为4,BP⊥AC时,勾股定理可得AP=CP=3,所以△ABC12345672.(2020·山东枣庄)如图1,点P从△AB12345673.(2020·浙江绍兴)过双曲线y=(k>0)的动点A作AB⊥x轴于点B,P是直线AB上的点,且满足AP=2AB,过点P作x轴的平行线交此双曲线于点C.如果△APC的面积为8,则k的值是12或4

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APC=8,可求S△ABO=2,即k=4.12345673.(2020·浙江绍兴)过双曲线y=(1234567123456712345674.(2020·山东德州)如图,反比例函数y=与一次函数y=x-2在第三象限交于点A,点B的坐标为(-3,0),点P是y轴左侧的一点,若以A、O、B、P为顶点的四边形为平行四边形.则点P的坐标为(-4,-3),(-2,3)

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12345674.(2020·山东德州)如图,反比例函数y=1234567①构成平行四边形ABOP时,如图1,点P在y轴右侧,舍去;②构成平行四边形OAPB时,如图2,AP∥BO,AP=BO=3,因为A(-1,-3),所以P(-4,-3);③构成平行四边形OABP时,如图3,BP∥AO,BP=AO,所以P(-2,3),综上所述点P的坐标为(-4,-3),(-2,3).1234567①构成平行四边形ABOP时,如图1,点P在y轴1234567123456712345675.(2020·山东淄博)已知抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),将这条抛物线向右平移m(m>0)个单位,平移后的抛物线与x轴交于C、D两点(点C在点D的左侧).若B、C是线段AD的三等分点,则m的值为2或8

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解析:易求点A(-3,0),B(1,0),若平移中C在AB之间且B、C是线段AD的三等分点,则AC=CB,此时C(-1,0),m=2;若平移中C在B点右侧且B、C是线段AD的三等分点,则AB=BC,此时C(5,0),m=8.12345675.(2020·山东淄博)已知抛物线y=x2+12345676.(2020·合肥、安庆名校联考)如图1,在矩形ABCD中,AB=9,BC=12,点M从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿AB方向在AB上运动,以点M为圆心,MA长为半径画圆,如图2,过点M作NM⊥AB,交☉M于点N,设运动时间为t秒.(1)填空:BD=

,BM=

;(请用准确数值或含t的代数式表示)

(2)当☉M与BD相切时,①求t的值;②求△CDN的面积.(3)当△CND为直角三角形时,求出t的值.12345676.(2020·合肥、安庆名校联考)如图1,在1234567解:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=12,∠BAD=90°,在Rt△ABD中,AB=9,BC=12,根据勾股定理得,由运动知,AM=2t.∴BM=AB-AM=9-2t,故答案为:15,9-2t.(2)①如图1,☉M切BD于E,∴ME⊥BD,∴∠BEM=∠BAD=90°,∵∠EBM=∠ABD,∴△BME∽△BDA.②∵MN=AM=2t=4,∴CD边上的高为AD-MN=12-4=8,∴S△CDN=×9×8=36.1234567解:(1)∵四边形ABCD是矩形,由运动知,A1234567(3)如图2,过点N作直线FG⊥MN,分别交AD,BC于点F,G,∴FN=2t,GN=9-2t,DF=CG=12-2t,∴DN2=DF2+FN2=(12-2t)2+(2t)2,∴CN2=CG2+GN2=(12-2t)2+(9-2t)2,①当∠DNC=90°时,DN2+CN2=CD2,∴(12-2t)2+(2t)2+(12-2t)2+(9-2t)2=81,化简,得4t2-33t+72=0,∵Δ=(-33)2-4×4×72<0,∴此方程无实数根.②当∠DCN=90°时,点N在BC上,BN=BA=2t=9,∴t=4.5,综上所述,t=4.5秒.1234567(3)如图2,过点N作直线FG⊥MN,分别交A12345677.(2020·湖南娄底)如图,抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3),D是抛物线的顶点,E是线段AB的中点.(1)求抛物线的解析式,并写出D点的坐标;(2)F(x,y)是抛物线上的动点;①当x>1,y>0时,求△BDF的面积的最大值;②当∠AEF=∠DBE时,求点F的坐标.12345677.(2020·湖南娄底)如图,抛物线y=ax1234567解:(1)∵与x轴交点为A(-1,0),B(3,0),∴设表达式为y=a(x+1)(x-3)(a≠0).∵与y轴交于C(0,3),∴3=-3a,解得a=-1.∴y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3,D(1,4).(2)①过F作FH⊥x轴,交BD于H,由题意,F是线段BD上方抛物线上的动点,FH把△BDF分成两个都以FH为底的三角形,它们高的和为2,1234567解:(1)∵与x轴交点为A(-1,0),B(31234567设直线BD的表达式为y=mx+n(m≠0),∵经过B(3,0),D(1,4),∴y=-2x+6.∴S△BDF=yF-yH=(-x2+2x+3)-(-2x+6)=-x2+4x-3.∵a=-1<0,开口向下,有最大值,∴当x=2时,S△BDF最大为1.1234567设直线BD的表达式为y=mx+n(m≠0),∴1234567②分类讨论:Ⅰ.过点E作l∥BD,与抛物线交点为所求.∵l∥BD,∴∠AEF=∠DBE.设l的表达式为y=-2x+t,∵过E(1,0),∴t=2,y=-2x+2,联立直线和抛物线表达式,Ⅱ.作直线l关于x轴对称的直线l',l'与抛物线的交点之一为所求,∵l和l'关于x轴对称,∴l'的表达式为y=2x-2.联立直线和抛物线表达式,1234567②分类讨论:Ⅱ.作直线l关于x轴对称的直线l'12345671234567专题二分类讨论题专题二分类讨论题题型概述方法指导因题目已知条件存在一些不确定因素,解答无法用统一的方法或者结论不能给以统一表述的数学问题,我们往往将问题划分为若干类,或若干个局部问题来解决.2017年安徽中考中,将近10年的结论判断正误题被分类讨论题所代替,这给我们传递了一个信号,安徽中考压轴填空题将改变题型.分类讨论题难度大,同学们容易漏掉解,出题角度多,可以很好地考查同学们思维的条理性、缜密性、科学性.2020年中考压轴填空题设置为分类讨论题可能性非常大.题型概述方法指导因题目已知条件存在一些不确定因素,解答无法用题型概述方法指导1.对问题进行分类讨论时,必须按同一标准分类,且做到不重不漏.解题中,分类讨论一般分为四步:第一,确定讨论的对象以及讨论对象的取值范围;第二,正确选择分类标准,合理分类;第三,逐类、逐段分类讨论;第四,归纳并做出结论.2.引起分类讨论的七种基本形态.并非所有的数学问题都需要进行分类讨论,但若涉及以下七种情况,常常需要进行分类讨论使问题简单化.(1)概念分段定义.像绝对值这样分段定义的概念,在中学数学中还有直线的斜率等,当这些概念出现时,一般要进行分类讨论.(2)公式分段表达.在解决数学问题时,常常要用到数学公式,若该公式是分段表达的,那么在应用到这些公式时,需分类讨论.题型概述方法指导1.对问题进行分类讨论时,必须按同一标准分类题型概述方法指导(3)实施某些运算引起分类讨论.在解决数学问题时,不论是化简、求值还是论证,常常要进行运算,若在不同条件下实施这些运算时会得到不同的结果,就需要分类讨论.(4)图形位置不确定.如果图形的位置不确定,常常会引起分类讨论,因此,如果图形可能处于不同位置并且影响问题的结果时,首先要有分类讨论的意识,其次要全面考察,分析各种可能的位置关系,然后合理分类讨论,防止漏解.(5)图形的形状不同.当图形的形状不确定时,要对各种可能出现的形状进行分析讨论.(6)字母系数参与引起分类讨论.字母系数的出现,常常会使问题出现多种不同的情况,从而影响问题结果,因此引起分类讨论.(7)条件不唯一引起分类讨论.由于条件不唯一,可能引起方程类型不确定,曲线种类不确定,位置关系不确定,形状不确定等出现,需要对不同情况合理分类,正确讨论.题型概述方法指导(3)实施某些运算引起分类讨论.在解决数学问类型一类型二类型三类型一类型二类型三类型一类型二类型三类型一图形形状不同引起的分类讨论例1(2017·安徽,14)在三角形纸片ABC中,∠A=90°,∠C=30°,AC=30cm,将该纸片沿过点B的直线折叠,使点A落在斜边BC上的一点E处,折痕记为BD(如图1),减去△CDE后得到双层△BDE(如图2),再沿着过△BDE某顶点的直线将双层三角形剪开,使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形,则所得平行四边形的周长为cm.

类型一类型二类型三类型一图形形状不同引起的分类讨论类型一类型二类型三解析:∵∠A=90°,∠C=30°,AC=30cm,∴AB=10cm,∠ABC=60°,∵△ADB≌△EDB,如图2,平行四边形的边是DE,EG,且DE=AG=10cm,∴平行四边形的周长=40cm,综上所述:类型一类型二类型三解析:∵∠A=90°,∠C=30°,AC=类型一类型二类型三类型二图形不确定引起的分类讨论例2(2020·安徽)矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足△PBE∽△DBC,若△APD是等腰三角形,则PE的长为.

解析:由题意知,点P在线段BD上,(1)如图1所示,若PD=PA,则点P在AD的垂直平分线上,则点P为BD中点,故PE=DC=3;(2)如图2所示,若DA=DP,则DP=8,类型一类型二类型三类型二图形不确定引起的分类讨论类型一类型二类型三例3(2012·安徽,10)在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点,分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形,剩下的部分是如图所示的直角梯形,其中三边长分别为2,4,3,则原直角三角形纸片的边长是(

)A.10类型一类型二类型三例3(2012·安徽,10)在一张直角三角类型一类型二类型三答案:C类型一类型二类型三答案:C类型一类型二类型三类型三运算引起的分类讨论例4(2020·安徽,14)已知实数a,b,c满足a+b=ab=c,有下列结论:②若a=3,则b+c=9;③若a-b=c,则abc=0;④若a,b,c中只有两个数相等,则a+b+c=8.其中正确的是.(把所有正确结论的序号都选上)

类型一类型二类型三类型三运算引起的分类讨论②若a=3,则b类型一类型二类型三求得a=c且b=0,所以abc=0,③正确;由a,b,c只有两个数相等,分三种情况:(1)a=b≠c,因为a+b=ab,得a=0或a=2,所以b=0或b=2,所以c=0或c=4,其中a=0,b=0,c=0舍去,所以a+b+c=8;(2)a=c≠b,由a+b=c,得b=0,所以c=ab=0,a=0,不合题意舍去;(3)b=c≠a,同(2)求得a=0,b=0,c=0舍去.综上所述,若a,b,c中只有两个数相等,则a+b+c=8.④正确.答案:①③④类型一类型二类型三求得a=c且b=0,所以abc=0,③正确12345671.(2017·青海西宁)若点A(m,n)在直线y=kx(k≠0)上,当-1≤m≤1时,-1≤n≤1,则这条直线的函数解析式为y=x或y=-x

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解析:分类讨论单调性,可知图形过点(-1,-1)和(1,1)或者图象过点(-1,1)和(1,-1),故得y=x或y=-x.12345671.(2017·青海西宁)若点A(m,n)在直12345672.(2020·山东枣庄)如图1,点P从△ABC的顶点B出发,沿B→C→A匀速运动到点A.图2是点P运动时,线段BP长度y随时间x变化的关系图象,其中M为曲线部分的最低点,则△ABC的面积是12

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解析:动点P的运动过程:①当动点P在BC上时,BP由0到5逐渐增加,所以可得BC=5;②当动点P在AC上时,BP先变小后变大且当BP⊥AC时,BP最小为4;③当动点P在AB上时,BP由5到0逐渐减小,所以可得AC=5,由题意可得△ABC是等腰三角形,AB=BC=5,且底边上高为4,BP⊥AC时,勾股定理可得AP=CP=3,所以△ABC12345672.(2020·山东枣庄)如图1,点P从△AB12345673.(2020·浙江绍兴)过双曲线y=(k>0)的动点A作AB⊥x轴于点B,P是直线AB上的点,且满足AP=2AB,过点P作x轴的平行线交此双曲线于点C.如果△APC的面积为8,则k的值是12或4

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APC=8,可求S△ABO=2,即k=4.12345673.(2020·浙江绍兴)过双曲线y=(1234567123456712345674.(2020·山东德州)如图,反比例函数y=与一次函数y=x-2在第三象限交于点A,点B的坐标为(-3,0),点P是y轴左侧的一点,若以A、O、B、P为顶点的四边形为平行四边形.则点P的坐标为(-4,-3),(-2,3)

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12345674.(2020·山东德州)如图,反比例函数y=1234567①构成平行四边形ABOP时,如图1,点P在y轴右侧,舍去;②构成平行四边形OAPB时,如图2,AP∥BO,AP=BO=3,因为A(-1,-3),所以P(-4,-3);③构成平行四边形OABP时,如图3,BP∥AO,BP=AO,所以P(-2,3),综上所述点P的坐标为(-4,-3),(-2,3).1234567①构成平行四边形ABOP时,如图1,点P在y轴1234567123456712345675.(2020·山东淄博)已知抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),将这条抛物线向右平移m(m>0)个单位,平移后的抛物线与x轴交于C、D两点(点C在点D的左侧).若B、C是线段AD的三等分点,则m的值为2或8

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解析:易求点A(-3,0),B(1,0),若平移中C在AB之间且B、C是线段AD的三等分点,则AC=CB,此时C(-1,0),m=2;若平移中C在B点右侧且B、C是线段AD的三等分点,则AB=BC,此时C(5,0),m=8.12345675.(2020·山东淄博)已知抛物线y=x2+12345676.(2020·合肥、安庆名校联考)如图1,在矩形ABCD中,AB=9,BC=12,点M从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿AB方向在AB上运动,以点M为圆心,MA长为半径画圆,如图2,过点M作NM⊥AB,交☉M于点N,设运动时间为t秒.(1)填空:BD=

,BM=

;(请用准确数值或含t的代数式表示)

(2)当☉M与BD相切时,①求t的值;②求△CDN的面积.(3)当△CND为直角三角形时,求出t的值.12345676.(2020·合肥、安庆名校联考)如图1,在1234567解:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=12,∠BAD=90°,在Rt△ABD中,AB=9,BC=12,根据勾股定理得,由运动知,AM=2t.∴BM=AB-AM=9-2t,故答案为:15,9-2t.(2)①如图1,☉M切BD于E,∴ME⊥BD,∴∠BEM=∠BAD=90°,∵∠EBM=∠ABD,∴△BME∽△BDA.②∵MN=AM=2t=4,∴CD边上的高为AD-MN=12-4=8,∴S△CDN=×9×8=36.1234567解:(1)∵四边形ABCD是矩形,由运动知,A1234567(3)如图2,过点N作直线FG⊥MN,分别交AD,BC于点F,G,∴FN=2t,GN=9-2t,DF=CG=12-2