量子力学课件第14讲

第十四讲算符的共同本征函数

(1)Schwartz不等式如果，,是任意两个平方可积的波函数，则

1

(2)算符“涨落”之间的关系－测不准关系：如令

2

例1，所以，

这即为海森堡（Heisenberg）的测不准关系的严格证明。

例1，3

例2但在特殊态时

但这仅是某一特殊态。例3

在态下

例24这时

(3)算符的共同本征函数组定理1.如果两个力学量相应的算符有一组正交，归一，完备的共同本征函数组，则算符，必对易，。定理2：如果两力学量所相应算符对易，则它们有共同的正交，归一和完备的本征函数组。

5

(4)角动量的共同本征函数组―球谐函数

因 ，它们有共同本征函数组。

A.本征值：设：是它们的共同本征函数，则

(4)角动量的共同本征函数组―球谐6

的本征值为的本征值为这表明，角动量的本征值是量子化的。它与能量量子化不同在于它并不需要粒子是束缚的。自由粒子的角动量是量子化的。

B.本征函数量子力学课件_第14讲7

已求得的共同本征函数组-球谐函数

称为缔合勒让德函数（AssociatedLegendrefunction）。已求得的共同本征函数组-球谐函数8

当给定，也就是的本征值给定，那就唯一地确定了本征函数。

其性质：

1.正交归一

2．封闭性

当给定，也就是的本征值给9

3．所以，

3．10

因此，

4.宇称

即

5.递推关系

因此，11量子力学课件_第14讲12

(4)力学量的完全集

量子力学描述与经典描述大不一样，在量子力学中，是确定体系所处的状态。如对体系测量力学量的可能值及相应几率。如能充分确定状态，则认为是完全描述了。但是，如何才能将状态描述完全确定呢？设：

是力学量所对应的算符，并且对易如是的本征函数。

(4)力学量的完全集13

⋆

的本征函数不简并，则

⋆

当的本征值是两重简并。那问题就不一样了。

测量

取值时，并不知处于那一态，可能为尽管也是的本征态。但一般而言

⋆ 的本征函数不简并，则14量子力学课件_第14讲15可求得的本征值。若，则一起就唯一地决定函数量子力学课件_第14讲16

的共同本征态没有一个是简并的。

力学量完全集：设力学量彼此对易；它们的共同本征函数是不简并的，也就是说，本征值a,b,c…仅对应一个独立的本征函数，则称这一组力学量为力学量完全集。所以，以后要描述一个体系所处的态时，我们首先集中注意力去寻找一组独立的完全集，以给出特解，然后得通解。有了力学量完全集，则可得

的共同本征态没有一个是简并的。17

完全集相应的本征函数为§4.5力学量平均值随时间的变化，运动常数（守恒量）恩费斯脱定理（EhrenfestTheorem）（1）力学量的平均值，随时间变化，运动常数

量子力学课件_第14讲18

它随时间演化为

19

若不显含t，则当，则（对体系任何态）不随t变。而取的几率也不随t变。我们称与体系对易的不显含时间的力学量算符为体系的运动常数。若不显含t，则20

运动常数并不都能同时取确定值。因尽管它们都与对易，但它们之间可能不对易。如

都是运动常数，但彼此不对易，不能同时取确定值。

（2）

VivialTheorem维里定理不显含t的力学量，在定态上的平均与t无关。

运动常数并不都能同时取确定值。因尽21量子力学课件_第14讲22

若是x,y,z的n次齐次函数，则

例：谐振子势是x,y,z的2次齐次函数

例：库仑势是x,y,z的–1次齐次函数量子力学课件_第14讲23

(3)能量-时间测不准关系由算符的“涨落”关系，有如，则有若是不显含时间的算符，则有量子力学课件_第14讲24

取则有这即为能量和时间的测不准关系。量子力学课件_第14讲25

（4）恩费斯脱定理（EhrenfestTheorem）以,表示的平均值。

⋆体系的坐标平均值的时间导数等于其速度算符的平均值。量子力学课件_第14讲26⋆

体系动量算符平均值的时间导数等于作用力的平均值。于是有量子力学课件_第14讲27称为的恩费斯脱定理。

我们可以看到，上面三个式子与经典力学看起来非常相似。

量子力学课件_第14讲28

但决不能无条件地认为如果这样，即得但事实上，一般而言量子力学课件_第14讲29

但在V(x)随x的变化很缓慢，以及比较小的条件下，上式近似相等.以一维运动来讨论

30

当场随空间变化非常缓慢，且很小时，我们有不等式

量子力学课件_第14讲31

这样，量子力学中粒子运动与经典力学规律相似。经典运动是一好的近似。当然，根据测不准关系，

32

因此，当较小时， 比较大。所以要有

33

要有两个条件：

★

势随空间作缓慢变化：

★

动能很大：

要有两个条件：34第五章变量可分离型的三维定态问题★不显含t时，有特解

第五章变量可分离型的三维定态问题★不显35

★处理的是变量可分离型的位势问题。§5.1有心势

能量本征方程可写为

36

我们可看到

因此，是两两对易。当共同本征函数组不简并时，它们构成一组力学量完全集（球对称势的体系都有这一特点）。我们可看到37

以的本征值（即量子数）对能量本征方程的特解进行标识。于是归结到解具有不同位势的径向方程

量子力学课件_第14讲38

首先要研究边条件的共性。对于束缚态，对于，波函数行为？

（1）不显含时间的薛定谔方程解在的渐近行为

A．若

时，仅当0<m<2时才有束缚态。

39

根据维里定理：如是x,y,z的n次齐次函数，则有（在定态上）。对于上述势即量子力学课件_第14讲40

在这类位势下，束缚态E<0。所以存在束缚态的条件为0<m<2量子力学课件_第14讲41即仅当时，才有束缚态。

B．在

时，径向波函数应满足

由径向方程

量子力学课件_第14讲42

当时，方程的渐近解为，所以有

（2）三维自由粒子运动

因，所以可选力学量完全集量子力学课件_第14讲43于是有

令

于是有44这即为球贝塞尔函数满足的方程。而在处为有限的解是而在处为无穷的解是

量子力学课件_第14讲45量子力学课件_第14讲46

由于的条件，所以自由粒子的本征函数为对于自由粒子，亦可选作为力学量完全集，其共同本征函数为

47

而前述，

作为力学量完全集，有共同本征函数组

量子力学课件_第14讲48

可按它展开

如取方向在z方向（即为z轴），则

可按它展开49

a.对kr求导，得

量子力学课件_第14讲50于是有

量子力学课件_第14讲51量子力学课件_第14讲52

b.当时于是当在任意方向，则b.当时53

为和之间的夹角

为和之间的夹角54

现可求

的归一化因子：而根据展开有

量子力学课件_第14讲55

量子力学课件_第14讲56

从而有即于是有量子力学课件_第14讲57量子力学课件_第14讲58（3）球方势阱：考虑位势为

令

（3）球方势阱：考虑位势为59

第十四讲算符的共同本征函数

(1)Schwartz不等式如果，,是任意两个平方可积的波函数，则

60

(2)算符“涨落”之间的关系－测不准关系：如令

61

例1，所以，

这即为海森堡（Heisenberg）的测不准关系的严格证明。

例1，62

例2但在特殊态时

但这仅是某一特殊态。例3

在态下

例263这时

(3)算符的共同本征函数组定理1.如果两个力学量相应的算符有一组正交，归一，完备的共同本征函数组，则算符，必对易，。定理2：如果两力学量所相应算符对易，则它们有共同的正交，归一和完备的本征函数组。

64

(4)角动量的共同本征函数组―球谐函数

因 ，它们有共同本征函数组。

A.本征值：设：是它们的共同本征函数，则

(4)角动量的共同本征函数组―球谐65

的本征值为的本征值为这表明，角动量的本征值是量子化的。它与能量量子化不同在于它并不需要粒子是束缚的。自由粒子的角动量是量子化的。

B.本征函数量子力学课件_第14讲66

已求得的共同本征函数组-球谐函数

称为缔合勒让德函数（AssociatedLegendrefunction）。已求得的共同本征函数组-球谐函数67

当给定，也就是的本征值给定，那就唯一地确定了本征函数。

其性质：

1.正交归一

2．封闭性

当给定，也就是的本征值给68

3．所以，

3．69

因此，

4.宇称

即

5.递推关系

因此，70量子力学课件_第14讲71

(4)力学量的完全集

量子力学描述与经典描述大不一样，在量子力学中，是确定体系所处的状态。如对体系测量力学量的可能值及相应几率。如能充分确定状态，则认为是完全描述了。但是，如何才能将状态描述完全确定呢？设：

是力学量所对应的算符，并且对易如是的本征函数。

(4)力学量的完全集72

⋆

的本征函数不简并，则

⋆

当的本征值是两重简并。那问题就不一样了。

测量

取值时，并不知处于那一态，可能为尽管也是的本征态。但一般而言

⋆ 的本征函数不简并，则73量子力学课件_第14讲74可求得的本征值。若，则一起就唯一地决定函数量子力学课件_第14讲75

的共同本征态没有一个是简并的。

力学量完全集：设力学量彼此对易；它们的共同本征函数是不简并的，也就是说，本征值a,b,c…仅对应一个独立的本征函数，则称这一组力学量为力学量完全集。所以，以后要描述一个体系所处的态时，我们首先集中注意力去寻找一组独立的完全集，以给出特解，然后得通解。有了力学量完全集，则可得

的共同本征态没有一个是简并的。76

完全集相应的本征函数为§4.5力学量平均值随时间的变化，运动常数（守恒量）恩费斯脱定理（EhrenfestTheorem）（1）力学量的平均值，随时间变化，运动常数

量子力学课件_第14讲77

它随时间演化为

78

若不显含t，则当，则（对体系任何态）不随t变。而取的几率也不随t变。我们称与体系对易的不显含时间的力学量算符为体系的运动常数。若不显含t，则79

运动常数并不都能同时取确定值。因尽管它们都与对易，但它们之间可能不对易。如

都是运动常数，但彼此不对易，不能同时取确定值。

（2）

VivialTheorem维里定理不显含t的力学量，在定态上的平均与t无关。

运动常数并不都能同时取确定值。因尽80量子力学课件_第14讲81

若是x,y,z的n次齐次函数，则

例：谐振子势是x,y,z的2次齐次函数

例：库仑势是x,y,z的–1次齐次函数量子力学课件_第14讲82

(3)能量-时间测不准关系由算符的“涨落”关系，有如，则有若是不显含时间的算符，则有量子力学课件_第14讲83

取则有这即为能量和时间的测不准关系。量子力学课件_第14讲84

（4）恩费斯脱定理（EhrenfestTheorem）以,表示的平均值。

⋆体系的坐标平均值的时间导数等于其速度算符的平均值。量子力学课件_第14讲85⋆

体系动量算符平均值的时间导数等于作用力的平均值。于是有量子力学课件_第14讲86称为的恩费斯脱定理。

我们可以看到，上面三个式子与经典力学看起来非常相似。

量子力学课件_第14讲87

但决不能无条件地认为如果这样，即得但事实上，一般而言量子力学课件_第14讲88

但在V(x)随x的变化很缓慢，以及比较小的条件下，上式近似相等.以一维运动来讨论

89

当场随空间变化非常缓慢，且很小时，我们有不等式

量子力学课件_第14讲90

这样，量子力学中粒子运动与经典力学规律相似。经典运动是一好的近似。当然，根据测不准关系，

91

因此，当较小时， 比较大。所以要有

92

要有两个条件：

★

势随空间作缓慢变化：

★

动能很大：

要有两个条件：93第五章变量可分离型的三维定态问题★不显含t时，有特解

第五章变量可分离型的三维定态问题★不显94

★处理的是变量可分离型的位势问题。§5.1有心势

能量本征方程可写为

95

我们可看到

因此，是两两对易。当共同本征函数组不简并时，它们构成一组力学量完全集（球对称势的体系都有这一特点）。我们可看到96

以的本征值（即量子数）对能量本征方程的特解进行标识。于是归结到解具有不同位势的径向方程

量子力学课件_第14讲97

首先要研究边条件的共性。对于束缚态，对于，波函数行为？

（1）不显含时间的薛定谔方程解在的渐近行为

A．若

时，仅当0<m<2时才有束缚态。

98

根据维里定理：如是x,y,z的n次齐次函数，则有（在定态上）。对于上述势即量子力学课件_第14讲99

在这类位势下，束缚态E<0。所以存在束缚态的条件为0<m<2