远期与期货定价模板课件

第七章远期与期货定价DeterminationofForwardandFuturesPrices1第七章远期与期货定价DeterminationofF第一节基础知识一、利率有关问题（一）单利对利息不再计算利息，计算公式是：I=AnrF=A(1+nr)式中，I为利息额，A为本金现值，r为每期利率，n为计息期数，F为本利和（终值）2第一节基础知识一、利率有关问题（一）单利对利息不再计算利(1+r)n也称为复利终值系数。复利是一种将上期利息转为本金并一并计息的方法。假设金额A以利率r

投资了n期，投资的终值是：（二）复利例假设某投资者将1000元存入银行，存期5年，年利率10％，按年复利计息，5年后的终值是1000×(1+10％)5＝1610.51元。3(1+r)n也称为复利终值系数。复利是一种将上期利息转为本金（三）连续复利一定期限内提高计复利的频率会对复利终值产生影响。若R为年利率，则式说明一年复利一次的计算，其中A为投资额（本金现值）。设一年内计m次复利，年利率为R，投资期限为n年，则终值为：我们通常所说的利率为年利率。但每期不一定恰好是一年，一年可分为2期、4期等。此时，表示出的年利率为名义利率（每年复利n

次的年利率）。4（三）连续复利一定期限内提高计复利的频率会对复利终值产生影响设本金A＝100元，年利率n＝10%，则年末终值如下表所示复利频率100元在一年末的终值每年（m=1）110.00每半年（m＝2）110.25每季度（m=4）110.38每月（m＝12）110.47每周（m＝52）110.51每天（m＝365）110.52即：当每年复利一次时，终值为：100×(1+10％)＝110元；m=2时，终值F为：100×(1+5％)2＝110.25元；m＝4时，终值F为：100×(1+2.5％)4＝110.38元；因此，年利率10%（名义）保持不变，提高计复利的频率使100元的年末终值增大。当m＝365时，终值F＝110.52元。5设本金A＝100元，年利率n＝10%，则年末终值如下表所示复终值为:如果将计息次数m不断扩大，即计息频率不断提高，直到变为无穷大，我们称之为连续复利(continuouscompounding)：若A=100,R＝0.10,n＝1，以连续复利计终值为：100e0.1＝110.52元。（与m＝365比较）。6终值为:如果将计息次数m不断扩大，即计息频率不断提高，直到变（四）利率之间的转换在计息利率（名义）相同时，以连续复利计息的终值最大；在终值相同时，连续复利的计息利率最小。如果Rc是连续复利的利率，Rm为与之等价每年计m次复利的利率（以年利率表示），则有：所以7（四）利率之间的转换在计息利率（名义）相同时，以连续复利计息由此得出：如果分别为m1次与m2次复利的频率，则有：8由此得出：如果分别为m1次与m2次复利的频率，则有：8根据题意已知，m=2，Rm＝0.10，Rc＝2ln（1+0.1/2）＝0.09758，即连续复利的年息应为9.758％例：某特定金额的年息为10%，每半年复利一次（半年计息一次），求一个等价的连续复利的利率。例：假设某债务人借款的利息为年息8％，按连续复利计息。而实际上利息是一年支付一次。则一年计一次息（m＝1）的等价年利率为：即年利率为8.33％，这说明，对于1000元的借款，该债务人在年底要支付83.3元的利息。

9根据题意已知，m=2，Rm＝0.10，例：某特定金额的年息二、现值与贴现现值的计算过程通常被称作贴现，所用的利率称为贴现率。（一）现值按贴现率r

计算，n

期后得到的金额F的现值计算公式为：被称作现值系数。（二）连续复利现值在连续复利现值的情况下，按贴现率r计算，n年（期）后得到F元的现值计算公式为：10二、现值与贴现现值的计算过程通常被称作贴现，所用的利率称为贴三、投资性商品与消费性商品所谓投资性商品（Investmentassets）系指投资者持有的、用于投资目的的商品（如股票、债券、黄金、白银等）；消费性商品（Consumptionassets）则主要是用于消费的商品，这类商品一般不用于投资性目的（如铜、石油等）。四、合理的假定1.交易费用为零；2.所有交易的净利润适用同一税率；3.参与者能够随时以相同的无风险利率借入和贷出资金；4.当套利机会出现时，市场参与者将主动、迅速地参与套利活动。11三、投资性商品与消费性商品所谓投资性商品（Investmen第二节投资性商品的远期/期货合约定价远期价格与期货价格存在区别。但差别并不非常明显，尤其是短期，可以将其忽略。因此，讨论中所使用的符号一般既适应远期价格又适应期货价格的分析。符号的界定：T：远期合约至到期时的时间间隔（年）；S：远期合约标的资产的即期价格；F：远期价格；K：远期合约中的交割价格；f：持有远期合约多头的合约价值r：无风险利率12第二节投资性商品的远期/期货合约定价远期价格与期货价格存一、不支付收益的投资资产远期价格

最基本、最易理解的类型。例如期限内不支付任何红利的股票以及贴现债券（零息票债券）或不考虑持有成本的黄金等资产。

13一、不支付收益的投资资产远期价格最基本、最易理解的类型。例当已知连续复利时1.引例若黄金的当前价格为$1000，一年后到期的黄金远期合约价格为$1050。一年期无风险利率为4%（年复利率），不考虑黄金的持有成本与交易成本。此时，是否存在套利机会？若其他条件不变，远期价格变为$1020，此时是否存在套利机会？结论：合约到期期限内不支付收益资产的当前价格为S，到期期限为T

年的远期价格为F，无风险利率（年复利利率）为r，则有：14当已知连续复利时1.引例若黄金的当前价格为$1000，一年后2.一般分析资产即期价格为S，远期合约到期时间为T，r是无风险利率（连续复利），F为远期价格。构造如下两个投资组合：投资组合A：即期购买1单位资产投资组合B：1单位标的资产的远期合约多头+数量为Fe-rT

的现金组合B中，现金以无风险利率投资，时间T后其价值为F，正好用来交割合约购买1单位资产。组合B实际上是通过合约多头和现金组合复制了组合A中的1单位资产。在时间T后，组合A、B的价值相同。即期购买两种组合的成本应该相等，因而：152.一般分析资产即期价格为S，远期合约到期时间为T，r是无风Anotherwayofseeingthisresult,considerthefollowingstrategy:

BuyoneunitoftheassetandenterintoashortforwardcontracttosellitforF0attimeT.ThiscostsS0andiscertaintoleadtoacashinflowofF0

attimeT.S0

mustthereforeequalthepresentvalueofF0;thatisS0=F0e-rT,orequivalentlyF0=S0erT

16Anotherwayofseeingthisres3.套利分析假定F>SerT

，投资者可以：(1)以无风险利率r即期借入S，期限为T，并购买1单位资产。(2)卖出1单位标的资产的远期合约。在时间T

后，将资产按远期合约规定价格F

卖掉，同时归还借款本息SerT

，实现无风险利润。若F<SerT

，投资者可以：(1)卖空1单位资产，将所得S

以无风险利率r

进行投资，期限为T。(2)购买1单位标的资产的远期合约。在时间T

后，以价格F

交割单位资产，补回卖空的资产。可实现无风险利润。173.套利分析假定F>SerT，投资者可以：(1)以无风险讨论1，若F＝55套利者可以8％的无风险年利率借入50元，买一股股票，并在远期市场卖出合约。3个月后套利者卖出股票获55元，归还贷款总额51.01元。锁定收益为55－51.01＝3.99元。例购买一份3个月的股票远期合约，股价为50元，3个月期的无风险利率（连续复利）为8％。S＝50,r＝0.08,T＝0.25.理论远期价格F＝50×e0.08×0.25

＝51.01.讨论2，若F＝49套利者卖空股票，将所得收入进行投资，并购买3个月远期合约。收入以无风险利率投资3个月可得51.01元。此时套利者支付49元，交割合约股票，再将股票补回空头头寸，净收益为51.01－49＝2.01元。因此，在无套利的前提下，远期价格一定是51.01元。18讨论1，若F＝55例购买一份3个月的股票远期合约，股价为二、已知现金收益的投资资产的远期价格

1.一般结论其中I为标的资产在远期合约有效期间所支付的收益现值（之和）。有些投资资产，如附息债券或支付已知红利的股票，在持有期限内可提供完全预测的现金收益。19二、已知现金收益的投资资产的远期价格1.一般结论其中I为标假定F>（S-I）erT

（1）以无风险利率r借入S，期限为T，并购买1单位资产；（2）卖出1单位标的资产的远期合约；（3）将期间获取的现金收益以无风险利率投资。2.套利分析若F＜（S-I）erT

（1）卖空1单位资产，将所得收入S以无风险利率r投资，期限为T（2）购买1单位标的资产的远期合约在时间T后，将资产按价格F卖掉的同时，还可获得现金收益IerT

。归还借款本息SerT

后，实现现金净流入>0。在时间T后，以价格F交割单位资产，补回卖空的资产，并需支付现金收益IerT

。这样，在时刻T实现现金净流入（利润）>0。20假定F>（S-I）erT2.套利分析若F＜（S-I）BuyoneunitoftheassetandenterintoashortforwardcontracttosellitforF0attimeT.ThiscostsS0

andiscertaintoleadtoacashinflowofF0

attimeTandincomewithapresentvalueofI.TheinitialoutflowisS0,thepresentvalueoftheinflowsisF0e-rT+I.HenceS0=F0e-rT+IorequivalentlyF0=(S0-I)erTAnotherwayofseeingthisresult,considerthefollowingstrategy:21Buyoneunitoftheassetand案例分析面值1000元债券当前价格为900元，息票利率为8％，每半年付息一次。若远期合约期限为1年，债券在5年之后到期。在合约有效期限内该债券共支付两次利息，其中第二次付息日是远期合约交割日的前一天。6个月期和1年期连续复利的无风险年利率分别为9％和10％。债券利息的现值：

I=40e-0.09×0.5+40e-0.1×1=38.24+36.19=74.43远期价格：F=(900.00-74.43)e0.1×1＝912.39元22案例分析债券利息的现值：I=40e-0.09×0.5+40讨论1：若远期价格为920元借入900元购买债券，并开立远期合约空头。该债券在6个月之后支付40美元现金收益，其现值为：40e-0.09×0.5=38.24在900元中，38.24元可以以9％的年利率借入6个月，在首次付息日收到40元之后偿还本金和利息，余下的861.76元则须以10％的年利率借入1年。1年后所归还的本利和为：861.76e0.1×1＝952.39债券第二次付息收到40元，以远期合约价格卖出债券可获920元，净盈利为40+920－952.39＝7.67元讨论2：若远期价格为910元（略）23讨论1：若远期价格为920元借入900元购买债券，并开立远期三、已知红利率(KnownYield)投资资产远期价格

已知红利收益率系指表示为资产价格百分比的收益是已知的。如货币、股票指数等可以认为属该类资产。1.一般性结论假设已知收益率为q（连续复利），则有：投资组合A：即期购买单位资产投资组合B：1单位该标的资产的远期合约多头+

的现金投资组合A在T时间后其价格正好等于1单位资产的价值。投资组合B中的现金以无风险利率投资，T时间后正好可以用于交割一单位资产。即时间T后，投资组合A和B具有相同的价值。期初价值也应相同：24三、已知红利率(KnownYield)投资资产远期价格已2.套利分析如果F>Se(r-q)T，套利者可以买入资产，卖出远期合约来实现无风险利润：F-Se(r-q)T。如果F<Se(r-q)T，套利者可以买进远期合约，卖出资产，在T时刻获得无风险利润：Se(r-q)T-F。假设一个6个月期某资产的远期合约，该资产预期提供年率6%的连续红利收益率，无风险利率为每年10%（连续复利），资产当前价格为60元。此时，S＝60，r＝0.1，T＝0.5，q＝0.06，则该合约的远期价格为：F＝60×e(0.1-0.06)*0.5=61.22元252.套利分析如果F>Se(r-q)T，套利者可以买入资产，四、考虑储存成本的投资类商品远期价格对于商品期货范畴下的投资类商品，如黄金、白银等，如果不考虑存储成本，可以视为不支付收益的投资类商品，其远期价格为F=SerT若考虑存储成本。存储成本可视为负收益。设U为合约有效期间所有存储成本的现值，则有远期价格：F=(S+U)erT或F=Se(r+u)Tu为存储成本与现货价格的比例

26四、考虑储存成本的投资类商品远期价格对于商品期货范畴下的投资假设有黄金的一年期远期合约。黄金的存储成本为每年每盎司2美元，规定在年底支付。若黄金现货价格为850美元，连续复利的无风险利率为每年7%。于是：r=0.07，S=1050，T=1。首先计算储存成本的现值：U=2e-0.07=1.865。远期价格为F=(S+U)erT

=(1050+1.865)e0.0727假设有黄金的一年期远期合约。黄金的存储成本为每年每盎司2美元对于持有目的主要不是投资的商品，前面的价格分析应做调整。持有消费类商品（库存）不是因为其具有投资价值，而是因为具有消费价值，能够为其正常的生产经营或消费提供较大的便利，并且存在可能的现货市场盈利机会。这些好处被称之为便利收益(convenienceyield)。所以，若存在上述套利机会，他们可能不会积极主动地出售商品购买期货合约，因为期货（远期）合约不能用作即时的消费或带来所需的便利。第三节消费性商品远期价格确定28对于持有目的主要不是投资的商品，前面的价格分析应做调整。持有当F＞(S+U)erT

时，无论是消费类商品合约还是投资类商品合约都不可能存在，因为套利者可以卖出远期合约而购买现货进行套利，同时不会失去便利收益。而当F＜(S+U)erT

时，对于消费类商品合约而言则由于便利收益的存在而有可能长期存在。所以，对于消费类商品及远期价格，有：

F≤(S+U)erT

或

F≤Se(r+u)T若便利收益率为y（以连续复利表示），则：或29当F＞(S+U)erT时，无论是消费类商品合约还是投资3.持有成本对于任何合约，其与现货价格之间的关系可以用持有成本(costofcarry)来描述总结。持有成本定义为商品的存储成本与购买资产的融资成本（利息）之和减去资产的收益之值。就不支付红利的股票或零息票债券而言，由于无存存储成本和任何收益，其持有成本体现为r.对于股票指数或外币等商品，持有成本则体现为r-q（资产的收益率为q）.对于储存成本与价格成比例而无收益的商品而言，持有成本体现为r+u。等。期货理论价格=现货价格+持有成本303.持有成本对于任何合约，其与现货价格之间的关系可以用持有成设持有成本率为c。对于投资性资产，远期价格为：对于消费性资产，远期价格为：(c为年复利率时）(c和y均为年复利率时）或或31设持有成本率为c。对于投资性资产，远期价格为：对于消费性资产第四节远期合约估价根据无套利均衡理论，远期合约的均衡价格是保证开仓时合约价值为零的价格。但在开仓之后，远期合约的价值将会因远期价格的变化而不可能长久保持为零。

一般性远期合约的估价方法（多头）：

f=(F-K)e-rT

当f＝0时，远期合约价值为0。当f>0时，交割价格为K的期货合约多头头寸具有价值。当f<0时，交割价格为K的期货合约空头头寸具有价值。32第四节远期合约估价根据无套利均衡理论，远期合约的均衡价格将上述公式与F=SerT

结合，可得到不支付收益的投资资产的远期合约价值（多头，下同）为：f=S-Ke-rT

与公式F=（S-I）erT

结合，可以得到已知现金收益（现值为I）投资资产的远期合约价值为：

f=S-I-Ke-rT与公式F=Se(r-q)T

结合，可以得到已知红利率为q的投资资产的远期合约价值为f=

Se-qT-Ke-rT

33将上述公式与F=SerT结合，可得到不支付收益的投资资产远期价格：F＝26×e0.1×0.5＝27.33美元交割价格为K的期货合约价值：f＝(F－K)e-0.1×0.5＝（27.33－25）e-0.1×0.5

＝2.22美元或：f＝S－Ke-rT＝26－25×e-0.1×0.5＝2.22美元案例假设一个6个月期的远期合约多头头寸，标的资产为在合约有效期内不支付红利的股票，连续复利的无风险年利率为10％，股票价格S为26美元，交割价格K为25美元.34远期价格：案例34第五节远期价格与期货价格远期价格应与期货价格存在一定差别，这主要是由于结算方式的不同所导致。理论已证明：当无风险利率恒定且对所有到期日都相同时，或者利率完全可预测时，两个交割日相同的远期与期货合约有同样的价格。实际上利率会经常出现波动.若现货价格与利率正相关，期货价格应高于远期价格；现货价格与利率负相关性时，期货价格应低于远期价格。另外，还有一些影响因素，如税收、交易成本与保证金因素等；同时，违约风险的不同、期货合约流动性高的不同等事实，同样也是造成二者可能存在差异的原因之一。不过，有效期较短（如几个月）的远期价格与期货价格之间的理论差异微乎其微，在大数情况下可以忽略不计

35第五节远期价格与期货价格远期价格应与期货价格存在一定差第六节几种重要的期货定价概述

一、股票指数期货定价股票指数可以看成证券的组合，持有组合证券的投资者可得到红利，即计算指数的各种股票的平均红利。股票指数的期货可以视作支付已知红利收益率的资产.如果指数中股票组合收到的红利金额总数及时间分布可以测算，也可视股票指数期货合约为已知收益的证券.

F=Se(r-q)T或F=(S-I)erT36第六节几种重要的期货定价概述一、股票指数期货定价36考虑一个S＆P500指数的3个月期期货合约。假设用来计算指数的股票的红利收益率为每年3%，指数现值为400，连续复利的无风险利率为每年8%。此时，r=0.08,S=400,T=0.25,q=0,03则期货价格F为：实际上，计算指数的股票组合的红利收益率一年可能每周都在变化。

q值应代表合约有效期间的平均红利年收益率。37考虑一个S＆P500指数的3个月期期货合约。假设用来计算指数二、货币期货定价主要的自由货币都有远期/期货交易，如美元、英镑、日元、加拿大元、欧元等期货合约。外汇期货合约的价格通常是用1单位外币相当于若干本币来表示。以S表示某种货币折合成本币的即期价格，也就是期货合约标的物的市场价格，由于持有任何一种外币都能使持有者获得该货币的无风险利率，以rf表示按连续复利计息的外汇的无风险利率。F=Se(r-rf)T

反映了外汇期货理论价格，是国际金融领域著名的利率平价关系。38二、货币期货定价主要的自由货币都有远期/期货交易，如美元、英三、利率期货定价详见下章3939专题讨论

期货价格与预期未来的现货价格关系40专题讨论

期货价格与预期未来的现货价格关系40FuturesPrices&ExpectedFutureSpotPricesSupposekistheexpectedreturnrequiredbyinvestorsonanassetWecaninvestF0e–rTnowtogetSTbackatmaturityofthefuturescontractThisshowsthatF0=E(ST)e(r–k)TIftheassethas-no

systematicrisk,thenk=randF0isanunbiasedestimateofST-positivesystematicrisk,then k>randF0<E(ST)-negativesystematicrisk,then k<randF0>E(ST)41FuturesPrices&ExpectedFutu本章结束42本章结束42第七章远期与期货定价DeterminationofForwardandFuturesPrices43第七章远期与期货定价DeterminationofF第一节基础知识一、利率有关问题（一）单利对利息不再计算利息，计算公式是：I=AnrF=A(1+nr)式中，I为利息额，A为本金现值，r为每期利率，n为计息期数，F为本利和（终值）44第一节基础知识一、利率有关问题（一）单利对利息不再计算利(1+r)n也称为复利终值系数。复利是一种将上期利息转为本金并一并计息的方法。假设金额A以利率r

投资了n期，投资的终值是：（二）复利例假设某投资者将1000元存入银行，存期5年，年利率10％，按年复利计息，5年后的终值是1000×(1+10％)5＝1610.51元。45(1+r)n也称为复利终值系数。复利是一种将上期利息转为本金（三）连续复利一定期限内提高计复利的频率会对复利终值产生影响。若R为年利率，则式说明一年复利一次的计算，其中A为投资额（本金现值）。设一年内计m次复利，年利率为R，投资期限为n年，则终值为：我们通常所说的利率为年利率。但每期不一定恰好是一年，一年可分为2期、4期等。此时，表示出的年利率为名义利率（每年复利n

次的年利率）。46（三）连续复利一定期限内提高计复利的频率会对复利终值产生影响设本金A＝100元，年利率n＝10%，则年末终值如下表所示复利频率100元在一年末的终值每年（m=1）110.00每半年（m＝2）110.25每季度（m=4）110.38每月（m＝12）110.47每周（m＝52）110.51每天（m＝365）110.52即：当每年复利一次时，终值为：100×(1+10％)＝110元；m=2时，终值F为：100×(1+5％)2＝110.25元；m＝4时，终值F为：100×(1+2.5％)4＝110.38元；因此，年利率10%（名义）保持不变，提高计复利的频率使100元的年末终值增大。当m＝365时，终值F＝110.52元。47设本金A＝100元，年利率n＝10%，则年末终值如下表所示复终值为:如果将计息次数m不断扩大，即计息频率不断提高，直到变为无穷大，我们称之为连续复利(continuouscompounding)：若A=100,R＝0.10,n＝1，以连续复利计终值为：100e0.1＝110.52元。（与m＝365比较）。48终值为:如果将计息次数m不断扩大，即计息频率不断提高，直到变（四）利率之间的转换在计息利率（名义）相同时，以连续复利计息的终值最大；在终值相同时，连续复利的计息利率最小。如果Rc是连续复利的利率，Rm为与之等价每年计m次复利的利率（以年利率表示），则有：所以49（四）利率之间的转换在计息利率（名义）相同时，以连续复利计息由此得出：如果分别为m1次与m2次复利的频率，则有：50由此得出：如果分别为m1次与m2次复利的频率，则有：8根据题意已知，m=2，Rm＝0.10，Rc＝2ln（1+0.1/2）＝0.09758，即连续复利的年息应为9.758％例：某特定金额的年息为10%，每半年复利一次（半年计息一次），求一个等价的连续复利的利率。例：假设某债务人借款的利息为年息8％，按连续复利计息。而实际上利息是一年支付一次。则一年计一次息（m＝1）的等价年利率为：即年利率为8.33％，这说明，对于1000元的借款，该债务人在年底要支付83.3元的利息。

51根据题意已知，m=2，Rm＝0.10，例：某特定金额的年息二、现值与贴现现值的计算过程通常被称作贴现，所用的利率称为贴现率。（一）现值按贴现率r

计算，n

期后得到的金额F的现值计算公式为：被称作现值系数。（二）连续复利现值在连续复利现值的情况下，按贴现率r计算，n年（期）后得到F元的现值计算公式为：52二、现值与贴现现值的计算过程通常被称作贴现，所用的利率称为贴三、投资性商品与消费性商品所谓投资性商品（Investmentassets）系指投资者持有的、用于投资目的的商品（如股票、债券、黄金、白银等）；消费性商品（Consumptionassets）则主要是用于消费的商品，这类商品一般不用于投资性目的（如铜、石油等）。四、合理的假定1.交易费用为零；2.所有交易的净利润适用同一税率；3.参与者能够随时以相同的无风险利率借入和贷出资金；4.当套利机会出现时，市场参与者将主动、迅速地参与套利活动。53三、投资性商品与消费性商品所谓投资性商品（Investmen第二节投资性商品的远期/期货合约定价远期价格与期货价格存在区别。但差别并不非常明显，尤其是短期，可以将其忽略。因此，讨论中所使用的符号一般既适应远期价格又适应期货价格的分析。符号的界定：T：远期合约至到期时的时间间隔（年）；S：远期合约标的资产的即期价格；F：远期价格；K：远期合约中的交割价格；f：持有远期合约多头的合约价值r：无风险利率54第二节投资性商品的远期/期货合约定价远期价格与期货价格存一、不支付收益的投资资产远期价格

最基本、最易理解的类型。例如期限内不支付任何红利的股票以及贴现债券（零息票债券）或不考虑持有成本的黄金等资产。

55一、不支付收益的投资资产远期价格最基本、最易理解的类型。例当已知连续复利时1.引例若黄金的当前价格为$1000，一年后到期的黄金远期合约价格为$1050。一年期无风险利率为4%（年复利率），不考虑黄金的持有成本与交易成本。此时，是否存在套利机会？若其他条件不变，远期价格变为$1020，此时是否存在套利机会？结论：合约到期期限内不支付收益资产的当前价格为S，到期期限为T

年的远期价格为F，无风险利率（年复利利率）为r，则有：56当已知连续复利时1.引例若黄金的当前价格为$1000，一年后2.一般分析资产即期价格为S，远期合约到期时间为T，r是无风险利率（连续复利），F为远期价格。构造如下两个投资组合：投资组合A：即期购买1单位资产投资组合B：1单位标的资产的远期合约多头+数量为Fe-rT

的现金组合B中，现金以无风险利率投资，时间T后其价值为F，正好用来交割合约购买1单位资产。组合B实际上是通过合约多头和现金组合复制了组合A中的1单位资产。在时间T后，组合A、B的价值相同。即期购买两种组合的成本应该相等，因而：572.一般分析资产即期价格为S，远期合约到期时间为T，r是无风Anotherwayofseeingthisresult,considerthefollowingstrategy:

BuyoneunitoftheassetandenterintoashortforwardcontracttosellitforF0attimeT.ThiscostsS0andiscertaintoleadtoacashinflowofF0

attimeT.S0

mustthereforeequalthepresentvalueofF0;thatisS0=F0e-rT,orequivalentlyF0=S0erT

58Anotherwayofseeingthisres3.套利分析假定F>SerT

，投资者可以：(1)以无风险利率r即期借入S，期限为T，并购买1单位资产。(2)卖出1单位标的资产的远期合约。在时间T

后，将资产按远期合约规定价格F

卖掉，同时归还借款本息SerT

，实现无风险利润。若F<SerT

，投资者可以：(1)卖空1单位资产，将所得S

以无风险利率r

进行投资，期限为T。(2)购买1单位标的资产的远期合约。在时间T

后，以价格F

交割单位资产，补回卖空的资产。可实现无风险利润。593.套利分析假定F>SerT，投资者可以：(1)以无风险讨论1，若F＝55套利者可以8％的无风险年利率借入50元，买一股股票，并在远期市场卖出合约。3个月后套利者卖出股票获55元，归还贷款总额51.01元。锁定收益为55－51.01＝3.99元。例购买一份3个月的股票远期合约，股价为50元，3个月期的无风险利率（连续复利）为8％。S＝50,r＝0.08,T＝0.25.理论远期价格F＝50×e0.08×0.25

＝51.01.讨论2，若F＝49套利者卖空股票，将所得收入进行投资，并购买3个月远期合约。收入以无风险利率投资3个月可得51.01元。此时套利者支付49元，交割合约股票，再将股票补回空头头寸，净收益为51.01－49＝2.01元。因此，在无套利的前提下，远期价格一定是51.01元。60讨论1，若F＝55例购买一份3个月的股票远期合约，股价为二、已知现金收益的投资资产的远期价格

1.一般结论其中I为标的资产在远期合约有效期间所支付的收益现值（之和）。有些投资资产，如附息债券或支付已知红利的股票，在持有期限内可提供完全预测的现金收益。61二、已知现金收益的投资资产的远期价格1.一般结论其中I为标假定F>（S-I）erT

（1）以无风险利率r借入S，期限为T，并购买1单位资产；（2）卖出1单位标的资产的远期合约；（3）将期间获取的现金收益以无风险利率投资。2.套利分析若F＜（S-I）erT

（1）卖空1单位资产，将所得收入S以无风险利率r投资，期限为T（2）购买1单位标的资产的远期合约在时间T后，将资产按价格F卖掉的同时，还可获得现金收益IerT

。归还借款本息SerT

后，实现现金净流入>0。在时间T后，以价格F交割单位资产，补回卖空的资产，并需支付现金收益IerT

。这样，在时刻T实现现金净流入（利润）>0。62假定F>（S-I）erT2.套利分析若F＜（S-I）BuyoneunitoftheassetandenterintoashortforwardcontracttosellitforF0attimeT.ThiscostsS0

andiscertaintoleadtoacashinflowofF0

attimeTandincomewithapresentvalueofI.TheinitialoutflowisS0,thepresentvalueoftheinflowsisF0e-rT+I.HenceS0=F0e-rT+IorequivalentlyF0=(S0-I)erTAnotherwayofseeingthisresult,considerthefollowingstrategy:63Buyoneunitoftheassetand案例分析面值1000元债券当前价格为900元，息票利率为8％，每半年付息一次。若远期合约期限为1年，债券在5年之后到期。在合约有效期限内该债券共支付两次利息，其中第二次付息日是远期合约交割日的前一天。6个月期和1年期连续复利的无风险年利率分别为9％和10％。债券利息的现值：

I=40e-0.09×0.5+40e-0.1×1=38.24+36.19=74.43远期价格：F=(900.00-74.43)e0.1×1＝912.39元64案例分析债券利息的现值：I=40e-0.09×0.5+40讨论1：若远期价格为920元借入900元购买债券，并开立远期合约空头。该债券在6个月之后支付40美元现金收益，其现值为：40e-0.09×0.5=38.24在900元中，38.24元可以以9％的年利率借入6个月，在首次付息日收到40元之后偿还本金和利息，余下的861.76元则须以10％的年利率借入1年。1年后所归还的本利和为：861.76e0.1×1＝952.39债券第二次付息收到40元，以远期合约价格卖出债券可获920元，净盈利为40+920－952.39＝7.67元讨论2：若远期价格为910元（略）65讨论1：若远期价格为920元借入900元购买债券，并开立远期三、已知红利率(KnownYield)投资资产远期价格

已知红利收益率系指表示为资产价格百分比的收益是已知的。如货币、股票指数等可以认为属该类资产。1.一般性结论假设已知收益率为q（连续复利），则有：投资组合A：即期购买单位资产投资组合B：1单位该标的资产的远期合约多头+

的现金投资组合A在T时间后其价格正好等于1单位资产的价值。投资组合B中的现金以无风险利率投资，T时间后正好可以用于交割一单位资产。即时间T后，投资组合A和B具有相同的价值。期初价值也应相同：66三、已知红利率(KnownYield)投资资产远期价格已2.套利分析如果F>Se(r-q)T，套利者可以买入资产，卖出远期合约来实现无风险利润：F-Se(r-q)T。如果F<Se(r-q)T，套利者可以买进远期合约，卖出资产，在T时刻获得无风险利润：Se(r-q)T-F。假设一个6个月期某资产的远期合约，该资产预期提供年率6%的连续红利收益率，无风险利率为每年10%（连续复利），资产当前价格为60元。此时，S＝60，r＝0.1，T＝0.5，q＝0.06，则该合约的远期价格为：F＝60×e(0.1-0.06)*0.5=61.22元672.套利分析如果F>Se(r-q)T，套利者可以买入资产，四、考虑储存成本的投资类商品远期价格对于商品期货范畴下的投资类商品，如黄金、白银等，如果不考虑存储成本，可以视为不支付收益的投资类商品，其远期价格为F=SerT若考虑存储成本。存储成本可视为负收益。设U为合约有效期间所有存储成本的现值，则有远期价格：F=(S+U)erT或F=Se(r+u)Tu为存储成本与现货价格的比例

68四、考虑储存成本的投资类商品远期价格对于商品期货范畴下的投资假设有黄金的一年期远期合约。黄金的存储成本为每年每盎司2美元，规定在年底支付。若黄金现货价格为850美元，连续复利的无风险利率为每年7%。于是：r=0.07，S=1050，T=1。首先计算储存成本的现值：U=2e-0.07=1.865。远期价格为F=(S+U)erT

=(1050+1.865)e0.0769假设有黄金的一年期远期合约。黄金的存储成本为每年每盎司2美元对于持有目的主要不是投资的商品，前面的价格分析应做调整。持有消费类商品（库存）不是因为其具有投资价值，而是因为具有消费价值，能够为其正常的生产经营或消费提供较大的便利，并且存在可能的现货市场盈利机会。这些好处被称之为便利收益(convenienceyield)。所以，若存在上述套利机会，他们可能不会积极主动地出售商品购买期货合约，因为期货（远期）合约不能用作即时的消费或带来所需的便利。第三节消费性商品远期价格确定70对于持有目的主要不是投资的商品，前面的价格分析应做调整。持有当F＞(S+U)erT

时，无论是消费类商品合约还是投资类商品合约都不可能存在，因为套利者可以卖出远期合约而购买现货进行套利，同时不会失去便利收益。而当F＜(S+U)erT

时，对于消费类商品合约而言则由于便利收益的存在而有可能长期存在。所以，对于消费类商品及远期价格，有：

F≤(S+U)erT

或

F≤Se(r+u)T若便利收益率为y（以连续复利表示），则：或71当F＞(S+U)erT时，无论是消费类商品合约还是投资3.持有成本对于任何合约，其与现货价格之间的关系可以用持有成本(costofcarry)来描述总结。持有成本定义为商品的存储成本与购买资产的融资成本（利息）之和减去资产的收益之值。就不支付红利的股票或零息票债券而言，由于无存存储成本和任何收益，其持有成本体现为r.对于股票指数或外币等商品，持有成本则体现为r-q（资产的收益率为q）.对于储存成本与价格成比例而无收益的商品而言，持有成本体现为r+u。等。期货理论价格=现货价格+持有成本723.持有成本对于任何合约，其与现货价格之间的关系可以用持有成设持有成本率为c。对于投资性资产，远期价格为：对于消费性资产，远期价格为：(c为年复利率时）(c和y均为年复利率时）或或73设持有成本率为c。对于投资性资产，远期价格为：对于消费性资产第四节远期合约估价根据无套利均衡理论，远期合约的均衡价格是保证开仓时合约价值为零的价格。但在开仓之后，远期合约的价值将会因远期价格的变化而不可能长久保持为零。

一般性远期合约的估价方法（多头）：

f=(F-K)e-rT

当f＝0时，远期合约价值为0。当f>0时，交割价格为K的期货合约多头头寸具有价值。当f<0时，交割价格为K的期货合约空头头寸具有价值。74第四节远期合约估价根据无套利均衡理论，远期合约的均衡价格将上述公式与F=SerT

结合，可得到不支付收益的投资资产的远期合约价值（多头，下同）为：f=S-Ke-rT

与公式F=（S-I）erT

结合，可以得到已知现金收益（现值为I）投资资产的远期合约价值为：

f=S-