吉大材料力学

§5.5纯弯曲理论对某些问题的扩充§5.6弯曲中心§5.7提高梁弯曲强度的主要措施如何简化出火车车轮轴的计算模型?如何计算火车车轮轴内的应力?如何设计车轮轴的横截面?ωFF

§5.1

纯弯曲及其变形MeFQFQ0MM=Me=cMe概念:FQ=0纯弯曲M=

c(c为常数)FQ≠

0M≠cFFaaQFFFa横力弯曲首先研究纯弯曲时横截面上的应力问题已知是横截面上的正应力组成了M，F但如何分布，大小都是未知，所以求解应力的问题

M属静不定问题中性层曲率-----1/中性轴--中性层与横截面的交线(z)横向线--直线--斜直线--夹角d缩短纵向线--直线--弯曲伸长画线观察一、实验观察(

=0)zyMMd二`、推理假设表面

里边1.平面假设---变形前为平面的横截面变形后仍为平面,且垂直于变形后的轴线γ=0 τ

=0

2.纵向纤维互不挤压(纵向纤维间无)结

论:

对于均质,连续的等截面直梁在纯弯时,横截面上只产生正应力.(与横截面的形状无关)。§5.2纯弯曲时梁横截面上的正应力ρdydx㆒、变形几何关系（应变-位移）凹边变弯缩短

（-）中性层上变弯

无

凸边变弯伸长

（+）d

dx

(dx)

(

y)d

d

y只要平面假设成立,则纵向纤维的线应变与它到中性轴的距离成正比,沿y轴线性分布。设

pEt=Ec=E

E

E

y

cy㆓.物理关系(

)横截面上沿y轴线性分布,中性轴上=0.Et为材料拉伸弹性模量,Ec为压缩弹性模量.zE

S

=0EAydA=0三`静力关系FN=

AdA=0中性轴过形心EAyz

dA=0EyzI

=0y

AM

=

z

dA=0

y,z为形心主轴

E

yxzdAycEIZ1

MEIz为抗弯刚度

M

yIZMz=AydA=MEA2y

dA=

M

E

yxzdAyc几点：M必须作用在与形心主惯性平面相重合或平行的平面必须是平面弯曲;横截面可为任何实体,空心(非薄壁)面;若EtEc

,要分别导出公式;平面弯曲,单一材料,p,则中性轴一定过形心。的适用条件:IZM

y公式

平面弯曲纯弯曲p

,

Et=Ec等截面直梁§5.3

横力弯曲时梁横截面上的正应力弯曲正应力强度条件㊀、横力弯曲FFQM

有横截面翘曲平面假设不成立当FQ=C¸各横截面翘曲相同，因横截面翘曲不会引起附加线应变和正应力。IZ用公式

M

y计算仍是完全正确的，q当FQC各横截面翘曲不相同IZMy

理论分析与实验表明当

L/h

4用公式计算,其影响小于1.7工程上完全是允许将纯弯曲等截面直梁条件放松公式推广横力弯曲变截面梁折梁曲梁IZ

MZ

yIZ

M

(

x)

y1.塑性材料㊁.弯曲正应力强度条件注意:当梁为变截面梁时,max

并不一定发生在|

M

|max

所在面上.zIy

max

M

maxmax令I

/y

=Wzz

maxWz

抗弯截面系数2.脆性材料因为: [t

]

<

[c

]所以分别建立强度条件当弯矩有极值正弯矩和负弯矩时,tmaxcmax都不一定发生在哪个截面上(当截面对中性轴不对称时)注意:z

zc

maxt

maxct

max

t c

max

I

M

max

ycI

M

max

yt㊃.应用弯曲正应力强度条件解题步骤工件C例

5.1

已知[σ]=140MPa.求[F]2a

aAB201430zABxFC1212

1.07cm41.4

233

23Iz

ABxFCa+MWzmax

[]

Mmaxmax

BM

=M

=FazFa

W

[σ]aF

WZ[

]a[F]

WZ[

]

3000N例5.2已知F,G1,q,L,[σ],选择工字钢截面.4Mmax

(F

G1

)LF+G1

q

|

l/2 |

l/2|(+)MF+G1x4

1

(F

G

)LWzmax

[]

MmaxzM[]

1001cm3W

maxMqx8(+)qL2(+)MF+G1x4(F

G1

)L查表40a工字钢Wz=1090cm3q=67.6kg/mM总

Mmax

MqWzmax137.34MPa

[]

M总满足强度条件ACDFAy1mB1m

FBy1mxF1=9kNF2=4kN例5.3已知[σt],[σc],Iz,|y1

|,|y2|,试校核梁的强度.解:

求支反力为FAy=2.5kNFBy=10.5kNzy2ycABCD1m1m

1my=27.2MPaIzM

yB

1B截面:σtmax=-+M

2.5kN.m4kN.mxIzM

yB

2σ

=c

max=46.7MPaM

yc

2Izσ

=tmax=28.8MPaC截面:故分别进行校核.tmax

[t

]cmax

[c

]故满足强度条件§5.4

横力弯曲时梁横截面上的切应力弯曲切应力强度条件㊀

.矩形截面

(设h>b)1.假设的分布://FQ且方向同FQ沿b均布xFh2h2yFQzbm

mM

M+dM`

xr

pn

ndxFN1τ`τ`=τFN2FN2>FN1有τ`FN2-FN1=τ`dx

bFx

0Fxdx2.τ的大小取出dx段切dx段∫A*

y1dA=

Sz*IZFN2=A*σdA

=

M+dM

S*ZZ=

MIA*ydA1

=MIZ

ZSZ*zS

*因此τ`=Izb

dMdxzFQ

S

*Iz

bτ=FN2-FN1=τ`dx

bFN1=A*σh2h2byFQ1y

ydAzA*τ沿y轴抛物线分布A*h2h2byFQyy11dy当y=0

时3FQmaxτ

=2b

h=1.5τ平均z

τmax*对某一截面而言,τ

随Sz

变㊁.工字形截面maxzFQ

S

*Iz

bτ=thHbyy翼缘FQmaxτ腹

≈FQA腹τmaxd腹板zA*

ττmin㊂.圆形截面弹性力学结论:τmax=1.38τ平dyzτmaxFQmaxτ

=FQSz*zI

b=

4FQ3A=1.33τ

平㊃.闭口薄壁截面zyyzτmaxτ与周边相切沿壁厚均匀分布,形成切应力流.FQFQτmax㊄.需要对切应力进行强度校核的情况⒈短梁和集中力靠近支座⒉木梁⒊焊,铆或胶合而成的梁⒋薄壁截面梁㊅.弯曲切应力强度条件对于等直梁

τmax≤[τ]I

bzS*FQmax

max

zmax

[

]解:作FQ

M图Fzhlbmaxτ

=2A3F=Q

3F2bhFQFxMFl例5.4

已知F

b

h

l求σmaxτmax=max=MmaxWz6plbh2故=4σmaxτmaxlhF例.5.5:两个相同材料的矩形截面叠梁.设两梁间无摩檫,求σmaxMmax=

Fl

2max=WzMmax

=

12Flbh2解:每梁的变形相同任一梁的端处所受外力均为F2h/2blFh/2σmax在 端有一直径为d的螺栓,求σmax及螺栓截面的FQ1lFdσmaxmaxσ

=MmaxWz=

6Flbh2解:两梁作为一整体Mmax

=Fl故据切应力互等定理,中性层面有均匀分布的τmax求剪力FQ

1在中性轴处有垂直中性轴2A

2bhmax

3F

3FQlFd2hmaxQ1bl

3FlF

其合力与FQ1平衡,即§5.5

纯弯理论对某些问题的扩充Izσ=

M

y计算横力弯曲㈠ 扩充到横力弯曲问题由弹性力学的精确分析表明当Lh≥4

时其影响小于1.7%因而此时也可用公式bhh2121zyaσ1=E1ε1σ2=E2ε2ε1ε2㈡组合梁的弯曲正应力E1yρE2yρ和

1

=Mz可得:σx1=E1I1+

E2I2σx2

=

z

1

ρM

E

yE1I1+

E2I2M

E

y

z

2

E1I1+

E2I2§5.6

弯曲中心一.什么叫弯曲中心截面上切应力合力的作用点叫弯心,也称剪心注意

弯心只与截面的形状和尺寸有关,是

一个几何点,是截面的几何性质.二.只弯不扭的条件当横向力F通过弯心时,则梁只弯而不扭,弯心也称为扭心.三.产生平面弯曲的条件充分条件:梁截面有纵 称轴,梁有纵向对称面,所有载荷包括支反力都作用在纵称面内,则梁一定产生平面弯曲.必要条件:横向力过弯心且平行主形心惯性轴.⒉有一个对称轴,则一定在对称轴上;⒊有几支组成,则在支的交点上.•四.常见截面弯心的大致位置⒈有两个对称轴,形心即是.•••

••••§5.7

提高弯曲强度的主要措施弯曲强度主要取决于σmax㈠

合理安排梁的受力情况⒈合理设计和布置支座lqxMql2/2(a)max=Mmax

≤[σ]WzMmax=

1

ql22=0.5ql2。。q(b)Mxlql2/8lq0.2l。。0.2lxM

ql2/40=0.125ql2ql2Mmax=

8=0.025ql2ql2