课件-工程力学第五章

2第五章材料的力学性能力的平衡条件变形几何协调条件力与变形间的物理关系变形体力学，研究主线：5.1

概述不同材料，在不同载荷作用下，力学性能不同。构件必须“强”，不发生破坏；必须“刚硬”，不因变形过大而影响正常工作。材料变形直至破坏的行为？什么条件下会发生破坏？如何控制设计才能保证构件有必要的强度和刚度？35.2低碳钢拉伸应力—应变曲线常用拉伸试样(圆截面):标距长度：l

=10d

或5d施加拉伸载荷F，记录F—l曲线;或(=F/A)—(=l/l

)曲线。低碳钢拉伸应力—应变曲线:颈缩阶段：到k点发生断裂。四个阶段：弹性阶段：卸载后变形可恢复。屈服阶段：变形迅速增大，材料似乎失去抵抗变形的能力。oepsybk颈缩强化阶段：恢复抵抗变形的能力。k'

弹性屈服强化

颈缩4由-曲线定义若干重要的比例极限p：=E材料性能和指标：弹性模量(Elastic

Modulus)。弹性极限e：屈服极限或屈服强度(yield

strength)

ys：opsybkk'yspe

eE15E总应变是弹性应变与塑性应变之和。弹性应变和塑性应变强化阶段卸载，可使屈服极限ys提高，应变硬化：反映材料是否破坏的重要强度指标。塑性变形减小。（如预应力钢筋等）。极限强度(ultimate

strength)

b：bysE1A'e1o

pep

A

bB

s屈服后卸载，卸载线斜率为E。残余的塑性应变为p；恢复的弹性应变为e，则有：=e+p

.60ln

l1

l0

100

%延性和脆性：延伸率n:A0

A0

A1

100%面缩率：度量材料塑性性能的重要指标。延性材料：>5%,

如低碳钢、低合金钢、青铜等脆性材料：<5%,如铸铁、硬质合金、石料等。低碳钢，约25%左右，约为60%。1A1A07材料的力学性能（或机械性能）指标为：弹性指标：弹性模量E:材料抵抗弹性变形的能力强度指标：屈服强度ys

-材料发生屈服极限强度b

-材料发生破坏延性指标：延伸率

和/或

面缩率。opesybkk'bysE18前节回顾：低碳钢拉伸-曲线总应变为:

=e+p弹性应变和塑性应变材料的力学性能指标为：弹性：E;强度：ys

or

0.2;

b

;延性指标：

,

。oepk颈缩k'bysE1弹性屈服

强化

颈缩bysEEA'e1

1o

pepbys

A

bB

s5.3

不同材料拉伸压缩时的机械性能1)不同材料的拉伸—曲线脆性材料无ys,无颈缩，强度指标b。延性材料可以没有屈服平台，名义屈服强度0.2为产生0.2%塑性应变时的应力。弹性阶段--间也可有非线性关系。

(%)0200A3钢(Q235)10

2016Mn

(MPa)500

(%)0.5

1

(MPa)500灰铸铁玻璃钢0

0200

200

(MPa)500铝合金球墨铸铁青铜20

(%)0

0.2p=

0.2%102)压缩时的机械性能压缩与拉伸的-曲线关于原点对称。有基本相同的E、ys。材料愈压愈扁，往往测不出抗压极限强度。延性材料:拉、压缩机械性能常常有较大的区别，抗压极限强度bc>>抗拉极限强度bt。如铸铁、混凝土、石料等。脆性材料：oys(a)低碳钢拉伸压缩ysobtbc(b)铸铁11低碳钢压缩,愈压愈扁铸铁压缩,约45开裂123)泊松(Poisson)比沿载荷方向（纵向）的应变:

1=L/

L0

;垂直于载荷方向（横向）的应变：2=(d-d0)/d0=-d/d0材料沿加载方向伸长/缩短的同时，在垂直于加载方向发生的缩短/伸长现象。泊松效应:横向与纵向应变之比的负值。=-2/1.一般，弹性阶段，=0.25-0.35。塑性阶段，=0.5。泊松比:xyzLdV0=abcx=，材料体元纵向应变则横向应变y

zy=z=-体积变化率：变形后尺寸为

a+a=a(1+)、

b(1-)和c(1-)。体积为：

V=abc(1+)(1-)2应变远小于1，略去高阶小量，得到：V=abc[1+(1-2)]故体积的改变量为：V=V-V0=abc(1-2)体积变化率为:

V/V0=(1-2)=(1-2)/E当=0.2%,=0.3时,V/V0=0.08%。弹性体积变化小塑性阶段，0.5，有V0。

塑性体积变化可忽略ya(1+)b(1-)xz1：直径d0=20mm,长L0=300mm的杆，受力

F=6.28kN作用后，长度增加0.03mm,直径减小

0.0006mm；试计算材料的弹性模量E和泊松比。杆横截面上的应力为：=6.28103

/3.14

0.012=2107

(Pa)=20(MPa)弹性模量:E=/轴向=2107

/110-4

=21011

(Pa)=200(GPa)14：杆的纵向应变为：轴向=0.03/300=110-4横向应变为：故，泊松比：横向=-0.0006/20=-3

10-5=-横向/轴向=0.35.4真应力、真应变F/

Al

dll0ll

ll

l0

l0

ln( )

ln

0

ln(1

e)

d

真应力、真应变：(

S)

eSe2(e

)

e；一般工程问题：e<0.01误差小，二者可不加区别误差：工程应力S、工程应变e:S=F/A0

；e=l/l0=(l-l0

)/l0关系：均匀变形，假定体积不变，A0

l

0=A

l，则有：=F/A=Fl

/A0

l

0=(F/A0)[(l

0+

l

)/

l

0]=S(1+e)

>S=ln(1+e)=e-e2/2+e3

/3-

…

<el0dlFl应力o

均匀变形应变S-ebl

ys5.5

应力—应变曲线的理想化模型材料的—曲线各种各样，如何描述？必须建立反映材料-关系的物理模型。模型应当物理真实，数学简单。1)线弹性模型:=E

(<b；或<ys)研究弹性、小变形问题。ys或bo2)非线性弹性模型:=kn

(<b；或<ys)用于有非线性弹性行为的材料。非线性影响不大时，可线性近似。ys或bo173)刚性理想塑性模型：用于有明显屈服平台的材料，研究弹塑性变形的问题。用于有明显屈服平台的材料，弹性变形比塑性变形小得多时，研究可忽略弹性变形的问题。忽略弹性变形，也不考虑应变硬化。当<ys时，当>0时，=0=ysys4)弹性理想塑性模型：线弹性+理想塑性。当

ys

时,

=E当

>

时,=

=Eys

ysysysysoyso18K为强度系数，应力量纲；n为应变硬化指数。综合描述弹塑性性能，用于无明显屈服平台的材料。弹性部分用线弹性，硬化用线性近似。=E=ys+E1(-ys)当ys

时；当

>ys

时。常数E、E1分别为OA、AB的斜率。总应变：=e+p。实验给出应力与弹、塑性应变的关系e

p=Ee；及

=K

1/n；：：故有Remberg-Osgood应力-应变关系=e+p=(/E)+(/K)n.5)幂硬化弹塑性模型：Ao

p

eyso11E1EAB6)线性硬化弹塑性模型：：幂硬化弹塑性不可能用一个模型描述各种材料；也难于用一个简单的方程表达整条应力—应变曲线。需要若干不同的模型，适应不同材料、不同问题。线弹性非线性弹性弹性理想塑性刚性理想塑性

(%)0200A3钢(Q235)10

2016Mn

(MPa)500

(%)2000.5

1

(MPa)500灰铸铁玻璃钢00200

(MPa)500铝合金球墨铸铁青铜20

(%)20。材料模型

力与变形间物理关系例5.1三杆铰接于C点，受力F如图三杆A、E均相同，材料-关系为=E，求三杆内力。解：1)力的平衡方程：受力如图。有平衡方程：

F2=F3。

---(a)F1+2F2cos=F

---(b)三个未知量，二个方程，一次静不定。2)变形几何条件：1235.6

不同材料模型下的力学分析F

2F

1F

3

杆系变形如图。有：1cos=2.---(c)21FC

3C´由线弹性模型有=E，即F/A=EL/L故可知各杆的伸长L=为：1=F1L1/EA；

2=F2L2/EA

---(d)至此，共有5个方程，可解F1、F2、F3、1、2。注意到L1=L2cos，由(c)、(d)二式得到：F2=F1cos2

---(e)再由方程(a)、(b)、(e)解得：---(1)F1=F/(1+2cos3)F2=F3=Fcos2/(1+2cos3)23)力与变形间的物理关系（

-关系）

3CFL2L1

122注意同样有L1=L2cos，由(c)、(d’)式可得：F2/F1=(2/1)n×(L1/L2)n=cos2n即有：

F2=F1cos2n

---(e')F1=F/(1+2cos2n+1)F2=F3=Fcos2n/(1+2cos2n+1)与(b)式联立解得：---(d')一：材料-关系用非线性弹性模型，=kn，

再求三杆内力。材料模型不

的平衡和变形几何协调条件。故前述方程(a)、(b)、(c)仍然成立。力与变形间的物理关系由非线弹性模型=kn有：1=k1

F1/A=k(1/L1)

.n

n2=k

n

F

/A=k(

/L

)n.2

2

2

2得到屈服载荷Fs为：Fs=ysA(1+2cos3)---(3)二：材料为弹性理想塑性，如图。求杆系能承受的最大载荷F。弹性解(1)有：F1=F/(1+2cos3)F2=F3=Fcos2/(1+2cos3)知，F1>F2=F3

;三杆A、E相同，F增大，杆1先屈服屈服载荷Fs：“结构中任一处达到屈服应力时的载荷”。设载荷为Fs时发生屈服，即1=ys，故：1=F1/A=Fs/A(1+2cos3)=ys.yso24。当F=Fs时，1=ys,；2=3<ys。故杆2、3承受的载荷仍可继续增加超过屈服载荷Fs后，1ys，F1ysA。极限载荷Fu：“结构整体进入屈服极限状态时，因塑性变形而丧失继续承载能力的载荷”。代入平衡方程F1+2F2cos=F

，当FsFFu时，有：F2=F3=(F-ysA)/2cos；2=3=[(F/A)-ys]/2cos极限状态下F=Fu

，1=2=