函数极限性质与运算法则

2.3、函数极限的性质及运算法则本节lim

f

(x)存在时,f

(x)在极限过程x

X所允许的领域内具有什么的性质?x

X设lim

f(x)

A,那么f(x)在极限过程x

X所允许的领域指的是什么?x

Xx

x0(1)设lim

f

(x)

A

对

0,存在

0,使当0

x

x0

,有f

(x)

A

.0x

x故f

(x)在极限过程x

x0所允许的领域是:0

x

x0

.(2)设lim

f

(x)

A

对

0,存在

0,使当0

x

x0

,有f

(x)

A

.故f

(x)在极限过程x

x所允许的领域是:

0

x

x

,即x

(x

,

x

).0

0

0

02018/10/81Edited

by

Lin

Guojianx故f

(x)在极限过程x

所允许的领域是:x

X1,即x

(,

X1

).(6)设lim

f

(x)

A

对

0,存在X

2

0,使当x

X

2时,有f

(x)

A

.故f

(x)在极限过程x

所允许的领域是:x

X

2

,即x

(X

2

,)(,

X

2

).0x

x(3)设lim

f

(x)

A

对

0,存在

0,使当0

x0

x

,有f

(x)

A

.故f

(x)在极限过程x

x所允许的领域是:

0

x

x

,即x

(x

,

x

).0

000x2018/10/82Edited

by

Lin

Guojian设

lim

f

(x)

A

对

0,

存在X

0

0,

使当x

X

0时,

有

f

(x)

A

.x故f(x)在极限过程x

所允许的领域是

:

x

X

0

,即x

(

X

0

,).设lim

f

(x)

A

对

0,存在X1

0,使当x

X1时,有f

(x)

A

.定义2.3

函数f

(x)称为在极限过程x

x0下是有界的,

如果有一个x0的去心领域O

(x0

)

\{x0},

f

(x)在其上是有界的,即存在M

0,使得当x

O

(x0

)\{x0}时,有f

(x)

M

.0

0

0

0f

(x)在其上是有界的,即存在M

0,使得当x

(x0

,x0

)时,有f

(x)

M

.定义

函数f

(x)称为在极限过程x

x下是有界的,

如果有一个x

的右领域(x

,

x

),上,

称函数f

(x)在某一点的领域(去心领域)内的性质为函数f

(x)的局部性质(相对于整体性质而言).0

0

0

0f

(x)在其上是有界的,即存在M

0,使得当x

(x0

,x0

)时,有f

(x)

M

.定义

函数f

(x)称为在极限过程x

x下是有界的,

如果有一个x

的左领域(x

,

x

),2018/10/83Edited

by

Lin

Guojian定义函数f

(x)称为在极限过程x

下是有界的,如果有一个的右领域(X

0

,),使f

(x)在其上是有界的,即存在M

0,使得当x

(X

0

,)时,有f

(x)

M

.定义函数f

(x)称为在极限过程x

下是有界的,如果有一个的左领域(,

X1

),f

(x)在其上是有界的,即存在M

0,使得当x

(,

X1

)时,有f

(x)

M

.定义

函数f

(x)称为在极限过程x

下是有界的,

如果有一个的领域OX

(),2使f

(x)在其上是有界的,即存在M

0,使得当x

OX

()时,有f

(x)

M

.22018/10/84Edited

by

Lin

Guojian性质2.5(局部有界性)

若lim

f(x)

A,则f

(x)在极限过程x

Xx

X所允许的某一领域内有界.x

x0使当0

x

x0

时,有f

(x)

A

.例:

若lim

f

(x)

A,则对任意的

0,

存在

0,从而有

f

(x)

A

f

(x)

A

f

(x)

A

.令M

A

0,则有当0

x

x0

时有

f

(x)

M

.因此f

(x)在极限过程x

x0所允许的某一领域内有界.2018/10/85Edited

by

Lin

Guojian性质2.6(局部保号性)

若lim

f

(x)

A,

lim

g(x)

B,

A

B,则f

(x)与g(x)在极限过x

X

x

X程x

X所允许的某一领域内满足f

(x)

g(x),特别有f

(x)

B.证:考虑lim

f

(x)

A,lim

g(x)

B,A

B情形.x

x0

x

x02

,有f

(x)

A

,即A

f

(x)

A

.因此有1

0

1取

A

B

0,

存在

0,使当0

x

xoB

A(

)(

)f

(x)

A

A

A

B

2

A

A

B

A

B

.2

2

222

0

20,使当0

x

x取

A

B

0,

存在

,

有

g(x)

B

,即B

g(x)

B

.因此有g(x)

B

B

A

B

2B

A

B

A

B

.2

2

221

2

0令

min{

,

},

那么当0

x

x

时有f

(x)

A

B

g(x),即f(x)与g(x)在f

(x)

g(x)

B.2018/10/86Edited

by

Lin

Guojianx

Xx

x0过程下所允许的某一去心领域内O

(x0

)满足:f

(x)

g(x).特别地,如果g(x)

B(g(x)恒等于B),则有lim

g(x)

B,因此当0

x

x0

时有性质2.7

若

lim

f

(x)

A,

lim

g(x)

B,

且在极限过程x

X所允许的某一领域x

X

x

X内满足f(x)

g(x),则A

B.证:

(反

)若A

B,

则由性质2.6知:在极限过程x

X所允许的某一领域内满足f

(x)

g(x).这与已知在极限过程x

X所允许的某一领域内满足f

(x)

g(x),故A

B.

xx

0

x

1x

01

x

0,g(x)

x2

,则在(1,1)内满足f

(x)

g(x),如图:例:

f

(x)

1

0.从而有lim

f

(x)

lim

g(x).x0

x0x0

x0由于lim

f

(x)

lim

x

0,

lim

f

(x)

lim(x)

0.x0

x0

x0x0故lim

f(x)

0.x0lim

g(x)

lim

x2xy112018/10/87Edited

by

Lin

Guojian性质2.8(函数极限的 定理)

若在极限过程x

X所允许的某一领域内,g(x)

f(x)

h(x)且lim

g(x)

lim

h(x)

A,则lim

f

(x)

A.x

X x

X x

X证:考虑lim

g(x)

lim

h(x)

A情形.x

x0

x

x0对

0,1

0,当0

x

x0

1时,有g(x)

A

,即A

g(x)

A

.0,当0

x

x02

2时,有h(x)

A

,即A

h(x)

A

.x

x0令

min{1,2},则当0

x

x0

时,A

g(x)

f

(x)

h(x)

A

A

f

(x)

A

f

(x)

A

.故lim

f

(x)

A.2018/10/88Edited

by

Lin

Guojian性质2.9(函数极限的运算法则)若lim

f

(x)

A,lim

g(x)

B,则x

X x

Xlim[Cf

(x)]

C

lim

f

(x)

C

A(C是与x无关的常数);x

X

x

Xlim[

f

(x)

g(x)]

lim

f

(x)

lim

g(x)

A

B;x

X x

X x

Xlim[

f(x)

g(x)]

lim

f

(x)

lim

g(x)

A

B;x

X

x

X

x

X(这里要求B

0).g(x)lim

f

(x)

x

X

Alim

g(x)

Bx

Xf

(x)limx

X122,

lim

lim

x

1

xx

x

xx1

x

1

x1

xx1

x

1注意:例:limlimx2

12018/10/89Edited

by

Lin

Guojian1

x1

.x1

x(x

1)

lim

x(x

1)x1例:limx22018/10/810Edited

by

Lin

Guojianx

A x

X性质2.10

:

若

lim

g(x)

A(这里A可以是无穷大),g(x)

x

X且lim

f(x)

B,则lim

f[g(x)]

B.A(当x

X时),注(1)

:

性质2.10中令y

g(x),则在极限过程x

X下,

y

A,因此

lim

f[g(x)]

lim

f(

y)

B.x

X y

A(2):性质2.10是变量替换求极限的理论基础.(3)

:

性质2.10

中的条件g(x)

A(当x

X时)不能去掉.求(1)lim

g(x),lim

f(x);x

0

x

1x

0,1x

1例

:

设f(x)

,

g(x)

1x0

x1x0

x0

x1

x10

x

1

0

x

0(2)f[g(x)]及lim

f[g(x)];(3)问能否用性质2.10求lim

f[g(x)].x

0

x

0解:(1)lim

g(x)

1,lim

g(x)

1,故lim

g(x)

1;lim

f

(x)

1,lim

f

(x)

1,故lim

f

(x)

1.0

g(x)

1(2)

f

[g(x)]

1x0

lim

f

[g(x)]

0.x0(3)在lim

f

[g(x)]中令y

g(x),则当x

0时,有y

g(x)

1.,因此不能用性质2.10求lim

f

[g(x)].x0故lim

f

[g(x)]

lim

f

(y)

1.x0

y1这与(2)中的结果lim

f

[g(x)]

0相x0原因是

:

当x

0时,

y

g(x)

1.0

x

0故f

[g(x)]

1x

0.

g(x)

1

x

0g(x)

1

g(x)

0

x

0由于g(x)

12018/10/811Edited

by

Lin

Guojianxx0例:利用函数极限的性质证明:lim

sin

x

1.CAoxB

x由于OBC的面积小于扇形OBC的面积,而扇形OBC的面积小于OBD面积.y

D证

:

当x

0

时,x是在0的右半领域内变化,因此不妨设x的变化范围是

:

0

x

.2当0

x

时(如图),sin

x

AC

AC.2

11tan

x

BD

BD.故:1

sin

x

1

x

1

tan

x,即:sin

x

x

tan

x.2

2

222018/10/812Edited

by

Lin

Guojian121212S

lR

xRR

xR

.注:扇形面积x由于

lim

cos

x

1及

定理知

:

lim

sin

x

1.x

0

x

0cos

x

sin

xsin

x

x由当0

x

时,sin

x

x

tan

x

2

sin

x

1且sin

x

cos

x

cos

x

sin

x

1从而当0

x

时,cos

x

sin

x

1.2

xx

y

y令y

x,则lim

sin

x

lim

sin(

y)

lim

sin

y

1.y

0

y

0x

0x从而

:

lim

sin

x

1.x

02018/10/813Edited

by

Lin

Guojianx

x0例:

证明:

求lim

f

(x)

0

lim

f

(x)

0.

X证:""由

f

(x)

f

(x)

f

(x)

及lim

f

(x)

0知:

lim

f

(x)

0.

X""由于

lim

f

(x)

0,故对

0,

0使当0

x

x0

,x

x0有f

(x)

0

,即f

(x)

.因此对

0,

0使当0

x

x0

,

有

f

(x)

0

,即lim

f

(x)

0.2018/10/814Edited

by

Lin

Guojian例:

证明:

设

lim

f

(x)

A,则lim

f

(x)

A.x

x0

x

X证:由于lim

f

(x)

A,故对

0,

0使当0

x

x0

,x

x0x

x0有f

(x)

A

.从而有

f

(x)

A

f

(x)

A

lim

f

(x)

A.反之不对,即lim

f

(x)

A

不能推出lim

f

(x)

A.x

X

x

x01

x

[0,1]2018/10/815Edited

by

Lin

Guojian1

x

[1,0)x0,则f

(x)

1,x

[1,1],故lim

f

(x)

1.例:f

(x)

x0x0

x0

x0

x0由lim

f

(x)

1,lim

f

(x)

1,即lim

f

(x)

lim

f

(x).故lim

f

(x)不存在.例:判断下列极限是否存在,如果存在求其值.1

1

1(1)lim

e

x2

,

(2)

lim

e

x

,

(3)

lim

2

x.x0

x

x011故lim

2

x

不存在.x01xyy1

,

lim2

x

lim

2

y

0.解(3)令y

,

则

lim2

x

lim

2

yx0x011x

y0x解(2)令y

,则lim

e

x

lim

ey

1.12018/10/816Edited

by

Lin

Guojian解(1)令y

1x2,则lim

ex0x2

lim

ey

0.y.

35x3

x

1x

6x

3

7x

2例:求lim56.6

7

3

15

1

limxx

6x3

7x2

3解:limx3x2

x33

5x x

1x3

2

x

37x2

2x

9

.x

2x例:求lim7

2

92018/10/817Edited

by

Lin

Guojianx2

x32

0

0.2

1

3

2x3xxx

2x3

x2

3解:

lim

7x

2x

9

lim

x

5x

84x3

x2

5

.x

3x2例:liml

kl

kl

k例:设a0

0,b0

0,则xb

al0l

110

0lim

0

1

k

1

k

0b

xl

bxl

1

b

x

ba

xk

a

xk

1

a

x

a

x

5

.2018/10/818Edited

by

Lin

Guojian5x

8x例:lim

4x2xx0例:求lim

sin

6x

.x

6x

6xx0

x0x0解:lim

sin

6x

lim

6

sin

6x

.令y

6x,则lim

6

sin

6xy

y

lim

6

sin

y

6

lim

sin

y

6.y0y0.x0

sin

2x3x例:求lim,令y

2x,则解:lim2x3

2x

lim

2

3

limx0

sin

2x

x0

sin

2x

2

x0

sin

2x3x

3

.22018/10/819Edited

by

Lin

Guojian1

3

12

y0

sin

y

2lim

sin

y

3

lim

3

lim3

lim2xy2

x0

sin

2x2

y0

sin

yy

yy0x0例:求lim

x

cot

x.sin

xxsin

xx0x0

x0解:lim

x

cot

x

lim

x

cos

x

lim

cos

x

x0

sin

xxx0

lim

cos

x

lim

1.2018/10/820Edited

by

Lin

Guojian1

limcos

x

limx0

sin

xx0x1

x22例:求lim

1

cos

x

.x

02

sin2sin21

x24

lim

22

sin21

x221

x222

x

lim

2xx

0xx

0x解

:

lim

1

cos

x

lim

2x

0x

0

sin

2

lim

2

.x

2

x

x

0

1.2018/10/821Edited

by

Lin

Guojianx2令y

2,则lim

2

sin

2

x

x

x

0

y2

sin

y

lim

y

0

解:令y

arcsin

x,x

[1,1].则x

0时,y

arcsin

x

0.而且y

arcsin

x

0(当x

0时)及x

sin

y.

1.1lim

sin

y

limy

1y0

sin

yx

y0

sin

yy0x0故lim

arcsin

x

limyy例:求lim

arcsin

x

.2018/10/822Edited

by

Lin

Guojianx0x解:令y

x

2,则x

2时,有y

0且y

0.2x2例:求lim(x

2)cot

x

.2

2

2y0

y0x2故lim(x

2)

cot

x

lim

y

cot

(

y

2)

lim

y

cot(

y)yy02sin

y2sin

ycos

yy0

y0

lim

y[cot

y]

limy

2

lim

cos

y

22

y2.2018/10/823Edited

by

Lin

Guojian22sin

y2lim

cosy022sin

y2

(

2

y)2

lim

cosy0y

y

3xx例:lim

x

tan

1

3x

3xy0