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文档简介
第5讲两个重要极限两个重要的极限预备知识1.有关三角函数的知识2.有关对数函数的知识以e为底的指数函数y=ex的反函数y=logex,叫做自然对数,在工程技术中经常被运用,常简记为y=lnx.数e
是一个无理数,它的前八位数是:e=2.71828185.极限的运算法则X10.50.10.010.001….0.841470.958850.998330.999980.9999998X-1-0.5-0.1-0.01-0.001….0.841470.958850.998330.999980.9999998第一个重要极限OxBACD证解这个结果可以作为公式使用例1求练习1.求下列极限:
例3解例4解练习3:下列等式正确的是()
.
练习4:下列等式不正确的是()练习5.下列极限计算正确的是()练习6.已知当()时,为无穷小量.
,当
时,为无穷小量.
练习7.已知练习8.练习9.
X-10-100-1000-10000-100000…2.8682.7322.7202.71832.71828
X10100100010000100000…2.5942.7052.7172.7182.71827第二个重要极限解因为所以,有例1例2
解
方法一令u=-x,因为x0时u0,所以例3解
练习1.解练习3.解两个重要极限:小结练习题思考题解因为所以令u=x
-3
,当x
时u
,因此附录两个重要极限的证明OxRABC证
AOB面积<扇形AOB面积<AOC面积,即例两个重要极限的证明因为所以再次运用定理6即可得≤≤重要极限1
其中的两个等号只在x=0时成立.证设圆心角过点A作圆的切线与OB的延长线交于点C,又作则sinx=BD,tanx=AC,这就证明了不等式(7).从而有重要极限2证这是重要极限2常用的另一种形式.分析:此是一个和式的极限,显然第一项及第二项函数中分子、分母的极限均存在且分式函数中分母的极限不等于零,因此可以直接利用极限的运算法则求解。极限综合练习题(一)
例3求下列极限:解:当x从0的左侧趋于0时,当x从0的右侧趋于0时,例5求下列极限分析:本例中均是求分式的极限问题,且在各自的极限过程中,分子、分母的极限均为零,不能直接用极限商的运算法则。求解此类极限的关键是找出分子、分母中共同的致零因式,把它们约去后再求解。寻找致零因式常用的方法为:①若是有理分式的极限,则需把分子分母、分别分解因式(一般采用:“十字相乘法”、公式法、或提取公因式法);②若是无理分式的极限,则需要把分子、分母有理化。解:(1)把分子分母分解因式,消去致零因式,再求极限。求解。又当x→0时,ax→0,bx→0,于是有分析:当x→0时,分子,分母的极限均为0,且分子是一个无理函数,分母是正弦函数,于是可先把分子有理化(分子,分母同乘以,然后看是否可利用第1个重要极限。解法2:分析:当x→0时,分式中分子分母的极限均为0,不能直接使用极限的运算法则,但前面所介绍“分解因式”、“有理化”的方法在此又不适用。能否利用第1个重要极限呢?这就需要首先利用三角恒等式对函数进行适当的变形。解:因当x→∞时,sinx的极限不存在,故不能用极限的运算法则求解,考虑到解1.求极限:极限综合练习题(二)
解:利用第一重要极限和函数的连续性计算,即2.求下列极限:解:对分子进行有理化,然后消去零因子,再利用四则运算法则和第一重要极限计算,即3.求下列极限:分析:此极限属于时有理分式的极限问题,且m=n,可直接利用上述结论得出结果,也可用分子、分母同除以x15来计算。解:分子分母同除以x15,有=22+1=5解5.求解6.求极限解:容易算出分式分子的最高次项是,分式分母的最高次项是,所以7.求极限8.求极限9.设函数问:(1)当a为何值时,f(x)在x=0右连续;(2)a,b为何值时,f(x)在x=0处有极限存在;(3)当a,b为何值时,f(x)在x=0处连续。处右连续。在时,。故当,从而,,又右连续,须有在要使解:0)(11sin0lim)0()0()(0lim0)()1(=
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