概率论与数理统计-第一章

§1.3古典概型（等可能概型）Classical

Probability

modelEqual-Possibility

Probability

model[引例]掷一枚硬币，则样本空间

={H，T

}；掷一颗，则样本空间={1，2，3，4，5，6}。这两个试验具有以下三个共同特征：试验的样本空间所含基本事件的个数只有有限个；每个基本事件出现的机会都是均等的；称具有上述两个特征的概型为古典概型(等可能概型)。设

{e1，e2，，en

},如果P(e1

)

P(e2

)

P(en

)则称这一概型为古典概型（等可能概型）。对于古典概型，显然有P(ei

)

1/n

，i

1，2，，n

。因此，若A

为

中的事件，且A

{ei1，ei

2，，eik

}，则nkijj1P()

k即PA()

A中包含基本事件的个数

ˆ

nA()中基本事件的总数

n()（1-2）抛一枚硬币三次

抛三枚硬币一次Ω1={(正正正),(反正正),(正反正),(正正反),(正反反),(反正反),(反反正),(反反反)}此样本空间中的样本点等可能.Ω2={(三正),

(二正一反),

(二反一正),

(三反)}此样本空间中的样本点不等可能.注意例

1-7

将一枚硬币连续掷三次，观察正

出现的情况，求：（1）样本空间;（2）恰有一次出现正面的概率；（3）至少有一次出现正面的概率。解：由题意知（1）

={

HHH,

HHT,

HTH,THH,

HTT

,THT

,TTH,TTT

}；（2）设事件A

表示“恰有一次出现正面”，则n

(A)=3，且n

(

)=8，故P(

A)

n(

A)

3n()

8Sample

Space（3）设事件B

表示“至少有一次出现正面”，则n

(B

)=C1

C2

C3

=7，且n

()=8，故3

3

3P(B)

n(B)

7n()

8或用性质（3）先求逆事件的概率：即B

表示B

的对立事件（三次中没有一次出现正面），则n

(B

)=1，所以8P(B

)

1，故8P(B)

1

P(B

)

7例1-8从0，1，2，3这四个数中任取三个不同的数字进行排列，求取得的三个数字排成一个三位数且为偶数的概率。解：设A

表示“取得的三个数排成一个三位数且为偶数”；A0

表示：“取得的三个数排成一个三位数且末位为0”；A2

表示：“取得的三个数排成一个三位数且末位为2”。由于首位不能为0，所以00n() 4

3

2

4n(

A

)

3

2

1P(

A

)

22n() 4

3

2

6n(

A

) 2

2

1P(

A

)

又由于A0

A2

，故由可加性得：P(

A)

P(

A0

)

P(

A2

)

5/12例

1-9

设有m

件产品,其中有k

件次品,从中任意抽取n

件,问其中恰有j

件次品的概率是多少(j

k

)？解：设A

表示：“所取

n

件中恰有

j

件次品”，mm而m

件产品中抽取n

件,共有取法Cn

种,即n

(

)=Cn

,取到的n

件产品中有j

件次品，这j

件次品只能来自k

件k次品中，有取法C

j

种，剩余的n

j

是正品，只能来自mkm

k

件正品中，有取法Cn

j

种，因此n

件产品中恰有j

件次品的取法共有C

j

Cn

j

种，k

mk于是所求概率为P(

A)

C

j

Cn

j

/Cnk

m

k

m例

1-10

一个盒子中有

6

只球，其中有

4

个白球

2个红球，从中取球两次，每次取一只，求下列事件的概率：A

：“取到的两只球均为白球”；B

：“取到的两只球同色”；C

：“取到的两只球至少有一只白球”。解：考虑有放回抽样和无放回抽样两种情况。(a)有放回抽样：由于n

(A)=4

4,且n

()=6

6,故P(

A)

n(

A)

4

4

4n() 6

6

9又设D

表示“取到的两只球均为红球”，则9P(B)

P(

A)

P(D)

5由于C

D

，所以1

8P(C)

1

P(D)

1

9

915(b) 无放回抽样(仍用上述记号):由于n()=6

5,n(A)=4

3,n(D)

2

1，所以P(

A)

n(

A)

4

3

2

，

P(D)

1n() 6

5

5P(B)

P(

A)

P(D)

7

/15P(C)

1

P(D)

1

1/15

14

/

15又设D

表示“取到的两只球均为红球”，则n(D)

2

2

,得P(D)

1/9

,而B

A

D

且AD

，故例1-11

有n

个人，每个人以相同的概率1

N

被分配到N

（

n

<N

）间房的每一间中去，求下列事件的概率：A：某指定的n

间

各有一个人；B

：恰有n

间房其中各有一个人；C

：某指定的

恰有m

个人（

m

<

n

）。个人共有解：

n()

N

n

（每个人有N 种可能，nN

n

种），n(A)

n!，故N

nP(

A)

n!Nn(B)

Cn

n!(只要n

个人恰好在n

个间房即可)，所以nCn

n!

N!NnN

N

(N

n)!P(B)

事件C

中m

个人可从n

个人中n法，而其余的

mn个人可以任意分配到N

1

间选，有C

m

种选,所以有（N

1)

m

种分法,因此mnNCC1n)()(m

,

故mmnNNNm11()

)1Cn

()1(mnn

个人、n

顶帽子，任意取，至少一个人拿对自己帽子的概率.记Ai

=“第i

个人拿对自己的帽子”，i=1,…,n.求P(A1A2……An)，不可用对立事件公式.用加法公式：配对模型n

ni

1

P

i

1

Ai

P(

Ai

)

P(

Ai

Aj)

P(

Ai

Aj

Ak

)......

(1)n1

P(

A

A

......A

)1

2

nP(Ai)

=1/n,

P(AiAj)

=1/n(n1),P(AiAjAk)

=1/n(n1)(n2),

……P(A1A2……An)

=1/n!P(A1A2……An)=配对模型(续)11n!

n

1

n

......

(1)n1n

2

n(n

1)

1n!

1

1

1

1

......

(1)n12!

3!

4!

1

e1P(A)=1、在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条件再次提醒注意：2、用排列组合公式计算样本点数时必须注意不要重复计数，也不要遗漏例

掷两枚解

掷两枚出现的点数之和等于3

的概率.出现的点数之和的可能数值为{2,3,4,…,12

},.

P(

A)

={(1,1),

(1,2),

(2,1),

(1,3),…,

(6,6)

}2—6—618

1

.

1113、所求为“至少”或“至多”的问题，用余概公式简单4、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型有n个人,

每个人都以相同的概率1/N(N≥n)被分在

N

间房的每一间中,

求指定的n间人房4、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型各有一人的概率.有n个人，设每个人的生日是任一天的概率为1/365.

求这n

(n

≤365)个人的生日互不相同的概率.人任一天设每个人在每站下车的概率为1/

N(N

≥n),求指定的n

个站各有一人下车的概率.旅客车站某城市每周发生7次

,

假设每天发生一次的概率相同.

求每天恰好发生的概率.天分球有n

个旅客,

乘火车途经N个车站，

入箱下图是卧室和书房地板的示意图，图中每一块方砖除颜色外完全相同，小猫分别在卧室和书 地走来走去，并随意停留在某块方砖上。在哪个房间里，小猫停留在黑砖上的概率大？卧

室书

房问题情境§1.4

几何概型如果一个试验具有以下两个特点：是一个几何区域，且其大小可以计量（长度、面积、体积等），并把的度量记为（）；向中任掷一点，落在该区域任一点处都是等可能的，或者说，落在中的区域A内的可能性与A的计量(A)成正比，而与A的形状无关。称此种概型为几何概型。设A为中任一事件,且设A={掷点落在A内},则由此求得的概率称为几何概率。()P(

A)

(

A)Geometric

Probability例

1-13

在边长为

1

的正方形中作一内切圆A，并向中随机地投一点M

，设

M在中均匀分布，试求点

M

落在

A中的概率P(

A)

。解：由于()=1，圆A的半径为1/2，所以24(

A)

=

(1/

2)

,即P(

A)

(

A)

()

4Uniform

DistributionA例

1-14

两人相约某天

8

点到

9

点在预定地点会面，先到者要等候另一个人20分钟，过时就离去，若每人在这指定的一个小时内任一时刻到达是等可能

的，求事件A={两人能会面}的概率。y6020o

20

60

x解：设x、y

分别表示两人到达预定地点的时刻，那么两人到达时间的一切可能结果对应边长为60的正方形里所有点，这个正方形就是样本空间

，而两人能会面的充要条件是

x

y

20，即x

y

20

且x

y

20

，所以，6029602

402

5(

A)P(

A)

()

1

Buffon’Needle

Simulation2Monte

Carlo

Method知识拓展法国自然哲学家先生经常搞点有趣的试验给朋友们解闷。1777年的一天,先生又在家里为宾客们做一次有趣的试验，他先在一张白纸上画满了一条条距离相等的平行线。然后，他抓出一大把小针，每根小针的长度都是平行线之间距离的一半。说：“请诸位把这些小针一根一根地往纸上随便扔吧。”客人们好奇地把小针一根根地往纸上乱扔。最后 宣布结果：大家共投针2212次，其中与直线相交的就有704次。用704去除2212，得数为3.142。他笑了笑说：“这就是圆周率π的近似值。”这时众宾客哗然：“圆周率π?这根本和圆沾不上边呀?”先生却好像看透了众人的心思，斩钉截铁地说：“诸位不用怀疑，这的确就是圆周率π的近似值。看，连圆规也不要，就可以求出π的值来。只要你有耐心，投掷的次数越多，求出的圆周率就越精确。”这就是数学史上有名的“投针试验”。（更详细的情况参见）投针试验法(1707-1788)例1-15

[投针问题]平面上画着一些平行线，它们之间的距离都等于a

，向此平面任投一长度为

l(l

a)的针，试求此针与任一平行线相交的概率。解：以x表示针的中点到最近的一条平行线的距离，

表示针与平行线的交角，针与平行线的位置关系见图1—2。ax2显

然

有

0

x

a

，0

，以G表示边长为a

/

2

及

的长方形。为使针与平行线相交，必须x

l

sin

，满足这个关系2式的区域记为g

，在图

1—3中阴影表出，图1—2GgO2l

sinxa/2所求概率为G的面积p

g的面积aa

/

2l

sin

d0

2l1

2an

2lNCH1图1—3历史上一些学者的计算结果(直线距离a=1)试验者时间针长投掷次数相交次数π的近似值Wolf18500.8500025323.1596Smith18550.6320412183.1554De

M

an18601.06003823.137Fox18840.75Lazzeri