各章解题指导-第五章特征值问题

基本内特征值与特征向量An阶的方阵，若对数nxAx=x成立，则称A的特征值，xA的属于的特征向量。1特征值问题是对于方阵而言的。2A=(aij)nn为具体矩阵(aij具体给出)A

0的所有根12nA第二步：对每个不同的i，解其次方程组(AiI)x=0，求出一个基础解系：i,i,,i

即为 的属于

111

2t22

i ti

(其中任意常数t1t2tk不全为零)则为A的属于iii1f()AIA的特征多项式，其为nf()AI0An个根（包括重根nn个特征值，特征值的重数称为m2方程组(AI)x0的解空间N(AIA的属于dimN(AI)nr(AI成为A为抽象矩阵（A的具体元素ijA满足的某些条件，则可Axx来分析求解。特征值与特征向量属于同一特征值的特征向量的任意非零组合仍是属于若1,2A的分别属于特征值1212，则12nAn特征值为1,2,,n i

nni

由(5.2)式可知，A可逆A特征值m1

为方阵Ax是对应的特征向量，k常数m为正整数，则A km 及f()amam1A

kA

AmAkIA1A*f(Ax若A，B的特征值，则A+BAATA的特征值只能是1A、BnnPP1APBAB。自反性：AA对称性：ABB传递性：AB，BCAC。注AA可对角化。P1APBABABAT与BT，kAkBAT与Bm也相似(其中k为常数，m为正整数)A可逆时A1与B1A*与B*也相似AIBIABtr(A)tr(Br(A)r(B)n阶矩阵AAAnAnA可对角化。注这是充分而非必要条件。AAmA对角化的方求出A12,ni,i,,i(rn Ak重特征值k方程组(Ax)0(k=1,2,…,r)An量1,2,,n

，

P nP1APAP的每一列i的排列序应与中对应的i典型例题

例1求A=

211

解AI

1

(5)11 1 11(5)0

10

01

(5)(1)A的全部特征值为152,31当12222221 A1I22~2~06~0 2222060 所以(A1I)x0就可写成

当2,31222111A2I222~000222000(A2I)x0x21x30，得1,

3 取x0,x1，得 0,1T 2,3A的二重特征值2,31的特征向量，全部特征向量为k22k33k2k3不全为零 例2设0是矩阵A=

0aa；(2)A法一(1)AA=0 又A

02(a1a

A

1 1

20

0a

(2)22解法(1A1 AI

20

a

(1)(2)(a)(2

因为0A的特征值，所以将0代入(*)有2a-2=0a=1(2)a=1代入(*)(2)(2)从而2A3AA23A2I0，试求2A13IA为抽象矩阵，所以由定义求解，设A的特征值，对应的特征向量xAxx(A23A2I)xA2x3A2x(232)x可得

2。又2A13I23所以2A13I544AnAATI,A0，试求(A1)*由于(A1)*A*1A*AAAATIA21A1A0

1AIATIAAIAI，故AI0即1A的一个特征值于是可得A*的一个特征值A，即为1。所以(A*1即(A1)*的一个特征值为15设向量

2

2

TT0 na n

0nAT1A2；(2)A解(1)A=T及T0A2(T)(T)(T)

(T)T设A的任一特征值，对应xAxxA2xAx2A20，所以2x0x0得0A

a1bn

bna a

ab 0A2 2

2n~ a a ab 0n n nn Ax=0 2, ,3 0, n 0,

A的属于特征值0k11k22k1k2,kn16An12,nn个特征值，1,2,,nA1I解Ai

Aiii(1i1)i1i(i1从 Aiii(i1 (A1I)i(i这就说明,,2,1(组线形无关的特征向量为1,2,,n7A

6A 法A0，所以A必有零特征值，求出对应与零特征值的特征向量，解方程组(A0I)0

1，0 由1m知0A的二重特征值，故有120。设3A的另一特征值，由特征值性质知123即所以

00314。由(A14I)x0，可解得对应的特征向量为

2 解法二同解法一求出120对应的特征向量1,2AA的另一特征值为3，必有30（由于实对称矩阵的任一特征值m，故0必为二重特征值31322征向量必与,正交。设x T，则由x,10，2

2x1x23xx 3解得 3 62

3所对应的特征值为314 例8已知向量xk是矩阵A 1的逆矩阵A1的特征向量，试求常数

解A1xxAx1xxAA

(1)(40，可求得A的特征值为12134Axxk=1k=-2k=1 1 c例9设矩阵A 3，其行列式detA1，又A的伴随矩阵A*有 0个特征值，属于的一个特征值向量为 11T，求a，b，c和 0

AA*AIIA* 1 c 310 0(a1c) (5b3) (c1a)解之得01,b3ac。又由detA1a=c，有a51

1

a3a=c=2，所以a=2，b=-3，c=2010A

b3ab 1解AI(1)21，所以A的特征值为1

1于不同的特征值对应的向量线形无关，所以若A有3121r(AI)1 1 1AI b~ a

0a+b=0r(AI)1A311nA的特征值为1,2,n，对应的向量分别为1,2,,nf(x)

xmcxm1

x

1f(A)cAmcAm1 Ac1 f(1),f(2),,f(n，对应的特征向量为1,2,,n

Ak

i f

c

c

01iicmc01ii

c0 1

m1i m(cmcm1 c0 1

m1 f(inf(if(A的特征值，in12n维实向量

2

T

2AT2证若0AT0A2

0

2A若0ATT)2的特征向量为

213An阶矩阵，1和2A的两个不同的特征值，1,2A分别属于1和2的特征向量，证明12A的特征向量。证（反证）若12A的特征向量，则存在数A(12)(12

(12)11即因为12，所以1与210且2于是12，这与1 ，故12不是A的特征向量例 试证： 阶方

A

111a2[1n1)，其中01a20。证A的特征多项式为1A

a2a2a2a2a2a2 a2 aa2a2a2a2a2a2 a2 a2a2a2a2 a2A

a2[1(n

2

a2(11由于01

1,a2

0，故

，即

a2[1(n1)15nAr(A)n1A*r(A)n1A*n-1

(A

,

是aij代数式证若r(A)n1r(A*0A*0A*r(A)n1r(A*1A*中所有高于1AI(1)n(n(

)n1

Ann所以此时A*有一个n-1重特征值零及一个单特征值

Ann16AnAI，且r(A3Ir(AI)n。证明-3A的特征值。证因为AI，所以AI0r(AI)0。由r(A3Ir(AI)n，得r(A3I)A3I0，即-3A17A，BnABBA具有相同的特征值。证证法一设ABx，即ABx

BABx若Bx0，则BABx若Bx0，则xA(Bx)0x0知0AB

0

0BAABBA证法 A AAB I

(1)nB

AABI又 A

I

BA

()nB

AnBAI所 ABIBAIBAABBA证法A0BAA1ABAABBAABBA有相同的特A0AI只有有限个根，因此存在无数tAtI0(AtI)B与B(AtI)ABtBIBAtBf(t)ABtBIBAtBIf(ttn次多项式，由于有无tf(t)0t=0f(t)0仍成立，即有ABIBAABBA18AB均为n阶非零矩阵，且满足A2A0B2B0ABBA0,1A,B若1,2A,B对应的特征值1的特征向量，则1,2证（1）因为

A2AAI)A0A0(AI)x0有非零AI0,即1A同理1B（2）因A11,故B1BA10101,B1可见1B对应0由于1,2B分别对应于0和1（1）A可逆A（2）形如AkI的矩阵的可逆性时，有时利用矩阵的特征值来AkI可逆AkI0k不是A的特征值AkI不可逆AkI0kA的特征值19An阶方阵，且(AI)m0，mA可逆。证设A为对应的特征向量，则(AI)(从 (AI)m(因为(AI)m0，且0，所以有(1)m0，得1A

A(1)nA20nAB，Bf(f(AAnB得特征值为i(i1,2,nnf()(1)(2)(n)(innf(A)(A1I)(A2I)(AnI)(Af(A可逆

f(A)0AiI0(i1,2,,iA得特征值i1,2,.n例21设n阶可逆矩阵A得每行上n歌元和均为c。试证（1）c0;(2)AcIA1重每行上n歌 和为1c法A(aij)nn

c,(i1,2,,Ac 由于0cAA的可逆性知c0由(1)cAAAcA

0AcIA11,1,c这就说明A1的每行上的n歌 和为1c

,证法（利用行列式（1）AjcA

a2

c

111

A2

AnjA0，所以c0（２）

AcIA

a11

a22 an

ann

an

ann（3）由（1）j1,2,nA1Ac

A2

Anj而 A 1 AAA1A

A*

AA

2n A nn故A1中第j行得n各元和1AA

A2

c22

A 2,B

ab

法一因为AI(2)[2a1)aBI(1)(2)(b令2，得04(b2，再令1得2a0a＝0，b＝－2解法B得特征值为11223bAA

0将11代入得，AI2a0a＝0

123

2(a2)2bb＝－223（1）AB相似，故有则2A32AI与2B32BI（2）若A与，且

A3A2I解（1）ABPAP1BPA2P1BPP1BPP1B2P,A3

证得2A32AI与2B32BI(2)A与A3AI与32I

32I

33

A3A2I24A，B1111

A

，B 1 1

100 100 解AA

(1)n(n)n1，故特征值为

0，

n22P1AP BBI(1)n(n)n1BAr(B)1Bx0n1B的特征值0，有mBP2P1BP P1

即PP1APP1AB

2 125AA0AcAc

b，adbc1,add

2,A证（1）f()

A

a11

a22

a)a a

2

)A的两个特征值为12，则由12（2）f()2(ad)

A0可知12Aad2ad)240f()0A26AnA0Am0（m为整数，m>1，证明：A不与对角阵相A不可对角化。证（用反证法）AP12其中iA12

P1APdiag(,

,,nP1APP1APP1APdiag(,,

)diag(,,

)diag(,,

即P1AmPdiag(m,m,m Am0mmm0

0 12P1APdiag(,12

,

)0,AA

a127A

b

ba

a

a

a0

1 2 na anA a1bna a ab证A2 2

2n

A2(a

a

a

)A

1 2 na a abn n nn设为AA2aA，有2a。所以A的特征值为0a。因为12ntr(Aa1b1a2b2anbna，所以1aA的一重特征值23n0A的n1重特征值。0A0IArA)1，所以A0I)x0Ax0n1A的属于0的线性无关的特征向量有n1A可对角对实对称矩阵A，求正交矩阵Q，使（为对角阵

为对角阵则当x

yTy为方法：关键是求正交矩阵Q，步骤为A的所有特征值12,n对重特征值i，将(aiI)x0n12,n标准化得1,2,,n则Q

2

,n 28A 00

00的一个特征值为22yP，使得(AP)T(AP解（1）3AA3I010010000y100110010000y1001y＝2（2）ATA(AP)T(AP)PTATAPPTA2P因此要使(AP)T(APP，使得PTAP(AP)T(AP)PTATAPPTA2PAA

(1)23)(1,A

1

1对121，解AI)x0, 0x11 1

2 1x3

0 01 40 01

001

, 1 由于1,21

2

1

2 2 20 12 20 对33，解(A3I)x0 0x11 01 0

2 1x3

0x01 140x01

00 013

3 2 12 2 对41解(AI)0

0 0 1

2 24 144

00

2 令P[

,

2]2 则PTAPdiag1, 1，这时(AP)T(AP)PTA2Pun2un1vv

12

12

且u01v00，求un的通项un及limunnun

解v1

1n

AA

1An2(1)(1)0A的特征值为