静电场的标势及其微分方程教案课件

静电场的标势及其微分方程静电场的标势及其微分方程12§1静电场的标势及其微分方程一、静电场的标势对于静电场引入标势（标量函数）第1页/共47页2§1静电场的标势及其微分方程一、静电场的标势对于静电3

静电场电场强度的积分与路径无关，只取决于初末位置。标势就是电磁学中的静电势。

某点电势值与参照点的选择有关，常选无穷远处电势为0，P点的电势为对于空间中两点第2页/共47页3静电场电场强度的积分与路径无关，只取决于初末位置。4

对于单个点电荷系统：

对于多个点电荷系统：

对于电荷连续分布的带电体：二、静电势的计算三、静电势满足的微分方程及边值关系1.静电势满足的微分方程对线性均匀介质这称为Poisson方程。第3页/共47页4对于单个点电荷系统：对于多个点电荷系统：对于电荷52.静电势满足的边值关系设P1和P2为介质界面两侧邻近两点由于电场有限，两点的距离趋于零这一关系与等价

在介质分界面处选择四个点，P1与P2邻近，P1′与P2′邻近。P1到P1‘的距离△l足够小，故Dl取向具有任意性，故在界面两侧，电场强度切向分量相等。解释：第4页/共47页52.静电势满足的边值关系设P1和P2为介质界面两侧邻6j为导体外表面附近的电势，法向由导体内指向导体外对于导体电势的另一边值关系由电场法向分量边值关系得到，第5页/共47页6j为导体外表面附近的电势，法向由导体内指向导体外对于导7线性介质中静电场的总能量上式还可以表为四、静电场能量第6页/共47页7线性介质中静电场的总能量上式还可以表为四、静电场能量第8

不应视为电场的能量密度。对于静电场，也不能认为电场能量只是存储于电荷分布的空间，更不能认为存储于电荷；只是对于静电场，能量才可表为这表明电场能量与电荷分布有关。对于随时间变化的电场，磁场亦要激发电场，电场总能量不能完全通过电荷分布来表示。讨论：第7页/共47页8不应视为电场的能量密度。讨论：第7页/9设坐标原点O的电势为零均匀电场不衰减，不宜选无穷远处为零势点。

导线单位长度带有电荷为t,

在P点的电势为解：解：Ex.2均匀带电的无限长直导线的电势。Ex.1均匀电场的电势。第8页/共47页9设坐标原点O的电势为零均匀电场不衰减，不宜选无穷远处为零10积分结果是发散的。这是由于电势零点（无穷远处）选择不当造成（电荷分布至无穷远），重新选择在面上距离导线R0的P0点为零点，仅考虑-M到M的有限导线，第9页/共47页10积分结果是发散的。这是由于电势零点（无穷远处）选择不当造11对于无穷长的导线（利用了洛比达法则）设P0点为电势零点由高斯定理可得相同结论。第10页/共47页11对于无穷长的导线（利用了洛比达法则）设P0点为电势零点由12静电学的基本问题：求满足边界条件的泊松方程的解。

在什么样的边界条件下，电场是唯一的？考察系统：含有介质空间V可分为若干个均匀区域Vi，其中区域Vi

内充满电容率为ei的均匀介质。

唯一性定理：给定区域内自由电荷分布，且给定边界面上或者，则区域内电场唯一确定。§2唯一性定理问题：讨论：1）在数学上矢量场的唯一性定理：一个矢量场被它的散度、旋度和边值条件唯一确定。2）上述条件决定的静电势可以相差一个常数，它们对应同一个电场。一、绝缘介质情形的唯一性定理第11页/共47页12静电学的基本问题：求满足边界条件的泊松方程的解。在什么13(反证法)

假设存在两个不同的解满足方程和边界条件。令，在每个均匀分区内有在两均匀介质分区的分界面上证明：第12页/共47页13(反证法)

假设存在两个不同的解满足方程和边界条件。14对第i个均匀介质分区，运用高斯定理，有对于上式左端积分，在分界面两边，有所以，在内部分界面上的积分为0，

第一种情形：给定外表面上电势

上式左端积分为零。

第二种情形：给定外表面处法向微商

上式左端积分也为零。第13页/共47页14对第i个均匀介质分区，运用高斯定理，有对于上式左端积15电势附加常量对电场无影响，所以电场是唯一确定的。

第一类：给定导体表面上的

第二类：给定导体上的电荷

对于第一类边界条件，只要把导体存在的空间扣除，即可证明电场被唯一确定。

对于第二类边界条件，在导体外，电荷分布给定，大区域表面上电势或电势的法向导数给定；每个导体上的总电荷给定。

二、有导体存在情形的唯一性定理1.两类边界条件第14页/共47页15电势附加常量对电场无影响，所以电场是唯一确定的。第一16对于第i个导体，选择包裹该导体的封闭曲面为高斯面，法线方向由导体内指向外。（反证法）设有两个不同电势均满足Poisson方程，令对于每个导体证明：第15页/共47页16对于第i个导体，选择包裹该导体的封闭曲面为高斯面，法线方17对于扣除导体的空间体积

导体表面电势是常数，

（不能写为零）在区域外表面，

。所以，

电场唯一确定。

可以猜想，电场强度

这样的电场强度对应的电势满足Poisson方程。这样的解在介质分界面处满足边值关系：电场强度切向分量连续，电位移矢量法向分量连续；导体表面是等势面。Ex.第16页/共47页17对于扣除导体的空间体积导体表面电势是常数，（不能写为18只要满足导体球上带电量为Q的条件，由唯一性定理，猜想的电场就是要求的解。作一包裹导体球的Gauss面，第17页/共47页18只要满足导体球上带电量为Q的条件，由唯一性定理，猜想的19如果在考察的空间内没有电荷分布，电势满足Laplase方程它可以用分离变量法求解。在球坐标下

其解为

为缔合勒让德（Legendre）函数。静电场问题变为根据边值关系确定式中待定系数的问题。

§3拉普拉斯方程分离变量法第18页/共47页19如果在考察的空间内没有电荷分布，电势满足Laplase方20轴对称情形：

为Legendre函数。

第19页/共47页20轴对称情形：为Legendre函数。第19页/共4721

由于系统具有球对称性，所以电势应该与q

无关，有n=0内部导体球接地，导体壳是个等势体，选择包含球壳的面为高斯面（有两个球面）Ex.1接地导体球与带电导体球壳第20页/共47页21由于系统具有球对称性，所以电势应该与q无关，有22无穷远处电势为零，现求解导体球上感应电荷，选择包裹导体球的球面为高斯面，第21页/共47页22无穷远处电势为零，现求解导体球上感应电荷，选择包裹导体球23

极化电荷是有限的，对无穷远处的电场无影响。所以，在无穷远处

Ex.2均匀外电场中的介质球。

在坐标原点，电势应有限，第22页/共47页23极化电荷是有限的，对无穷远处的Ex.2均匀外电场24

在介质球表面处，电势满足

勒让德函数是相互正交独立的函数，所以对于不同的n值，它们的系数应该相等。

比较P1的系数，

第23页/共47页24在介质球表面处，电势满足勒让德函数是相互正交独立的函25比较Pn(n不为1)的系数，所以第24页/共47页25比较Pn(n不为1)的系数，所以第24页/共47页261）球内电场如右图所示，

球内电场比原电场弱。

讨论：第25页/共47页261）球内电场如右图所示，球内电场比原电场弱。讨论：272）介质球内的极化强度

介质球的总电偶极矩

电偶极矩激发电场的电势

这正好是球外电势中的第二项。

实际运用：静电选矿

矿石粉碎为小颗粒，每个颗粒电偶极矩在外场中，电偶极子所受力为

电偶极矩与电容率有关，不同矿物质所受外电场的作用力不同，可以根据这一原理挑选出不同的矿物质。第26页/共47页272）介质球内的极化强度介质球的总电偶极矩电偶极矩激发28

无穷大尖劈具有平移不变性，根据几何特征，选柱坐标是方便的。在尖劈以外

由于电势与Z无关，

设当n=0时，当n不为零时，Ex.4导体劈尖。第27页/共47页28无穷大尖劈具有平移不变性，根据几何特征，选柱坐标是方29现利用边界条件求待定系数：1）在q=0表面，电势为常数且与r无关，2）当r趋于零时，电势有限

所以，电势为

3）在q=2p-a表面，电势亦为常数，且与r无关，

要唯一确定电场，还需要另外的边界条件。

第28页/共47页29现利用边界条件求待定系数：2）当r趋于零时，电势有限30利用电场强度的边值关系，若a很小，。对于尖劈的两个表面，均有可见电荷在尖角附近分布很密集，尖角附近存在很强的电场。在尖角附近（r趋于零）

。注意到柱坐标下

讨论：第29页/共47页30利用电场强度的边值关系，若a很小，。对于尖劈的两个表面31

在有的情况下，可以用“假想”的点电荷去“等效”替代感应电荷（或束缚电荷），这种方法就是镜像法。用镜像法求解电场，应遵循的原则：

在考察空间（无自由电荷分布），电势满足Laplace方程；电势在边界面满足边界条件。用镜像法求解电场的理论根据是唯一性定理。考察空间：导体板上部空间（导体板接地，所以电场仅存在于导体板上部空间。

镜像电荷：用等效电荷代替导体板上的感应电荷。且分布在对称位置。

在导体板上部空间，电势为

§4镜象法Ex.1求导体板上部空间中的电场。第30页/共47页31在有的情况下，可以用“假想”的点电荷去“等效”替32考察空间：导体球外部空间。镜像电荷：用位于对称轴上的等效代替导体球面上的感应电荷。

球面上任意点P的电势

镜像电荷不应随P变化，。若镜像位置满足由三角形相似，Ex.2接地导体球外空间的电场。第31页/共47页32考察空间：导体球外部空间。球面上任意点P的电势镜像电33导体球外部空间的电势为

讨论：取包裹导体球的球面为Gauss面。对原系统，面内包含全部感应电荷；对等效系统，高斯面上电场与原系统一致。所以感应电荷的总电量就是镜像电荷。因为|Q'|<Q，仅有部分电力线终止于球表面，另外的电力线终止于无穷远。第32页/共47页33导体球外部空间的电势为讨论：取包裹导体球的球面为Ga34从导体球发出的总电通量为

在上题的系统中，在球心处再放一镜像电荷Q''（等效系统由Q、Q'、Q''组成），球面上仍是等势面。由电通量条件，

电荷Q所受作用力为

Q'和Q"对它的作用力。

Ex.3导体球外空间的电场。第33页/共47页34从导体球发出的总电通量为在上题的系统中，在球心处再放一35函数展开:展开适用条件:对于小区域分布的电荷系统，，展开电势§6电多极矩一、电势的展开第34页/共47页35函数展开:展开适用条件:对于小区域分布的电荷系统，，展开36令电偶极矩电四极矩

对于多点电荷系统，电偶极矩

对于电荷连续分布带电体，电偶极矩

电四极矩可用张量（并矢）表示

两个三维矢量可以构成并矢说明：关于并矢：第35页/共47页36令电偶极矩电四极矩对于多点电荷系统，电偶极矩对37它有9个分量，可以用3×3矩阵表示

另一个并矢

并矢的标积：。对于各个分量都要计算。

第36页/共47页37它有9个分量，可以用3×3矩阵表示另一个并矢并矢的标38电势展开:

电势展开式第一项

为点电荷激发的电势。

电势展开式第二项二、电多极矩及其电势第37页/共47页38电势展开:电势展开式第一项为点电荷激发的电势。39

考察右图所示电偶极子在远区（R>>l）激发的电势第38页/共47页39考察右图所示电偶极子在远区（R>>l）激发的电40可见电势展开式第二项是电偶极子激发的电势。

电势展开式第三项

是电四极矩产生的电势。

可见：电势=点电荷激发电势＋电偶极矩激发电势＋电四极矩激发电势＋…。

右图所示系统总电荷为零，电偶极矩也为零，只有电四极矩（的某些分量）不为零。这样的系统的电势只有电四极矩（非零分量）激发的电势。三、几种具有电四极矩的简单系统第39页/共47页40可见电势展开式第二项是电偶极子激发的电势。电势展开式41以第三个系统为例，正、负点电荷距离原点分别为b

和

a

单个电偶极子激发的电势双电偶极子激发的电势。作展开

第40页/共47页41以第三个系统为例，正、负点电荷距离原点分别为b和a42电势展开式第三项

这就是电四极矩激发的电势。

四、关于电四极矩1.电四极矩的重新定义第41页/共47页42电势展开式第三项这就是电四极矩激发的电势。四、关于电43引入Kronecker符号重新定义电四极矩张量或表为

与前面定义的电四极矩张量相比，对角线上元素不同，但非对角线上元素是相同的。电四极矩的性质：1）2）电四极矩的9个分量中只有6个是独立的。

第42页/共47页43引入Kronecker符号重新定义电四极矩张量或表为44对于非对角项作变换，可知球对称电荷分布系统也没有电偶极矩，没有更高阶极矩。

电四极矩反映了电荷分布对球对称的偏离。（应用：核物理中，可通过测量远场电四极矩项推算原子核形变。）Ex.球对称电荷分布系统。Ex.在z轴方向拉长的椭球（电荷分布均匀）。第43页/共47页44对于非对角项作变换，可知球对称电荷分布系统也没有电偶极矩45

旋转椭球体，其半长轴为a，半短轴为b，椭球方程为椭球体积为电荷密度为由令同样可得第44页/共47页45旋转椭球体，其半长轴为a，半短轴为b，椭球方程46在远处的总电势小区域电荷系统与外界的相互作用能,

五、电荷体系在外场中的能量第45页/共47页46在远处的总电势小区域电荷系统与外界的相互作用能,五、电471）展开式中三项分别是点电荷、电偶极子、电四极子在外场中的能量。2）电四极子只有在非均匀外场中才有不为零的相互作用能。3）关于电偶极子偶极子在外场中所受力利用公式

电偶极子在外场中所受力矩:设偶极矩和外场夹角为q一般地，第46页/共47页471）展开式中三项分别是点电荷、电偶极子、电四极子在外场中48感谢您的观看！第47页/共47页48感谢您的观看！第47页/共47页静电场的标势及其微分方程静电场的标势及其微分方程4950§1静电场的标势及其微分方程一、静电场的标势对于静电场引入标势（标量函数）第1页/共47页2§1静电场的标势及其微分方程一、静电场的标势对于静电51

静电场电场强度的积分与路径无关，只取决于初末位置。标势就是电磁学中的静电势。

某点电势值与参照点的选择有关，常选无穷远处电势为0，P点的电势为对于空间中两点第2页/共47页3静电场电场强度的积分与路径无关，只取决于初末位置。52

对于单个点电荷系统：

对于多个点电荷系统：

对于电荷连续分布的带电体：二、静电势的计算三、静电势满足的微分方程及边值关系1.静电势满足的微分方程对线性均匀介质这称为Poisson方程。第3页/共47页4对于单个点电荷系统：对于多个点电荷系统：对于电荷532.静电势满足的边值关系设P1和P2为介质界面两侧邻近两点由于电场有限，两点的距离趋于零这一关系与等价

在介质分界面处选择四个点，P1与P2邻近，P1′与P2′邻近。P1到P1‘的距离△l足够小，故Dl取向具有任意性，故在界面两侧，电场强度切向分量相等。解释：第4页/共47页52.静电势满足的边值关系设P1和P2为介质界面两侧邻54j为导体外表面附近的电势，法向由导体内指向导体外对于导体电势的另一边值关系由电场法向分量边值关系得到，第5页/共47页6j为导体外表面附近的电势，法向由导体内指向导体外对于导55线性介质中静电场的总能量上式还可以表为四、静电场能量第6页/共47页7线性介质中静电场的总能量上式还可以表为四、静电场能量第56

不应视为电场的能量密度。对于静电场，也不能认为电场能量只是存储于电荷分布的空间，更不能认为存储于电荷；只是对于静电场，能量才可表为这表明电场能量与电荷分布有关。对于随时间变化的电场，磁场亦要激发电场，电场总能量不能完全通过电荷分布来表示。讨论：第7页/共47页8不应视为电场的能量密度。讨论：第7页/57设坐标原点O的电势为零均匀电场不衰减，不宜选无穷远处为零势点。

导线单位长度带有电荷为t,

在P点的电势为解：解：Ex.2均匀带电的无限长直导线的电势。Ex.1均匀电场的电势。第8页/共47页9设坐标原点O的电势为零均匀电场不衰减，不宜选无穷远处为零58积分结果是发散的。这是由于电势零点（无穷远处）选择不当造成（电荷分布至无穷远），重新选择在面上距离导线R0的P0点为零点，仅考虑-M到M的有限导线，第9页/共47页10积分结果是发散的。这是由于电势零点（无穷远处）选择不当造59对于无穷长的导线（利用了洛比达法则）设P0点为电势零点由高斯定理可得相同结论。第10页/共47页11对于无穷长的导线（利用了洛比达法则）设P0点为电势零点由60静电学的基本问题：求满足边界条件的泊松方程的解。

在什么样的边界条件下，电场是唯一的？考察系统：含有介质空间V可分为若干个均匀区域Vi，其中区域Vi

内充满电容率为ei的均匀介质。

唯一性定理：给定区域内自由电荷分布，且给定边界面上或者，则区域内电场唯一确定。§2唯一性定理问题：讨论：1）在数学上矢量场的唯一性定理：一个矢量场被它的散度、旋度和边值条件唯一确定。2）上述条件决定的静电势可以相差一个常数，它们对应同一个电场。一、绝缘介质情形的唯一性定理第11页/共47页12静电学的基本问题：求满足边界条件的泊松方程的解。在什么61(反证法)

假设存在两个不同的解满足方程和边界条件。令，在每个均匀分区内有在两均匀介质分区的分界面上证明：第12页/共47页13(反证法)

假设存在两个不同的解满足方程和边界条件。62对第i个均匀介质分区，运用高斯定理，有对于上式左端积分，在分界面两边，有所以，在内部分界面上的积分为0，

第一种情形：给定外表面上电势

上式左端积分为零。

第二种情形：给定外表面处法向微商

上式左端积分也为零。第13页/共47页14对第i个均匀介质分区，运用高斯定理，有对于上式左端积63电势附加常量对电场无影响，所以电场是唯一确定的。

第一类：给定导体表面上的

第二类：给定导体上的电荷

对于第一类边界条件，只要把导体存在的空间扣除，即可证明电场被唯一确定。

对于第二类边界条件，在导体外，电荷分布给定，大区域表面上电势或电势的法向导数给定；每个导体上的总电荷给定。

二、有导体存在情形的唯一性定理1.两类边界条件第14页/共47页15电势附加常量对电场无影响，所以电场是唯一确定的。第一64对于第i个导体，选择包裹该导体的封闭曲面为高斯面，法线方向由导体内指向外。（反证法）设有两个不同电势均满足Poisson方程，令对于每个导体证明：第15页/共47页16对于第i个导体，选择包裹该导体的封闭曲面为高斯面，法线方65对于扣除导体的空间体积

导体表面电势是常数，

（不能写为零）在区域外表面，

。所以，

电场唯一确定。

可以猜想，电场强度

这样的电场强度对应的电势满足Poisson方程。这样的解在介质分界面处满足边值关系：电场强度切向分量连续，电位移矢量法向分量连续；导体表面是等势面。Ex.第16页/共47页17对于扣除导体的空间体积导体表面电势是常数，（不能写为66只要满足导体球上带电量为Q的条件，由唯一性定理，猜想的电场就是要求的解。作一包裹导体球的Gauss面，第17页/共47页18只要满足导体球上带电量为Q的条件，由唯一性定理，猜想的67如果在考察的空间内没有电荷分布，电势满足Laplase方程它可以用分离变量法求解。在球坐标下

其解为

为缔合勒让德（Legendre）函数。静电场问题变为根据边值关系确定式中待定系数的问题。

§3拉普拉斯方程分离变量法第18页/共47页19如果在考察的空间内没有电荷分布，电势满足Laplase方68轴对称情形：

为Legendre函数。

第19页/共47页20轴对称情形：为Legendre函数。第19页/共4769

由于系统具有球对称性，所以电势应该与q

无关，有n=0内部导体球接地，导体壳是个等势体，选择包含球壳的面为高斯面（有两个球面）Ex.1接地导体球与带电导体球壳第20页/共47页21由于系统具有球对称性，所以电势应该与q无关，有70无穷远处电势为零，现求解导体球上感应电荷，选择包裹导体球的球面为高斯面，第21页/共47页22无穷远处电势为零，现求解导体球上感应电荷，选择包裹导体球71

极化电荷是有限的，对无穷远处的电场无影响。所以，在无穷远处

Ex.2均匀外电场中的介质球。

在坐标原点，电势应有限，第22页/共47页23极化电荷是有限的，对无穷远处的Ex.2均匀外电场72

在介质球表面处，电势满足

勒让德函数是相互正交独立的函数，所以对于不同的n值，它们的系数应该相等。

比较P1的系数，

第23页/共47页24在介质球表面处，电势满足勒让德函数是相互正交独立的函73比较Pn(n不为1)的系数，所以第24页/共47页25比较Pn(n不为1)的系数，所以第24页/共47页741）球内电场如右图所示，

球内电场比原电场弱。

讨论：第25页/共47页261）球内电场如右图所示，球内电场比原电场弱。讨论：752）介质球内的极化强度

介质球的总电偶极矩

电偶极矩激发电场的电势

这正好是球外电势中的第二项。

实际运用：静电选矿

矿石粉碎为小颗粒，每个颗粒电偶极矩在外场中，电偶极子所受力为

电偶极矩与电容率有关，不同矿物质所受外电场的作用力不同，可以根据这一原理挑选出不同的矿物质。第26页/共47页272）介质球内的极化强度介质球的总电偶极矩电偶极矩激发76

无穷大尖劈具有平移不变性，根据几何特征，选柱坐标是方便的。在尖劈以外

由于电势与Z无关，

设当n=0时，当n不为零时，Ex.4导体劈尖。第27页/共47页28无穷大尖劈具有平移不变性，根据几何特征，选柱坐标是方77现利用边界条件求待定系数：1）在q=0表面，电势为常数且与r无关，2）当r趋于零时，电势有限

所以，电势为

3）在q=2p-a表面，电势亦为常数，且与r无关，

要唯一确定电场，还需要另外的边界条件。

第28页/共47页29现利用边界条件求待定系数：2）当r趋于零时，电势有限78利用电场强度的边值关系，若a很小，。对于尖劈的两个表面，均有可见电荷在尖角附近分布很密集，尖角附近存在很强的电场。在尖角附近（r趋于零）

。注意到柱坐标下

讨论：第29页/共47页30利用电场强度的边值关系，若a很小，。对于尖劈的两个表面79

在有的情况下，可以用“假想”的点电荷去“等效”替代感应电荷（或束缚电荷），这种方法就是镜像法。用镜像法求解电场，应遵循的原则：

在考察空间（无自由电荷分布），电势满足Laplace方程；电势在边界面满足边界条件。用镜像法求解电场的理论根据是唯一性定理。考察空间：导体板上部空间（导体板接地，所以电场仅存在于导体板上部空间。

镜像电荷：用等效电荷代替导体板上的感应电荷。且分布在对称位置。

在导体板上部空间，电势为

§4镜象法Ex.1求导体板上部空间中的电场。第30页/共47页31在有的情况下，可以用“假想”的点电荷去“等效”替80考察空间：导体球外部空间。镜像电荷：用位于对称轴上的等效代替导体球面上的感应电荷。

球面上任意点P的电势

镜像电荷不应随P变化，。若镜像位置满足由三角形相似，Ex.2接地导体球外空间的电场。第31页/共47页32考察空间：导体球外部空间。球面上任意点P的电势镜像电81导体球外部空间的电势为

讨论：取包裹导体球的球面为Gauss面。对原系统，面内包含全部感应电荷；对等效系统，高斯面上电场与原系统一致。所以感应电荷的总电量就是镜像电荷。因为|Q'|<Q，仅有部分电力线终止于球表面，另外的电力线终止于无穷远。第32页/共47页33导体球外部空间的电势为讨论：取包裹导体球的球面为Ga82从导体球发出的总电通量为

在上题的系统中，在球心处再放一镜像电荷Q''（等效系统由Q、Q'、Q''组成），球面上仍是等势面。由电通量条件，

电荷Q所受作用力为

Q'和Q"对它的作用力。

Ex.3导体球外空间的电场。第33页/共47页34从导体球发出的总电通量为在上题的系统中，在球心处再放一83函数展开:展开适用条件:对于小区域分布的电荷系统，，展开电势§6电多极矩一、电势的展开第34页/共47页35函数展开:展开适用条件:对于小区域分布的电荷系统，，展开84令电偶极矩电四极矩

对于多点电荷系统，电偶极矩

对于电荷连续分布带电体，电偶极矩

电四极矩可用张量（并矢）表示

两个三维矢量可以构成并矢说明：关于并矢：第35页/共47页36令电偶极矩电四极矩对于多点电荷系统，电偶极矩对85它有9个分量，可以用3×3矩阵表示

另一个并矢

并矢的标积：。对于各个分量都要计算。

第36页/共47页37它有9个分量，可以用3×3矩阵表示另一个并矢并矢的标86电势展开:

电势展开式第一项