立体几何初步-起始课教学与反思

几何初步起始课的教学与章 首都师大附中 对本章教与学的基本认识１．１本章内容的数学分析几何初步是新课程必修２的一章内容也是高中学段几何部分的起始课程它在土木建筑机械设计航海测绘等大量实际问题中都有广泛的应用与传统的几何体系相比新课程对几何的体系结构作了重新设计从对空间几何体的整体观察入手通过直观图三视图认识空间的基本几何体柱锥球台再研究组成空间几何体的点直线和平面这种安排降低了几何学习入门难的门槛强调几何直观，突出具体几何模型的使用适当淡化几何的推理论证有助于帮助学生通过直观具体的模型过渡到抽象定义从自然语言过渡到数学语言逐步习惯用图形语言符号语言进行表达和思考有利于激发学生学习几何的．由于是用平面几何图形表达三图形的因此与初中平面几何的学习有很大的差异．在初中平面几何学习中可以的直接借助于图形的直观信息线段和角的相等三角形的全等与相似线段的相交垂直与平行等发现问题解决的方向和途径但是在几何中眼看未必为实相交的也许是异面的不垂直的也许实际是垂直的这就需要学生有较强的空间想象能力能够依据语言描述或看到的几何直观图在头脑中构建出空间实际图形的线面位置关系空间想象能力既是学习几何的所需的基本能力同时它也需要在几何的学习中得到进一步的培养和提高比如这一特点在几何定理系统的学习过程中表现最为突出定理系统的理解和掌握会使空间触角伸得更长更远．１．２学生在义务教育阶段学习空间与图形时

已经认识了一些具体的棱柱如正方体长方体等对圆柱圆锥和球的认识也比较具体直观．同时还学习了一种空间几何体的平面表达方法三视图三视图的学习对空间想象能力的培养有很高的价值．平面几何的学习对几何既有有利的一面如推理论证的一般思想方法添加辅助线构建定理的基本几何图示等对几何的学习是有帮助的但是学生的一些惯性思维也会对几何学习形成如平面的结论在几何中不都是成立垂直于同一直线的两直线平行在几何中学生不加判断地去使用或者不加考证地使用平面几何的类比结论垂直于同一个平面的两个平面平行还有就是考虑问题时思维总停留在平面上缺少在三条件下进行思考的．１．３本节作为几何初步的起始课在激发学生学习主动性上应给予的关注本课在设计上侧重于几何的价值和知识体系的展开脉络的认识以周围世界中的几何体→简单几何体→空间图形的平面表示→抽象出点线面位置关系→比较平面几何与几何学习特点为线索向学生逐步展开几何的知识画卷．２教学过程问题１ 丰富的图形世界中从太空的天体到现实世界的建筑从居家的装饰家具到生活用品器具再从机械零件到微观世界的分子结构自然界展现了丰富多彩的几何图形请看下列你能从中找到哪些熟悉的空间图形？说明教师简单点评引导学生认识空间复杂几何体一般都是由一些柱锥球等简单几何体组合而成的并几何学的研究对象和在各领域的广泛应用价值设计意图使学生从展示中感受几何与的生活环境密切相关学习几何知识对更好的认识周围的环境具有重要价值和意义增强这一章内容与学生的亲近感．２．２空间几何体的平面图形表示问题２为了便于对几何图形的研究需要用平面图形来表示空间几何体你知道有哪些用平面图形来表示空间几何图形的方法呢？学生可能答案相片绘画三视图等教师ｔ显示一张能够清楚表现物体的空间形状与用眼睛直接看到几乎是一样的．问题３为什么能很好的表现三物体呢？（停顿１０秒后显示眼睛成像示意图和照相机成像示意图）教师观察两幅成像示意图可以发现它们成像的光学原理一样！人眼被看作一个点由此

发来观察景物从景物上的每一点出发通过人眼的光线形成一个投影锥根据这一原理画面本身就是含有投射锥的一个截景实际上是把图形本身在眼睛中的影像来了但是你知吗？人类是经过了非常漫长的时间一直到文艺复兴时期人们才掌握了真实表现三物体的方法显示）本图取自 图中显示透过格子紗窗来透过影像画家们搞出来的聚焦体系其基本思想是投影和截面取景原理这与相机的成像原理相同从数学上看这个截景就是一张平面与投影锥相截的一部分截面．显示一幅纸盒子的问题４的成像原理是中心投影观察这幅看看中心投影得到具有怎样的特点近大远小平行等长的线段被中心投影后一般不再保持平行和等长只有和投影面平行的那些平行线段仍保持平行性．教师在整个绘画史上绘画的体系大致分为两大类观念体系与光学体系能够比较真实表现物体的画法是光学体系这种方法试图处理空间距离体积质量和视觉印象将图形本身在眼睛中的映像表达出来世纪和世纪早期几乎所有的绘画大师都试图将绘画中的数学原理与数学和谐实用学的特殊性质和主要目的．结合起来达．及其它许多人都对数学有浓厚的而且力图将数学应用于艺术达．坚持认为绘画的目的是再现自然界而绘画的价值就在于精确的再现因此绘画是一门科学和其他科学一样其基础是数学他用一句话概括了他的艺术专论的思想欣赏作品的人没有一个不是数学家同样，在圆规直尺的量测法中对指责他作品的画家写道：“……为什么这种画家不晓得他们自己的错误唯一的理由是他们没学习几何没学习几何就无法成为一位艺术家这应该怪他们对绘画艺术的无知．”数学对绘画艺术作出了贡献绘画艺术也给了数学以丰厚的回报画家们在发展聚焦体系的过程中引入了新的几何思想并促进了数学的一个全新方向的发展这就是射影几何如果在大学选择了数学系会学习这门带有绘画艺术气息的数学课．显示两幅绘画作 达·的最后晚餐和的圣母的婚礼教师：!"#“最后的晚餐描绘出了真情实感，一眼看去与真实生活一样观众似乎觉得达·就在画中的房子里墙楼板和天花板上后退的光线不仅清晰地衬托出了景深而且经仔细选的光线集中在头上从而使人们将注意力集中于个门徒分成３组每组４人对称地分布在的两边本人被画成一个等边三角形这样的描绘目的在于表达的情感和思考并且身体处于一种平衡状态．问题５你能找到两幅绘画作品的中心投影点吗学生回答后在的画面上显示投影线设计意图从入手介绍相机成像原理和人眼的视觉原理并介绍历史上绘画发展中数学与绘画艺术的互相推动作用使学生在了解中心投影表示空间几何图形的方法的同时也感受

到数学对人类文明发展的价值和意义激发学生对几何学习的．教师在日常生活中有这样的经验体在光下都会有ＰＰＴ展示物体的影子的在物理学习中知道光可以近似的认为是平行光把物体在平行光下的投影称为平行投影．ＰＰＴ上给出平行投影的概念及图示实际上在小学和中学中看到的一些几何图形就是利用平行投影表示的ｔ给出正方体堆积的图形）问题６观察ｔ上的两个正方体图形平行投影与中心投影的图形有何不同？学生不难发现正方体中平行且等长的线段仍保持平行且等长．教师思考为什么在数学研究中选择行投影表示空间图形说明教师结合学生所讲的可补充讲解在数学研究中不关心色彩光亮度材质等要素更关心图形中的点线面的位置关系而平行投影表示的图形一方面所画图形与它在我们眼中的映像比较相近另一方面又很好的保留了几何图形原有的平行线段比值不变等性质所以一般采用空间图形在平行投影下的平面图形来表示这个空间图形中柱锥台等几何体图形实际上就是依据斜二侧画法画出的在后续课程中详细学习斜二侧画法画图设计意图使学生感觉到对几何的平面图形表示并不陌生甚至在小学就已经见过了在高中几何的学习中只不再仅仅满足于看而且要动手亲自去画学习这种图形的绘制规则并从直观感知上初步了解平行投影的图形２．３空间点线面位置关系问题７观察这长方体模型或手中的或者教室你认为在空间中的点线面有哪些位置点与线点上点外点与面点在面上点在面外线与线平行异面相交线与面线与面平行线与面相交线在面内面与面面与面平行面与面相交说明本问题仅限于理清点线面有何位置关系不给出其符号表示和图形表示．设计意图 通过对具体实物的观察发现并梳理空间中点线面的位置关系明确几何初步全章的重点研究内容．２．４几何与平面几何学习的区别与联问题８展示的图形你认为它们分别是从哪个角度看到的图形？教师为了避免视觉上的可以借助实虚表示线段是否被遮挡另一方面也可以借助其它线段来表示它们的位置如下图：设计意图问题８旨在使学生了解图中的虚实线的意义了解看图的方法认识到学习几何识图绘图的重要性．问题９请正方体ＡＢＣＤＡ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中的四边形在实物中是什么图形图中相交的线段ＤＣ与ＢＢ在实物中的关系又是怎样的？图中ＡＤ与ＡＡ１，ＡＢ所成角在实物中是怎样的？

教师平面几何中图形的点线位置关系与实物一致几何中的几何直观图的点线面位置关系与实物不一定一致因此在几何视图时需要借助空间的想象和理性的推理分析比如下面问题：问题１０下列哪些正方体是由该展开图折叠而成的？教师点评别看有的同学回答的很迅速但不一定正确今天我暂时不答案建议课下通过制作模型检验自己的想法的正确性几何的学习需要具备一定空间想象能力同时也能提升的空间想象能力几何的学习需要建立一种对空间位置关系进行思考断的视角和方法例如问题１１在平面几何中知道垂直于同一直线的两直线互相平行那么这一结论在立体几何中是否成立？你能否借助图中立方体来进教师点评在思考问题时要树立空间思维意识有意识克服平面几何思维的惯性这样就可以避免不加思考的把平面几何结论拿到几何中来使用又比如以六根火柴棍为边以首尾相接的方式最多可搭出几个三角形只局限在平面上思考就会很困惑．问题１２请谈谈几何与平面几何在依据图形分析几何位置关系时有何不同？设计意图问题９１２旨在使学生关注到平面几何与几何学习的不同之处对问题１０教师不答案目的是减少对此问题感觉的部分同学的压力因为部分同学已经从周围同学的反映有些同学稍作思考就有了答案有的同学可能毫无头绪认识到自己空间想象力的不足已经感觉到压力这已经可以促使学生重视后面的模型制作任务．２．５动员学生积极参加模型制作比赛教师空间想象力既是学习研究空间问题的基础同时也会在几何的学习中得到进一步的发展与提高下面一些做法对发展空间想象力很有好处：观察实物先观察然后略去物体的材质颜色等要素在头脑中努力勾勒出其线条结构形成抽象的空间形状与结构．绘制图形把头脑中的空间形状与结构在纸上按特定规则表达出来识别图形翻看中的直观图把看到的直观图在头脑中还原成结构形成实物若有则可采取动手操作．动手操作用笔木棍等搭建几何体另外还可以先旋转改变模型的各种位置然后闭上眼在头脑中想象操作是看到的模型各位置特征成对空间几何元素的操作序列设计意图指导学生如何更快地去发展提高自己的空间想象能力教师为了更顺利地学习几何做好备举行一次模型制作比赛活动期待大家积课下活动安排几何体模型制作大赛一如何制造几何体的模型第一类利用展开图制作几何体１．通过阅读必修２，了解棱柱棱锥棱台等简单的几何体的结构特征；２．研究一个几何体有几种展开图即有多少种裁剪方案？并把他们画出来；３．在制作中要求每一个接缝处需在一边留出抹胶水的余量如图中阴影然后制作成几４．完成后请和其他同学的作品比较一下，哪种接缝更少？对于制作相同四面体哪种更节省材料？你认为怎样的制作更好？第二类利用小棍做为几何体的棱制作出几二必型作出正方体正三棱柱斜四柱正三棱锥正四面体即四个面都是正三角形的几何体的第一类和第二类模型．三选型你能研究的有性的几何体．四完成时间五一假后上交模型五方案每班评选５名最佳模型获奖作品在橱窗进行展览获奖作者在模块总评中

２分展示往届学生做的几何模型设计意图 在进入几何初步学习之前，用这项活动促进学生对柱锥台等几何体直观认识，在头脑中建立具体几何模型构图建立培养学生的空间想象力．３教学３．１起始课要体现统领全局的地位起始课是一章内容的开篇教学的效果会直接影响学生对这一部分知识后续内容的学习因此，对于一章的起始课需要花更大的精力去研究如何上好起始课实现一章学习的良好开端，而不是急于进入知识的讲解技能的训练习题的演练在几何初步的开篇课应努力做好以下几个方面：１．在学习活动中使学生认同本章内容的应用价值借助数学史和有趣味的性的问题激发学生学习的引起学生对本章学习的期待．２．要让学生初步了解几何初步的知识脉络揭示本章知识的学习特点学习的方法和能力的要求．３．在学习活动中让学生发现不足差异清楚弥补差异的方法与途径．此外本课特点是附以模型制作比赛调动学 简单几何体部分的积极动手操作在学生与操作的交互活动中初步认识简单几何体的结构特征了解几何体的直观图画法，有效延长了本章学习的准备时间从实际效果来看，基本实现了预期学生对简单几何体的结构有了比较好的认识确实为一周后的几何学习起了很好的铺垫性作用．３．２起始课要注意的几个问题３．２．１在教学方式上避免告知与其它课一样需要注意运用多种教学策略与由于在起始课要使学生了解本章内容的相关背景应用的价值初步认识全章的知识脉络体系及其与其它知识的联系明确本章内容学习的特点及能力要求等教师为了节省课堂上的时间快速进入具体教学内容很容易走上告知式的教学这种教学就会使课堂显得平淡无味而缺乏生气很难达到原本要实现的教学目标，下转第４２页２０２２２０ ２ ２２２ｐｘ０２２

圆内圆有如此神奇的性质圆外圆也有类似２２＞ａ２ａ

为圆心半径＝′２ ａ的０２２２０＋２２２＋２２２ ０

ｐ ｐ

ａａ

Ｏ

槡２

２ >＋>

故圆与

ａ２ｐ２

２ｐ２２２

圆不可能相离或外切ａ

ａ Ａｘｙｘ２

２＝ａ２ ０ ｒ．２

ｘ２＋ｙ２故直线ＢＣ与Ｄ圆相切 ２ ａ假设ＡＢＡＣ之一斜率不存在也可证得 （

２２＞ａ２外任一点过线与Ｄ圆相切若Ａｘ００中ｙ＝０，也易证得ＢＣＤ圆相切定理１证完定理１可换一种说法表述定理若圆Ｏ及圆分别是△ＡＢＣ的外接圆与内切圆为圆Ｏ上任一点作圆Ｏ′的两条切线与圆Ｏ分别交于则圆也是的内切圆

２作圆的两条切线与Ｏ圆分别交于ＢＣ两点圆是△的旁切圆．仿定理１可证定理２的另一