概率论-1.1概述与数理统计是研究随机现象统计规律性

关于本学科概率（或然率或几率）----随机事件出现的可能性的量度。概率论是一门研究客观世界随机现象的统计规律性的数学分支学科。数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，从而对所 的问题作出推断或直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议的数学分支学科。本学科的应用概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中。概率论与数理统计有广泛应用(1).金融、信贷、医疗保险等行业策略制定；

(2).流水线上产品质量检验与质量控制；

(3).服务性行业中服务设施及服务员配置；(4).生物医学中病理试验与药理试验；食品保质期、

分析，电器与电子产品

分析；物矿探测、环保监测、机械仿生与考古；第一章随机事件§1.1

概述§1.2

事件的概率§1.3

古典概率模型§1.4

条件概率§1.

的独立性客观现象的分类1.确定性现象(1)必然现象--------在一定的条件下必然出现某种结果的现象。例1:在标准大气压下，水加热到100度一定沸腾.例2:在地球上向上抛一个石子一定下落.(2)不可能现象--------例1:掷

时“点数大于七”例2:动物长生不老.在一定条件下必不发生的现象。2.随机性现象-----在相同条件重复观察，其每次结果未必相同，这样不可预知结果的现象称为随机性现象。例1:，掷

(1点到6点的哪个点?)例2:打靶(多少环?)例3:一段时间内所接到的

次数注意:对同一个事物同一个过程的不同特征进行观察可能观察到的是不同的现象.(确定性现象/随机性现象)例:观察一个人的一生.观察他最终是生是死,结果是确定性现象.观察他活多少岁,这是随机性现象(不可预知他的

)“天有不测风云”和“天气可以预报”有无

?想某

中10个妇生了7个男孩3个

,☆天有不测风云指的是：对随机现象进行一次观测，其观测结果具有偶然性；☆天气可以预报指的是：观测者通过大量的气象资料对天气进行

，得到天气的变化规律。随机现象的统计规律性-----少量现象不可预知，但进行大量观察时，随机现象呈现出的某种规律性。例1:生孩子了4个男孩6个但对于整个,某工厂中10个妇女省或整个中国来说,生男生女的比例是将近1:1的.第一章随机事件§1.1

基本概念1.1.1随机试验与事件I.

随机试验(1)试验---------对某种随机现象的一次观察、观测或测量(2)随机试验----------可在相同条件下重复进行；试验可能结果不止一个，但能确定所有的可能结果；(1点到6点)一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。(不知哪个点出现)在概率与数理统计中将随机试验简称为试验.记为E

。E1:掷

.II.

样本空间E1:掷一颗,观察所掷的点数是几，Ω1

={1,2,3,4,5,6}；E2:

观察某城市某个月内交通事故发生次数，

Ω2={0,1,2,…}；E3:

对某只灯泡实验，观察其使用

，Ω3={t,t≥0}；E4:

对某只灯泡做实验,观察其使用 是否小于200小时，Ω4={ 小于200小时， 不小于200小时}。对于随机试验，尽管在每次试验之前不能预知试验结果，但试验的所有可能结果所构成的集合却是已知的。称试验所有可能结果所构成的集合为样本空间，记为Ω。样本空间的元素,即随机试验的单个结果称为样本点，记为i若以Ωi

表示

试验

Ei

的样本空间,

i=1,2,3,4,

则III.随机事件基本事件-----由一个样本点组成的集合。不可能事件----空集.实际使用时样本点和基本事件的表示法没有明显的区别。1.随机事件的概念随机事件------样本空间Ω的任意一个子集,简称事件。符号用大写英文字母A，B，C等来表示。事件描述表示法常用描述性的关键短语加花括号(双引号)来表示事件.E:掷

,

可设A={奇数点},B={小于5的点}亦可设A表示事件“奇数点”B,表示“小于5的点”事件。则：样本空间-----由所有样本点组成的集合。复合事件-----

由若干个样本点组成的集合。例1.1.1

E1:掷一颗,观察所掷的点数是几，写出试验

E1的样本空间，下述集合表示什么事件？哪些是基本事件。解Ω1={1,2,3,4,5,6}.A1={1},A2={2},…,A6={6}━━分别表示所掷结果为一点至六点，都是基本事件；B={2,4,6}━━表示所掷结果为偶数点，复合事件；

C={1,3,5,}━━表示所掷结果为奇数点，复合事件；D={4,5,6}━━表示所掷结果为四点或四点以上，复合事件。E1.抽纸牌中的“方片A”…….“方片K”等为基本事件E2.掷

的“奇数点”、“偶数点”“大于2的点”E3.抽纸牌的“梅花”,“方片”,“王牌”等.为复合事件注意:只要做试验,就必会产生一个结果,即样本空间Ω中就会有一个点(样本点)出现。当结果

A

时，称事件A发生。事件A发生-------指在所进行的随机试验中，事件A所含的一个基本事件出现。E1:

掷一颗

,观察所掷的点数是几，事件“3点”事件“奇数点”事件“大于2的点”事件样本空间Ω如事件“3点”出现等事件都发生了。即每次试验中一定发生的事件。必然事件----注意：无论哪个基本事件出现，这个基本事件都在样本空间中，因此每次试验无论哪个基本事件出现，样本空间这个事件必发生，故相对于所研究的随机试验来说它的样本空间为必然事件。必然事件的符号与样本空间的相同，也是Ω例：掷 中

“小于7的点”为必要事件。不可能事件------

试验中一定不会发生的事件，即不含任何基本事件的事件。符号为Φ。例：掷 中

“大于7的点”为不可能事件。随机试验的例子设数字i

表示出现的点数,

i=1,2,3,4,5,6.则:Ω={1,2,3,4,5,6}而马的也可以直接写为:Ω={1点,2点,3点,4点,5点,6点}例2

若一个试验的结果是5匹马的比赛结束时所有马的名次,分别为1,2,3,4,5,则样本空间Ω为｛5！个(1,2,3,4,5)的全排列数｝；若试验是同时抛掷两个

，则样本空间由36个样本点组成，即

i,j

:i出现j点(i,j)表示第一个

出现i点，第二个例3一.只有有限个可能结果的随机试验.例1:

掷一颗

,观察所掷的点数是几，二.有无限个可数个可能结果的随机试验.的次数,例1:观察某交换台早晨8:00-9:00接到设数字i表示呼叫次数,i=0,1,2…..,则:Ω={0,1,2,….}三.可能结果不可数的随机试验.例1:在分析天平上称量某物品并记录称量的结果.记x为此物的称量,则Ω={x

|

x

0}例2:在一批灯泡中任取一个，测其记t为所取灯泡的,则Ω={t

|

t

0}例3:观察某块地的玉米产量.记y为此块地的玉米产量,

则Ω={y

|

0

y

M

}1.1.2事件的关系与运算I.集合与事件以下1,2,6,7,8介绍的是事件间的关系;3,4,5介绍的是事件间的运算.1.[关系]事件的包含(A

B

或者B

A)称B包含A

或

A包含于B集合角度:A中的每个样本点都属于B。概率角度:事件A发生

事件B发生，对于任一事件A都有:

A

ΩBAB

A(因事件A发生表示A中的一个基本事件在试验中出现,因为A的基本事件全属于B,也即是B发生).ΩA=B2.[关系]事件的相等：事件A包含于B，事件B也包含于A，称A与B相等。即:若A

B,B

A,则A

B3.[运算]事件的并（和）(A

B或者A

B)集合角度:A+B是由属于A或B的所有样本点构成的集合。概率角度:事件A+B发生表示事件A、B中至少有一个发生，即A或B发生.(因事件A+B发生表示A+B中的一个基本事件在试验中出现因为A+B的基本事件是属于A或B的,

也即是A或B发生).n个事件A1,A2

,,An

的并（和）可列个事件A1,

A2

,

的并（和）,

An

,

An

Ann1表示可列个事件中至少有一个发生,记为A1

表示n个事件中至少有一个发生,记为A1

A2

An或是A1

A2

An当A

B时，总有A

,A

A成立ΩBAB

A类似的可推广到多个事件相加,以及无数可列个事件相加.或

Ann14.[运算]事件的交（积）(AB

或A

B)集合角度:由既属于A又属于B的所有公共样本点构成的集合。当A

B时，有AB

AA

,A

A总成立ΩBAB

A概率角度:事件AB发生表示A与B都发生,即A且B发生(因事件AB发生表示AB中的一个基本事件在试验中出现,因AB的基本事件是既属于A又属于B的,

所以A与B都发生).5.[运算]事件的差(A-B)A-B称为事件A与B的差集合角度:

由属于A但不属于B的样本点构成的集合概率角度:

事件A-B发生表示A发生而B不发生.注意:

A-B

AA

B

A

ABA

B

A

(B

A)

B

(

A

B)A

B-AA-B

AB6.[关系]互不相容事件（互斥事件）集合角度:A与B是互不相容的AB=ΦAΩBA与B是互不相容的A与B没有公共的样本点.概率角度:A与B是互不相容的A与B不会都发生.(A与B不同时发生).例:

掷一颗

的试验，观察出现的点数：事件A表示“奇数点”；B表示“偶数点”；求AB解:

(显然有:

Ω={1,2,3,4,5,6},

A={1,3,5},

B={2,4,6}),因为A与B没有公共的基本事件,故AB=Φ即:

AA

7.[关系]对立事件(互逆事件)相互对立的事件在集合中相当于互补的关系.如果A与B是相互对立的,称B为A的对立事件记B

AAAA

A读作:非A,A反,A逆.

A

A

A

A显然也有:A

AA与B相互对立A与B互不相容A

B

A与B相互对立

AB

因为:AB事件A不发生事件A发生。A

B

AB8.[关系]Ω的一个划分A1,

A2

,,

AnA

A

A

1

2

n构成Ω的一个划分

Ai

Aj

(i

j)A

B

A与B相互对立

AB

因为:故A与A构成一个最小的划分.n个事件,其和为样本空间Ω且两两互不相容,它们就构成Ω的一个划分.A1AnAn12A3A对立事件有:

A与B例

掷一颗

的试验，观察出现的点数：事件A表示“奇数点”；B表示“偶数点”；C表示“小于3的点”，D表示“大于2小于5的点”

E表示“大于4的点”,求事件间的关系.解:

显然有:A={1,3,5},

B={2,4,6},

C={1,2}D={3,4},

E={5,6},

Ω={1,2,3,4,5,6}互不相容事件有:

A与B

C与D,

D与E,

C与E或说事件C,D,E两两互不相容C

D

E

又因为

A

B

C,D,E构成Ω的一个划分A,B构成Ω的一个最小的划分1.[关系]事件的包含[关系]事件的相等：[运算]事件的并（和）[运算]事件的交（积）5.[运算]事件的差(A-B)6.[关系]互不相容事件（互斥事件）7.[关系]对立事件(互逆事件)8.[关系]Ω的一个划分II.事件的运算法则(与集合运算法则相同)AA

A

A,

A

A

A

AA

A,

A

A1)A

B

B

AA(B

C)

AB

ACAB

BAA(B

C)

AB

ACAB

结合律：交换律分配律对偶原则A

(B

C)

(

A

B)

C

A(BC)

(

AB)CA

B

ABA

B对于多个随机事件,上述运算规则也成立A(A1+A2+…+An)=(AA1)+(AA2)+…+(AAn)，A1

+A2

+

+An

A1

A2

An

,A1

A2

An

A1

+

A2

+ +

An

.例1

掷一颗的试验，观察出现的点数：事件A表示

“奇数点”；B表示“点数小于5”；C表示“小于5的偶数点”，(已求出Ω={1,2,3,4,5,6}

A={1,3,5},

B={1,2,3,4},C={2,4}),求(A+B)-A,

A+(B-A),C-A,

A+B+C解:注意：事件运算不满足消去律.含有差的式子不满足结合律与交换律。(A+B)-

A=

{1,2,3,4,5}-

{1,3,5}=

{2,4}A+(B-A)=

{1,3,5}+{2,4}=

{1,2,3,4,5}C-A={2,4}-{1,3,5}=C,但A不是ΦA+B+C=(A+B)+C

={1,2,3,4,5}=A+B例2

从一批产品中每次取出一个产品进行试验(每次取出的不放回），事件Ai

表示第i次取到合格品,i=1,2,3,试用事件的运算符号表示.下列事件：（1）三次都取到合格品；（2）三次中至少有一次取到合格品；（3）三次中恰有两次取到合格品；（4）三次中至少有两次取到合格品。解:总试验的可能结果：合合合,非非非,合非非,非合非,非非合,非合合,合非合,合合非；

{A1

A2

A3

,

A1

A2

A3

,

A1

A2

A3

,

A1

A2

A3

,

A1

A2

A3

,

A1

A2

A3

,

A1

A2

A3

,

A1

A2

A3}（1）{三次都取到合格品}=A1

A2

A3（2）三次中至少有一次取到合格品；{三次中至少有一次取到合格品}={第一次取到合格品、第二次取到合格品、第三次取到合格品至少有一次发生}={第一次取到合格品}+{第二次取到合格品}+{第三次取到合格品}=A1

A2

A3={第一、二次取到合格品，第三次取到不合格品}

A1

A2

A3

A1

A2

A3

A1

A2

A3

A1

A2

A3

A1

A2

A3

A1

A2

A3

A1

A2

A3

A1

A2

A3

A1

A2A3

A1

A2

A3

A1

A2

A3

A1

A2

A3

(

A1

A1

)A2

A3

A1

A2

(A3

A3

)

A1

(A2

A2

)A3

A2

A3

A1

A2

A1A3

A1

A2

A2

A3

A1

A3（3）