教案信号与系统

本章主要内容双边Z变换及其收敛域ROC。ROC的特征，各类信号的ROC，零极点图。Z反变换，利用部分分式展开进行反变换。由零极点图分析系统的特性。常用信号的Z变换，Z变换的性质。用Z变换表征LTI系统，系统函数，LTI系统的Z变换分析法，系统的级联与并联型结构。单边Z变换，增量线性系统的分析。Z

变换与拉氏变换相对应，是离散时间叶变换的推广。Z

变换的基本思想、许多性质及其分析方法都与拉氏变换有相似之处。当然，Z变换与拉氏变换也存在着一些重要的差异。10.0

引言

(Introduction)由离散时间Fourier变换到z变换x[k]=2ku[k]的离散时间Fourier变换(DTFT)?

不存在!将x[k]乘以衰减因子rkDTFT{2k

u[k]

r

k

}

2k

r

k

e

j

kk

0k

0

2k

zk1

2z11令z

rej若|z|

2

2k

(re

j

)kk

0推广到一般情况DTFT{x[k]rk}

x[k]rke

jkk

z=rejx[k]zk

X

(z)k

定义z反变换cX

(z)z

dzX

(z)

x[k]zkk

1k

12πjx[k]

C为X(z)的收敛域(ROC)中的一闭合曲线双边z变换X

(z)zk

1dzx[k]

c

1

2πj正变换：X(z)=Z{x[k]}反变换：x[k]=Z1{X(z)}x[k]

z

X

(z)或物理意义：离散信号可分解为不同频率复指数zk的线性组合符号表示变换。n当

r

时1，

z

即

e为j离散时间这表明：DTFT就是在单位圆上进行的Z变换。X

(re

j

)

x(n)rne

jn

F[x(n)rn

]n可见：对x(n)做Z

变换就等于对x(n)rn做DTFT。因此，Z

变换是对DTFT的推广。X

(z)

x(n)zn其中z

r是e

j一个复数。10.1

双边

Z

变换一.双边Z变换的定义:The

z-Transform二.

Z变换的收敛域（ROC）：Z变换与DTFT一样存在着收敛的问题。并非任何信号的Z变换都存在。并非Z平面上的任何复数都能使X

(收敛。Z平面上那些能使X

(收敛的点的集合，就构成了X

(的收敛域（ROC）。X(z)存在或级数收敛的充分条件是

x[n]zn

n例1.

x(n)

anu(n)X

(z)

an1z

a

时收敛当

a

1

时，

ROC包括了单位圆。1

jX

(e

j

)

1

aez

aIm

单位圆Z平面Rea

1此时，

x(n

的DTFT存在。ze

j

X

(e

j

)显然有X

(z)|例2.x(n)

u(n)n0X

(z)

z1z

1此时，ROC不包括单位圆，所以不能简单地从得到ze。jX

(e

j

)ImRe通过X

将(Z平面1（例2的ROC）1jX

(e

)

1

e

j

(

2

k

)k

例3.

x(n)

anu(n

1)n

n11

X

(z)

an

zn

an

zn

a1z

11

a1z

1

az1Z平面Im

单位圆Rea

1例6.1和例6.3的结论是应该熟记的，在以后的学习将经常用到。z

aROC:例4.

x(n)

(

1

)n

u(n)

2n

u(n

1)1

2z1121X

(z)

1121

1

z1n

nn

nnn0(

)

z

2

z22ROC

:

1

z

2一般情况下，

X

(

的ROC是Z

平面上一个以原点为中心的圆环。1/2Z平面ImRe2单位圆结论：Z变换存在着收敛问题，不是任何信号都存在Z变换，也不是任何复数Z都能使X

(z)收敛。仅仅由X

(的表达式不能唯一地确定一个信号，只有X

(z)连同相应的ROC一道，才能与信号x(n)建立一一对应的关系。Z变换的ROC，一般是Z平面上以原点为中心的环形区域。且ROC内不包含任何极点。i4）如果

x(n)

xi(n)，则其ROC是各个xi

(

的ROC的公共部分。若没有公共区域则表明x(n的Z变换不存在。5）当X

(

是有理函数时，其ROC的边界总是由

X

(

的极点所在的圆周界定的。6）若X

(的ROC包括单位圆，则有X

(e

j

)

X

(z)

|ze

j三.

X

(的几何表示——零极点图：(z

zi

))X

(zp如果

X是(

有理函数，将其分子多项式与分母多项式分别因式分解可以得到：由其全部的零、极点即可确定出

X

(z，) 最多相差一个常数因子

M

。因此，若在Z平面上表示出X

(

的全部零、极点，即构成X

(

的几何表示——零极点图。如果在零极点图上同时标出ROC，则由该零极点图可以唯一地确定一个信号。零极点图对描述LTI系统和分析LTI系统的特性，具有重要的用途。10.2 Z

变换的ROCThe

Region

of

Convergence

for

the

z-TransformROC的特征：X

(

的ROC是Z平面上以原点为中心的环形区域。在ROC内，

X

(

无极点。有限长序列的ROC是整个有限Z平面（可能不包括

z

0

，或

z

）。这个ROC内。5.左边序列的ROC是某个圆的4.右边序列的ROC是某个圆的外部，但可能不包括

z

。那么

z

r0

的全部有限值都在，但可能不包括z

0。那么满足这个ROC内。全部值都一定在0

z

的r06.双边序列的Z变换如果存在，则ROC必是一个环形区域。如果x[n]的变换X(z)是有理的，而且若是x[n]右边序列，那么ROC就位于0

z

r0平面内最外层极点的外边；也就是半径等于极点中最大模值的圆的外边。而且若x[n]是因果序列（即为x[n]等于0的右边序列），那么也包括z=∞。如果x[n]的变换X(z)是有理的，而且若是x[n]左边序列，那么ROC就位于z

r0

平面内最里层的非零点的里边；也就是半径等于X(z)中除去z=0的极点中最小模值的圆的里边，并且向圆内延伸到可能包括z=0。特别是若是反因果序列(即x[n]为等于0的左边序列)，ROC那么也包括z=0。N

1n01

az1z

N

aNz

N

1

(z

a)n

nX

(z)

a

z

其他n1

aN

z

N极点：z

（一阶）z

0

（N－1阶）2j

k零点：

z

ae

N(k

0,1

N

1)jImzRez(N

8)

aa0(N

1)ROC

:

z

0在

z

处a，零极点抵消，使有限

Z平面内无极点。例1.x(n)

an

,

0

n

N

1,a

00,例2.

x(n)

bn

,

b

0x(n)

bnu(n)

bnu(n

1)bnu(n)

1

, z

b1

bz1b

nu(n

1)

,

z

b111

b1z1bZ平面ImRe1/b在

b

时1，两部分的收敛域无公共部分，表明此时

不存X

(在z)。0

b

1时，ROC为

b

z

1/

b例3.X

(z)13(1

1

z1

)(1

2z1

)2ReIm(2)0

1/

3在有限Z平面上极点总数与零点总数相同零点：z

0

（二阶）若其ROC为：12z

23极点：z

1

,1z

2则

x(n为右边序列，且是因果的，但其 变换不存在。时x(n是左边序列，且是反因果的，其变换不存在。23z

1变换存331

z

2

时

x(是n

双边序列，其在。ROC是否包括

z

，是x(n

是否因果的标志。ROC是否包括z

0，是x(n)是否反因果的标志。22

x(n)r

n

1

X

(re

j

)e

jnd2x(n)

X2令z

re，j则dz

jre

j

d

jzd10.3

Z-反变换The

Inverse

Z-Transform一.Z-反变换：X

(re

j

)

x(n)r

ne

jnn当

从

0

2

时，Z沿着ROC内半径为

r

的圆变化一周。12

j

x(n)

cX

(z)z

dzn1其中C

是ROC中逆时针方向的圆周。步骤：1.求出X

(将X

(

展开为部分分式；根据总的ROC，确定每一项的ROC；利用常用变换对和Z变换性质求出每一项的反变换。二.反变换的求取：1.部分分式展开法：当X

(是有理函数时，可将其展开为部分分式Aiii的所有极点

ai

；1

a

z1X

(z)

14

3n

n

x(n)

(

1

)

u(n)

2(

)

u(n

1)1

2X

(z)

1

1

z1

1

1

z14

3ROC1

ROC2ROC

:

|

z

|

1/

41ROC2

:

|

z

|

1/

33

5

z1例：X(z)

6

(1

1

z1

)(1

1

z1

)4

3展开为部分分式有：1413

z

将X

(幂级数展开法:（长除法）由X

(的z)定义，将其展开为幂级数，有X

(z)

x(n)zn

x(1)z

x(0)

x(1)z1

x(2)z2

x(n)zn

展开式中

z项

n

的系数即为

。x(n当

是X有(

理函数时，可以通过长除的方法将其展开为幂级数。由于右边序列的展开式中应包含无数多个Z的负幂项，所以要按降幂长除。由于左边序列的展开式中应包含无数多个Z的正幂项，所以要按升幂长除。对双边序列，先要将其分成对应信号的右边和左边的两部分，再分别按上述原则长除。例如：

X

(z)

1

2z1

4z3x[n]

4

,1,

n

02

,

n

1n

30,

n

其它，可得。43

5

z1例：X(z)

6

(1

1

z1

)(1

1

z1

)321

z

14

3ROC1

:

|

z

|

1/

4所以前一项按降幂长除，后一项按升幂长除。幂级数展开法的缺点是当

X

较(

复杂（含多个极点时）难以得出

的x(n闭式。幂级数展开法适合用来求解非有理函数形式的反X

变(z)换。1X

(z)

1

1

z11

1

z14

3ROC1

ROC22ROC :

|

z

|

1/

33.

留数法：

对有理函数的

X

(由留数定理有：2

jx(n)

1

iRes[

X

(z)z

,

z

]n1cn1X

(z)z dz

izi

是C内的极点。iRes[X

(z)z

,

z

]n1x(n)

iiz

是C外的极点。n

0时，Res[X

(z)z,

z

]n1izi

是C内的极点。in

0时，x(n)10.4.

由零极点图对离散时间变换几何求值Geometric

Evaluation

oftheFourierTransform

from

the

Pole-Zero

Plot当ROC包括z

1时，Z

变换在单位圆上的情况就是X

(e

j

)，因此也可以利用零极点图对其进行几何求值。其方法与拉氏变换时完全类似：考查动点在单位圆上移动一周时，各极点矢量和零点矢量的长度与幅角变化的情况，即可反映系统的频率特性。例1.

一阶系统h(n)

anu(n)y(n)

ay(n

1)

x(n)1

az11H

(z)

,

z

a当a

1

时，ROC包括单位圆。H

(e

j

)

11

ae

jH

(e

j

)

1显然，VH取(e决j

)于2的变V化。当0

a时

1，在

处0

，

H有(e最j

)大值。当

时，

H有(e最j

)小值。H

(e

j

)

随呈单调变化。V1Ve

jRe[z]jIm[z]2a

1相频特性一阶系统的频率特性：0

a

1幅频特性当1

a时

，0V1a2Ve

jRe[z]jIm[z]1

a

0.5a

0.95相频特性幅频特性可以看出：a越小，极点靠原点越近，系统的频率响应越平缓，系统的带宽越宽；此时

衰h(n减越快，上升越快s(。na越大，极点靠单位圆越近，系统频响越尖锐，频响的极大值越大，系统带宽越窄，相位的非线性程度越厉害。例2.

二阶系统：sinh(n)

rn

sin(n

1)

u(n)0

r

1,（系统欠阻尼）y(n)

2r

cos

y(n

1)

r2

y(n

2)

x(n)11

2r

cos

z1

r

2

z2H

(z)

1,2极点：z

re

j零点：z

0

（二阶）考查动点在单位圆上移动一周时，各极点矢量和零点矢量的长度与幅角的变化情况，即可得到二阶系统的频率特性。V1V2e

jjIm[z]3VRe[z]1当

从

0时，在靠近处

频

率响应会出现极大值。若r越接近于1，

H

(e的j峰)

值越 。由于极点远离原点，

和h(n的)

变s化(n速率越慢。随着r减小，极点逐步靠近原点，频率响应趋于平坦，而h和(n的s变(n化速率会加快。幅频特性相频特性二阶系统的频率特性：

0

r

1,当极点很靠近单位圆时，也可以从零极点图粗略4确定系统的带宽。更一般的情况，二阶系统也可能有两个实数极点，此时系统处于过阻尼状态。其特性相当于两个一阶系统级联的结果。（二阶系统具有重阶实数极点的情况）x1(n)

X1(z)x2

(n)

X2

(z)ROC:

R1ROC

:

R2则ax1(n)

bx2

(n)

aX1(z)

bX2

(z)ROC

：包括

R1

R210.5

Z变换的性质1.线性：Properties

of

the

Z-transformZ变换的许多性质与DTFT的性质相似，其推论方法也相同。这里主要

其ROC的变化。如果 性组合过程中出现零极点相抵消，则ROC可能会扩大。2.时移(右移)：若x(n)

X

(z)ROC:R

但在z

和0z可能会有增删。由于信号时移可能会改变其因果性，故会使ROC

在

z

0，

z

有可能改变。ROC

:

R00nx(n

n

)

X

(z)z则3.

Z域尺度变换：

若

x(n)

X

(z)ROC

:

R则

z0

x(n)

X

(z

/

z

)n0ROC

:

z0

R|

z

/时z0

|，Rz

R

时X

(收敛，故

收X敛(z

/。z0

)

z

z0

R当z0

e时0，即为移频特性。j0若

z是一般复数00

0jz

r

e0，则

的X零(z极/

z点)

不仅要将

的零极X点(逆z)

时针旋转一个角度 ，而且在径0向有 倍的尺度变r0化。1/2r0

2014.时域反转：若x(n)

X

(z)则x(n)

X

(z1)ROC:

RROC:1/R(收敛域边界倒置)信号在时域反转，会引起

X

(的z)零、极点分布按倒量对称发生改变。如果z是iX的(z)零/极点,则就1是/zi的零X/(极z1

)点。由于

也是iz的

零/极X

点(

，因此i1/

z也是X

(z的1

)零/极点。23

z

2ziizRe0即：

X

(与

X的(z零1

)极点呈共轭倒量对称。jImi1/

z

*i1/

z例：若X

(z)的ROC为1

z

32

2则X

(z1

)的ROC为5.时域内插:x(n

/

k

)0k若x(n)

X

(z)ROC

:

R则xk

(n)

x (n)

X

(zk

)n

为k的整数倍其它n1ROC

:

R

kkk

(n)nX

(z)

xzn

x(r)zrk

X

(zk

)r

证明：ROC

:

R当

x(n是实信号时，

x*(n)

，

x于(n是) 有X

(z)

X

*(z)表明如果X

(有复数零极点，必共轭成对出现。6.共轭对称性：

若x(n)

X

(z)则x*(n)

X

*(z*)ROC

:

RROC包括

R1

R2如果在相乘时出现零极点抵消的情况则ROC可能会扩大。x1(n)

x2

(n)

nx1(m)x2

(n

m)z

n

m

2

X1

(z)

X

2

(z)x

(m)X

(z)zmm

1该性质是LTI系统Z变换分析法的理论基础。7.卷积性质：若x1(n)

X1(z)x2

(n)

X2

(z)ROC:

R1ROC

:

R2x1(n)

x2

(n)

X1(z)X2

(z)则8.Z域微分：若x(n)

X

(z)利用该性质可以方便地求出某些非有理函数的反X

(变换，或具有高阶极点的

的反X变(换。ROC

:

R则nx(n)dROC

:

RdX

(z)az1n1

a(a)

u(n

1)

nx(n)dz

1

az1z

x(n)

a

(a)n1u(n

1)

1

(a)n

u(n

1)n

ndX

(z)

az2dz

1

az1例1.

X

(z)

ln(1

az1)z

a例2：X

(z)az1(1

az1

)2z

aanu(n)

11

az1z

aaz21

2d

1(

1

)

dz

1

az(1

az

)z

d

X

(z)

az1dz

(1

az1

)2

x(n)

nanu(n)9.初值定理：若x(n是)因果信号，且z则

x(0)

lim

X

(z)x(n)

X

(z)证明：将X

(z按)定义式展开有：X

(z)

x(0)

x(1)z1

x(2)z2

x(n)zn

z

时有

lim

X

(z)

x(0)显然当z10.终值定理：若

x(是n

因果信号，且x(n)

，

X除(z了)

在X

(可以有一z

阶1极点外，其它极点均在单位圆内，则z1

lim(z

1)

X

(z)limn证明：x(n)

0,

n

除0了,

在X

(

可以有外，其它极点均在单位圆内，(z

1)X

(z)在单位圆上无极点z

单1

阶极点[x(n

1)

x(n)]zlimlimz1

z1nmmn1

lim[x(n

1)

x(n)]n1(z

1)

X

(z)

(m

1)

x(m)]m

lim[x(0)

x(1)

limx(m

1)

limx(n)m

n这其实表明：如果x有(n)终值存在，则其终值等于X

(在z

处1的留数。z1lim(z

1)X

(z)

Res[X

(z),1]信号的极点的位置与信号终值之间关系示意图10.6

常用信号的Z变换对Some

Common

Z-Transform

Pairs10.7

利用Z变换分析与表征LTI系统ysis

and

Characterization

of

LTI

SystemsUsing

Z-Transforms一.系统特性与

H的(

关系:LTI系统的特性可以由

h(n

或

H

(e

j

)描述，因而也可以由H

(

连同ROC来表征。H

(称为系统函数。系统的特性应该在系统函数中有所表现。根据卷积性质只要单位圆是在

H

(的z)ROC内，将

H在(z单)

位圆上求值（即z）

，e

j就H变(成z)系统的频率响应。Y

(z)

H

(z)

X

(z)H(z)与h[k]的关系H

(z)

Z{h[k]}h[k]

Z

1[H

(z)]h[k]

[k]yzs

[k]

=

[k]*h[k]

h[k

]1H

(z)

Z{yzs[k]}

Z{h[k]}

Z{h[k]}Z{[k]}求零状态响应h[k]H(z)x[k]yzs

[k]=

x[k]*h[k]Yzs(z)

=

X(z)H(z)X(z)求H(z)的方法①由系统的单位脉冲响应求解：H(z)=Z{h[k]}③由系统的差分方程写出H(z)H

(z)

Z{yzs[k]}Z{x[k]}②由定义式有h(n)

0,所以,H

(外部，

并且包括

z

。1.因果性：如果LTI系统是因果的，则n

0

时的ROC是最外部极点的ROC内。即H

(2.稳定性：若LTI系统稳定，则

h(n)

，n即

h(n

的DTFT存在，表明单位圆在

H

(

的的ROC必包括单位圆。因此，因果稳定的LTI系统其

H

(z)的全部极点必须位于单位圆内，反之亦然。当

H

(

是关于Z的有理函数时，因果性要求

H

(z)的分子阶数不能高于分母阶数。解：例：求单位延时器y[k]=x[k1]的系统函数H(z)。x[k]

z

X

(z)利用z变换的位移特性，有x[k

1]

z

z1

X

(z)根据系统函数的定义，可得1Y

(z)

z

1

X

(z)H

(z)

zs

zX

(z)

X

(z)即单位延时器的系统函数H(z)为z1

。例：一LTI离散系统，其初始状态为y[1]=8，y[2]=2,当输入x[k]=(0.5)ku[k]时，输出响应为y[k]=

4(0.5)ku[k]

0.5k(0.5)k1

u[k1](0.5)ku[k]求系统函数H(z)。解：y[k]

5(0.5)k

u[k]

(k

1)(0.5)k

u[k]

(0.5)k

u[k]15

1

1

0.5z1

(1

0.5z1

)2

1

0.5z1Y

(z)

3

0.5z

1

1.5z

2(1

0.5z

1

)2

(1

0.5z

1

)对于初始状态为y[1]=8,y[2]=2的一般二阶系统211

21

a

z1

a

z21

a

z1

a

z2b

b

z1

b

z2

8a

2a

8a

z1Y

(z)

X

(z)

0

1

2

1

2

2

1

0.25z22.5

1.25z1

0.5z2H

(z)

(1

0.5z

1

)2

(1

0.5z

1

)3

0.5z

1

1.5z

2H(z)y[n]

1

y[n

1]2

2

1

nx[n]

u[n]例已知一因果LTI系统的差分方程为试确定系统的系统函数。若，用z变换确定上述系统的输出y[n]Y

(z)

1

z

1Y

(z)

1

z

2Y

(z)

X

(z)2

4(1Y

(

)H

(z)1

j

34

4z

1

j

3

14

4

2极点为，收敛域为2,

z

11`

1

z

121X

(z)

Y

(z)

X

j

33

z4

sin3

1

n

2

2

y[n]

j

1

3

1）

由

x(求n)得

及X

(其统的描述求得

及其二.LTI系统的Z变换分析法：分析步骤：R。OC:R12）由系H

(。ROC

:

R2的ROC3）由Y

(z)

X

(得z)出H

(z)并确定Y

(它包括

。

R14）对Y

(做z)反变换得到。y(nR2三.

由LCCDE描述的LTI系统的

H

(

:由差分方程描述的LTI系统，其方程为N

Nak

y(n

k)

bk

x(n

k)k

0

k

0对方程两边做Z变换可得：N

Nkka

z Y

(z)

k

0k

0kb

z X

(z)kNNb

za

zkkk

0H

(z)

k

0

k

k是一个有理函数。H

(的ROC需要通过其它条件确定，如：系统的因果性或稳定性。系统是否具有零初始条件等。1x

[n]

1（

）u[n

n]6

y[n]

（a

1）n

1（0

1）n

u[n]2

3例：若系统的输入是，那么输出是。其中a是实数。611,

z

111X

(z)

Y1

(z)

101121

z6az113z1111213az1

,

z

21

z1

1z1

a

10

（5＋

）3,那么输出是。n若x2

[n]

1求该系统的差分方程。n

1742y

[n]

aH

z)

1

(z)Y

z)

2

3

a

10

5

H

(1)

74解得：a

9

，1111112611

z3z

1

zH

(z)z56z

11

13

z

1

6

1

H

(z)

y[n]

5

y[n

1]

6例：由下列差分方程做出网络结构，并求其系统函数H(z)

和单位脉冲响应h(n)。(1)

y(n)

x(n)

5x(n

1)

8x(n

3)解：由方程可得Y

(z)

(1

5z1

8z3

)X

(z)H

(z)

1

5z1

8z3h(n)

(n)

5

(n

1)

8

(n

3)FIRz

1z

1z

11

58x(n)

y(n)(2)

y(n)

3y(n

1)

3y(n

2)

y(n

3)

x(n)解：由方程可得(1

3z1

3z2

z3

)Y

(z)

X

(z)(1

z1

)31H

(z)

利用Z变换的性质可得h(n)

1

(n

1)(n

2)u(n)2IIRx(n)z

1z

1z

1y(n)

331系统函数的零极点分布系统函数可以表达为零极点增益形式，即H

(z)

N

(z)

K

(z

r1

)(z

r2

)(z

rm

)D(z)

(z

z1

)(z

z2

)(z

zn

)D(z)=0的根是H(z)的极点，在z平面用表示。(2)(3)0.5j1

0.5

00.5j0.5

1jjRe(z)Im(z)z3(z

1

j)(z

1

j)H(z)

(z

0.5)(z

1)2(z

0.5

j0.5)(z

0.5

j0.5)N(z)=0的根是H(z)的零点，在z平面用

表示。例如零极点与时域特性系统的时域特性主要取绝于系统的极点(z

z1

)(z

z2

)(z

zn

)由系统函数H(z)的零极点分布，可将H(z)展开成部分分式，对每个部分分式取z反变换可得h[k]。如H(z)为单极点时，有H

(z)

K

(z

r1

)(z

r2

)(z

rm

)

kini

1z

ziu[k

1]k

(z

)h[k]

Z

1{H

(z)}

k

1ini1

i零极点与时域特性离散系统H(z)与h[k]关系kkkkRe(

z)kkkkIm(

z)11

jkj

|

r

|

离散系统的稳定性定理：离散LTI系统稳定的充要条件是h[k]

k

H(z)的收敛域包含单位圆则系统稳定。因果系统的极点全在单位圆内则该系统稳定。由H(z)判断系统的稳定性：例：试判断下面因果LTI离散系统的稳定性1H

(z)

(1

0.5z

1

)(1

1.5z

1

)解：从收敛域看该因果系统的收敛域为|z|>1.5收敛域不包含单位圆，故系统不稳定。从极点看系统的极点为z1=0.5,

z2=1.5极点z2=1.5在单位圆外，故系统不稳定。解：例

一因果离散系统

，求

a)

H(z) b)系统稳定时k的范围。z1x[k]

y[k]g[k]

k

k3

4z1(k

/

3)G(z)

X

(z)G(z)Y

(z)

G(z)

(k

/

4)z1G(z)1

(k

/

4)z

1H

(z)

1

(k

/

3)z

1系统稳定k

3零极点与频域特性由于系统稳定时，系统函数的收敛域包含单位圆，因此系统的频率响应H(ej)可由H(z)求出。单位圆D1D2N2N1z1z2p2p1112Re(z)Im(z)ejH(z)

Knm

j

1

(z

pi)i

1(z

zj)z

ejH(e )

Knimji1j1(ej(ej

z

)jjj

zj)

Nje(ejij(ej

p)

Dei

ij1

2ej[(

m)(1

2

n

)]H(e )

KD1D2

DnN1N2

Nm用z平面pi和z

点指向j单位圆上

p

)

ej点的向量表示H

(ej

)(

)解：当=0时例：已知某因果离散LTI系统的系统函数1

z1

,

1(1

)

1

z12H(z)

试用向量法定性画出该系统的幅度响应和相位响应。0NDRe(z)Im(z)1ejN

2

D

12

DH(ej0)

11

N(0)

(0)

(0)

0当=时N

0

D

1H

(e

j0

)

1

N

02

D

(π)

(π)

(π)

π

π

π2

2当0<<时，D随着的增大而增大，N随着的增大而减小，D

,

H

(e

j

)

N

,()

()

()

因此解：例：已知某因果离散LTI系统的系统函数1

z1

,

1(1

)

1

z12H(z)

试用向量法定性画出该系统的幅度响应和相位响应。0NDRe(z)Im(z)1ej(ej)|()10.8

系统函数的代数属性与方框图表示System

Function

Algebra

and

BlockDiagram

Representations一.系统互联的系统函数:H1(z)1.级联：X

(z)Y

(z)H2(z)W

(z)Y(z)

H2

(z)W(z)

H2

(z)H1(z)X

(z)Y

(z)H1(z)H2(z)X

(z)一、系统的基本联接2.系统的并联X

(z)H1(z)H2(z)Y

(z)H1(z)+H2(z)X

(z)Y

(z)Y(z)

H1(z)X

(z)

H2

(z)X

(z)

[H1(z)

H2

(z)]X

(z)3.反馈联接：由系统框图可列出如下方程：X1(z)

X

(z)

Y(z)G(z)Y(z)

X1(z)H1(z)

X

(z)H1(z)

Y(z)H1(z)G(z)H1

(z)1

H1

(z)G(z)H

(z)

12ROC：包括

R

Rn

ny[k]

aj

y[k

j]

bi

x[k

i]

jnj

1

i0na

zb

zi

i

jj

11.直接型结构设差分方程中的

m=n，即1ni

jna

zi

jH

(z)

i0

i0j

1.b

z111H

(z)2H

(z)1.直接型结构系统可以看成两个子系统的级联nw[k

]

a

j

w[k

j]

x[k

]j

1ny[k]

bi

w[k

i]i0X

(z)1

W

(z)1H

(z)

n

jj

11

aj

zY

(z)niH2

(z)

bi

z

W

(z)i0描述这两个系统的差分方程为1.直接型结构

anan1a1a2bn1b1b20by[k

]w[k

n

1]

w[k

n]bnw[k

2]w[k

1]x[k

]

w[k

]DDD时域框图1.直接型结构X(z)Y(z)W(z)bnz-1z-

1z-1ana1an-1z-1---b0b1bn

-1z-1W(z)z-nW(z)z-n+1W(z)n

a

z

n

bn

z

nz

(n1)n111b01

a

zH

(z)

a

b1

z

1

bn1

z

(n1)z域框图2.级联型结构H(z)

=

H1(z)

H2(z)

…..

Hn(z)将系统函数的N(z)和D(z)分解为一阶或二阶实系数因子形式，将它们组成一阶和二阶子系统，即画出每个子系统直接型模拟流图，然后将各子系统级联。H1(z)H2(z)Hn(z)X(z)Y(z)二、离散系统的模拟框图3.并联型结构将系统函数展开成部分分式，形成一阶和二阶子系统并联形式，即H(z)=

H1(z)

+H2(z)

+

….

+Hn(z)画出每个子系统直接型模拟流图，然后将各子系统并联。X(z)Y(z)H1(z)H2(z)Hn(z)例：已知3

3.6z1

0.6z2H

(z)

1

0.1z1

0.2z

2试画出其直接型，级联型和并联型的模拟框图。解：1）直接型z-1z-10.20.1X(z)-+0.63.6Y(z)3例：已知3

3.6z1

0.6z2H

(z)

1

0.1z1

0.2z

2试画出其直接型，级联型和并联型的模拟框图。解：2）级联型1

z11

0.4z11H

(z)

3

0.6z1

0.5z1-z-10.50.6X(z)Y(z)3+z-10.4例：已知3

3.6z1

0.6z2H

(z)

1

0.1z1

0.2z

2试画出其直接型，级联型和并联型的模拟框图。1

2.8z1

0.4z11H

(z)

3

0.5z1

0.5z1解：3）并联型z10.5X(z)z10.473Y(z)例：已知描述某因果离散LTI系统的差分方程为：y[k]

3

y[k

1]

14

8x[k]

u[k],

y[1]

2,

y[2在z域求解：系统的零输入响应yzi[k]，零状态响应yzs[k]和完全响应y

[k]。系统的系统函数H(z)，单位脉冲响应h[k]，并判断系统是否稳定。若x[k]=2

u[k1]，重新计算(1)(2)。解：对差分方程两边进行z变换得Y

(z)

3

{z1Y

(z)4整理后可得41

34

8

1]

13

yY

(z解：(1)例：已知描述某因果离散LTI系统的差分方程为：y[k]

3

y[k

1]

1

y[k

2]

2x[k]

3x[k

1]

k

04

8x[k]

u[k],

y[1]

2,

y[2]

1,在z域求解：(1)系统的零输入响应yzi[k]，零状态响应yzs[k]和完全响应y

[k]。13

1

z

1zi4

81

3

z

1

1

z2Y

(z)

8

4

1

1

z

1

1

1

z

12

49

/

4

5

/

89

1(

)

5

(

1

)k

,

k

0yzi

[k]

Z{Yzi

(z)}

k18341

)(1

Yzs

(z)

1

z

2

)(1

zz2

3z

11

z

11

40

/

3412111

z

1

z4

2

8

4

16

14

/

3zskk(

)

40

]u[k]1

14

1Y

[k]

[16(

)2

3

4

3,

k

034024

497

1(

)

4

2(

)

kkzi

zsy[k

]

y

[k]

y

[k]

55

1解：(2)例：已知描述某因果离散LTI系统的差分方程为：y[k]

3

y[k

1]

14

8x[k]

u[k],

y[1]

2,

y[2在z域求解：(2)系统函数H(z)，单位脉冲响应h[k]，并判断系统是否稳定。根据系统函数的定义，可得H

(z)

X

(z)3

14

8z

1

z

Yzs

(z)

2

3z

11

14z

1

12116

14z进行z反变换即得h[k]

Z

1[H

(z)]

[16对因果系统，由于其极点为z1=1/2，z2=1/4，均在单位圆内，故系统稳定。例：已知描述某因果离散LTI系统的差分方程为：4

8y[k]

3

y[k

1]

1

y[k

2]

2x[k]

3x[k

1]

k

0x[k]

u[k],

y[1]

2,

y[2]

1,在z域求解：(3)若x[k]=2

u[k1]，重新计算(1)(2)。解：(3)若x[k]=2u[k1]，说明系统的输入信号变了，但系统没变，系统的初始状态也没变，因此，系统的系统函数，单位脉冲响应和稳定性都不变，系统的零输入响应也不变，只有系统的零状态响应和完全响应会随输入信号发生变化，由线性非时变特性1

1zsT{2u[k

1]}

2Y

[k

1]

2[16(

)

(

)k

1

40

]u[k

1]2

3

4

3k

1

14系统的完全响应也相应地改变为y[k]

yzi

[k]

T{2u[k

1]}

340 ]u[k

1],

k

03

414

1

(

)214

2

8

49

1

5

1(

)

(

)

2[16(

)k

1k

1k

k可得一.单边Z变换：

(z)

x(n)znn0单边Z变换是双边Z变换的特例，也就是因果信号的双边Z变换。因此单边Z变换

(

的ROC一定是最外部极