概率论与数理统计

2）掌握均匀分布:

X

~U

[a

,

b]3）掌握指数分布:a

x

b其它0

1

f

x

b

a

1f

x

e x

00

x

0

xF

x

b

a10

x

ax

aa

x

bx

bF

x

0x

01

e x

0

x

4）掌握正态分布及其性质：理解一般正态分布函数与标准正态分布函数的关系，会查表求概率。X

~

N

0，

1:

2

x2

1

2e

x

FX

(

x)

P{X

x}

(

x

))

P{a

X

b}

(

b

-

(

a

).X

~

N

，

2

:X

~

N

0，

1fx

1

e

x

2

2x

22

(

x

)

1

x

§5

随量的函数的分布离散型连续型定理及其应用随第二章

随量的函数设X

是一随也是一个随量，Y

是X

的函数

Y

gX,

则Y量当X

取值x时，Y

取值y

gx.§5随量的函数的分布本节的任务就是已知随

量

X

的分布，且Y

g

X

，要求随量Y

的分布．量及其分布第二章

随一、离散型随量及其分布量的函数设

X

是离散型随 量，其分布律为PX

xn

pn

n

1,

2,

XxnPx1

x2p1

p2

，

，pn或Y是X

的函数：Y

gX

，则Y也是离散型随量，它的取值为y1

，

y2

，

，

yn

，

其中yn

gxn

n

1，

2，

§5

随 量的函数的分布第二章

随 量及其分布第一种情形如果y1

，y2

，，yn

，

两两不相同，则由PY

yn

PX

xn

n

1，

2，

可知随

分布律为PY

yn

pn

n

1,

2,

或YynPy1

y2p1

p2

，

，pn§5随量的函数的分布如果

y1

，

y2

，

，

yn

，

有相同的项则把这些相同的项合并（看作是一项），并把相应的概率相加，即可得第二章

随 量及其分布第二种情形§5随量的函数的分布分布律为3pk随解

随1

1

16

3

2量

XY1，试求Y

的分布律

3,

1,

2.第二章

随 量及其分布例1

设离散型随X

-2

0§5随量的函数的分布这些取值两两互不相同由此得随量Y

X

1的分布律为Y

-3 -12pk161312量X

具有以下的分布律，试求Y

=

(X-1)2的分布律.Xpk-1

0

1

20.2

0.3

0.1

0.4解:

Y

的所有可能取值为

0，1，4.且

Y=0

对应于(X-1)2=0，

解得

X=1，所以,

P{Y=0}

=P{X=1}=0.1,§5

随 量的函数的分布第二章

随例2

设随量及其分布Y=(X-1)2同理,pkY40

10.1

0.7

0.2P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.3+

0.4=0.7,P{Y=4}=

P{X=

-1}=

0.2,所以，Y=(X-1)2

的分布律为：Xpk-1

0

120.2

0.3

0.1

0.4第二章

随例2（续）§5随量的函数的分布量及其分布例3设离散型随X

1

2…n…pk12

1

22…

1

2n…

1Y

gX

1若X为奇数;若X为偶数.量Y

的分布律试求随解§5

随分布律为量的函数的分布第二章

随 量及其分布k

02k

12k

0132PY

1n为偶数

k

0

PX

n

PX

2kk

02k2113Y-11kp

2313所以，随量Y

的分布律为§5随量的函数的分布量及其分布第二章

随例3（续）PY

1n为奇数

PX

n

PX

2k

1第二章

随 量及其分布二、连续型随

量函数的分布设X

是一连续型随

，Xg)(Y是连续型再设

是

xx的gy连续函数，

随

量要求的是

Xg的Y

密度函数

Y

yf解题思路⑴

先求Y

gFY

y

P§5随量的函数的分布

Pg

X

f

X

(

x)dxg(

x

)

y⑵

利用Y

gX

的分布函数与密度函数之间的关系求Y

gX

的密度函数

fY

y

FY

y.

,其它.,0X量X

具有概率密度：第二章

随例4

设随试求Y

X

4

的概率密度.解：(1)先求Y

X

4

的分布函数FY(y)：FY

(

y)

P{Y

y}

P{

X

4

y}§5随量的函数的分布量及其分布y

4

P X

y

4}

f

X

(

x)dxfY

(

y)

f

X

(

y

4)

(

y

4)

,其它.,0X§5随量的函数的分布第二章

随 量及其分布例4（续）(2)

利用FY

(

y)

fY

(

y)

可以求得

0,0

y

4

1,其它.2(

y

4)

1,f

(

y)

2

y

8,

4

y

3,其它.0,Y整理得Y

X

4

的概率密度本例用到变限的定积分的求导公式

(

x

)则

F

(

x)

f

[

(

x)]

(

x)

f

[

(

x)]

(

x).如果

F

(

x)

(

x

)

f

(t

)dt,§5随量的函数的分布第二章

随 量及其分布量X具有概率密度

f

X

(x),第二章

随例

5

设随

x

,求Y

=|X|

的概率密度.解：(1)先求Y

=|X|

的分布函数FY(y)：§5

随 量的函数的分布量及其分布当y

0

时,FY

(

y)

P{Y

y}

P{

X

y}1020

P{

y

X

y}

yyXf

(

x)dx.Y当

y

0

时,

F

(

y)

P{Y

y}

0.(2)利用FY

(

y)

fY

(

y)及变限定积分求导公式得y

0,y

0.[

f

(

y)

f

X

(y),f

(

y)

0,XY

yyXYF

(

y)

f

(

x)dx.第二章

随例

5（续）§5

随 量的函数的分布量及其分布f

()y

y

0,y

0.

y

20,222eY例如,设X~N(0,1),其概率密度为：2

,e

x

.1

x

2

(

x)

2则Y

=|X|

的概率密度为：§5随量的函数的分布第二章

随量及其分布定理设随量X的概率密度在a

x

b时为f

X

(x),若函数g(x)在(a,b)内严格单调，其反函数x

h(y)有连续导数则

Y

=g(X

)

是

续型随

量

，其概率密度为

y

,其它.f

(

y)

f

[h(

y)]

|

h

(

y)

|,0,XY其中

min{g(a),g(b)},

max{g(a),g(b)}.§5随量的函数的分布第二章

随量及其分布其它区间为零(a可为

，证明设随

量Y

gX

的分布函数为FY

y则有

FY§5随量的函数的分布第二章

随量及其分布

Pg

X由题设，当随

量

，在ba上区X变间化时其中随

量Y

在区间，

上变化

minga，

gb，

maxga，

gb不妨设gx是严格增加的函数,h

y

XYf

xdxF

y

故，当y

，

时所以，f

y

FY

y

aXaf

xdxdy

d

h

y

§5随 量的函数的分布第二章

随 量及其分布y

yY因此，F

y

PX

g1

P

X

h

f

X

hy

hy

f

X

hy

hy即Y

gX

的f

y

0f

hy

h

y

y

其它XY例6设随 量 ~

NX

2

，，

eYX

，试求随 量Y

的密度函数Y

yf．解由题设，知X

的密度函数为因为函数y

e

x

是严格增加的，它的反函数为x

ln

y．f

x

x

2

x

e2

22

1§5随量的函数的分布第二章

随量及其分布第二章

随例6（续）并且当随量X

在区间

，

上变化时，在区间0，

上变化．所以，当y

eYXfY

y1

y2

2ln

y

2

1exp2

f

y

y

0y

0ln

y

2

exp0122Y2

y量

eYX

的密度函数为由此得随§5随量的函数的分布量及其分布

f

X

ln

y

ln

yNX

,(~2

),试证明X的线性函数ab)也0(

服从正态分布.第二章

随例7

设随Y

aXy

g(x)

ax

b,

g(x)

by

且((,)y)h

1

.a

a

gy()x

的反函数为：

hxy

由定理的结论得：证:

X

的概率密度为,

x

.2

1f

(

x)

2

2

(

x

)2eX§5

随 量的函数的分布量及其分布fY

(

y)

f

X

[h