线性代数课后答案(戴天时陈殿友著)吉林大学数学学院

第一周作业解答1.1(A)习题a1,a2b1,b2,b31,b1,b2,b3c1,c2,2,其中每条线上的数字表示联结该两城市的不同道路的总数.试用矩阵表示甲乙两省及乙丙两省间的通路信息.aijaibj的不同道路的总数,省的通路信息可用矩阵3 1 2 1 0 表示;

bijbicj的不同道路的总数,的通路信息可用矩阵2 1 3 41 1 表示.计算下列矩阵的乘积:1 32)2 1 4 00

1

习题1.2(A)1 a

1 3 41 1 24 0 2b1 15)

a ama mb

b b解1 3 12 1 4 0 0 1 2 6 7 82)1 1 3 4 1 3 1 20 5 104 0 2a b 1 1 0 05) a ama mb b b 0 0设矩阵1 1 1

1 2 3A 1 1 1,B 1

2 4,1 1 13ABATB.解

0 5 1111123058AB 11124056111051290015242223AB2A01518222627022221322217204292058111123056A111 111102541290P1212, P1212, 2求AA100.解1 2 1 2APQ 24 2 422, 1 Qp

1 22211A100(PQ)100P(QP)99Qp(2)99QP(299)Q299(PQ)299A2 1 224 2 4 2 1 第十八周习题解答习题6.4(A)判断下列实二次型是否正定1)f(x,x,x)x22x23x24xx 2xx1 2 3 1 2 3 1 2 2 3f(x,x,

)5x23x2x

4xx 2xx1 2 3

1 2

1 2 2 3f(x,x,

)3x24x25x

4xx 4xx1 2 3

1 2

1 2 2 3解:1)二次型的矩阵1 2 0A2 2

1, A

1 220, 0 1 故二次型非正定.二次型

2 2 25 2 0

5 2 0 3 0 0 r

rr A2 3 13 22 2 02 10 2 00 1 1c3c20 0 1c2c0 0 1 故二次型正定.二次型

1 3 2 0 A2 4 2, 0 2 5 3 2A 30,A1 2

82 43 2A2 0 2故二次型正定.

02245设有实二次型f(x,x,x)x22x28x2axx 4xx,1 2 3 1 2 3 1 2 2 3a的取值范围,使相应的二次型正定.解: 二次型的矩阵 1 a/2 0Aa/2 2 2 0 2 80A 10,A 1 2

1a/

a/2

a224

0,a2 2,1 a/2 0Aa/0

2 2122a22 8

a 6,a

时, 二次型正定.6第二周作业解答习题1.3(A)63.

3

0 0求4.解

A4 0 00 0

0 02 02 23 4A24 30 0

0 03 40 04 2 00 0

0 00 02 00 0

2 20

2 225 0 0 0025000250004008 0 0 4 25 0 0 025 0 0 00250004002500040080250004008A4

0 00 04 4 625 0 0 00625000625000160064 0 0 81习题1.4(A)3.3.A为反称矩阵，B是对称阵，试证：A2是对称阵；AB-BA是对称阵；(3)ABAB=BA.(A2)T()2(A)2A2,证(1)∴A2是对称阵.(ABBA)T(AB)T(BA)T(2)B(A)(A)BBTATATBTATATBTABBA(AB)T

BTAT

B(A)BA(3)ABAB=BA

(AB)T

AB，有若AB=BA，则

(AB)T

，AB是反称阵，∴AB是反称阵的充分必要条件是AB=BA.第三周习题解答习题1.4(A)3.A为反称矩阵，B是对称阵，试证：A2是对称阵；AB-BA是对称阵；ABAB=BA.证(1)∴A2是对称阵

(A2)T()2(A)2A2,(2)

(ABBA)T(AB)T(BA)TBTATATBTB(A)(A)BABBA∴AB-BA是对称阵.(3)(AB)TBTATB(A)BA(3)(AB)T若AB是反称阵，则AB=BA

AB，有若AB=BA，则

(AB)T

AB，AB是反称阵，∴AB是反称阵的充分必要条件是AB=BA.习题1.5(A)把下列矩阵化为行最简形矩阵1 0 2 103100310411) 2 3 解1 0 2 1 2 0 3 1

1 0 2 12r2rr3r1r21 30 0 1 3 3 0 4 3

0 0 2 61 0 2 122)0 0 1 30 0 2 62rr2r2r12313) 1233

10050013000013412223234231011解1 1 3 4

1 1 3 4 31 2 2 1 2 21

0 0 1 2 2 33 2 2 3 20 14 0 0 3 6 63 34 21 0 0 5 10 8 11 3 4 3

1 10

33rr 3r2r1

0 1 2 2r2

0 0 1 2 2

523 (1)0 0 3 6 60 0 5 10 8

24 0

0 0 0 00 0 0 2 1 10 2 30122000122000100002r0 0 0 1020102012000000 3rr 0 02rr1 0 100 00 第五周习题解答习题2.1(A)利用对角线法则计算下列三阶行列式2 0 1(1) 1

4 11 8 3解2 0 11 4 12(4)30(1)(1)1 8 31181(4)(1)0132(1)8=-43.求i出j与，使817i25j49成为奇排列。解(817325649)=7+0+5+1+0+1+1+0=15所以817325649是奇排列，i=3,j=65.在五阶行列式中，下列各均布项应取什么符号？a a1324

a a a324155

；(2)a a3142

a a a 132455解(1) (34215)=2+2+1+0=5，a a所以 13

a a3241

a55取负号；a a a a a3142132455

a a1324

a a a314255(34125)=2+2+0+0=4，a a所以 31

a a13

a 。55 取正号计算下列各行列式的值(1)

第六周习题解答习题2.2(A)0 15610 15611111 2341111120111111350;(2)1111bdbf

accf

aede;ef解1 2 0 11 3 5 0

-rr

1 2 0 1214015601561 23400331(1)1

-r1 2 0

1 1 2 0 1-rr

0 1 5 1rr0

5 12723 3 40 0 0 7 0 0 3 30 0 3 3 0 0 0 71 1 1

rr

1 1 1 112131 1 1 113

rr

0 2 0 0(2)

r

81 1 1 11 1 1 1

140 0 2 00 0 0 2ab ac

ae b c e(3) bdbfcf

de adf ef

c ec e1 1 1abcdef 1

1 14abcdef1 1证明

axby ay

azbx x y zay

azbx axby(a3b3)y

x证:azbx axby aybz z x yax aybz azbx

by ay

azbx左边ay azbx axby

azbx axbyaz axby aybz bx axby aybzxaybzazbxyaybzazbxayazbxaxbybzazbxaxbyzaxbyaybzxaxbyaybzx aybz az y

azbxay azbx axb

bx axbyz axby ay x by aybzx aybz z y

azbxa2y azbx x

b2

x axbyz axby y

y aybzx ay z y z bxa2y az

xb2z

x byz ax y x y bzx y z y z xa3y zz x

xb3z x yy x y zx y z x y za3y zz

xb3y z xy z x yx y z(a3b3)y zz x

x右边y习题2.2(B)计算下列各方阵的行列式1 1/21/21/

a

c d(1) ; 1/2 1 1/21/2(1) ; 1/21/2 1 1/2 c

d c;a b 1/21/21/2 1

b a解1 1/2 1/2 1/2 2 1 1 11/21/211/21611211/21/21/21111251/21/211/21611211/21/21/211112511110 1005160 010 0 001

11 2 1 11165111165111521151215112j1j,3,

rri,,4a b c db aAc

d c,a bd c b a b c

da b

db aAATc

d cb a a bc d a

cabad c

b

d c b a2b2c2d2 0 0 0

a2b2c2d2 0 0 0 0

a2b2c2d2 0 0 a2b2c2d2 A2A(a2b2c2d2)4A(a2b2c2d2)2.第七周习题解答习题2.3(A)4阶方阵的行列式的值a 1 0 0(1)

1

0101c001解按第一行展开a1001b1001c1001d1ddb 1 0 1 1 0a1

11(1)120 c 10 1 d 0 1 da(bcdbd)-(-cd-1)abcdabadcd1计算下列行列式1a1

1 1(3)D

1a 2

1,其中aaa

解(加边法)n 1 1

1an

12 n1 1 1 10 1a1

1 1D0 1 1a 1n 2 0 1

1anrr

1 1 a

1 10 0 ai2, a1 0 02 1

0 an1aci1c1a

1ai1

1 1 10ia 1 0 00ii1,,n.0

10 a 02 0 0 0 annnaaa

(1 1)12 n

ai1 i习题2.3(B)计算下列方阵的行列式a 1 1 1 10 1 a 00(2)B1 1 a0

0 00 0其中

0,k0,1,2,3,4. 2 k 解1 0 0 a 010031000 a4a1011aci1c1i

1 1 1 1 1a0i1i a 0 0 00Bi1,,.000

10 a 0 020 0 a 030 0 0 a4aaaa(a1234 0

1)4a4i1 iLaplace定理计算下列行列式11101110012300(1)011110xxxx0x2x2x2x21234解按第1,2行展开1 1 11 1原式

(1)1212x x x1 2 2 3 4x2 x2 x22 3 41 1 11 1 (1)1213x x x1 3 1 3 4x2 x2 x21 3 4(xx)(xx)(xx)4 3 4 2 3 22(x4存在问题:

x)(x3

x)(x1

x)15.按第1,4列展开,方法不简便.第八周习题解答习题3.1(A)3.nAA3=0E-A可逆，且(E-A)-1=E+A+A2。证A3=0，则(E-A)(E+A+A2)=E3-A3=E.(E+A+A2)(E-A)=E3-A3=E.所以E-A可逆，且(E-A)-1=E+A+A2。第八周习题解答习题3.1(A)3.nAA3=0E-A可逆，且(E-A)-1=E+A+A2。证A3=0，则(E-A)(E+A+A2)=E3-A3=E.(E+A+A2)(E-A)=E3-A3=E.所以E-A可逆，且(E-A)-1=E+A+A2。2(2).解矩阵方程

第九周习题解答习题3.2(A)1 2 3 1 32 2 1X3 52 0 1 2 3 4 3

3 1 1 2 31002r

1

3 1 00 3r1r2 解2 21010 34 300

2025210 02630 1 0 -2-1 1 0

1 0 0132r(rr 5rr(r2r1

0-203650-2-5-2 1 0 0 0 -1-1-11 0 0 1111 11 0 0 1 3 22) 0 1 0-3/2 3 5/20 0 1 1 1 1, 1 2 31 1 3 2 2 2 1 3 4

3/2 3 5/2, 1 1 1 3 512 51 2

1 3, 1 2 311 3X2 2 1

2 03 51

1 23 4 3

3 1 1 3 2X

3

53/2 3 5/22 01 3 1 1 13 1 1 1 1 20 2

2 5

2 6 1 3 0 2

2 6 8.AAB=A+2B,且0 33A1 10 123 求矩阵B.解由AB=A+2B,得(A-2E)B=A,2 3 3A2E1 1 0,1 2 1 2 3 31 0 02rr0 1 3 1 2 0 r2r1 1 1 00 1 01 2 10 0 1

31 -0 1

0 0 1 01 0 1 1 rr-r1r21 0 3 1 3 rrr 20 1 3 1 2 0 0 -2 -1 -1 1r(1)3 21 0 0 -1/2 3/2 3/2-3rr331320 1 0 -1/2 1/2 3/2 0 1 1/2 1/2 -1/21 3 31 (A2E)121 1 31 1 11 3 31

3 3B(A2E)1A 1 1 31 1 00 3 3 1 2 3 1 1

1 1 1

2 311.设P-1AP=,其中1 4 1 0P1

1,

0 2 求A11.1个A111)11PP1P)P1P)P1P)P11 41 0111 4-1P11P1

1

0 21 1 1 41 0(11 4) 1 10 21131 111 2131 4

31 1121331

1 1 4213 4211 683 6845.求矩阵A的秩1 1 2 3 0

习题3.3(A) A2 1 6 4 13 2 a 7 1 1 1 6 1 b 解1 1 2 3 03r1r2 32rr0 3r1r2 3A1 rr0 1 a6 2 114 0 2 4 4 b1 1 2 3 0rr

0 1 2 2 124 240 0 a8 0 0 0 0 0 0 b (1)当a=-8,b=-2时,R(A)=2;(2)a=-8,b≠-2时,R(A)=3;(3)a≠-8,b=-2时,R(A)=3;(4)当a≠-8,b≠-2时,R(A)=4;问

第十周习题解答习题4.1(A)xx

xx2

0,xx 1 2

0,x21

xx0,2 3有非零解。解 1 1 1 1 1A1 1 01 2 1 0

1(1)2 1当=1或=0时,A=0,齐次线性方程组有非零解。问取何值时，非齐次线性方程组x x xx1x2x3, 1 2 3x x1 23

2,1)有惟一解；2)无解；3)有无穷多解。解 1 1A1 132(1)2(2)1 1 当≠1且≠-2时,A≠0,方程组有惟一解.当=-2时,1243333912433339 (,b)1 2 1 2320 61 1 2

rr0 1 1 2 4r0 3 3 6

1 3 23 0 0 0 3 R(A)=2,R((A,b))=3,方程组无解;当=1时,(A,b)

1111 1111111111110000R(A)=R((A,b))=1<3,方程组有无穷多解;另解 1 1 1rr1 1 rr (,b)1 1 012 1 12 1 1 2rr0 1 当=1时,R(A)=R((A,b))=1<3,方程组有无穷多解;当≠1时,1

1 (1)rr

1 (,b)01 1 1rr01 1 0 1

1

002(1)2 当≠1,≠-2时,R(A)=R((A,b))=3,方程组有惟一解;当=-2时,R(A)=2,R((A,b))=3,方程组无解;第十一周习题解答习题4.2(A)2. 设1

)1

)3

,其中 (2,5,1,3)T,1

(10,1,5,10)T,

(4,1,1,1)T,3求.由3(1

)2(2

)3

得631

22

533(2,5,1,3)T

2(10,1,5,10)T

5(4,1,1,1)T,(6,12,18,24)T(1,2,3,4)T.4.设向量 (1,1,2)T, (3,t,1)T, (0,2,t)T1 2 3线性相关，求t的值。解： (1,1,2)T, (3,t,1)T, (0,2,t)T线1x1 1

x2

2x3

30有非零解，1 3 0 1 0 0A1

2 1 t

2 t

3t1002 1 t 2 5 t得t5或t2.9. 设向量11,212, , r 1 2

r

若向量组,1

,,r

线性无关，证明向量组1

,,r

线性无关。证 设x1

x2

xr r

0，即x x1 1 2

)x2 r 1

r

)0(xx1 2

xr

(x x2

xr

x 0r r若向量组,1 2

,,r

线性无关，则xx

x 0, 1 2 r 1x x x

x 0, 2 3

2x 0,r

x 0,r所以向量组1 2

,,r

线性无关。第十二周习题解答习题4.3(A)2.利用初等变换求下列矩阵的秩和行向量组的一个极大无关组1 1 2 2 1 解:

0 2 1 5 12 0 3 1 31 1 0 4 11设A

112210215112 0 3 1 321 1 0 4 1 3 41111202120311012r1r22r101 50021221102251405521131011212rr5r2r30rr42 500102101021rr03 5001020120002000000020000r1r4 r0.50r3r4 所以R(A)=3, 矩阵A的行向量组的一个极大无关组为,,.1 2 4求下列向量组的秩，并求一个极大无关组1 a 2 (1)

2,

100,

4.1 1 2 10 3 24 4 4 4 解1

21r1

0 a1 0 2 100 4 44 0 96 0(,,

)

rr4 11 2

10

2rr

11 0 r4r2 4 4 111r

4 81 2

4 31 1 2296

0 1 0(1a)rr11211rr

0 00r203

r34

0 0所以向量组的秩是2,一个极大无关组为,.1 2求向量组1 2 0 2 52 5 1 1 8 , , , , .1 0 2 3 3 3 4 4 5 13 6 0 7 3 6 0 7 以外的向量表成极大无关组的线性组合。解,1

,,,3 4

1202120252 5 1 1 0334136072) 8 1 2 0 2 5 0 11323410 113234114 140 3 0 0 0 13 131 0 2 8 9 01130113000500013

2r 2 1 3rr 52 31

1302002011000100001r()013 5r183r 101 013rr 3 40 0 所以向量组的秩是3,一个极大无关组为,,,1 2 4 3 1

,2

1

.4第十三周习题解答习题4.4(A)求下列齐次线性方程组的基础解系,并写出通解3x

5x

x 2x

0,(1)

2x2

23x2

3 5x x3

0,x7x1 2

4x3

3x4

0,4x1解:

15x2

7x3

9x4

0,A

5 13

2 2 1rr2

8 63

311 7 4 3 1 7 4 34499 15 7 15 4499 2rr1 8

38rr

0

3rr rr 4r3

19

3 174744

0 21 71 4

3 19rr 19rr 0 47

0 r(1)0 1 2 0 21 0 0 63 212 41 0 10 3 1 0 1 03rrr

27

1 2

r 0 1 2 0rr

r 3 3 2 30 0 3 10 0 0 0

0 0 3 10 0 0 0x

0,xx 1 2 xx

0,32 33x x 03 4令x k,(为任意常数),则方程组的通解为3x 1 1x1 2 2 2k

基础解系为 .x 1x3 3

134 4设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩13,已知1

,,

是它的三个解向量,232 123 3, 1 4 2

2 5 5 求该方程组的通解.解:3,对应的齐次线性方程组的基础解系含4-3=1个解向量,231已知 ,,231

是非齐次线性方程组的三个解向量,可知对应的齐次线性方程组有解向量(1

)2

)3

2

3 )4)56 6 所以非齐次线性方程组的通解为xk1即

,(k为任意常数)3 2 xk43,(k为任意常数)5 4 6 5求解下列非齐次线性方程组,一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系 xx 5,(1)

1 2 xx2

x2x

1,x5x1322x32x4x

3,1 2 3 4解增广矩阵1005112910051129 5(,b)2 1 1 2 1 1 30 5 3 2 2 3 0 rr

1 0

2 4 r

1 0 1 0 8221 rr1 2 30 1 1 2 9 3 20 1 1 0 13r(1)0 0 0 2 4

r(1)0 0 0 1 22 2 2 原方程组可化为 x x 8,1 3x x 2

13,x 2,4令x k,(为任意常数),则方程组的通解为3x k8 1 8x1

k13

1 13 2 k

,x k 1 0x3 2 0 24 4它的一个解是

8 130 0,02 2 对应的齐次线性方程组的基础解系是1 1 1.0 0 第十四周习题解答习题5.1(A)3.设(x)是一个首项系数为1的多项式,并已知它的根为0,-1,1( 二重),试求(x)按幂排列的表达式.解:f(x)x(x1)(x1)2x4

x3

x2x习题5.2(A)1.在实数域上,求下列矩阵的特征值与特征向量1)A

0 002332020, 3)A112

3 1 0 解:1)

0 2A

0 (2)2(2)2 0 A的特征值为1

=2，

=-2，对1=2，解齐次线性方程组(2E-A)x=02得基础解系20 1 1

0,1 0 2 1 1所以,矩阵A对应于=2的全部特征向量是1k k，k,k11 2 2 1

是不同时为零的任意常数.对2=-2，解齐次线性方程组(-2E-A)x=0得基础解系1 0,-3 - 2所以,矩阵A对应于=-2的全部特征向量是2k，k3 3

是不为零的任意常数.3)EA31312234342031313 3 2 0 2(4) 1 1 0 (4)1 1 03 1 2 0 (4)(24)A的特征值为对=4，解齐次线性方程组(4E-A)x=0得基础解系1 1,-- 所以,矩阵A对应于=4的全部特征向量是k，k是不为零的任意常数.3.AT而特征值完全相同。证: A

EAT

EAT，AAT完全相同。1 a 1 1 8.已知向量 1是矩阵A 2 0 1 1 对应于特征值a和的值。解: a 1 11 a2 2 0 11 3 ,1 2 2 1 1 2 2 1 1 1

, 1 1 由A得a 3.第十五周习题解答习题5.3(A)2.证明:相似矩阵的迹相同.证: 设矩阵A与B相似,依性质6知AB有相同的特征多项式,故有相同的迹.4.设0 10 6A1 3 3, 2 10 8 利用A的相似于对角矩阵来求10.解: 10A1 32 10

6 3 8 0

10 63 324 10 6 2 0(2)1 3 3 (2)1 3 00 2 1 0 2 12(2)(232)(2)2(1)2A的特征值为1

=1，

=2，对1=1，解齐次线性方程组(E-A)x=0得基础解系2 1,21 2