2021考研数学一真题及解析

2021年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题解析一、选择题10小题每小题5分共50分.下列每题给出的四个选项中只有一个选符合题目要求的请将所选项前的字母填在.ex1(1)函数f(x) x

,x0，在x 0处（ ） 1,x0(A)连续且取极大. (B)连续且取极小.(C)可导且导数为0. (D)可导且导数不为0.【答案】Dex1【解析】因为limf(x)lim 1f(0)，故f(x)在x0处连.x0 x0 xxex11xf(x)f(0)因为lim lim

limex1x1，故f(0)1，故选D.x0.

x0

x0

x0

x0

x2 2 2(2)设函数f(x,y)可微，且f(x1,x)x(x12，f(x,x2)2x2lnx，则df(1,1（ ）(A)dxdy. (B)dxdy. (C)dy. (D)dy.【答案】C【解析】f(x1,ex)exf(x1,ex)(x1)22x(x1) ①1 2f(x,x2)2xf(x,x2)4xlnx2x ②1 2x0 x1分别将 ， 代入①②式有y0 y1f(1,1)f(1,1)1，f(1,1)2f(1,1)21 2 1 2联立可得f(1,1)0，f(1,1)1，df(1,1)f(1,1)dxf(1,1)dydy，故选C.1 2 1 2sinxf(x)

1x2

在x0处的3次泰勒多项式为axbx2+cx3，则（ ）(A)a1，b0，c7. (B)a1，b0，c7.6 6(C)a1，b1，c7. (D)a1，b1，c7.6 6【答案】Asinx x3 7【解析】f(x)

x o(x3)1x2o(x3)x x3o(x3)，故a1，1x2 6 6b0，c7，故选A.6f(x在区间[0,1]上连续，则1f(x)dx0(A)lim

f2k11

(Bli

f2k11x

n1

2n

2n

x

n1

2n

n.(C)lim2

fk11. (D)lim2

fk2.x

n1

2n

x

n1

2nnn【答案】Bn【解析】由定积分定义秩，将(0,1)分成n份，取中间点的函数1f(x)dxlim

f2k11，即选B.nn0 x n1

2n(5)二次型f(x,x,x)(xx)2(x

x(xx的正惯性指数与负惯性指数依1 2 3 1 2次为（ ）

2 3 3 1(A)2,0. (B)1,1. (C)2,1. (D)1,2.【答案】B【解析】f(x,x,x)(x

x)2(x

x)2(x

x)22x22xx

2x

2xx1 2 3 1

2 3 3

2 1

23 130 1 1 1 1 所以A1 2 1，故多项式EA1 2 1(1)(. 1 1 0 1 令上式等于零，故特征值为1，3，0，故该二次型正惯性指数为1，负惯性指数为1，故选B.1

1

3已知

0

21

k

l

l，1 2 3

1 1 2

1 3 3 11 22112 112 若将1

两两正交，则ll3 1

依次为（ ）(A)5，1. (B)5，1.

5，1. (D)5，1.2 2 2 2【答案】A【解析】利用斯密斯正交化

2 2 2 2

,]11

02，2 2 [,]1 001 1 1 ,] ,2] l,] 5 ,2] 1133[,]1[,]2，故1

[,1]2，

[,]

.故选A.22 221 1 2 2 1 1 2 2设A，B为n阶实矩阵，则下列不成立的是（ ）(A)rA O2r(A)

(BA

AB2r(A) . ...O ATA O AT..rA

BA2r(A)

rA

O2r(A)O【答案】C

AAT BA

AT【解析】 r【解析】

Or(A)r(ATA)2r(A)，故A正确.ATA的列向量可由 的列线性表示，故AB A 的列向量可由 的列线性表示，故BAA.的列向量可由 的行线性表示，BA A 的列向量可由 的行线性表示，

ABr(A)r(AT)2r(A).ATOr(A)r(AT)2r(A).ATAB为随机变量，且0P(B1，下列命题中不成立的是若P(AB)P(A)，则P(AB)P(.若P(AB)P(A)，则P(AB)P(.P(AB)P(AB)，则P(AB)P(A).若P(AA B)P(AA B)，则P(P(B).B)B)P(A B))P(A B) P(P(B)P(AB)P(B)P(A B))PB)P(A B))P(A B) P(A B)P(P(B)P(AB)P(P(B)P(AB)P(AA因为P(AA B)P(AA B)，固有P(P(B)P(AB)，故选D.(9)设(X,Y)，(X,Y)， ，(X,Y)为来自总体N(,;,

;)的简单随机样本，11 2 2 n n

1 2 1 2令1

，X1n2 ni1

X，Y1i ni1

Y，XY，则i

221212是的无偏估计，D() n .

221212不是的无偏估计，D() n .

2222121

是的无偏估计，D() 1

n 2.

2222121(D)

不是的无偏估计，D() 1

n 2.【答案】C【解析】因为X，Y是二维正态分布，所以X与Y也服从二维正态分布，则XY也服从二维正态分布，即E)E(XY)E(X)EY)1 2

， 2222121D()D(XY)D(X))cov(X,Y) 1

n 2，故选C.(10)设XX,1 2

,X是来自总体N(,4)的简单随机样本，考虑假设检验问题：16H:10，H:10.(x)表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为o 1W{XX

11616i1

X，则11.5，该检验犯第二类错误的概率为i(A)1(0.5). (B)1(1).(C)1(1.5). (D)1(2).【答案】(B)【解析】所求概率为P{X11}X~(11.5,1)4 X11.5 1111.5P{XP 1 1 1(1)故选B.二、填空题：11

2 2 16小题5分30分请将答案写在指定位置上.0

dx= x22x= 【答案】4 dx

dx 【解析】 = =arctan(x1)|= =0 x22x2 0(x1)21

0 2 4 4xett

x0 d2y| (12) 设函数由参数方程y4t1ett2,

x

确定，则

dx2

=t02【答案】3【解析]】由dy4tet2t，得d2y(4et4tet2)(2et1)(4tet2t)2et，将t0dx 2et1 dx2 (2et1)3=代入得d2y| 2=dx2

t0 3(13)欧拉方程x2y"xy'4y0满足条件y(1)1,y'(1)2的解 【答案】x2dy2 dy d2dy【解析】令xet,，则xy' ,x2y"dy 原方程化为

4y0.特征方程为dt dx2 dt dx2240,

2,2,通解为yce2tce2tcx2cx2,将初始条件1 2 1 2 1 2y(1)1,y(1)2代入得c1

1,c2

0.故满足初始条件的解为yx2(14)设为空间区域(x,y,z)|x24y24,0z2表面的外侧，则曲面积分x2dydzy2dzdxzdxdy 【答案】4【解析】由高斯公式得原式2xydV2dzdxdy0 DA

3

为代数余子式，若A的每行元素之和均为2，且A3，则AAA11 21

ij ij.32

1

1

A1A1【解析】A121，，2，=1，则A的特征值为 ，对应的特征向量1

11 11 1

A

A 1 A

AA A

32 A

21 31

21 31

3为=1， ，又A A

A，A1AA

A 1.

12

22 32

22 32

21 A A A

1 AAA

1

313 23 33

13 23 332222X，Y分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数X与Y的相关系数.【答案】15

3(0,0) (0,1)(1,0)3

0 1X,Y)

2 2 3

，X的边缘分布X

1 1Y的边 10

10 10 10

2 20 10 11 1缘分布Y

,易知Cov(X,Y) ，DX ,DY ,即 .2 2

20

4 XY5小题70分请将解答写在指定位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本题满分10分）11+x1求极限lim 0 .x0

ex1 sinx 【答案】121xet2dt sinx1xet2dtex sinxex1sinxxet2dt【解析】lim 0

1lim

0

lim 0x0

ex1 sinx

x0

sinxex1

x0 x2 1 sinxxet2dt

xo(x2)1x x2o(x2)

xet2dtx0

sinxexx21

+lim 0x0 x2

limx0

2 x2

lim0x0 x2 1 x2o(x22 1 lim limex2 1x0 x2 x0 2 218（本题满分12分）设u(x)enxn

1n(n1)

xn1(n1,2, )，求级数u(x)nn1ex (1x)ln(1x)x, x(0,1)【答案】S(x)1exe, x1 1【解析】易知enx为几何级数，故收敛区间为(0,)；

1xn1的收敛半径为1，n(n1)n1收敛区间为(1,1)，所以u(x)的收敛区间为(0,1)n

n1n1当x0时，enx发散，故u(x)发散；nn1当x1时，enx与

n11

xn1均收敛，故u(x)收敛；n1

n1

n(n1)

nn1综上，u(x)的收敛域为0,.nn1令S(x)u(x)，x0,nn1（1）x(0,1)时n1

enx1

ex1e

xn1

xn1

xn

xn1n(n1)xn1 n n1x n n1n1 n1 n1 n1 n1xln(1x)ln(1x)(1x)ln(1x)xS(x)

ex1ex

(1x)ln(1x)x（2）x1时enn1

e11n1

1n(n1)

的前n项和Sn

11，limS1n1 nnS(x)ee1

ex (1x)ln(1x)x, x(0,1)1exS(x)

, x1e119（本题满分12分）4x2yz已知曲线C:x4x2yz【答案】66【解析】设拉格朗日函数L(x,y,z,,)z2(x22y2z6)(4x2yz30)L2x404y20L2z0 解得驻点：(4,1,12),(8,2,66)zLx22y2z=6zL4x2yz30C上的点(8,2,66)xOy66.20（本题满分12分）设DR2是有界单连通闭区域，I(D)(4x2y2)dxdy取得最大值的积分区域记为DD.1I(D的值；1(xex24y2y)dx(4yex24y2x)dy，其中DD.x24y2 1 1D1）（2）【解析】(D)(4x2y2，当且仅当4x2y2D上大于 2 0时，I(D)达到最大，故D(x,y)x2y24，且I(D)=d(4r2)rdr8.22D2

(x,y)x24y2

很小，取D2

的方向为顺时针方向，P(x,y)

xex24y2yx24y2

，Q(x,y)

4yex24y2xx24y2

，且QPx y(xex24y2y)dx(4yex24y2x)dyx24y2D1 (xex24y2y)dx(4yex24y2x)dy(xex24y2y)dx(4yex24y2x)dyD+D

x24y2

x24y2D1 2 21exdx4ydy1ydxxdy2dxdy.2 2 2D D D21（本题满分12分）a 1 1已知A1 a 1. 11 a 求正交矩阵PPTAP为对角矩阵；求正交矩阵C，使得C2(a3)EA.1312 1 1312

116 6 131216 131216（1）P

（2）C1

5 1 3 31326 1326

1 5【解析】

a

0 1 1

1

3 3（1）由EA 1 a 1 (a(a2)0，得=a2，==a11 1 a

1 2 3当=a2时1

2 11 101 1((a2)E1 2 1011的特征向量为1 1 1 1 2 00 当==a1时2 311 1 111 1 1((a1)E11 100 0的特征向量为1,1 2 3 1 1 1 00 0

113126 a131261 1 1 12