生活中的几何

生活中的几何“几何”这个词在汉语里是“多少？”的意思，但在数学里“几何”的涵义就完全不同了。“几何”这个词的词义来源于希腊文，原意是土地测量，或叫测地术。几何是人们对现实世界思维的抽象图形化表示。它在现实生活中的应用有很多。比如水桶总是圆柱形的，这个是考虑到在同样条件下圆柱形的体积更大，可以装更多的水，而且可以让桶的边缘受力均匀。再比如你看舰艇上的海军一般是张开双腿，手背向后站着，这是因为人张开双腿后和地面加起来组成一个三角形，而三角形的稳定性是最好的。再说人们吃饭时，尤其是大型家宴，用的桌子一般是圆的，因为在面积一定时，只有圆的周长最大，一张桌子可以容纳的人也就最多。再说人在出行时吧，你总是抬一只脚就放下一只脚，不会两个脚同时抬起与放下，因为抬一只脚就放下一只脚相当于人的下半身与地面总是构成三角形可以轻易地稳定自己，而你在跳时很费劲而且容易摔跤，因为那时你整个人相对于地面就一条直线，没有稳定性。几何学和算术一样产生于实践，也可以说几何产生的历史和算术是相似的。在远古时代，人们在实践中积累了十分丰富的各种平面、直线、方、圆、长、短、款、窄、厚、薄等概念，并且逐步认识了这些概念之间、它们以及它们之间位置关系跟数量关系之间的关系，这些后来就成了几何学的基本概念。正是生产实践的需要，原始的几何概念便逐步形成了比较粗浅的几何知识。虽然这些知识是零散的，而且大多数是经验性的，但是几何学就是建立在这些零散、经验性的、粗浅的几何知识之上的。几何学是数学中最古老的分支之一，也是在数学这个领域里最基础的分支之一。古代中国、古巴比伦、古埃及、古印度、古希腊都是几何学的重要发源地。大量出土文物证明，在我国的史前时期，人们已经掌握了许多几何的基本知识，看一看远古时期人们使用过的物品中那许许多多精巧的、对称的图案的绘制，一些简单设计但是讲究体积和容积比例的器皿，都足以说明当时人们掌握的几何知识是多么丰富了。几何之所以能成为一门系统的学科，希腊学者的工作曾起了十分关键的作用。两千多年前的古希腊商业繁荣，生产比较发达，一批学者热心追求科学知识，研究几何就是最感兴趣的内容，在这里应当提及的是哲学家、几何学家柏拉图和哲学家亚里士多德对发展几何学的贝献。柏拉图把逻辑学的思想方法引入了几何，使原始的几何知识受逻辑学的指导逐步趋向于系统和严密的方向发展。柏拉图在雅典给他的学生讲授几何学，已经运用逻辑推理的方法对几何中的一些命题作了论证。亚里士多德被公认是逻辑学的创始人，他所提出的“三段论”的演绎推理的方法，对于几何学的发展，影响更是巨大的。到今天，在初等几何学中，仍是运用三段论的形式来进行推理。但是，尽管那时候已经有了十分丰富的几何知识，这些知识仍然是零散的、孤立的、不系统的。真正把几何总结成一门具有比较严密理论的学科的，是希腊杰出的数学家欧几里得。欧几里得在公元前300年左右，曾经到亚历山大城教学，是一位受人尊敬的、温良敦厚的教育家。他酷爱数学，深知柏拉图的一些几何原理。他非常详尽的搜集了当时所能知道的一切几何事实，按照柏拉图和亚里士多德提出的关于逻辑推理的方法，整理成一门有着严密系统的理论，写成了数学史上早期的巨著一一《几何原本》。《几何原本》的伟大历史意义在于，它是用公理法建立起演绎的数学体系的最早典范。在这部著作里，全部几何知识都是从最初的几个假设除法、运用逻辑推理的方法展开和叙述的。也就是说，从《几何原本》发表开始，几何才真正成为了一个有着比较严密的理论系统科学方法的学科。欧几里得的《几何原本》欧几里得的《几何原本》共有十三卷，其中第一卷讲三角形全等的条件，三角形边和角的大小关系，平行线理论，三角形和多角形等积（面积相等）的条件；第二卷讲如何把三角形变成等积的正方形；第三卷讲圆；第四卷讨论内接和外切多边形；第六卷讲相似多边形理论；第五、第七、第八、第九、第十卷讲述比例和算术得里论；最后讲述立体几何的内容。从这些内容可以看出，目前属于中学课程里的初等几何的主要内容已经完全包含在《几何原本》里了。因此长期以来，人们都认为《几何原本》是两千多年来传播几何知识的标准教科书。属于《几何原本》内容的几何学，人们把它叫做欧几里得几何学，或简称为欧式几何。《几何原本》最主要的特色是建立了比较严格的几何体系，在这个体系中有四方面主要内容，定义、公理、公设、命题（包括作图和定理〉《几何原本》第一卷列有23个定义，5条公理，5条公设。（其中最后一条公设就是著名的平行公设，或者叫做第五公设。它引发了几何史上最著名的长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论，并最终诞生了非欧几何。）这些定义、公理、公设就是《几何原本》全书的基础。全书以这些定义、公理、公设为依据逻辑地展开他的各个部分的。比如后面出现的每一个定理都写明什么是已知、什么是求证。都要根据前面的定义、公理、定理进行逻辑推理给予仔细证明。关于几何论证的方法，欧几里得提出了分析法、综合法和归谬法。所谓分析法就是先假设所要求的已经得到了，分析这时候成立的条件，由此达到证明的步骤；综合法是从以前证明过的事实开始，逐步的导出要证明的事项；归谬法是在保留命题的假设下，否定结论，从结论的反面出发，由此导出和已证明过的事实相矛盾或和已知条件相矛盾的结果，从而证实原来命题的结论是正确的，也称作反证法。欧几里得《几何原本》的诞生在几何学发展的历史中具有重要意义。它标志着几何学已成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。从欧几里得发表《几何原本》到现在，已经过去了两千多年，尽管科学技术日新月异，但是欧几里得几何学仍旧是中学生学习数学基础知识的好教材。由于欧氏几何具有鲜明的直观性和有着严密的逻辑演绎方法相结合的特点，在长期的实践中表明，它巳成为培养、提高青、少年逻辑思维能力的好教材。历史上不知有多少科学家从学习几何中得到益处，从而作出了伟大的贡献。少年时代的牛顿在剑桥大学附近的夜店里买了一本《几何原本》，开始他认为这本书的内容没有超出常识范围，因而并没有认真地去读它，而对笛卡儿的“坐标几何”很感兴趣而专心攻读。后来，牛顿于1664年4月在参加特列台奖学金考试的时候遭到落选，当时的考官巴罗博士对他说：“因为你的几何基础知识太贫乏，无论怎样用功也是不行的。”这席谈话对牛顿的震动很大。于是，牛顿又重新把《几何原本》从头到尾地反复进行了深入钻研，为以后的科学工作打下了坚实的数学基础。近代物理学的科学巨星爱因斯坦也是精通几何学，并且应用几何学的思想方法，开创自己研究工作的一位科学家。爱因斯坦在回忆自己曾走过的道路时，特别提到在十二岁的时候“几何学的这种明晰性和可靠性给我留下了一种难以形容的印象'。后来，几何学的思想方法对他的研究工作确实有很大的启示。他多次提出在物理学研究工作中也应当在逻辑上从少数几个所谓公理的基本假定开始。在狭义相对论中，爱因斯坦就是运用这种思想方法，把整个理论建立在两条公理上：相对原理和光速不变原理。在几何学发展的历史中，欧几里得的《几何原本》起了重大的历史作用。这种作用归结到一点，就是提出了几何学的'根据”和它的逻辑结构的问题。在他写的《几何原本》中，就是用逻辑的链子由此及彼的展开全部几何学，这项工作，前人未曾作到。但是，在人类认识的长河中，无论怎样高明的前辈和名家，都不可能把问题全部解决。由于历史条件的限制，欧几里得在《几何原本》中提出几何学的“根据”问题并没有得到彻底的解决，他的理论体系并不是完美无缺的。比如，对直线的定义实际上是用一个未知的定义来解释另一个未知的定义，这样的定义不可能在逻辑推理中起什么作用。又如，欧几里得在逻辑推理中使用了“连续”的概念，但是在《几何原本》中从未提到过这个概念。现代几何公理体系人们对《几何原本》中在逻辑结果方面存在的一些漏洞、破绽的发现，正是推动几何学不断向前发展的契机。最后德国数学家希尔伯特在总结前人工作的基础上，在他1899年发表的《几何基础》一书中提出了一个比较完善的几何学的公理体系。这个公理体系就被叫做希尔伯特公理体。希尔伯特不仅提出了一个完善的几何体系，并且还提出了建立一个公理系统的原则。就是在一个几何公理系统中，采取哪些公理，应该包含多少条公理，应当考虑如下三个方面的问题：第一，共存性（和谐性），就是在一个公理系统中，各条公理应该是不矛盾的，它们和谐而共存在同一系统中。第二，独立性，公理体系中的每条公理应该是各自独立而互不依附的，没有一条公理是可以从其它公理引伸出来的。第三，完备性，公理体系中所包含的公理应该是足够能证明本学科的任何新命题。这种用公理系统来定义几何学中的基本对象和它的关系的研究方法，成了数学中所谓的“公理化方法”，而把欧几里得在《几何原本》提出的体系叫做古典公理法。公理化的方法给几何学的研究带来了一个新颖的观点，在公理法理论中，由于基本对象不予定义，因此就不必探究对象的直观形象是什么，只专门研究抽象的对象之间的关系、性质。从公理法的角度看，我们可以任意地用点、线、面代表具体的事物，只要这些具体事物之间满足公理中的结合关系、顺序关系、合同关系等，使这些关系满足公理系统中所规定的要求，这就构成了几何学。因此，凡是符合公理系统的元素都能构成几何学，每一个几何学的直观形象不止只有一个，而是可能有无穷多个，每一种直观形象我们把它叫做几何学的解释，或者叫做某种几何学的模型。平常我们所熟悉的几何图形，在研究几何学的时候，并不是必须的，它不过是一种直观形象而已。就此，几何学研究的对象更加广泛了，几何学的含义比欧几里得时代更为抽象。这些，都对近代几何学的发展带来了深远的影响。大量出土文物证明，在我国的史前时期，人们已经掌握了许多几何的基本知识，看一看远古时期人们使用过的物品中那许许多多精巧的、对称的图案的绘制，一些简单设计但是讲究体积和容积比例的器皿，这些都证明了当时人们掌握的几何知识是多么丰富，同时也证明了当时的经济是相当的发达。几何在我们的生活中无处不在。几何性在空间中的意义几何学是设计师最基本技能和手段设计所创造的空间和形体必然表现为几何形体。几何形体使用与组合，反应各时代建筑艺术特征。从古希腊到宁静、朴素的古罗马建筑，从多变的、强力度的哥特式建筑到中世纪，文艺复兴时期以及后来的巴洛克式、法国古典主义、洛可可等，无不有着明显的几何形体，空间也一样动感，怪异。“当古典建筑在变向极致时，却慢慢离开了空间最基本的几何单纯性的直率表达。”[7]现代建筑空间的重大问题必将在几何学基础上加以解决。如图5)。在空间设计的趋势下，要最大限度地约简材料，纯化表面，去除一切非本质的因素，把生命与空间交织在一起。通过极端简化的形式，可以最大程度地创造平衡，通过单纯的形式，将多层次的复杂的景色展现出来。要取得这样效果，有必要回到光明与黑暗的互相融合来表现形式的方式，并且丰富空间。几何大致有三种构成关系：距离关系；比例、尺度数学关系；组合关系。在任何设计中，体块的整体性是个法则，空间尤为重要。几何体及其组合能给人亲切感，这是人类从事社会生产以来最直觉的体现。此时让我想起包豪斯时期建筑以及室内空间、产品的设计，是种功能主义和经济理论主义至上的典范，从某种意义上说丧失了作品个性。有种强烈的感觉，也希望从平面中去探求空间，平面与空间有某种内在联系，空间是可以转换的。建筑审美的几何特性美学家马克斯•迪索(MaxDessior)在其所著《美景与艺术理论》一书中，提出了他自己的艺术分类体系。在他的艺术分类表中，建筑被列为自由艺术一联想不明确，不具有现实形式的艺术，空间艺术——静止的和并列的艺术以及造型艺术以空间形象作为效果手段的艺术。一个强调了建筑所具有的空间或体积特性的位置，有的甚至更明确了指出建筑具有内在空间的独特属性。如图(6)。这个位置是由建筑的社会功能需求这一基本要素决定的，同时也显示了建筑艺术与其它各门艺术最重要的区别，建筑既然具有丰富多彩的内部空间结合，便会因之产生万千就幻的外部形体表现，反映在建筑设计的各种视图中，平面图形，二维或三维的空间形体也好，它们的性质和应用恰是几何学的研究范畴。在建筑历史的演进过程中，曾经出现过五花八门的建筑观，它们对建筑有着不同的解释，对建筑的发展起到不同的推动作用。譬如，在希腊古典埋藏，哲学家、数学家毕达哥拉斯(Pythagoras)首先提出“黄金分割”的理论；意大利晚期文艺复兴时期的重要建筑理论家中的拉等奥(AadreaPaladio)曾经指出：“建筑因而像个完整的、完全的躯体，它的每一个器官都和相适应......。”当然，发展到极端形式，则是一个“完整的，完全的”人像去取代柱子以支撑上部的结构构件。因此，从建筑艺术的角度出发，以几何的观点去对待建筑构成，不但完全符合建筑内部空间的内涵，而且不必介入建筑论战的是非曲直。因为建筑师无论持何种观点，他总是无法回避建筑的几何特性。建筑大师勒•柯布西耶(Lecorbusier)也同样赞美几何形体，贬期的现代主义与后现代主义建筑作品中同样体现强烈几何个性。如图(7)。人们的建筑观曾经并不断翻新，建筑的几何特性却从来不曾被改变。人们可以极其容易地从中辨认出各种基本几何图形以及它们的组合。约翰波特曼(JohnPortman)的洛杉矶好运旅馆一一圆形，贝聿铭的华盛顿美国国家美术馆一三角形。对古代建筑的立面构图进行分析，试图去解释建筑师的立面创作意图，探求立面中的比例关系。那些经典作品便被选择作为例证，即如雅漠的中间提浓神病、罗马的万神庙、巴黎的凯旋门等。仅仅指出建筑的几何特性能够经予人们不同于其它各门艺术的审美感受是不够的，因为感受本身既可以是正面的肯定的，也可以是反面的否定的两种相反体验。关于削弱建筑几何特性的建筑装饰建筑装饰的目的，无非是为了使建筑在人们对其进行审美的过程中，能够给人以审美愉悦。黑格尔曾经说过：“建筑首先要适应一种需要，而且是一种与艺术无关的需要。所以单为满足这种需