高三线性及不等式应用

精锐教育学科教师辅导讲学 级：高 数学 辅导科目：数 学科教师授课类

T（简单线性规划问题

C（几种非线性规划

T（不等式综合运用授课日期及教学内简单线性规划问作二元一次不等式ax＋by＋c＞0(或ax＋by＋c＜0)表示的平面区域的方法步骤在直线的一侧任取一点P(x0，y0)，特别地，当c≠0时，常 作为此特殊点若ax0＋by0＋c＞0，则包含点P的半平面为不等式 所表示的平面区域，不包含点P的半平面为不等式 的解 组成的集合 取得最大值或最小值的可行解在约束条件下，当b＞0时，求目标函数z＝ax＋by＋c的最小值或最大值的求解程序为确定l0的平移方向，依可行域判断取得最优解的点 ，不可将范围盲目扩大

直线Ax＋By＋C＝0上直线Ax＋By＋C＝0下直线Ax＋By＋C＝0下直线Ax＋By＋C＝0上AxB＋C≥＋ByC≤Axy＋C0[难点疑点一般地说，直线不过原点时用原点判断法或B值判断法，直线过原点时用B值判断法或用(1,0)点判断AxBy≥0(Axy＋C0AxB＋C＝0求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式 ax＋z，通过求直线 截距zzb>0时，截距z取最大值时，z也取最大值；截距z取最小值时，z b<0时，截距z取最大值时，z取最小值；截距z取最小值时，z 题型1：二元一次不等式表示的区[分析](1)用特殊点，如原点确定不等式表示的平面区域；[解析](13x＋2y＋6＝0(画成虚线)，取原点(0,0∴(0,0)在3x＋2y＋6>0表示的平面区域内，(2)不等式x<3表示x＝3左侧点的集合，不等式2y≥xx－2y＝0其左上方点的集合．不等式3x＋2y≥63x＋2y－6＝0不等式3y<x＋9表示直线3y－x－9＝0右下方点的集合．综上可得：不等式组表示的平面区 举一反三：（1）若点(1,3)和(－4，－2)在直线2x＋y＋m＝0的两侧，则m的取值范围 (2×1＋3＋m)[2×(－4)－2＋m]<0，

，表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是 43

D．0<a≤13[答案]l：x＋y＝al1、l2l32：设变量x，y满足约束条件

则其所表示的平面区域的面积 [答案]举一反三：（1）x，y的不等式组x＋y－2≥0，

所表示的平面区域的面积为4，则k的值为 C．1或 kk[答案][解析]其中平面区域kx－y＋2≥0kx－y＋2＝0 ，根据平面区域面积为4，得A(2,4)，代入直线方程，得k＝1.（2）在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域 x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B＝{＋y，x－y)(x，y)∈A}的面积为 2 2 [答案][解析]

x－y＝n

2，y＝2 即

中的整点（即横、纵坐标均为整数的点）共有 A.85 B.88 C.91D.94[分析]本题考查的知识点是简单线性规划的应用， 不等式 表示的平面区域如下图 示y=116y=214个整点；y=313y=411个整点；y=510y=68个整点；y=77y=85个整点；y=94y=102个整点；y=111个整点；91个整点，C 表示的平面区域是W，若W中的整点（即横、纵坐标均为整数的点）共有91个，则实数a的取值范围是（ A. [分析]考查的知识点是简单的线性规划 可以先画出足约束条 的平面区域，再分析 满足约束条 的平面区域如下图其中当a=1时的整点个数为=91个0＜a≤1设实数x、y满足不等式 ，若x、y为整数，则3x+4y的最小值是 A. B. C. D.，[分析]本题考查的知识点是简单线性规划的应用 后分析平面区域里各个整点，然后将其代入3x+4y中，求出3x+4y的最小值．， 依题意作出可行性区 题型2：求目标函数的值1：x，y满足条件

4x－3y[分析]z＝4x－3y[解答]不等式组x＋7y－11≤0

表示的区 得 解方程组

，得 则B(－3,2)，因此4x－3y的最大值和最小值分别为[点评]1.求目标函数的最值，必须先准确地作出线性可行域再作出目标函数对应的直线，据题意确定取得最优线性目标函数z＝ax＋by取最大值时的最优解与b的正负有关，当b>0时，最优解是将直线ax＋by＝0在可b<0提醒：在移动直线ax＋by＝0时，要注意斜率和边界直线斜率的关系举一反三：（1）若实数x，y满足不等式

且x＋y的最大值为9，则实数 [答案][解析]

5由

平移y＝－x，当其经过点A时，x＋y取最大值，即

－1

取值范围

画出x、y满足条件的可行 ，要使目标函数z＝ax＋y仅在点(3,0)处取得最大值，则直线1的斜率应小于直线x＋2y－3＝0的斜率，即

，∴a> 给出平面区域如下图所示若使目标函数Z＝ax＋y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个则a的值为 554

3[答案]Z＝ax＋y(a>0)lAC5 5即－a＝KAC＝1－55

，∴a＝5 [答案][解析]∵a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z即2x＋3y－z＝0.又|x|＋|y|≤1表示的区域为图中阴影部分∴当2x＋3y－z＝0过点B(0，－1)时，zmin＝－3，当2x＋3y－z＝0过点A(0,1)时题型3：简单线性规划的实际应1：某公司计划在甲、乙两个做总时间不超过300分钟的，总费用不超过9万元．甲、乙电视台的500元/200元/分钟．假定甲、乙两个为该公司所做的每分钟，能给0.30.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个的 [解答]设公司在 和 的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意500x＋200y≤90z＝3000x＋2

l：3000x＋2平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值∴点M的坐标为∴zmax＝3000x＋2000y＝700000即该公司在 做100分 ，在 ，公司 （1） ，种植面积不超过50亩，投入 年产量/年种植成本/41.20.5560.90.3为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜 的种植面积(单位：亩)分别 用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( [答案] [解析](1)设种植黄瓜x亩 y亩，则由题意可知

求目标函数z＝x＋0.9y当目标函数线l向右平移，移至点A(30,20)处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩， （2）设甲每天加工x箱，乙每天加工y箱，利润为则

，即画出可行 ，作直线l0：7x＋5y＝0，并平移至经过点A(15,55)时，z取最大值，∴选设A＝{(x，y)|x，y,1－x－y是三角形的三边长}，则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是 答案11解析由已知得解析由已知得即1y<

22

)2x＋y－10＝0与不等式组

表示的平面区域的公共点有 A．0 B．1 C．2 答案解析2x＋y－10＝01(2012·山东)x，y满足约束条件

z＝3x－y

答案

解析3x－y＝0A时，z＝3x－yB时，z＝3x－y由

由

∴z＝3x－y的取值范围是当点M(x，y)在 的三角形ABC区域内(含边界)运动时，目标函数z＝kx＋y取得最大值的一个最优解为(1,2)，则实数k的取值范围是( [答案]B－k≤kAC＝10≥－k≥kBC＝－1，即已知x，y满足

，如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m等于 [答案]Bm>0z＝x－yy＝x－zA时，－z取z取最小值－1.

由

A(3

31＋m2m－1∴z＝3－3＝3

所表示的平面区域被直线 k的值是

答案

解析不等式组表示的平面区 y＝kx＋3过定点，3.ABy＝kx＋3A(1,1)，B(0,4)AB

某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是 答案解析xy吨，z＝5x＋3y.由题意得x、yA点取值时，zx＝3，y＝4，z＝5×3＋3×4＝27(万元(10分)2x－3<y≤3解先将所给不等式转化为x，y即求

所给不等式等价于依照二元一次不等式表示平面区域可得如图2x－3<y≤3的正整数解，再画出y≤3，

表示的平面区域．如图(2) 率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人计 额不超过10万元，要求确保可能的 亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少 解x万元、y由题意知

上述不等式组表示的平面区 z＝x＋0.5yy＝－2x＋2z，这是斜率为－2zy＝－2x＋2z经过可行域内My＝－2x＋2zy2z最大，z也最大．Mx＋y＝100.3x＋0.1y＝1.8解方程组

∵7>0，∴x＝4，y＝6时，z4万元投资甲项目、61.8万元的前提下，使可能的

例1：变量x、y满足 设 z的最小值＝xz＝x2＋y2zz＝x2＋y2＋6x－4y＋13z审题视角(x，y)

(x，y)与点(0,0)连线的斜率．(2)x2＋y2x－0(x，y)与点(0,0)连线距离的平方．(3)x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2可以理解为点(x，y)与(－3,2)的距离的解由约束条件

由 由

，5

由

B(5,2)．[4分 ∴zO5zmin＝kOB＝2.[6分5dmin＝|OC|＝2，dmax＝|OB|＝29.∴2≤z≤29.[9分z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，dmin＝1－(－3)＝4，dmax＝－3－52＋2－22＝8.∴16≤z≤64.[12分

举一反三：设变量x，y满足约束条件

则 的取值范围

(x，y)与点(－3，－3)连线的斜率的取值范围[解析]画出可行域如图，z表示可行域内的点(x，yE(－3，－3)连线的斜率，则由图像可知，连线过点CB时斜率最大．0＋3 ＝

2＋3 3所以z的取值范围是

53[答案]

5b[点评]此类题可以归类为求x的取值范围，即求点(b，a)(注：点(b，ab

2D是不等式组

所表示的平面区域，则区域D中的点P(x，y)到直线x＋y＝10的距的最大值 [答案]4(1,1)x＋y＝104

称．对于Ω1中的任意点A与Ω2中的任意点B，|AB|的最小值等于 55答案

5

不等式组

，所表示的平面区 ，解方程组

，得 A(1,1)3x－4y－9＝0

二、专题过

P在平面区域

Qx2＋(y＋2)2＝1上，那么|PQ| 2 42C．2 D.答案

解析P取点，2，Q取点(0，－1)时，|PQ|有最小值为

则实数m的最大值为 22答案

解析y＝2x

m≤1m1.

，所表示的平面区域为M，使函数y＝ax(a>0，a≠1)的图像过区M的a的取值范围是 B．[2， D．[[答案][解析]由二元一次不等式组

得所表示的平面区域M为图中阴影部分∴使函数y＝ax(a>0，a≠1)的图像过区域Ma的取值范围为[2,9]．故选已知函数f(x)的定义域为[－2，＋∞)，部分对应值如下表x0411f(x)的导函数f′(x)的图 ．若两正数a、b满足f(2a＋b)<1，求

[解析]由y＝f′(x)图像知，f(x)在[－2,0]为减函数，在[0,4]∴－2<2a＋b<4，且a>0，b>0，可行域如图阴影部分．而

可看作(a，b)与(－3，－3)两点连线的斜率35

，kPB＝3

3 的取值范围为5

已知x，y满足z＝x2＋y2，求z的最大值和最小值yz＝zx[解析]不等式组

表示的平面区 ．图中阴影部分即为可行域

过原点(0,0)作直线l垂直于直线x＋y－3＝0，垂足为N，则直线l的方程为

3由 得

∴N2，3322

3N2

AB上，也在可行域内 92此时可行域内点M到原点的距离最大，点N到原点的距离最小．又OM＝ 92

2≤x＋y≤22

≤x＋y9所以，z13，z2由图象可得，原点与可行域内的点A的连线的斜率值最大，与点B的连线的斜率值最小1

，∴

21∴z2，z2三、学法提1、专题特点：2(1)x2＋y2表示点(x，y)与原点(0,0)x－a2＋y－b2表示点(x，y)与点(a，by

表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率xax－表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率a3一、能力培

不等式的综合运1、已知a＞b＞0，求a2+的最小值b（a﹣b）范围，进而代入原式，进一步利用基本不等式求得问题答案．解答解：∵b（a﹣b）≤（）2=，∴a2+≥a2+当且仅 ， 时取等号2、已知函数f（x）=x2﹣blnx在（1，2]是增函数，g（x）=x﹣b在（0，1）为减函数求b设函数φ（x）=2ax﹣是区间（0，1]上的增函数，且对于（0，1]内的任意两个变量s、t，f（s）≥ϕ（t）a的取值范围．（2）由于函数在x∈（0，1]上为增函数，则φ'（x）≥0在（0，1]上恒成立，即（0，1]a解答解：（1）∵f′（x）≥0x∈（1，2]b≤2x2x∈（1，2]∴b≤2（3分，，∴b≥2（5分∴b=2（6分∴f（x）1（8分 ， ∵函数在x∈（0，1]上为增函数∴φ'（x）≥0在（0，1] ∴a≥﹣1，且的最大值为2a﹣1（10分）依题意，解得﹣1≤a≤1为所求范围（12分）3（2008•南通模拟）2的等边△ABCDE把草坪分成面积相等的两部分，DAB上，EAC上．AD=x（x≥0），ED=yxyDE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DEDE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明．分析（1）先根据S△ADE=S△ABC求得x和AE的关系，进而根据余弦定理把x和AE的关系代入求得x和解答解（1）在△ADE中，y2=x2+AE2﹣2x•AE•cos60°⇒y2=x2+AE2﹣x•AE，①又S△ADE=S△ABC=22=x•AE•sin60°⇒x•AE=2．②②代入①得y2=x2+ （2）如果DE是水管 当且仅当x2=，即x= 时“=”成立，故DE∥BC，且DE= 如果DE是参观线路，记f（x）=x2+，DEABAC中线时，DE最长．二、能力点学法升一、知识收二、方法总

z过求直线的截距bz

＝－b＋b三、技巧提3、解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作图应尽可能精确，图上操作尽可能规范．求最优解时，若没有特殊要求一般为边界交点若实际问题要求的最优解是整数解而 利用图解法得到的解为非整数解应作适当调整其方法应以与线性目标函数直线的距离为依据在直线附近寻求与直线距离最近的整点但必须是在可行域内寻找.但考虑到图毕竟还是会有误差假若图上的最优解并不明显易辨时应将最优解附近的整点都找出来然后逐一检查，以“验明正身．课后作

文)设x，y满足约束条件

则目标函数z＝x＋y的最大值是 [答案]C[解析]该题考查线性规划知识，求线性目标函数 作z＝0时：x＋y＝0的直线，在可行域内平移，当移至A(6,0)时，x＋y－z＝0的截距最大，此时z值最大2．(2010·山东理)设变量x、y满足约束条件

，则目标函数z＝3x－4y的最大值和最小值别为 [答案]A3x－4y＝0(3,5)时，z取最小值－11，平移至点(5,3)取最大3.若直线y＝kx＋1x2＋y2＋kx＋my－4＝0相交于P、Q两点，且点P、Q关于x＋y＝0对称，则不等组

表示的平面区域的面积是 2 24

[答案]P、Qx＋y＝0y＝kx＋1x＋y＝0

kx＋y＝0

2∴m＝－1，则不等式组 1如图，A坐标为(－1,0)，B点坐标为

，21

＝ 24．(2009·陕西)若x，y满足约束条件

，目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则的取值范围是 [解析]本小题主要考查线性规划问题．解

得 a2

∴－4<a<2，故选

xy1a≥0，b≥0，且当xy

答案2、已知平面区域D由以A