湖南省汨罗第二中学2023学年高考数学一模试卷（含解析）

2023学年高考数学模拟测试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若为虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是()A．这五年，出口总额之和比进口总额之和大B．这五年，2015年出口额最少C．这五年，2019年进口增速最快D．这五年，出口增速前四年逐年下降3．已知三棱柱的所有棱长均相等，侧棱平面，过作平面与平行，设平面与平面的交线为，记直线与直线所成锐角分别为，则这三个角的大小关系为()A． B．C． D．4．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，则（）．A． B． C． D．5．已知，则（）A． B． C． D．26．定义运算，则函数的图象是（）．A． B．C． D．7．如果，那么下列不等式成立的是（）A． B．C． D．8．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点（设点位于第一象限），过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点，，抛物线的准线交轴于点，若，则直线的斜率为A．1 B． C． D．9．已知全集，函数的定义域为，集合，则下列结论正确的是A． B．C． D．10．已知，，若，则实数的值是（）A．-1 B．7 C．1 D．1或711．已知集合，集合，若，则（）A． B． C． D．12．已知集合，则等于（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图,在梯形中，∥，分别是的中点，若，则的值为___________.14．已知实数，满足则的取值范围是______.15．已知关于空间两条不同直线m、n，两个不同平面、，有下列四个命题：①若且，则；②若且，则；③若且，则；④若，且，则.其中正确命题的序号为______.16．已知双曲线的一条渐近线为,则焦点到这条渐近线的距离为_____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（1）若，不等式的解集；（2）若，求实数的取值范围.18．（12分）已知函数.（1）当时，解不等式；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.19．（12分）设函数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若函数有两个极值点，求证：.20．（12分）在平面直角坐标系中，曲线：（为参数，），曲线：（为参数）.若曲线和相切.（1）在以为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，求曲线的普通方程；（2）若点，为曲线上两动点，且满足，求面积的最大值.21．（12分）本小题满分14分）已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），求直线被曲线截得的线段的长度22．（10分）已知抛物线的顶点为原点，其焦点关于直线的对称点为，且.若点为的准线上的任意一点，过点作的两条切线，其中为切点.（1）求抛物线的方程；（2）求证：直线恒过定点，并求面积的最小值.

2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【答案解析】

由共轭复数的定义得到，通过三角函数值的正负，以及复数的几何意义即得解【题目详解】由题意得，因为，，所以在复平面内对应的点位于第二象限．故选：B【答案点睛】本题考查了共轭复数的概念及复数的几何意义，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题.2、D【答案解析】

根据统计图中数据的含义进行判断即可.【题目详解】对A项，由统计图可得，2015年出口额和进口额基本相等，而2016年到2019年出口额都大于进口额，则A正确；对B项，由统计图可得，2015年出口额最少，则B正确；对C项，由统计图可得，2019年进口增速都超过其余年份，则C正确；对D项，由统计图可得，2015年到2016年出口增速是上升的，则D错误；故选：D【答案点睛】本题主要考查了根据条形统计图和折线统计图解决实际问题，属于基础题.3、B【答案解析】

利用图形作出空间中两直线所成的角，然后利用余弦定理求解即可.【题目详解】如图，，设为的中点，为的中点，由图可知过且与平行的平面为平面，所以直线即为直线，由题易知，的补角，分别为，设三棱柱的棱长为2，在中，，；在中，，；在中，，，.故选：B【答案点睛】本题主要考查了空间中两直线所成角的计算，考查了学生的作图，用图能力，体现了学生直观想象的核心素养.4、B【答案解析】

根据角终边上的点坐标，求得，代入二倍角公式即可求得的值.【题目详解】因为终边上有一点，所以，故选：B【答案点睛】此题考查二倍角公式，熟练记忆公式即可解决，属于简单题目.5、B【答案解析】

结合求得的值，由此化简所求表达式，求得表达式的值.【题目详解】由，以及，解得..故选：B【答案点睛】本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值，考查二倍角公式，属于中档题.6、A【答案解析】

由已知新运算的意义就是取得中的最小值，因此函数，只有选项中的图象符合要求，故选A.7、D【答案解析】

利用函数的单调性、不等式的基本性质即可得出.【题目详解】∵，∴，，，.故选：D.【答案点睛】本小题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查不等式的性质，属于基础题.8、C【答案解析】

根据抛物线定义，可得，，又，所以，所以，设，则，则，所以，所以直线的斜率．故选C．9、A【答案解析】

求函数定义域得集合M，N后，再判断．【题目详解】由题意，，∴．故选A．【答案点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．10、C【答案解析】

根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得的值.【题目详解】由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得.∴解得.故选：C.【答案点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.11、A【答案解析】

根据或，验证交集后求得的值.【题目详解】因为，所以或.当时，，不符合题意，当时，.故选A.【答案点睛】本小题主要考查集合的交集概念及运算，属于基础题.12、C【答案解析】

先化简集合A，再与集合B求交集.【题目详解】因为，，所以.故选：C【答案点睛】本题主要考查集合的基本运算以及分式不等式的解法，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【答案解析】

建系，设设，由可得，进一步得到的坐标，再利用数量积的坐标运算即可得到答案.【题目详解】以A为坐标原点，AD为x轴建立如图所示的直角坐标系，设，则，所以，，由，得，即，又，所以，故,,所以.故答案为：2【答案点睛】本题考查利用坐标法求向量的数量积，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.14、【答案解析】

根据约束条件画出可行域，即可由直线的平移方法求得的取值范围.【题目详解】.由题意，画出约束条件表示的平面区域如下图所示，令，则如图所示，图中直线所示的两个位置为的临界位置，根据几何关系可得与轴的两个交点分别为，所以的取值范围为.故答案为：【答案点睛】本题考查了非线性约束条件下线性规划的简单应用，由数形结合法求线性目标函数的取值范围，属于中档题.15、③④【答案解析】

由直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，面面垂直的判定定理和线面垂直的定义判断．【题目详解】①若且，的位置关系是平行、相交或异面，①错；②若且，则或者，②错；③若，设过的平面与交于直线，则，又，则，∴，③正确；④若，且，由线面垂直的定义知，④正确．故答案为：③④．【答案点睛】本题考查直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，面面垂直的判定定理和线面垂直的定义，考查空间线面间的位置关系，掌握空间线线、线面、面面位置关系是解题基础．16、2.【答案解析】

由双曲线的一条渐近线为，解得．求出双曲线的右焦点，利用点到直线的距离公式求解即可．【题目详解】双曲线的一条渐近线为解得：双曲线的右焦点为焦点到这条渐近线的距离为：本题正确结果：【答案点睛】本题考查了双曲线和的标准方程及其性质，涉及到点到直线距离公式的考查，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【答案解析】

（1）依题意可得，再用零点分段法分类讨论可得；（2）依题意可得对恒成立，根据绝对值的几何意义将绝对值去掉，分别求出解集，则两解集的并集为，得到不等式即可解得；【题目详解】解：（1）若，，则，即，当时，原不等式等价于，解得当时，原不等式等价于，解得，所以；当时，原不等式等价于，解得；综上，原不等式的解集为；（2）即，得或，由解得，由解得，要使得的解集为，则解得，故的取值范围是.【答案点睛】本题考查绝对值不等式的解法，着重考查等价转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于中档题．18、（1）；（2）.【答案解析】

（1）分类讨论去绝对值，得到每段的解集，然后取并集得到答案.（2）先得到的取值范围，判断，为正，去掉绝对值，转化为在时恒成立,得到，，在恒成立，从而得到的取值范围.【题目详解】（1）当时，，由，得，即，或，即，或，即，综上：或，所以不等式的解集为.（2），，因为，，所以，又，，，得.不等式恒成立，即在时恒成立，不等式恒成立必须，，解得.所以，解得，结合，所以，即的取值范围为.【答案点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，含有绝对值的不等式的恒成立问题.属于中档题.19、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析【答案解析】

（Ⅰ）求导得到，讨论，，三种情况得到单调区间.（Ⅱ）设，要证，即证，，设，根据函数单调性得到证明.【题目详解】（Ⅰ），令，，（1）当，即时，，，在上单调递增；（2）当，即时，设的两根为（），，①若，，时，，所以在和上单调递增，时，，所以在上单调递减，②若，，时，，所以在上单调递减，时，，所以在上单调递增.综上，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（Ⅱ）不妨设，要证，即证，即证，由（Ⅰ）可知，，，可得，，所以有，令，，所以在单调递增，所以，因为，所以，所以.【答案点睛】本题考查了函数单调性，证明不等式，意在考查学生的分类讨论能力和计算能力.20、（1）；（2）【答案解析】

（1）消去参数，将圆的参数方程，转化为普通方程，再由圆心到直线的距离等于半径，可求得圆的普通方程，最后利用求得圆的极坐标方程.（2）利用圆的参数方程以及辅助角公式，由此求得的面积的表达式，再由三角函数最值的求法，求得三角形面积的最大值.【题目详解】（1）由题意得：，：因为曲线和相切，所以，即：；（2）设，所以所以当时，面积最大值为【答案点睛】本小题主要考查参数方程转化为普通方程，考查直角坐标方程转化为极坐标方程，考查利用参数的方法求三角形面积的最值，属于中档题.21、【答案解析】解：解：将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，即，它表示以为圆心，2为半径圆，………4分直线方程的普通方程为，………8分圆C的圆心到直线l的距离，……………10分故直线被曲线截得的线段长度为．……………14分22、（1）（2）见解析，最小值为4【答案解析】

（1）根据焦点到直线的距离列方程，求得的值，由此求得抛物线的方程.（2）设出的坐标，利用导数求得切线的方程，由此判断出直线恒过抛