自动控制系统的数学模型课件

2-1控制系统微分方程的建立2-2非线性微分方程的线性化2-3

传递函数2-4动态结构图2-5系统的脉冲响应函数2-6典型反馈系统传递函数第二章自动控制系统的数学模型12-1控制系统微分方程的建立2-2非线性微分方程的线性化基本要求1.了解建立系统动态微分方程的一般方法。2.熟悉拉氏变换的基本法则及典型函数的拉氏变换形式。3.掌握用拉氏变换求解微分方程的方法。4.掌握传递函数的概念及性质。5.掌握典型环节的传递函数形式。2基本要求26.掌握由系统微分方程组建立动态结构图的方法。7.掌握用动态结构图等效变换求传递函数和用梅森公式求传递函数的方法。8.掌握系统的开环传递函数、闭环传递函数，对参考输入和对干扰的系统闭环传递函数及误差传递函数的概念。36.掌握由系统微分方程组建立动态结构图的方法。3解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并实验验证。实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。建立数学模型的方法分为解析法和实验法总结：解析方法适用于简单、典型、常见的系统，而实验方法适用于复杂、非常见的系统。实际上常常是把这两种方法结合起来建立数学模型更为有效。4解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出2-1控制系统微分方程的建立基本步骤：分析各元件的工作原理，明确输入、输出量建立输入、输出量的动态联系消去中间变量标准化微分方程52-1控制系统微分方程的建立基本步骤：5列写微分方程的一般方法例1.列写如图所示RC网络的微分方程。RCuruci6列写微分方程的一般方法例1.列写如图所示RC网络的微分方程解：由基尔霍夫定律得:式中:i为流经电阻R和电容C的电流,消去中间变量i,可得:令（时间常数），则微分方程为：7解：由基尔霍夫定律得:式中:i为流经电阻R和电容C的电流,例2.设有一弹簧质量阻尼动力系统如图所示，当外力F(t)作用于系统时，系统将产生运动，试写出外力F(t)与质量块的位移y(t)之间的动态方程。其中弹簧的弹性系数为k，阻尼器的阻尼系数为f，质量块的质量为m。8例2.设有一弹簧质量阻尼动力系统如图所示，当外力F解：分析质量块m受力，有外力F,弹簧恢复力Ky（t）阻尼力惯性力由于m受力平衡，所以式中：Fi是作用于质量块上的主动力，约束力以及惯性力。将各力代入上等式，则得9解：分析质量块m受力，有外力F,式中：Fi是作用于质量块上的式中：y——m的位移（m）；

f——阻尼系数（N·s/m);

K——弹簧刚度（N/m)。将式(2-4)的微分方程标准化10式中：y——m的位移（m）；将式(2-4)的微分方程标准化12－2非线性微分方程的线性化在实际工程中，构成系统的元件都具有不同程度的非线性，如下图所示。112－2非线性微分方程的线性化在实际工程中，构成系统的元件都于是，建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有诸多困难，因此，对非线性问题做线性化处理确有必要。对弱非线性的线性化如上图（a），当输入信号很小时，忽略非线性影响，近似为放大特性。对（b）和（c），当死区或间隙很小时（相对于输入信号）同样忽略其影响，也近似为放大特性，如图中虚线所示。平衡位置附近的小偏差线性化输入和输出关系具有如下图所示的非线性特性。12于是，建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有诸多困难，在平衡点A（x0，y0）处，当系统受到干扰，y只在A附近变化，则可对A处的输出—输入关系函数按泰勒级数展开，由数学关系可知，当很小时，可用A处的切线方程代替曲线方程（非线性），即小偏差线性化。x△13在平衡点A（x0，y0）处，当系统受到干扰，y只在A附近变化可得，简记为y=kx。若非线性函数由两个自变量，如z＝f（x,y），则在平衡点处可展成（忽略高次项）经过上述线性化后，就把非线性关系变成了线性关系，从而使问题大大简化。但对于如图（d）所示为强非线性，只能采用第七章的非线性理论来分析。对于线性系统，可采用叠加原理来分析系统。14可得叠加原理叠加原理含有两重含义，即可叠加性和均匀性（或叫齐次性）。例：设线性微分方程式为若时，方程有解，而时，方程有解，分别代入上式且将两式相加，则显然有，当＋时，必存在解为，即为可叠加性。15叠加原理叠加原理含有两重含义，即可叠加性和均匀性（或叫齐次性

上述结果表明，两个外作用同时加于系统产生的响应等于各个外作用单独作用于系统产生的响应之和，而且外作用增强若干倍，系统响应也增强若干倍，这就是叠加原理。若时，为实数，则方程解为，这就是齐次性。16上述结果表明，两个外作用同时加于系统产生的响应等2－3传递函数传递函数的概念与定义

线性定常系统在输入、输出初始条件均为零的条件下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。172－3传递函数传递函数的概念与定义17这里，“初始条件为零”有两方面含义：一指输入作用是t＝0后才加于系统的，因此输入量及其各阶导数，在t=时的值为零。二指输入信号作用于系统之前系统是静止的，即t=时，系统的输出量及各阶导数为零。许多情况下传递函数是能完全反映系统的动态性能的。18这里，“初始条件为零”有两方面含义：一指输入作用是t＝0后才一、传递函数的概念与定义G(s)Ur(s)Uc(s))s(U)s(U)s(Grc=19一、传递函数的概念与定义G(s)Ur(s)Uc(s))s(U传递函数是关于复变量s的有理真分式，它的分子，分母的阶次是：。二、关于传递函数的几点说明传递函数仅适用于线性定常系统，否则无法用拉氏变换导出；传递函数完全取决于系统内部的结构、参数，而与输入、输出无关；传递函数只表明一个特定的输入、输出关系，对于多输入、多输出系统来说没有统一的传递函数；（可定义传递函数矩阵，见第九章）20传递函数是关于复变量s的有理真分式，它的分子，分母的阶次是：传递函数的拉氏反变换为该系统的脉冲响应函数，因为当时，，所以，一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之对应。这将在第四章根轨迹中详述。传递函数是在零初始条件下建立的，因此，它只是系统的零状态模型，有一定的局限性，但它有现实意义，而且容易实现。21传递函数的拉氏反变换为该系统的脉冲响应函数，因为当三、传递函数举例说明例1.

如图所示的RLC无源网络，图中电感为L（亨利），电阻为R（欧姆），电容为C（法），试求输入电压ui(t)与输出电压uo(t)之间的传递函数。22三、传递函数举例说明例1.22解：为了改善系统的性能，常引入图示的无源网络作为校正元件。无源网络通常由电阻、电容、电感组成，利用电路理论可方便地求出其动态方程，对其进行拉氏变换即可求出传递函数。这里用直接求的方法。因为电阻、电容、电感的复阻抗分别为R、1∕Cs、Ls，它们的串并联运算关系类同电阻。则传递函数为23解：为了改善系统的性能，常引入图示的无源网络作为校正元件。无四、典型环节一个传递函数可以分解为若干个基本因子的乘积，每个基本因子就称为典型环节。常见的几种形式有：比例环节，传递函数为：24四、典型环节一个传递函数可以分解为若干个基本因子的乘积，每个积分环节，传递函数为微分环节，传递函数为惯性环节，传递函数为一阶微分环节，传递函数为式中：，T为时间常数。25积分环节，传递函数为微分环节，传递函数为惯性环节，传递函数为二阶振荡环节，传递函数为式中：T为时间常数，为阻尼系数。二阶微分环节，传递函数为式中：为时间常数，为阻尼系数此外，还经常遇到一种延迟环节，设延迟时间为，该环节的传递函数为：26二阶振荡环节，传递函数为式中：T为时间常数，为阻尼2－4动态结构图动态结构图是一种数学模型，采用它将更便于求传递函数，同时能形象直观地表明输入信号在系统或元件中的传递过程。272－4动态结构图动态结构图是一种数学模型，采用它将更便一、动态结构图的概念系统的动态结构图由若干基本符号构成。构成动态结构图的基本符号有四种，即信号线、传递方框、综合点和引出点。信号线

表示信号输入、输出的通道。箭头代表信号传递的方向。28一、动态结构图的概念系统的动态结构图由若干基本符号构成。构成2.传递方框G(s)方框的两侧为输入信号线和输出信号线，方框内写入该输入、输出之间的传递函数G(s)。3.综合点4.引出点292.传递方框G(s)方框的两侧为输入信号线和输出信号线，方框二、动态结构图的基本连接形式1.串联连接G1(s)G2(s)X(s)Y(s)方框与方框通过信号线相连，前一个方框的输出作为后一个方框的输入，这种形式的连接称为串联连接。30二、动态结构图的基本连接形式1.串联连接G1(s)G2(s)2.并联连接G1(s)G2(s)X(s)－＋Y(s)两个或两个以上的方框，具有同一个输入信号，并以各方框输出信号的代数和作为输出信号，这种形式的连接称为并联连接。312.并联连接G1(s)G2(s)X(s)－＋Y(s)两个或两3.反馈连接一个方框的输出信号输入到另一个方框后，得到的输出再返回到这个方框的输入端，构成输入信号的一部分。这种连接形式称为反馈连接。G(s)R(s)－C(s)H(s)323.反馈连接一个方框的输出信号输入到另一个方框后，得到的输出三、系统动态结构图的构成构成原则：

按照动态结构图的基本连接形式，构成系统的各个环节，连接成系统的动态结构图。33三、系统动态结构图的构成构成原则：33四结构图的等效变换思路：

在保证总体动态关系不变的条件下，设法将原结构逐步地进行归并和简化，最终变换为输入量对输出量的一个方框。34四结构图的等效变换思路：341.串联结构的等效变换（１）串联结构图G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)351.串联结构的等效变换（１）串联结构图G1(s)G2(s)R等效变换证明推导G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)1.串联结构的等效变换（２）36等效变换证明推导G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)等效变换证明推导G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)1.串联结构的等效变换（３）37等效变换证明推导G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)串联结构的等效变换图G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)G1(s)•G2(s)R(s)C(s)两个串联的方框可以合并为一个方框，合并后方框的传递函数等于两个方框传递函数的乘积。1.串联结构的等效变换（４）38串联结构的等效变换图G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(2.并联结构的等效变换并联结构图C1(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)C2(s)392.并联结构的等效变换并联结构图C1(s)G1(s)G2(s等效变换证明推导(1)G1(s)G2(s)R(s)C(s)C1(s)C2(s)40等效变换证明推导(1)G1(s)G2(s)R(s)C(s2.并联结构的等效变换C1(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)C2(s)412.并联结构的等效变换C1(s)G1(s)G2(s)R(s)并联结构的等效变换图G1(s)G2(s)R(s)C(s)C1(s)C2(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)两个并联的方框可以合并为一个方框，合并后方框的传递函数等于两个方框传递函数的代数和。42并联结构的等效变换图G1(s)G2(s)R(s)C(s3.反馈结构的等效变换反馈结构图G(s)R(s)C(s)H(s)B(s)E(s)C(s)=?433.反馈结构的等效变换反馈结构图G(s)R(s)C(s)H3.反馈结构的等效变换等效变换证明推导G(s)R(s)C(s)H(s)B(s)E(s)443.反馈结构的等效变换等效变换证明推导G(s)R(s)C(3.反馈结构的等效变换反馈结构的等效变换图G(s)R(s)C(s)H(s)B(s)E(s)R(s)C(s)453.反馈结构的等效变换反馈结构的等效变换图G(s)R(s)4.综合点的移动（后移）综合点后移G(s)R(s)C(s)Q(s)Q(s)？G(s)R(s)C(s)464.综合点的移动（后移）综合点后移G(s)R(s)C(s)G(s)R(s)C(s)Q(s)综合点后移证明推导（移动前）47G(s)R(s)C(s)Q(s)综合点后移证明推导（移动前G(s)R(s)C(s)Q(s)？综合点后移证明推导（移动后）48G(s)R(s)C(s)Q(s)？综合点后移证明推导（移动移动前G(s)R(s)C(s)Q(s)Q(s)G(s)R(s)C(s)？移动后综合点后移证明推导（移动前后）49移动前G(s)R(s)C(s)Q(s)Q(s)G(s)RG(s)R(s)C(s)Q(s)？综合点后移证明推导（移动后）50G(s)R(s)C(s)Q(s)？综合点后移证明推导（移动G(s)R(s)C(s)Q(s)G(s)R(s)C(s)Q(s)G(s)综合点后移等效关系图51G(s)R(s)C(s)Q(s)G(s)R(s)C(s)G(s)R(s)C(s)Q(s)Q(s)？G(s)R(s)C(s)综合点前移52G(s)R(s)C(s)Q(s)Q(s)？G(s)R(sG(s)R(s)C(s)Q(s)综合点前移证明推导（移动前）53G(s)R(s)C(s)Q(s)综合点前移证明推导（移动前G(s)R(s)C(s)Q(s)？综合点前移证明推导（移动后）54G(s)R(s)C(s)Q(s)？综合点前移证明推导（移动移动前G(s)R(s)C(s)Q(s)G(s)R(s)C(s)Q(s)？移动后综合点前移证明推导（移动前后）55移动前G(s)R(s)C(s)Q(s)G(s)R(s)C4.综合点的移动（前移）综合点前移证明推导（移动后）G(s)R(s)C(s)Q(s)？564.综合点的移动（前移）综合点前移证明推导（移动后）G(s)4.综合点的移动（前移）综合点前移等效关系图G(s)R(s)C(s)Q(s)G(s)R(s)C(s)Q(s)1/G(s)574.综合点的移动（前移）综合点前移等效关系图G(s)R(s)综合点之间的移动R(s)C(s)Y(s)X(s)R(s)C(s)Y(s)X(s)58综合点之间的移动R(s)C(s)Y(s)X(s)R(s)4.综合点之间的移动结论：结论：多个相邻的综合点可以随意交换位置。R(s)C(s)Y(s)X(s)R(s)C(s)Y(s)X(s)594.综合点之间的移动结论：结论：多个相邻的综合点可以随意交换5.引出点的移动引出点后移G(s)R(s)C(s)R(s)？G(s)R(s)C(s)R(s)问题：要保持原来的信号传递关系不变，

？等于什么。605.引出点的移动引出点后移G(s)R(s)C(s)R(s)？引出点后移等效变换图G(s)R(s)C(s)R(s)G(s)R(s)C(s)1/G(s)R(s)61引出点后移等效变换图G(s)R(s)C(s)R(s)G(s)引出点前移问题：要保持原来的信号传递关系不变，？等于什么。G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)R(s)C(s)？C(s)62引出点前移问题：G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)R(引出点前移等效变换图G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)R(s)C(s)G(s)C(s)63引出点前移等效变换图G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)引出点之间的移动ABR(s)BAR(s)64引出点之间的移动ABR(s)BAR(s)64引出点之间的移动相邻引出点交换位置，不改变信号的性质。ABR(s)BAR(s)65引出点之间的移动相邻引出点交换位置，不改变信号的性质。ABR五举例说明例1：系统动态结构图如下图所示，试求系统传递函数C(s)/R(s)。66五举例说明例1：系统动态结构图如下图所示，试求系统传递函数例1（例题分析）本题特点：具有引出点、综合交叉点的多回路结构。解题思路：消除交叉连接，由内向外逐步化简。67例1（例题分析）本题特点：具有引出点、综合交叉点的多回路结例1（解题方法一之步骤1）将综合点2后移，然后与综合点3交换。68例1（解题方法一之步骤1）将综合点2后移，然后与综合点3交例1（解题方法一之步骤2）69例1（解题方法一之步骤2）69例1（解题方法一之步骤3）70例1（解题方法一之步骤3）70例1（解题方法一之步骤4）内反馈环节等效变换71例1（解题方法一之步骤4）内反馈环节等效变换71例1（解题方法一之步骤5）内反馈环节等效变换结果72例1（解题方法一之步骤5）内反馈环节等效变换结果72例1（解题方法一之步骤6）串联环节等效变换73例1（解题方法一之步骤6）串联环节等效变换73例1（解题方法一之步骤7）串联环节等效变换结果74例1（解题方法一之步骤7）串联环节等效变换结果74例1（解题方法一之步骤8）内反馈环节等效变换75例1（解题方法一之步骤8）内反馈环节等效变换75例1（解题方法一之步骤9）内反馈环节等效变换结果76例1（解题方法一之步骤9）内反馈环节等效变换结果76例1（解题方法一之步骤10）反馈环节等效变换77例1（解题方法一之步骤10）反馈环节等效变换77例1（解题方法一之步骤11）等效变换化简结果78例1（解题方法一之步骤11）等效变换化简结果78例1（解题方法二）将综合点③前移，然后与综合点②交换。79例1（解题方法二）将综合点③前移，然后与综合点②交换。79例1（解题方法三）引出点A后移80例1（解题方法三）引出点A后移80例1（解题方法四）引出点B前移81例1（解题方法四）引出点B前移81结构图化简步骤小结确定输入量与输出量。如果作用在系统上的输入量有多个，则必须分别对每个输入量逐个进行结构图化简，求得各自的传递函数。若结构图中有交叉联系，应运用移动规则，首先将交叉消除，化为无交叉的多回路结构。对多回路结构，可由里向外进行变换，直至变换为一个等效的方框，即得到所求的传递函数。82结构图化简步骤小结确定输入量与输出量。如果作用在系统上的输入结构图化简注意事项：有效输入信号所对应的综合点尽量不要移动；尽量避免综合点和引出点之间的移动。83结构图化简注意事项：有效输入信号所对应的综合点尽量不要移动；五、用梅森公式求传递函数梅森公式的一般式为：84五、用梅森公式求传递函数梅森公式的一般式为：84梅森公式参数解释：85梅森公式参数解释：85注意事项：“回路传递函数”是指反馈回路的前向通路和反馈回路的传递函数的乘积，并且包含代表反馈极性的正、负号。86注意事项：“回路传递函数”是指反馈回路的前向通路和反馈回路的举例说明（梅森公式）例1：试求如图所示系统的传递函数C(s)/R(s)87举例说明（梅森公式）例1：试求如图所示系统的传递函数C(s)求解步骤之一（例1）找出前向通路数n88求解步骤之一（例1）找出前向通路数n88求解步骤之一（例1）前向通路数：n＝189求解步骤之一（例1）前向通路数：n＝189求解步骤之二（例1）确定系统中的反馈回路数90求解步骤之二（例1）确定系统中的反馈回路数901.寻找反馈回路之一911.寻找反馈回路之一911.寻找反馈回路之二921.寻找反馈回路之二921.寻找反馈回路之三931.寻找反馈回路之三931.寻找反馈回路之四941.寻找反馈回路之四94利用梅森公式求传递函数(1)95利用梅森公式求传递函数(1)95利用梅森公式求传递函数(1)96利用梅森公式求传递函数(1)96利用梅森公式求传递函数(2)97利用梅森公式求传递函数(2)97求余子式1将第一条前向通道从图上除掉后的图，再用特征式的求法，计算98求余子式1将第一条前向通道从图上除掉后的图，再用特征式求余式1将第一条前向通道从图上除掉后的图图中不再有回路，故1=199求余式1将第一条前向通道从图上除掉后的图图中不再有回路，故利用梅森公式求传递函数(3)100利用梅森公式求传递函数(3)100例2：用梅森公式求传递函数试求如图所示的系统的传递函数。101例2：用梅森公式求传递函数试求如图所示的系统的传递函数。10求解步骤之一：确定反馈回路102求解步骤之一：确定反馈回路102求解步骤之一：确定反馈回路103求解步骤之一：确定反馈回路103求解步骤之一：确定反馈回路104求解步骤之一：确定反馈回路104求解步骤之一：确定反馈回路105求解步骤之一：确定反馈回路105求解步骤之一：确定反馈回路106求解步骤之一：确定反馈回路106求解步骤之二：确定前向通路107求解步骤之二：确定前向通路107求解步骤之二：确定前向通路108求解步骤之二：确定前向通路108求解步骤之三：求总传递函数109求解步骤之三：求总传递函数109例3：对例2做简单的修改110例3：对例2做简单的修改110①求反馈回路1111①求反馈回路1111②求反馈回路2112②求反馈回路2112③求反馈回路3113③求反馈回路3113④求反馈回路4114④求反馈回路41142.①两两互不相关的回路11152.①两两互不相关的回路1115②两两互不相关的回路2116②两两互不相关的回路2116３.①求前向通路1117３.①求前向通路11173.②求前向通路21183.②求前向通路21184.求系统总传递函数1194.求系统总传递函数1192－5典型反馈系统传递函数输入：控制输入干扰输入输出：由控制作用产生的输出由干扰作用产生的输出1202－5典型反馈系统传递函数输入：控制输入干扰输入输一、系统开环传递函数不含极性闭环系统的开环传递函数为：它是当主反馈回路断开时反馈信号B(s)与输入信号之间的传递函数。121一、系统开环传递函数不含极性闭环系统的开环传递函数为：它是当二、系统在r(t)作用下的闭环传递函数令n(t)＝0122二、系统在r(t)作用下的闭环传递函数令n(t)＝0122注：该系统为负反馈系统，系统传函中分母为1+开环传递函数，反之，若主反馈为正反馈时，则系统传函为1－开环传函123注：该系统为负反馈系统，系统传函中分母为1+开环传递函数，反三、系统在n(t)作用下的闭环传递函数令r(t)＝0G1(s)G2(s)H(s)NC124三、系统在n(t)作用下的闭环传递函数令r(t)＝0G1(s四、系统总输出线性系统满足叠加原理。系统总输出的拉氏变换式为：125四、系统总输出线性系统满足叠加原理。系统总输出的拉氏变换式为五、闭环系统的误差传递函数按上图规定误差为：e(t)=r(t)-b(t)E(s)=R(s)-B(s)126五、闭环系统的误差传递函数按上图规定误差为：e(t)=

1.r(t)作用下的系统误差传递函数

此时令n(t)=0，则结构图如下所示1271.r(t)作用下的系统误差传递函数此时令此时令n(t)=0，则结构图如下所示

2.n(t)作用下的系统误差传递函数

128此时令n(t)=0，则结构图如下所示2.n(t)作用下

3.系统总误差

1293.系统总误差1292-1控制系统微分方程的建立2-2非线性微分方程的线性化2-3

传递函数2-4动态结构图2-5系统的脉冲响应函数2-6典型反馈系统传递函数第二章自动控制系统的数学模型1302-1控制系统微分方程的建立2-2非线性微分方程的线性化基本要求1.了解建立系统动态微分方程的一般方法。2.熟悉拉氏变换的基本法则及典型函数的拉氏变换形式。3.掌握用拉氏变换求解微分方程的方法。4.掌握传递函数的概念及性质。5.掌握典型环节的传递函数形式。131基本要求26.掌握由系统微分方程组建立动态结构图的方法。7.掌握用动态结构图等效变换求传递函数和用梅森公式求传递函数的方法。8.掌握系统的开环传递函数、闭环传递函数，对参考输入和对干扰的系统闭环传递函数及误差传递函数的概念。1326.掌握由系统微分方程组建立动态结构图的方法。3解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并实验验证。实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。建立数学模型的方法分为解析法和实验法总结：解析方法适用于简单、典型、常见的系统，而实验方法适用于复杂、非常见的系统。实际上常常是把这两种方法结合起来建立数学模型更为有效。133解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出2-1控制系统微分方程的建立基本步骤：分析各元件的工作原理，明确输入、输出量建立输入、输出量的动态联系消去中间变量标准化微分方程1342-1控制系统微分方程的建立基本步骤：5列写微分方程的一般方法例1.列写如图所示RC网络的微分方程。RCuruci135列写微分方程的一般方法例1.列写如图所示RC网络的微分方程解：由基尔霍夫定律得:式中:i为流经电阻R和电容C的电流,消去中间变量i,可得:令（时间常数），则微分方程为：136解：由基尔霍夫定律得:式中:i为流经电阻R和电容C的电流,例2.设有一弹簧质量阻尼动力系统如图所示，当外力F(t)作用于系统时，系统将产生运动，试写出外力F(t)与质量块的位移y(t)之间的动态方程。其中弹簧的弹性系数为k，阻尼器的阻尼系数为f，质量块的质量为m。137例2.设有一弹簧质量阻尼动力系统如图所示，当外力F解：分析质量块m受力，有外力F,弹簧恢复力Ky（t）阻尼力惯性力由于m受力平衡，所以式中：Fi是作用于质量块上的主动力，约束力以及惯性力。将各力代入上等式，则得138解：分析质量块m受力，有外力F,式中：Fi是作用于质量块上的式中：y——m的位移（m）；

f——阻尼系数（N·s/m);

K——弹簧刚度（N/m)。将式(2-4)的微分方程标准化139式中：y——m的位移（m）；将式(2-4)的微分方程标准化12－2非线性微分方程的线性化在实际工程中，构成系统的元件都具有不同程度的非线性，如下图所示。1402－2非线性微分方程的线性化在实际工程中，构成系统的元件都于是，建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有诸多困难，因此，对非线性问题做线性化处理确有必要。对弱非线性的线性化如上图（a），当输入信号很小时，忽略非线性影响，近似为放大特性。对（b）和（c），当死区或间隙很小时（相对于输入信号）同样忽略其影响，也近似为放大特性，如图中虚线所示。平衡位置附近的小偏差线性化输入和输出关系具有如下图所示的非线性特性。141于是，建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有诸多困难，在平衡点A（x0，y0）处，当系统受到干扰，y只在A附近变化，则可对A处的输出—输入关系函数按泰勒级数展开，由数学关系可知，当很小时，可用A处的切线方程代替曲线方程（非线性），即小偏差线性化。x△142在平衡点A（x0，y0）处，当系统受到干扰，y只在A附近变化可得，简记为y=kx。若非线性函数由两个自变量，如z＝f（x,y），则在平衡点处可展成（忽略高次项）经过上述线性化后，就把非线性关系变成了线性关系，从而使问题大大简化。但对于如图（d）所示为强非线性，只能采用第七章的非线性理论来分析。对于线性系统，可采用叠加原理来分析系统。143可得叠加原理叠加原理含有两重含义，即可叠加性和均匀性（或叫齐次性）。例：设线性微分方程式为若时，方程有解，而时，方程有解，分别代入上式且将两式相加，则显然有，当＋时，必存在解为，即为可叠加性。144叠加原理叠加原理含有两重含义，即可叠加性和均匀性（或叫齐次性

上述结果表明，两个外作用同时加于系统产生的响应等于各个外作用单独作用于系统产生的响应之和，而且外作用增强若干倍，系统响应也增强若干倍，这就是叠加原理。若时，为实数，则方程解为，这就是齐次性。145上述结果表明，两个外作用同时加于系统产生的响应等2－3传递函数传递函数的概念与定义

线性定常系统在输入、输出初始条件均为零的条件下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。1462－3传递函数传递函数的概念与定义17这里，“初始条件为零”有两方面含义：一指输入作用是t＝0后才加于系统的，因此输入量及其各阶导数，在t=时的值为零。二指输入信号作用于系统之前系统是静止的，即t=时，系统的输出量及各阶导数为零。许多情况下传递函数是能完全反映系统的动态性能的。147这里，“初始条件为零”有两方面含义：一指输入作用是t＝0后才一、传递函数的概念与定义G(s)Ur(s)Uc(s))s(U)s(U)s(Grc=148一、传递函数的概念与定义G(s)Ur(s)Uc(s))s(U传递函数是关于复变量s的有理真分式，它的分子，分母的阶次是：。二、关于传递函数的几点说明传递函数仅适用于线性定常系统，否则无法用拉氏变换导出；传递函数完全取决于系统内部的结构、参数，而与输入、输出无关；传递函数只表明一个特定的输入、输出关系，对于多输入、多输出系统来说没有统一的传递函数；（可定义传递函数矩阵，见第九章）149传递函数是关于复变量s的有理真分式，它的分子，分母的阶次是：传递函数的拉氏反变换为该系统的脉冲响应函数，因为当时，，所以，一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之对应。这将在第四章根轨迹中详述。传递函数是在零初始条件下建立的，因此，它只是系统的零状态模型，有一定的局限性，但它有现实意义，而且容易实现。150传递函数的拉氏反变换为该系统的脉冲响应函数，因为当三、传递函数举例说明例1.

如图所示的RLC无源网络，图中电感为L（亨利），电阻为R（欧姆），电容为C（法），试求输入电压ui(t)与输出电压uo(t)之间的传递函数。151三、传递函数举例说明例1.22解：为了改善系统的性能，常引入图示的无源网络作为校正元件。无源网络通常由电阻、电容、电感组成，利用电路理论可方便地求出其动态方程，对其进行拉氏变换即可求出传递函数。这里用直接求的方法。因为电阻、电容、电感的复阻抗分别为R、1∕Cs、Ls，它们的串并联运算关系类同电阻。则传递函数为152解：为了改善系统的性能，常引入图示的无源网络作为校正元件。无四、典型环节一个传递函数可以分解为若干个基本因子的乘积，每个基本因子就称为典型环节。常见的几种形式有：比例环节，传递函数为：153四、典型环节一个传递函数可以分解为若干个基本因子的乘积，每个积分环节，传递函数为微分环节，传递函数为惯性环节，传递函数为一阶微分环节，传递函数为式中：，T为时间常数。154积分环节，传递函数为微分环节，传递函数为惯性环节，传递函数为二阶振荡环节，传递函数为式中：T为时间常数，为阻尼系数。二阶微分环节，传递函数为式中：为时间常数，为阻尼系数此外，还经常遇到一种延迟环节，设延迟时间为，该环节的传递函数为：155二阶振荡环节，传递函数为式中：T为时间常数，为阻尼2－4动态结构图动态结构图是一种数学模型，采用它将更便于求传递函数，同时能形象直观地表明输入信号在系统或元件中的传递过程。1562－4动态结构图动态结构图是一种数学模型，采用它将更便一、动态结构图的概念系统的动态结构图由若干基本符号构成。构成动态结构图的基本符号有四种，即信号线、传递方框、综合点和引出点。信号线

表示信号输入、输出的通道。箭头代表信号传递的方向。157一、动态结构图的概念系统的动态结构图由若干基本符号构成。构成2.传递方框G(s)方框的两侧为输入信号线和输出信号线，方框内写入该输入、输出之间的传递函数G(s)。3.综合点4.引出点1582.传递方框G(s)方框的两侧为输入信号线和输出信号线，方框二、动态结构图的基本连接形式1.串联连接G1(s)G2(s)X(s)Y(s)方框与方框通过信号线相连，前一个方框的输出作为后一个方框的输入，这种形式的连接称为串联连接。159二、动态结构图的基本连接形式1.串联连接G1(s)G2(s)2.并联连接G1(s)G2(s)X(s)－＋Y(s)两个或两个以上的方框，具有同一个输入信号，并以各方框输出信号的代数和作为输出信号，这种形式的连接称为并联连接。1602.并联连接G1(s)G2(s)X(s)－＋Y(s)两个或两3.反馈连接一个方框的输出信号输入到另一个方框后，得到的输出再返回到这个方框的输入端，构成输入信号的一部分。这种连接形式称为反馈连接。G(s)R(s)－C(s)H(s)1613.反馈连接一个方框的输出信号输入到另一个方框后，得到的输出三、系统动态结构图的构成构成原则：

按照动态结构图的基本连接形式，构成系统的各个环节，连接成系统的动态结构图。162三、系统动态结构图的构成构成原则：33四结构图的等效变换思路：

在保证总体动态关系不变的条件下，设法将原结构逐步地进行归并和简化，最终变换为输入量对输出量的一个方框。163四结构图的等效变换思路：341.串联结构的等效变换（１）串联结构图G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)1641.串联结构的等效变换（１）串联结构图G1(s)G2(s)R等效变换证明推导G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)1.串联结构的等效变换（２）165等效变换证明推导G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)等效变换证明推导G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)1.串联结构的等效变换（３）166等效变换证明推导G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)串联结构的等效变换图G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)G1(s)•G2(s)R(s)C(s)两个串联的方框可以合并为一个方框，合并后方框的传递函数等于两个方框传递函数的乘积。1.串联结构的等效变换（４）167串联结构的等效变换图G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(2.并联结构的等效变换并联结构图C1(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)C2(s)1682.并联结构的等效变换并联结构图C1(s)G1(s)G2(s等效变换证明推导(1)G1(s)G2(s)R(s)C(s)C1(s)C2(s)169等效变换证明推导(1)G1(s)G2(s)R(s)C(s2.并联结构的等效变换C1(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)C2(s)1702.并联结构的等效变换C1(s)G1(s)G2(s)R(s)并联结构的等效变换图G1(s)G2(s)R(s)C(s)C1(s)C2(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)两个并联的方框可以合并为一个方框，合并后方框的传递函数等于两个方框传递函数的代数和。171并联结构的等效变换图G1(s)G2(s)R(s)C(s3.反馈结构的等效变换反馈结构图G(s)R(s)C(s)H(s)B(s)E(s)C(s)=?1723.反馈结构的等效变换反馈结构图G(s)R(s)C(s)H3.反馈结构的等效变换等效变换证明推导G(s)R(s)C(s)H(s)B(s)E(s)1733.反馈结构的等效变换等效变换证明推导G(s)R(s)C(3.反馈结构的等效变换反馈结构的等效变换图G(s)R(s)C(s)H(s)B(s)E(s)R(s)C(s)1743.反馈结构的等效变换反馈结构的等效变换图G(s)R(s)4.综合点的移动（后移）综合点后移G(s)R(s)C(s)Q(s)Q(s)？G(s)R(s)C(s)1754.综合点的移动（后移）综合点后移G(s)R(s)C(s)G(s)R(s)C(s)Q(s)综合点后移证明推导（移动前）176G(s)R(s)C(s)Q(s)综合点后移证明推导（移动前G(s)R(s)C(s)Q(s)？综合点后移证明推导（移动后）177G(s)R(s)C(s)Q(s)？综合点后移证明推导（移动移动前G(s)R(s)C(s)Q(s)Q(s)G(s)R(s)C(s)？移动后综合点后移证明推导（移动前后）178移动前G(s)R(s)C(s)Q(s)Q(s)G(s)RG(s)R(s)C(s)Q(s)？综合点后移证明推导（移动后）179G(s)R(s)C(s)Q(s)？综合点后移证明推导（移动G(s)R(s)C(s)Q(s)G(s)R(s)C(s)Q(s)G(s)综合点后移等效关系图180G(s)R(s)C(s)Q(s)G(s)R(s)C(s)G(s)R(s)C(s)Q(s)Q(s)？G(s)R(s)C(s)综合点前移181G(s)R(s)C(s)Q(s)Q(s)？G(s)R(sG(s)R(s)C(s)Q(s)综合点前移证明推导（移动前）182G(s)R(s)C(s)Q(s)综合点前移证明推导（移动前G(s)R(s)C(s)Q(s)？综合点前移证明推导（移动后）183G(s)R(s)C(s)Q(s)？综合点前移证明推导（移动移动前G(s)R(s)C(s)Q(s)G(s)R(s)C(s)Q(s)？移动后综合点前移证明推导（移动前后）184移动前G(s)R(s)C(s)Q(s)G(s)R(s)C4.综合点的移动（前移）综合点前移证明推导（移动后）G(s)R(s)C(s)Q(s)？1854.综合点的移动（前移）综合点前移证明推导（移动后）G(s)4.综合点的移动（前移）综合点前移等效关系图G(s)R(s)C(s)Q(s)G(s)R(s)C(s)Q(s)1/G(s)1864.综合点的移动（前移）综合点前移等效关系图G(s)R(s)综合点之间的移动R(s)C(s)Y(s)X(s)R(s)C(s)Y(s)X(s)187综合点之间的移动R(s)C(s)Y(s)X(s)R(s)4.综合点之间的移动结论：结论：多个相邻的综合点可以随意交换位置。R(s)C(s)Y(s)X(s)R(s)C(s)Y(s)X(s)1884.综合点之间的移动结论：结论：多个相邻的综合点可以随意交换5.引出点的移动引出点后移G(s)R(s)C(s)R(s)？G(s)R(s)C(s)R(s)问题：要保持原来的信号传递关系不变，

？等于什么。1895.引出点的移动引出点后移G(s)R(s)C(s)R(s)？引出点后移等效变换图G(s)R(s)C(s)R(s)G(s)R(s)C(s)1/G(s)R(s)190引出点后移等效变换图G(s)R(s)C(s)R(s)G(s)引出点前移问题：要保持原来的信号传递关系不变，？等于什么。G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)R(s)C(s)？C(s)191引出点前移问题：G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)R(引出点前移等效变换图G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)R(s)C(s)G(s)C(s)192引出点前移等效变换图G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)引出点之间的移动ABR(s)BAR(s)193引出点之间的移动ABR(s)BAR(s)64引出点之间的移动相邻引出点交换位置，不改变信号的性质。ABR(s)BAR(s)194引出点之间的移动相邻引出点交换位置，不改变信号的性质。ABR五举例说明例1：系统动态结构图如下图所示，试求系统传递函数C(s)/R(s)。195五举例说明例1：系统动态结构图如下图所示，试求系统传递函数例1（例题分析）本题特点：具有引出点、综合交叉点的多回路结构。解题思路：消除交叉连接，由内向外逐步化简。196例1（例题分析）本题特点：具有引出点、综合交叉点的多回路结例1（解题方法一之步骤1）将综合点2后移，然后与综合点3交换。197例1（解题方法一之步骤1）将综合点2后移，然后与综合点3交例1（解题方法一之步骤2）198例1（解题方法一之步骤2）69例1（解题方法一之步骤3）199例1（解题方法一之步骤3）70例1（解题方法一之步骤4）内反馈环节等效变换200例1（解题方法一之步骤4）内反馈环节等效变换71例1（解题方法一之步骤5）内反馈环节等效变换结果201例1（解题方法一之步骤5）内反馈环节等效变换结果72例1（解题方法一之步骤6）串联环节等效变换202例1（解题方法一之步骤6）串联环节等效变换73例1（解题方法一之步骤7）串联环节等效变换结果203例1（解题方法一之步骤7）串联环节等效变换结果74例1（解题方法一之步骤8）内反馈环节等效变换204例1（解题方法一之步骤8）内反馈环节等效变换75例1（解题方法一之步骤9）内反馈环节等效变换结果205例1（解题方法一之步骤9）内反馈环节等效变换结果76例1（解题方法一之步骤10）反馈环节等效变换206例1（解题方法一之步骤10）反馈环节等效变换77例1（解题方法一之步骤11）等效变换化简结果207例1（解题方法一之步骤11）等效变换化简结果78例1（解题方法二）将综合点③前移，然后与综合点②交换。208例1（解题方法二）将综合点③前移，然后与综合点②交换。79例1（解题方法三）引出点A后移209例1（解题方法三）引出点A后移80例1（解题方法四）引出点B前移210例1（解题方法四）引出点B前移81结构图化简步骤小结确定输入量与输出量。如果作用在系统上的输入量有多个，则必须分别对每个输入量逐个进行结构图化简，求得各自的传递函数。若结构图中有交叉联系，应运用移动规则，首先将交叉消除，化为无交叉的多回路结构。对多回路结构，可由里向外进行变换，直至变换为一个等效的方框，即得到所求的传递函数。211结构图化简步骤小结确定输入量与输出量。如果作用在系统上的输入结构图化简注意事项：有效输入信号所对应的综合点尽量不要移动；尽量避免综合点和引出点之间的移动。212结构图化简注意事项：有