离散小波变换课件

第三章离散小波变换--第三章离散小波变换--13.1尺度和位移的离散化方法对于连续小波而言，尺度a、时间t和与时间有关的偏移量τ都是连续的。如果利用计算机计算，就必须对它们进行离散化处理，得到离散小波变换。--3.1尺度和位移的离散化方法对于连续小波而言，尺度a、时2本章主要内容尺度和位移的离散化方法小波框架理论二进小波变换--本章主要内容尺度和位移的离散化方法--33.1尺度和位移的离散化方法为了减小小波变换系数的冗余度，我们将小波基函数的a、τ限定在一些离散的点上取值。--3.1尺度和位移的离散化方法为了减小小波变换系数的冗余度4离散化方法（1）尺度的离散化。目前通行的做法是对尺度进行幂数级离散化。即令a取--离散化方法（1）尺度的离散化。目前通行的做法是对尺度进行幂数5离散化方法（2）位移离散化。通常对τ进行均匀离散取值，以覆盖整个时间轴，τ满足Nyquist采样定理。在a=2j时，沿τ轴的响应采样间隔是2jτ0，在a0=2情况下，j增加1，则尺度a增加一倍，对应的频率减小一半。此时采样率可降低一半而不导致引起信息的丢失。--离散化方法（2）位移离散化。--6因此在尺度j下，由于的宽度是的倍，因此采样间隔可扩大，而不会引起信息的丢失。可写成：离散小波变换的定义为：--因此在尺度j下，由于的宽度是的7一般，取a0=2，则a=2j，τ=2jkτ0，则采样间隔为τ=2jτ0当a=2j时，τ的采样间隔是2jτ0，此时， 变为：--一般，取a0=2，则a=2j，τ=2jkτ0，则采样间隔为τ8一般，将τ0归一化，即τ0=1，于是有：此时，对应的WTf为：--一般，将τ0归一化，即τ0=1，于是有：--9离散化过程中的两个问题一、离散小波能否完全表征函数f(t)的全部信息。二、是否任何函数f(t)都可以表示为以为单位的加权和。即如果可以，系数如何求？--离散化过程中的两个问题一、离散小波能否完全表征函数f(t)的103.2小波的框架理论3.2.1框架1框架的定义在希尔伯特空间H中有一族函数，如果存在0<A<B<∞，对所有的f∈H，有：称是H中的一个框架。常数A、B的意义。--3.2小波的框架理论3.2.1框架--11框架的定义若A=B，则称为紧致框架，此时：如果A=B=1，则此时，是正交框架，若，则是规范正交基。--框架的定义若A=B，则称为紧致框架，此时：--122.对偶框架的定义对偶函数：的对偶函数也构成一个框架，其框架的上下界是上下界的倒数。即：--2.对偶框架的定义对偶函数：--133.通过框架对原函数进行重建重构定理：令为其对偶框架，则f(t)通过下式重构：如果A=B=1，这时是一组正交基，所以重建公式为：--3.通过框架对原函数进行重建重构定理：令--14通过框架对原函数进行重建在紧框架情况下，如果，我们定义算子S如下：求逆，得：这时，只有，重构公式才成立。当的时候，如果A，B越接近，上式的误差越小。--通过框架对原函数进行重建在紧框架情况下，--154.框架和Riesz基Riesz基的定义：设有满足下列要求：便意味着，也就是要求是一组线性独立族。则称为一组Riesz基。--4.框架和Riesz基Riesz基的定义：--163.2.2小波框架1.小波框架的定义：如果当基本小波函数ψ（t）经伸缩和位移引出的函数族具有如下性质：--3.2.2小波框架1.小波框架的定义：--17我们称都成了一个框架，上式为小波框架条件。其频域表示为：的对偶函数也构成一个框架。--我们称都成了一个框架，上式为小波182.小波框架的性质（1）满足框架条件的，其基本小波必定满足容许性条件。（2）离散小波变换具有非收缩时移共变性。（3）离散小波框架存在冗余性。--2.小波框架的性质（1）满足框架条件的，其193.离散小波变换的逆变换如果离散小波序列构成一个框架，上下界为A和B，根据上节讨论的函数框架重建原理，当A=B时，离散小波的逆变换为：当时，但二者比较接近时，作为一阶逼近，可取--3.离散小波变换的逆变换如果离散小波序列20所以重建公式近似于：同样，A和B越接近，误差就越小。在紧框架情况下，--所以重建公式近似于：--21点的WT为：将f(t)代入上式有：式中--点的WT为：--223.3二进小波变换二进小波的表示形式。--3.3二进小波变换二进小波的表示形式。--233.3.1二进小波变换及其逆变换令小波函数为，其傅立叶变换为，若存在常数A，B，当，使得此时，才是一个二进小波，上式为二进小波的稳定性条件。--3.3.1二进小波变换及其逆变换令小波函数为24定义函数的二进小波变换系数为：其中：设的傅立叶变换为，由卷积定理得：--定义函数的二进小波变25对，总有关系式：此式说明二进小波构成了的一个框架，所以它的小波逆变换公式是存在的。二进小波的重建公式为：--对，总有关系式：--263.3.2二进小波的性质（1）二进小波满足小波母函数容许性条件，即二进小波必为基本小波。（2）二进小波是冗余的。由框架理论知：当不满足A=B=1时，框架是冗余的，也就是二进变换系数之间具有一定的相关性。二进变换系数之间的关系满足重建核方程。--3.3.2二进小波的性质（1）二进小波满足小波母函数27由重建核方程，可知，不是任意函数序列都可以作为某一函数的二进小波变换，只有当它们都满足重建核方程时，才能看做某一函数的二进小波变换。--由重建核方程，可知，不是任意函数序列都可以作为某一函数的二进28（3）二进小波具有时移性。f(t)平移的二进小波变换等于它的二进小波变换的平移。论证--（3）二进小波具有时移性。--293.3.3二进正交小波设，且满足我们称为二进正交小波变换，尺度参数核平移参数按离散化，二进正交小波为：--3.3.3二进正交小波设30第三章离散小波变换--第三章离散小波变换--313.1尺度和位移的离散化方法对于连续小波而言，尺度a、时间t和与时间有关的偏移量τ都是连续的。如果利用计算机计算，就必须对它们进行离散化处理，得到离散小波变换。--3.1尺度和位移的离散化方法对于连续小波而言，尺度a、时32本章主要内容尺度和位移的离散化方法小波框架理论二进小波变换--本章主要内容尺度和位移的离散化方法--333.1尺度和位移的离散化方法为了减小小波变换系数的冗余度，我们将小波基函数的a、τ限定在一些离散的点上取值。--3.1尺度和位移的离散化方法为了减小小波变换系数的冗余度34离散化方法（1）尺度的离散化。目前通行的做法是对尺度进行幂数级离散化。即令a取--离散化方法（1）尺度的离散化。目前通行的做法是对尺度进行幂数35离散化方法（2）位移离散化。通常对τ进行均匀离散取值，以覆盖整个时间轴，τ满足Nyquist采样定理。在a=2j时，沿τ轴的响应采样间隔是2jτ0，在a0=2情况下，j增加1，则尺度a增加一倍，对应的频率减小一半。此时采样率可降低一半而不导致引起信息的丢失。--离散化方法（2）位移离散化。--36因此在尺度j下，由于的宽度是的倍，因此采样间隔可扩大，而不会引起信息的丢失。可写成：离散小波变换的定义为：--因此在尺度j下，由于的宽度是的37一般，取a0=2，则a=2j，τ=2jkτ0，则采样间隔为τ=2jτ0当a=2j时，τ的采样间隔是2jτ0，此时， 变为：--一般，取a0=2，则a=2j，τ=2jkτ0，则采样间隔为τ38一般，将τ0归一化，即τ0=1，于是有：此时，对应的WTf为：--一般，将τ0归一化，即τ0=1，于是有：--39离散化过程中的两个问题一、离散小波能否完全表征函数f(t)的全部信息。二、是否任何函数f(t)都可以表示为以为单位的加权和。即如果可以，系数如何求？--离散化过程中的两个问题一、离散小波能否完全表征函数f(t)的403.2小波的框架理论3.2.1框架1框架的定义在希尔伯特空间H中有一族函数，如果存在0<A<B<∞，对所有的f∈H，有：称是H中的一个框架。常数A、B的意义。--3.2小波的框架理论3.2.1框架--41框架的定义若A=B，则称为紧致框架，此时：如果A=B=1，则此时，是正交框架，若，则是规范正交基。--框架的定义若A=B，则称为紧致框架，此时：--422.对偶框架的定义对偶函数：的对偶函数也构成一个框架，其框架的上下界是上下界的倒数。即：--2.对偶框架的定义对偶函数：--433.通过框架对原函数进行重建重构定理：令为其对偶框架，则f(t)通过下式重构：如果A=B=1，这时是一组正交基，所以重建公式为：--3.通过框架对原函数进行重建重构定理：令--44通过框架对原函数进行重建在紧框架情况下，如果，我们定义算子S如下：求逆，得：这时，只有，重构公式才成立。当的时候，如果A，B越接近，上式的误差越小。--通过框架对原函数进行重建在紧框架情况下，--454.框架和Riesz基Riesz基的定义：设有满足下列要求：便意味着，也就是要求是一组线性独立族。则称为一组Riesz基。--4.框架和Riesz基Riesz基的定义：--463.2.2小波框架1.小波框架的定义：如果当基本小波函数ψ（t）经伸缩和位移引出的函数族具有如下性质：--3.2.2小波框架1.小波框架的定义：--47我们称都成了一个框架，上式为小波框架条件。其频域表示为：的对偶函数也构成一个框架。--我们称都成了一个框架，上式为小波482.小波框架的性质（1）满足框架条件的，其基本小波必定满足容许性条件。（2）离散小波变换具有非收缩时移共变性。（3）离散小波框架存在冗余性。--2.小波框架的性质（1）满足框架条件的，其493.离散小波变换的逆变换如果离散小波序列构成一个框架，上下界为A和B，根据上节讨论的函数框架重建原理，当A=B时，离散小波的逆变换为：当时，但二者比较接近时，作为一阶逼近，可取--3.离散小波变换的逆变换如果离散小波序列50所以重建公式近似于：同样，A和B越接近，误差就越小。在紧框架情况下，--所以重建公式近似于：--51点的WT为：将f(t)代入上式有：式中--点的WT为：--523.3二进小波变换二进小波的表示形式。--3.3二进小波变换二进小波的表示形式。--533.3.1二进小波变换及其逆变换令小波函数为，其傅立叶变换为，若存在常数A，B，当，使得此时，才是一个二进小波，上式为二进小波的稳定性条件。--3.3.1二进小波变换及其逆变换令小波函数为54定义函数的二进小波变换系数为：其中：设