统计课件-第六章方差分析

某家兔总医院欲研究A、B、C 3种降血脂药物对肾素-血管紧张素转化酶（ACE）的影响，将26只家兔随机分为4组，均喂以高脂饮食，其中

3个实验组，分别给予不同的降血脂药物，对照组不给药。一定时间后测定家兔ACE浓度（u/ml），问4组家兔ACE浓度是否相同？2表

1

对照组及各实验组家兔ACE

浓度（U/ml）实

验

组对照组A

降脂药B

降脂药C

降脂药61.2482.3526.2325.4658.6556.4746.8738.7946.7961.5724.3613.5537.4348.7938.5419.4566.5462.5442.1634.5659.2760.8730.3310.9620.6848.233t检验和u检验适用于两均数的比较。若多个样本均数的比较仍用t

检验或u

检验时，需比较(4

)

4!/[2!(4

2)!]

6

次。2假设每次比较的检验水准

0.05

，则每次检验

H0

时不犯Ⅰ型错误的概率为1-0.05=0.95；那么6次检验均不犯Ⅰ型错误的概率为(1

0.05)6率为0.2649。

0.7351，而犯Ⅰ型错误的概2(k

)

k!/[2!(k

2)!]次，如4个样本均数需比较4为了有效地控制Ⅰ型错误，多个样本均数比较时不宜用t

检验和u

检验，而宜用方差分析。方差分析(ANOVA)由英ysis

of

variance，计学家R.A.Fisher首先提出，以F命名其统计量，故方差分析又称F检验。56基本思想应用条件用途一、方差分析的基本思想以完全随机设计资料为例说明各部分变异的计算方法。将n个受试对象随机分为k组，分别接受不同的处理。归纳整理数据的格式、符号如下表：7方差分析完全随机设计资料的数据格式与符号处理组i1

2

3

…kx21x22…x31x32…xk1xk

2……………x11x12…ijx1x1n2x2n3x3nkxkn合计n1j

1

x

1

jn

2j

1

x

2

jn3j

1

x

3

j…nkj

1

xk

jnin1n2n3…nk8ACE

浓度（U/ml）对照组表

1

对照组及各实验组家兔实

验

组A

降脂药

B

降脂药C降脂药61.2458.6546.7937.4366.5459.2782.3556.4761.5748.7962.5460.8726.2346.8724.3638.5442.1630.3320.6825.4638.7913.5519.4534.5610.9648.23ni

xij329.92372.59229.17191.0066772643.1854.9962.1032.7427.29ijj

1nixinij

1x

218720.9723758.128088.596355.431122.68 (

x

)(

N

)(

x

)56923.11

(

x

2

)9变异分解总变异：

处理因素+

差异+随机测量误差…组间变异：处理因素+

差异+随机测量误差…组内变异：差异+随机测量误差…knii1

j＝1总

ijSS

＝Σ

Σ

(x

x

)2kSS

Σ

n

(x

x

)2i1组间

i

ikSS

Σ

Σ(xij

xi

)2nii1

j

1组内SS总

SS组间

SS组内10度分解

总

n

1组间

k

1组内

n

k总

组间组内11造成各变异的原因：总变异：

处理因素+组间变异：处理因素+组内变异：差异+随机测量误差…差异+随机测量误差…差异+随机测量误差…组间变异

处理差异误差组内变异差异误差

1

1？处理因素有无作用？12(

X

X

)2

X

2

(X

)2

/ns2

=n

1

n

1MS

SS组间

SS组间组间组间均方

MS组内

SS组内组内组内均方

MS组内均方

MS组内SS组内/组内组间均方

MS组间

SS组间/组间

F均方差(均方，mean

square,

MS)数理统计理论证明：当H0成立时，F

统计量服从F

分布。13F

分布F

分布概率密度函数：2212

/

2212

1

2

1

1

2

2

式中()

为伽玛函数；F是两个均方的比值；1

、

2

分别为F值的分子与分母的

度，这是F分布的两个参数，由这两个 度可决定F分布的图形形状，因此，

F分布可用F(1,2

)表示。以F为横轴，f

(F)为纵轴可绘制F分布的图形。

1

2/

2

1

2(1

F

2

)Ff

(

F

)

141.41.21.00.80.60.40.20.001342

FF

分布曲线151

1,2

51

5,2

51

10,2

10P

值的判断以完全随机设计的方差分析为例，1

组间，

2＝组内，以1

、

2

查F

界值表：F

F，

P

(

,

)1

2F

F，

P

(

,

)1

216★方差分析的基本思想根据研究目的和设计类型，将全部测量值总的离均差平方和(SS)和度(v)分别分解成若分，并求得各相应部分的均方(MS)；其中的组内均方或误差主要反映差异或抽样误差，其它部分的均方与之比较得出统计量F

值，由F

值的大小确定P值，并做出统计推断。17单因素方差分析的计算公式变异来源SS

MSFn

1总变异组间变异nik

x

2

C

*n

jj

1

Ci1(

xij

)2k

1组间组间SS

/组内组间MS

/

MS组内变异SS总

SS组间n

kSS组内/

组内*C

为校正数

C

(x)2

/

n18kniSS

＝Σ Σ

(x

x

)2＝Σx

2－

(Σx

)2ni1

j＝1总ijnii

ikkni(Σ

xij

)22(Σx

)nSS

Σ

n

(x

x

)2

Σ

j

1

i1i1组间C★方差分析的应用条件多个样本均数比较的方差分析应用条件为①各样本是相互独立的随机样本；②各样本来自正态分布总体；③各总体方差相等，即方差齐。上述条件与两均数比较的

t检验的应用条件相同。当组数为2时，方差分析与两均数比较的

t检验等价，对同一资料，有

t

F

。1920★方差分析的用途①两个或多个样本均数间的比较；②分析两个或多个因素间的交互作用；③回归方程的线性假设检验；④多元线性回归分析中偏回归系数的假设检验。二、完全随机设计资料的方差分析完全随机设计(comple yrandom

design)资料的方差分析，亦称单因素方差分析(one-wayANOVA)。应用：用于完全随机设计的多个样本均数比较的资料。研究目的：推断各样本所代表的未知总均数是否相等，即不同处理因素间或某处理因素不同水平间有无差异，21完全随机设计资料的方差分析设计类型：利用随机数字表或随机排列表（或计算机生成的）中的随机数字进行分组。属单因素试验，数据分析采用单向分类方差分析。22例1

某 总医院欲研究A、B、C 3种降血脂药物对家兔

肾素-血管紧张素转化酶（ACE）的影响，将26只家兔随机分为4组，均喂以高脂饮食，其中3个实验组，分别给予不同的降血脂药物，对照组不给药。一定时间后测定家兔 ACE浓度（u/ml），问4组家兔血清ACE浓度是否相同？2356923.11(

2x4

2

)ACE

浓度（U/ml）表

对照组及各实验组家兔实

验

组对照组A

降脂药B

降脂药C

降脂药61.2482.3526.2325.4658.6556.4746.8738.7946.7961.5724.3613.5537.4348.7938.5419.4566.5462.5442.1634.5659.2760.8730.3310.9620.6848.23ni

xij329.92372.59229.17191.001122.68(

x

)j

1ni

6677

26(

n

)54.9962.1032.7427.2918720.9723758.128088.596355.4343.18(

x

)ijxinij

1

x

2分析步骤25先进行多个样本的方差齐性检验和正态性检验，满足方差分析的应用条件时，方能进行方差分析。若各样本来自非正态总体或各总体方差不等或不全相等时，可通过变量变换使数据呈正态或方差齐后，再进行完全随机设计的方差分析；若仍达不到方差分析的应用条件，可选用成组设计的多样本比较的秩和检验。完全随机设计资料变异分解SS组间（处理因素+差异+测量误差）SS总差异+测量误差）SS组内（ν组间ν总ν组内26方差分析步骤1.

建立检验假设，确定检验水准H0：4组家兔的1

2

3ACE浓度总体均数相等，

4ACE浓度总体均数不等或不等或不全相等不H1：4组家兔的全相等，各

i

0.05单因素方差分析272.计算统计量F值C

(x)2

/

n

(1122.68)2

/

26

48477.3224SS

x2

C

56923.11

48477.3224

8445.7876总2

2

2286

5515.366567

7

484.77.32242

329.92

372.59

229.17

191.00ni(

xij

)2j

1njkSS

Ci

1组间SS组内

SS总

SS组间

8445.7876

5515.3665

2930.4211单因素方差分析计算步骤29

总

n

－1

26－1

25组间

k

1

4

1

3组内

n

k

26

4

22MS组间

SS组间/组间＝5515.3665/3

1838.4555MS组内

SS组内/组内

2930.4211/22

133.2010F

MS组间/MS组内

1838.4555/133.2010

13.80单因素方差分析计算步骤以v1

3

和v2

22

查F

界值表，得F0.01(3,22)=4.82，P

0.01，按

0.05

检验水准

H0，接受H1，可认为4个总体均数不等或不全相等。3.确定P值，并做出统计推断单因素方差分析计算步骤30方差分析表方差分析表变异来源SSMSFP总变异8445.787625组间变异5515.366531838.455513.80<

0.01组内变异2930.421122

133.201031三、配伍组设计资料的方差分析配伍组设计亦称随机区组设计（randomized

blockdesign）。配伍组设计是配对设计的扩展。应用：用于配伍组设计的多个样本均数比较的资料。研究目的：分析不同处理因素间或某处理因素不同水平间有无差别，并考虑差异的影响。数据分析采向分类方差分析。32配对设计与配伍组设计设计类型：配对设计与配伍组设计是先按配比条件将受试对象配成对子或区组，再按随机化分配的原则（随机数字表或随机排列表）将各对或各区组中的个体分配到不同的处理组接受不同的处理。通常，以影响实验效应的主要非处理因素作为配对或配伍条件。该类设计考虑了差异的影响，因而可分析处理因素和差异对实验效应的影响，比完全随机设计的检验效率高。33两因素方差分析例2

某医师研究A、B和C3种药物治疗肝炎的效果，将32只大白鼠

肝炎后，按

相同、体重接近的条件配成8个配伍组，然后将各配伍组中4只大白鼠随机分配到4个组。对照组不给药物，其余3组为实验组，分别给予A、B和C药物治疗。一定转氨酶浓度(IU/L)，转氨酶浓度是否时间后，测定大白鼠见下表。问4组大白鼠的相同？3435表

4

组大白鼠配伍组转氨酶浓度（IU/L）验

组对照组A

药组实B

药组C

药组合

计1845.1652.4624.3445.12566.92834.7741.3772.3432.52780.83826.5675.6632.5362.72497.34812.8582.8473.6348.72217.95782.8491.8462.8345.92083.36745.6412.2431.8312.81902.47730.4494.6484.9296.32006.28684.3379.5380.7228.41672.9b

xij6262.24430.24262.92772.4782.78553.78532.86346.5517727.7

(

x

)553.99(

x

)10883788.89(

x2

)ijj1j1xib

x

24925110.04

2571668.14

2391246.57

995764.14配伍组设计资料变异分解差异+测量误差）SS处理（处理因素+SS总

SS配伍

（区组因素+差异+测量误差）差异+测量误差）SS误差（ν处理ν总

ν配伍ν误差SS总

SS处理SS配伍SS误差

总

处理

配伍

误差36两因素方差分析的计算公式变异来源SSMSF总变异n

1处理间

Cijx2

C*bj1(

x

)2ki1k

1处理

处理SS

/处理MS

/

MS误差配伍间bb(k

xij

)

2

i1

k

Cj

1b

1SS

/配伍

配伍误差配伍MS

/

MS误

差SS总

SS处理

SS配伍

(k

1)(b

1)SS误差/误差*C

(x)2

/

n

，b

为配伍组数37计算步骤1.

建立检验假设，确定检验水准H0：4组大白鼠的即1

2

3H1：各处理组转氨酶浓度含量相等，

4转氨酶浓度含量不等或不全等，即各i不等或不全相等转氨酶浓度相等转氨酶浓度不等或不全等H0：各配伍组的H1：各配伍组的

均等于0.05两因素方差分析计算步骤处理组配伍组382.

计算统计量F值86262.22

4430.22

4262.92

2772.42

C

b(

x

)2SS

ijC

(x)2

/

n

17727.72

/

32

9820979.603SS总

x

2

C

10883788.89-9820979.603

1062809.2870bj

1ki1处理2566.92

2780.82

1672.9239k

4-

9820979.603

766562.7784(k

xij

)

2SS

i1

C

bj

1配伍-

9820979.603

244047.7597SS误差

SS总

SS处理

SS配伍

1062809.2870-766562.7784-

244047.7597

52198.7489两因素方差分析计算步骤40计算统计量F

值总

n

1

32

1

31

k

1

4

1

3

b

1

8