线性代数课件修改张译文-ch4-2013改4.5

例

设

A

为

n

阶正交矩阵,试证明

A

的实特征值只能是1.证明

设

为

n

阶正交矩阵

A

的实特征值,

为

对应的实特征向量,则

A

因而,(

A

)T

(

A

)

(

T

AT

)(

A

)

T

2又由于(A

)T

(A

)(

)T

(

)

2

T

2

2所以(2

1)

2

0由于

0

,故

1.4.5.1

实对称矩阵的特征值与特征向量实对称矩阵的特征值与特征向量的性质:定理

4.5.1

实对称矩阵的特征值全部是实数.证

设

A

为实对称矩阵,

是

A

的特征值,

为对应的特征向量则A

取共轭得

A

由于

A

为实对称矩阵,

因而

T

(

A

)

(

T

AT

)

(

A

)T

T

又由于

T

(A

)

T

(

)

T

故(

)

T

0设

an

a

2

a1

2ni1

iTa

0,则

因而

，

是实数.定理4.5.2

实对称矩阵的不同特征值对应的实特征向量正交.证设1

,2

是实对称矩阵A

的两个不同特征值,1

,

2

分别为它们对应的实特征向量,

则A1

11

,

A

2

2

2故1

2

112122

2

1

TTTT(

A

))

T

(

2

1

1

(

A

)

因而

T

T

2

2

1

1

2

12

1

0)

即(2

1T21又

所以2

1T

(2

1

,

)

0即1

,

2

正交2,其中

n

11

,2,,n

为A

的n

个特征值。注：此称为实对称矩阵的正交相似对角化定理。n4.5.2

实对称矩阵的正交相似标准形定理

4.5.3

设

A

为n

阶实对称矩阵，则存在正交矩阵Q

，使得

推论

n

阶实对称矩阵的每个特征值的几何重数r

等于代数重数k。实对称矩阵的正交相似对角化方法：(1)

计

算

矩

阵

A

的

特

征

多

项

式En

A

(

1

)(

2

)(

n

)

；（2）由特征方程

En

A

=0

得所有的不同根1

,2,,s

即为矩阵A

的全部不同特征值；(3)对A

的每个不同特征值i

，解方程组(i

E

A)

X

0

得基础解系iiri1

i

2

,

,,将ii1

i

2

ir用Gram-Sid

方法正交化为iiri1

i

2

,

,,

,

,,

再单位化为:Pi1

,

Pi

2

,,

Piri)ijijij(P

(4)令正交矩阵Q

1(,,,1,112

PPP1r2212,2,,PPP2rsss12PPPsr,,,,,)2

,,

2

,,,,)ss

令对角矩阵

diag

(

11,,,则有

11

1111例

1

设

A

111求正交矩阵Q

，及对矩阵

，使得解（1）A

的特征多项式为E

A

1

1

1

1

1

1

(

1)(

2)

2

。

1

1

1所以，A的特征值为1

1,

2

3

2（2）对1

1

，解方程组(1E3

A)X

0

，由

0

1

0

1

0

1

10

0

2

1r

2

1

1E

A

1

2

1

1得通解1

13

R)

，基础解系为

1

111

，此为

A

的对应于特征值1

1

的线性无关的全部特征向量，将其单位化为

11

31

1111

1

对

2

2

，解方程组(2E3

A)X

0

，由0

00

1

1

1

1

1

1

1

0

1

1

1

0

1r

0

2E

A

1得通解

12

0

1

1

1

基础

1

1

0

1

,

132

0

解系为此为A

的对应于特征值2

2

的线性无关的全部特征向量，将其正交化为

1

2

1

0

0

1

1

1

0

1

,

123322(

2

,

2

)

(

2

,3

)

1

212

1

0

12

1

单位化为：

2

1

3

2

2

1

2

1

1

，

3,,

321令正交矩阵Q

对角矩阵

221，则

1

2

2

2

2

1

2

2

2

2

1

2

2

2

2

1例

设

A

求正交矩阵Q

，及对角矩阵

，使得

1

4

，A

的特（2）对1

3

，解方程组(3E3

A)X

0

，由00

00

02

22

2

2

2

2

1

1

1

12

2

0

0

2

2

0

02

2

2

0

02r3E

A

20

得通解003

1

0

0

0

1

1

1

1

3

,x4

R)，基

础解系为

0

0

1

1

0

0

1

0

1

1

0

0

,

1

321

0

,

1

1

1

0

,

0

此为

A

的对应于特征值1

2

3

3

的线性无关的全部特征向量，将其正交化为1

1

将其单位化为

0

12

0

11

11

1

,

0

16

2

22

21

1

,

3

112 3

1

133

3对

2

5

，解方程组(5E3

A)X

0

，由0

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

10

0

0

22

6

2

2

2

6

2

2

2

6

6

2

2

2

r

5E

A

2得通解411

1

11

114

R)，基础解系为此为

A

的对应于特征值2

5

的线性无关的全442

1,

11

1

1

4部特征向量，将其单位化为令

2

,

3

,

4

正交矩阵Q

1

,对角矩阵

5333

，则有

例4.5.3

已知三阶实对称矩阵A

的特征值为6,3,3

,

111且特征值

6

对应的一个特征向量为

1,试求矩阵A

.解设A

的特征值123

对应的特征向量为

2

x

x1

x

,由实对称阵A

的不同特征值对应的特01123

3

征向量正交,故(,)即

的各分量是上面的齐次方程组的非零解.解齐次方程组

0

得基础解系为

1

0

1

,

1

132

0

3

的线性无关的此为A

的对应于特征值12

全部特征向量,令A

PP

1

n例

设A

为

n

阶对称的正交矩阵,且1

为A

的r重特征值,求A

的相似对角矩阵

；求3E

A

。解

（1）由于

A

为

n

阶对称的正交矩阵，故

A

为阶实对称阵，A

的特征值都为实数，又由A

为正交矩阵，知A

的特征值为

1

，且1为A

的r

重特征值，故

1为A

的n

r重特征值，因此，A

的相似对角矩阵

为

diag

(1,1,,1,1,1,,1)（2）由A

的特征多项式为E

A

(

1)r

(

1)nr

22nr所以

3E

A

(3

1)

r

(3

1)

nr例已知三阶方阵A

的特征值0,1,1

对应的特征向量分别为

1

1

0

0

1,

0

0,

1

1321

试求

A

及An1

0

1

1

010解令P

(1

,

2

,3

)

01

对角矩阵

1

1

0则P

1

AP

，因此1A

PP

001

1

1

1

1