反璞归“根”再出发

本文格式为Word版，下载可任意编辑——反璞归“根”再出发茅莉萍

在解决数学问题遇到困难时，同学们可以尝试回想基本概念与基本方法，往往能有意想不到的收获。一元二次方程是我们初中阶段学习的重要知识，关于一元二次方程的根，同学们就可以到概念中去寻觅解题的突破口。苏科版数学教材七年级上册第99页提出“能使方程两边的值相等的未知数的值叫作方程的解〞，对于只含一个未知数的方程的解，也叫作方程的根。

一、回归根的概念，构造适当方程

苏科版数学教材九年级上册第35页“摸索研究〞第17题：

例1写出一个一元二次方程，使它的两个根分别是3、-2。

根据方程根的概念，可以逆向运用因式分解法解一元二次方程的过程，将所求的一元二次方程转化为两个根分别是3、-2的一元一次方程的乘积，故所求的方程可写成a（x-3）（x+2）=0。不同的a的取值可以对应不同的一元二次方程，同学们选择一个即可。一般地，取a=1，对应的方程最简单。

一般地，若方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1、x2，可把方程写成a（x-x1）（x-x2）=0，即ax2-a（x1+x2）+ax1x2=0。

解：以3、-2为根的一元二次方程可写成a（x-3）（x+2）=0，令a=1，得x2-x-6=0。

变式1已知方程x2+x-2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的两倍。

此题可设新方程的根是y，再将已知方程的根用y表示。根据方程根的概念，将用y表示的根代入原方程，就能得到所要求的新方程。

解：设所求方程的根为y，则y=2x，即x=[y2]。把x=[y2]代入已知方程，得（[y2]）2+[y2]-2=0。

化简，得y2+2y-8=0，

故所求方程为y2+2y-8=0。

变式2已知a、b满足a2-15a-5=0，b2-15b-5=0，且a≠b，求[ab+ba]。

根据方程根的概念，当已知的两个等式具有一致的结构，就可以把这两个元看成是关于某个字母的一元二次方程的两个根。

解：∵a2-15a-5=0，b2-15b-5=0，且a≠b，

∴a、b为方程x2-15x-5=0的两个根，

∴a+b=15，ab=-5，

∴原式=[a2+b2ab]=[（a+b）2-2abab]=-47。

二、回归根的概念，寻觅等量关系

苏科版数学教材九年级上册第33页“复习稳定〞第5题：

例2已知关于x的方程x2-6x+m2-3m-5=0的一个根是-1，求m的值。

根据方程根的概念，将x=-1代入原方程，可得含有m的等式，即关于m的方程，通过解关于m的方程，就能求出m的值。

解：∵x=-1是x2-6x+m2-3m-5=0的一个根，∴（-1）2-6×（-1）+m2-3m-5=0。

解这个方程，得m1=1，m2=2，

故m的值是1或2。

变式1已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为3和-2，求代数式[ab-3bc-aca2+b2+2c2]的值。

根据方程根的概念，将3和-2代入原方程，可得到两个关于a、b、c的等式，显然不能求出a、b、c的具体值，但是两个方程却为三个未知数的“消元〞提供了可能。根据要求的代数式分子分母“齐次〞的特征，找到用同一个字母表示其他两个字母来解决问题的策略。

解：∵3和-2是方程ax2+bx+c=0的两个根，

∴[9a+3b+c=0，4a-2b+c=0，]解得[b=-a，c=-6a。]

∵a≠0，

∴[ab-3bc-aca2+b2+2c2]=[-a2-18a2+6a2a2+a2+72a2]

=[-1374]。

变式2已知a是方程x2-2022x+1=0的一个根，求代数式a2-2021a+[a2+12022]的值。

此题若尝试求出a的值再代入计算，显然对比烦琐，故应根据方程根的概念，将x=a代入原方程，就能得到含有a的等式。对这个等式进行移项变形，能得到一个关于a的“降次〞公式，即a2=2022a-1，可达到对所求代数式化简的目的。

解：∵x=a是方程x2-2022x+1=0的根，

∴a2-2022a+1=0，

∴a2=2022a-1，

∴原式=2022a-1-2021a+[2022a-1+12022]

=-a-1+a

=-1。

三、回归根的概念，巧记韦达定理

蘇科版数学教材九年级上册第21页至23页，将“根与系数的关系〞即韦达定理作为选学内容浮现，它为后续学习二次函数乃至高中的数学知识都奠定了基础。

在前文中提到，若方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1、x2，可把方程写成为a（x-x1）（x-x2）=0，即ax2-a（x1+x2）+ax1x2=0的形式，在此基础上我们可以得到-a（x1+x2）=b，ax1x2=c，即x1+x2=[-ba]，x1x2=[ca]。

像这样回归根的概念巧记韦达定理，比起死记硬背，或者用求根公式来推导，便捷且确切率高。同学们不妨尝试在理解方程根的概念的基础上记忆，并灵活应用韦达定理，可以使原本的繁杂问题简单化。

例3已知关于x的方程x2-6x+m2-3m-5=0的一个根是-1，求m的值并求出该方程的另一个根。

这是例2的改编题。由例2可知，m的值是1或2，在这个基础上，同学们可以通过将m的值分别代入原方程，确定方程后再求解。虽然能解决问题，但这种做法不如灵活运用韦达定理来得简便。

解：设原方程的另一个根为x2。

由韦达定理可知-1+x2=6，故x2=7。

所以该方程的另一个根为7。

变式1已知关于x的一元二次方程（x-b）2=a的两根为1和3，求a、b的值。

根据例2的变式1的分析，将1和3代入原方程，可得到两个关于a、b的二元二次方程，虽能求出a、b的值，但稍显烦琐。如能灵活应用韦达定理，此题的计算量就能大大降低。

解：整理（x-b）2=a，得x2-2bx+b2-a=0。

∵方程（x-b）2=a的两根为1和3，

∴x1+x2=2b=1+3=4，x1x2=b2-a=1×3=3，

∴b=2，a=1。

变式2已知a、b是方程x2+2022x+1=0的两个根，求（1+2022a+a2）（1+2022b+b2）的值。

根据例2的变式2的分析，将a、b代入原方程，变形能得到关于a、b的“降次〞公式，但仅有此并不能得到答案，还需灵活运用两根之积与系数的关系方能解决该问题。

解：∵a、b是方程x2+2022x+1=0的两个根，

∴a2+2022a2+1=0，b2+2022b+1=0，ab=1，

∴a2=-2022a-1，b2=-