人教版初中数学《一元二次方程》专题突破含答案解析

专题01一元二次方程一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程.一般形式：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为ax²+bx+c=0(a≠0)的形式．称之为一元二次方程的一般形式；ax²，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项；a，b分别称为二次项系数、一次项系数一、单选题1．（2021·云南文山壮族苗族自治州·九年级期末）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【详解】A、a＝0、b≠0时是一元一次方程，故A错误；B、是一元二次方程，故B正确；C、是分式方程，故C错误；D、是一元一次方程，故D错误；故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，理解一元二次方程的概念是解题的关键．2．（2021·湖南长沙市·八年级期末）把方程化成一元二次方程的一般形式，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】方程整理后为一般形式，找出二次项系数与一次项系数、常数项即可．【详解】解：将方程化成一元二次方程的一般形式为，则二次项系数为2，一次项系数为，常数项为，故选：B．【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：，，是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．3．（2021·广西八年级期末）已知关于x的一元二次方程x2＋mx﹣3＝0有一个根为1，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【答案】D【分析】把x＝1代入方程x2＋mx﹣3＝0得1＋m﹣3＝0，然后解关于m的方程．【详解】解：把x＝1代入方程x2＋mx﹣3＝0，得：1＋m﹣3＝0，解得m＝2．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．4．（2021·黑龙江牡丹江市·九年级期末）若关于x的方程（a﹣2）x2﹣1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（）A．a≠0 B．a＞2 C．a＜2 D．a≠2【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义：形如的方程叫做一元二次方程，即可求解.【详解】解：∵是一元二次方程∴解得：故选D.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的定义.5．（2021·山东烟台市·八年级期中）已知m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，则代数式1＋6m﹣2m2的值为（）A．5 B．－5 C．3 D．－3【答案】D【分析】根据是方程的根，可以求得所求代数式的值，本题得以解决．【详解】解：是方程的根，，，，故选：．【点睛】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出代数式的值．6．（2021·上海市民办新竹园中学八年级月考）若，是方程的一个根，则值满足（）A． B． C． D．【答案】C【分析】方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；利用这一知识点求出未知字母系数后，要善于观察未知数的系数；将x=1代入原方程即可解得k的值．【详解】解：把x=1代入方程（k-1）x2+（k2-1）x-k+1=0，可得k-1+k2-1-k+1=0，即k2=1，解得k=-1或1；但当k=1时k-1和k2-1均等于0，故应舍去；所以，取k=-1；故选：C．【点睛】此题应特别注意求出未知字母系数的值后，要代入原方程看是否符合题意．7．（2021·江苏八年级期末）已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（）A．2020 B．2021 C．2019 D．2020【答案】B【分析】利用一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：是一元二次方程的一个根，，即，．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．8．（2020·广东九年级月考）已知m是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则2020﹣m2+3m的值为（）A．2020 B．2021 C．2019 D．-2020【答案】B【分析】利用一元二次方程的解的定义得到m2-3m=-1，再把2020﹣m2+3m变形为2020﹣（m2-3m），然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵m为一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根．∴m2-3m+1=0，即m2-3m=-1，∴2020﹣m2+3m=2020﹣（m2-3m）=2020-（-1）=2020+1=2021．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．9．（2020·上海八年级期中）若关于的方程满足，称此方程为“月亮”方程．已知方程是“月亮”方程，求的值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据“月亮”方程的定义得出，变形为，代入计算即可．【详解】解：∵方程是“月亮”方程，∴∴，∴故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边都相等的未知数的值是一元二次方程的解．10．（2021·山东聊城市·九年级期末）下面关于x的方程中：①ax2＋bx＋c＝0；②3（x﹣9）2﹣（x＋1）2＝1；③x2＋＋5＝0；④x2＋5x3﹣6＝0；⑤3x2＝3（x﹣2）2；⑥12x﹣10＝0，是一元二次方程个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义即可解答．【详解】解：①ax2+bx+c=0当a=0不是一元二次方程；②3（x-9）2-（x+1）2=1是一元二次方程；③x2＋＋5＝0是分式方程；④x2＋5x3﹣6＝0是一元三次方程；⑤3x2=3（x-2）2是一元一次方程；⑥12x-10=0是一元一次方程．故选：A．【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．二、填空题11．（2021·上海市民办新竹园中学八年级月考）当_______时，方程不是一元二次方程．【答案】±【分析】根据方程不是一元二次方程得出二次项系数等于0，求出即可．【详解】解：∵不是一元二次方程，∴a2-3=0，解得：a=±，故答案为：±．【点睛】本题考查了对一元二次方程的定义的应用，注意：一元二次方程：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数，且a≠0）．12．（2021·浙江绍兴市·八年级期末）若是一元二次方程的一个根，则______．【答案】【分析】根据题意将代入一元二次方程，即可求解．【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，∴，解得：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的根是解题的关键．13．（2021·全国九年级专题练习）方程化成一般形式为_____________，二次项系数是_____________，一次项系数是_____________，常数项是_____________．【答案】1【分析】方程整理为一般形式后，求出二次项系数、一次项系数、常数项的和即可．【详解】解：方程整理得：即为∴二次项系数为1，一次项系数为-5，常数项为-4，故答案为：①；②1；③-5；④-4.【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．14．（2021·四川成都市·九年级期末）关于x的一元二次方程x2﹣2x+3m＝0的一个根＝3，则m的值是__．【答案】-1【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x1＝3代入方程得9﹣6+3m＝0，然后解关于m的一次方程即可．【详解】解：把＝3代入方程x2﹣2x+3m＝0，得9﹣6+3m＝0，解得m＝﹣1．故答案是：﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．15．（2021·上海市民办新竹园中学八年级月考）若x1，x2是方程x2+x-1=0的两根，则（x12+x1-2）（x22+x2-2）的值为_______．【答案】1【分析】根据一元二次方程的定义得到，，代入计算即可．【详解】解：∵x1，x2是方程x2+x-1=0的两根，∴，，∴，，∴==1故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解体的关键是掌握方程的解能使方程等式两边成立．16．（2021·江苏苏州市·九年级二模）已知m是方程的根，则代数式的值为_______．【答案】2022【分析】根据m是方程x2-3x+2021=0的根，可以求得所求代数式的值，本题得以解决．【详解】∵m是方程x2-3x+2021=0的根，∴m2-3m+2021=0，∴m2-3m=-2021，∴1+3m-m2=1-（m2-3m）=1-（-2021）=2022，故答案为2022．【点睛】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出代数式的值．17．（2021·甘肃张掖市·九年级期中）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为________．【答案】-1．【分析】把代入方程，转化为关于a的一元二次方程，求得a值，结合二次项系数不能为零，确定结果即可．【详解】∵一元二次方程有一个根为，∴∴a=1或a=-1，∵方程是一元二次方程，∴a-1≠0，∴a=-1，故答案为：-1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，解法，熟练理解定义，确保二次项系数不为零是解题的一个陷阱，要注意．18．（2021·北京九年级专题练习）已知是关于的一元二次方程的一个根，若，则的值为____．【答案】1．【分析】把x=n代入方程求出mn2-4n的值，代入已知等式求出m的值即可．【详解】解：把x=n代入方程得：mn2-4n-5=0，即mn2-4n=5，代入，得：5+m=6，解得：m=1．故答案为：1．【点睛】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．三、解答题19．（2021·全国九年级专题练习）把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数：（1）；（2）．【答案】（1），各项的系数分别是：，，；（2），各项的系数分别是：，，．【分析】（1）两边都乘-1，再根据一元二次方程的定义找出各项的系数；（2）两边同乘-12，再根据一元二次方程的定义找出各项的系数．【详解】（1）两边都乘-1，就得到方程：3x2+4x-2=0．各项的系数分别是：a=3，b=4，c=-2．（2）两边同乘-12，得到整数系数方程：6x2-20x+9=0．各项的系数分别是：．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一般地，常根据等式的性质把二次项的系数是负数的一元二次方程调整为二次项系数是正数的一元二次方程；把分数系数的一元二次方程调整为整数系数的一元二次方程．20．（2021·广东九年级期末）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2x+1﹣a2＝0有一个根为﹣1，求a的值．【答案】a＝0或a＝1【分析】将x＝﹣1代入原方程可求出a的值．【详解】解：将x＝﹣1代入原方程，得（a+1）﹣2+1﹣a2＝0，整理得：a2﹣a＝0，即：a（a﹣1）＝0解得：a＝0或a＝1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，将x=-1代入原方程求出a值是解题的关键．21．（2021·全国九年级专题练习）若方程是关于的一元二次方程，求m的值．【答案】．【分析】根据一元二次方程的定义得出m2=2，再求出答案即可．【详解】根据题意得解得所以当方程是关于的一元二次方程时，．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫一元二次方程．22．（2021·全国九年级专题练习）已知（m－1）x|m|+1+3x－2=0是关于x的一元二次方程，求m的值．【答案】m=－1．【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．【详解】解：依题意得：|m|+1=2，即|m|=1，解得：m=±1，又∵m－1≠0，∴m≠1，故m=－1．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握次数是解题关键．23．（2021·浙江九年级期中）已知x＝﹣1是一元二次方程的一个根，求的值．【答案】﹣1．【分析】将x＝﹣1代入可得，再将所求代数式化简即可得．【详解】解：∵x＝﹣1是一元二次方程的一个根，．．【点