加强概念理解,提升思维品质

本文格式为Word版，下载可任意编辑——加强概念理解,提升思维品质顾宏萍

一元二次方程是初中数学“方程家族〞最终一个亮相的方程，同学们有前面学习方程的基础，会感觉十分简单上手，但在解题的过程中经常会出现“不明原因〞的错误。其实这是对方程概念理解得不够透彻，在解题过程中缺乏思考导致。

一、忽略对一元二次方程概念的理解

例1若关于x的一元二次方程（m-1）·x2-3x+m2-1=0有一个根是0，则m的值为。

把x=0代入方程得m2-1=0，解得m=±1，∴m的值为±1。

同上解得m=±1。∵此为一元二次方程，∴m-1≠0，m≠1，∴m=-1，即m的值为-1。

例2若关于x的一元二次方程（k-1）·x2-2kx+k-3=0有实数根，则k的取值范围为。

由于此一元二次方程有实数根，根据根的判别式得Δ≥0，即Δ=（-2k）2-4（k-1）×（k-3）≥0，解得k≥[34]。∴k的取值范围为k≥[34]。

同上解得k≥[34]。又∵k-1≠0，k≠1，∴k的取值范围为k≥[34]且k≠1。

这两个例题虽然看似不同，例1考察的是方程的概念，例2考察的是根的判别式，但是做错的原因却是一致的。一元二次方程的概念强调，二次项系数必需不为0，在解题过程中假如忽视这个重要前提，解答就会出错。

我们在学习一元二次方程概念的时候，不能只关注概念的表象，更要关注概念的内涵，在解题过程中要加强思维的深度和广度，关注每个已知条件，以免出错。

二、忽略对一元二次方程有实数根的理解

例3以下一元二次方程中，两根之和为1的是（）。

A.x2+x+1=0B.x2-x+3=0

C.2x2-x-1=0D.x2-x-5=0

由一元二次方程根与系数关系x1+x2=[-ba]，部分同学看到选项B满足条件即完成解答，选择了B。

由根与系数的关系可得x2-x+3=0与x2-x-5=0的两根之和为1，选项B、D均符合条件。但B选项的方程x2-x+3=0中Δ-1B.k根据根与系数的关系求出x1+x2=-（2k+4）-4，求出k0。应选B。

根据条件可得此为一元二次方程，且有两个实数根，由根的判别式求出b2-4ac=[2（k+2）]2-4×1×k2=16k+16≥0，即k≥-1;根据两实根之和大于-4这个条件，由根与系数的关系求出-（2k+4）-4，即k0，所以k的取值范围是-1≤k0。应选D。

这两个选择题虽然看似难度不高，但错误率都对比高，做错的原因也完全一致。答题过程中同学们只关注题目中浮现的方程两根满足的条件，利用根与系数关系直接获取答案，忽视了运用根与系数关系的前提是此一元二次方程要有实数根。

这两题考察了根的判别式和根与系数的关系。我们要注意，应用根与系数的关系式的前提条件是一元二次方程ax2+bx+c=0中a≠0且b2-4ac≥0。因此，在做此类题目的时候，我们要细心审题，圈出关键字，找寻到相关条件，提升思维的严密性。

三、忽略实际意义，未检验结果的合理性

例5已知关于x的方程x2-（2k-3）x+k2-3k-10=0。

（1）求证：无论k为何值，这个方程总有两个不相等的实数根。

（2）已知Rt△ABC的斜边AB的长为5，是否存在实数k，使Rt△ABC的两直角边AC、BC的长是这个一元二次方程的两个实数根？假如存在，求出k的值;假如不存在，请说明理由。

（1）由根的判别式即可得出Δ=490，则无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根。

（2）在Rt△ABC中，斜边AB=5，两边BC、AC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k-3）x+k2-3k-10=0的两个实数根，

∴BC2+AC2=25，BC+AC=2k-3，BC·AC=k2-3k-10。

∵BC2+AC2=（BC+AC）2-2BC·AC=25，

∴（2k-3）2-2·（k2-3k-10）=25，

化简，得k2-3k+2=0，∴k1=2或k2=1。

答：k的值为2或1。

（1）同上。（2）同上求得k值。

当k1=2时，此方程为x2-x-12=0，BC·AC=-120，即BC和AC是一正数一负数，不符题意，故舍去;

当k2=1时，此方程为x2+x-12=0，同样BC和AC是一正数一负数，不符题意，故舍去。

∴不存在实数k，使Rt△ABC的斜边为5且两直角边AC、BC的长是这个一元二次方程的两个实数根。

此题的解题思路是利用直角三角形勾股定理建立方程，通過三角形的边是方程的根的条件，运用根与系数关系将边的关系转化为关于k的方程，转化过程中需要进行必要的恒等变形，难度有所提升。但同学们在解题过程中出现的最大的问题则是针对实际问题没有检验结果的合理性。第一问虽然已经判断出此方程确定有两个实数根，但三角形的边是此方程的解，就需要额外满足此方程有两个正根的条件。

此题的其次问错误率极高，反映了同学们在解题的时候思维不够严密。一