概率论与数理统计 -课后习题及答案解析(下)

第六章样本及其分布6.1简单随机样本一、 略。二、 下列是否为简单随机样本.并说明理由.袋中装有100只球，其屮红、白色球各50只，随机取20只，每次取一只，不放回，1V_P,第/次取到的是红色球，flL："~（0,第欣取到的是白色球/’'X^X1,---.Xn相互独立，P{Xk=i}=丄（'=1，2，-，幻.k3-4，^，…，^:^相互独^且都服从參数为1的指数分布.T,=min{^,^B_1+1}G=l，2,4.将-颗骰子掷/I次，表示第i次出现的点数.解：（1）p{xt=1,-r.=i}=50x49—x—=p{x.=i}•p{x.=i},: J 100x99100100 1 JX^x2>…;r2Q不独立，所以4，^2,…工加不足简单随机样本。（2）&，工2，…，叉分布不同，所以4，12,…，I,不是简单随机样本。⑴冈为（u2„_,+1）与乂„_y+i）相互.独立，所以，…，总相互独立，n都服从期钯为j的指数分布，故- 随机忭本。（4>独立试验.所以Xx,X„--,Xn相K独立，P{Xk=/}=- 0=1,2,•，《）与6々无关.所以U2，…，Tn分布相同，故U2，…，^玷简单随机样本。三'没，…欠10玷取14总体的一个样本.其屮0<尸<1,p未知.写出样本的联介分扣.指出以下样本的函数屮哪碑是统计量，哪苎不是统计黾.dj,T.=X}^E（Xx）.rs=H?；=max{U2,".，jrl0}.户l10W：(1)P{X=x}=px(l-p)l-x(x=0，l)•

•P{A^=Xj•P{A^=Xj,^2=戈2，...，^10=^10)（2）m是统计鼠.叫、设总体/〜，…，叉为収fi总体的一个样本，/为样本均值.求（弋，…，叉）的联合概率密度;l<r<n2.Tl=2Xl+X}yT2=X3- =niin^屮哪些足统计哪些不是统计鼠.l<r<n解：⑴/(x)=(——e2a：(-co<X<+cc)tV2^a”1/(xpx25--sxn)=n/(^)= -1 ，-^<\<+00(，-1，2，・・，吟，=1 2W(2^)56.2抽样分布二、在总体，V（52,6.32）屮，二、在总体，V（52,6.32）屮，53.8之叫的概率.解：J-^n52,—36，所以解：J-^n52,—36，所以53・8-52

63/6=0(1.714)—Q(-1.143)=0.8293。:、为収ft总体v（o，（T2）的-•个样本,解:求尸.T]+JT:^X(0,2a2). 雌1)・解:求尸Xj v2q故故P{X-Y<0.3} =個＜纷雌52)-1=讀故故P{X-Y<0.3} =個＜纷雌52)-1=讀冈为x}+x2与;r冈为x}+x2与;r3相互独立，所以+-F(l.1)•故^3,>79.722>39.86AJ=P{F(1,1)>39.86}=0.10o叫、设总体火〜(n>2)來自总体的简单样本，TOC\o"1-5"\h\z〒=士IU=Z(工,+XnH-2X)2,求E[±(X,+X相-2X)2].J-1 fl f-1解：没Zr=T,+^+,.则Zf-X(2//,2<72)(/=1，2,…，《).—1” 12n —Z=-XD=-zA=2^.n/«i nr«iY=i +X州-2j)2=f(z/-z)2=(”-1)S2，Z=1 f=l由定理-z2(n-l),所以2(7{X,+X的-2X)-]=E(Y)=E[2a]Z2('卜1)]=2(72(”-1)。1=1五、求总体7V(15,22)的容以分别为20,30的两独克忭木T:均侦差的绝对值小f-0.3的概軋解：设无，y分别表示两个样本均值，因为x'iy^互独立，所以F(无一F)=15—15=0,D(X-Y)=—+—=-920 30 3X-Y^N0.-3自测题（第六章）一、 略6二、 略。三、（18分）没总体来自总体JT的一个样本,求E(X).D(X),E(S2).解：WjE(,X)=E(X),D(X)=^2,E(S2)=D(X),Z的密度函数为n/(•v)=p"/2r/(•v)=p"/2r(n/2)0,二-1-二••’e\x〉0A<0i 2-i-I咐2)=P2^WV'，?+2)・D(X)=E(X2)—[E(X)]2= +2)-w2=In*，E{S2*，E{S2)=D{X)=2vaE{X)=E{X)=11.D(X)= =—1010叫、（16分）设在总体I〜屮抽取容诏为16的一个祥本，其屮/八＜72均未知，戸靈.其屮作样纖求P(S2).解:<1)由0卜恥〜Z:("-l)，^^--Z2(15).cr* <y--^-<2.041>=p<^-<15x2.041*<72=P{/2(15)<30.615}30a1 2 . =—er-15230a1 2 . =—er-152 15=2X15=30,^-D(S2)=30,^D(S2)=(7

五、(16分)没工i，义2，…,足収门总体T^2V(0,22)的一个简单随机样本.且有Y=a(Xi-2X1Y+b(3Xi-4X4)2,试求a与办，使统计黾r服从/2分布.并求由度.解：r服从Z2分布，当fL仅当U= -2太2)~2V(O,1)，V= -4^4)-AT(O.l)•D[Ja(Xx-2X2)]=5ax22=20a=1，D[VK(3X3-4Xa)]=25bx22=100d=l,T足a=—,b=」一:20100由JC7与K足相互独立的标准正态随机变凌，所^Y=U2+V2-r(2),即ft由度为2。六'(10分〉没人，火2，…，足収自总体;V的一个简单随机样本，无和S2分别为样本均仇和样本方差，证明：TiE(Xk)=0^=1.3,则无与S2不相关.证：只要证明Cot(XS2)=0.因为E(X)=0,所以Cov(X,S^=E(XS^)-£(X)E(S^=E(XS2)占令㉔-叫]7/(«-1) >»i )n-\1"(W-1)^取1"(W-1)^取|3)4取乂'2)-1"2(w-1闪为闪为E(Xf)=O,i^j时，E(XjX^)=E(Xj)E{X；)=0,当i，j，k不全等吋,闪为闪为E(Xf)=O,i^j时，E(XjX^)=E(Xj)E{X；)=0,当i，j，k不全等吋,所以Cov（XS2）=0,即无与S2不相关，7.1参数的点估计，、随机地取8只活取坏，测得它们的哀枰为（以mm计）：74001 7400574.003 74.001 7400073993 74006 74002试求总体均侦以及方差a2的矩估计值，并求样本方差.解：p=x= =-(74.001十74.005十…+74.002)=74.0014:8!«i 8s;=1.5696xl0's;=1.5696xl0'5二、工厂试生产-种产品，每大加工到出现次品为止，两周（共10天）的生产记录分別为（中.位：件）2,4,6.1.3,5,2,1.2,4.试求一天加工出3件产品的概率的极人似然佔计和矩佔计.解: P{X=x}=p（l-广1（x=1,2,…，w），”1z(p)=np(i-p)v=，(1-戶尸 •j=in nInZ=a?Inp+2L(x,-1)ln(l-/?)=wInp+ln(l-p)^x2-nln(l-p),所以*♦去〔所以*♦去〔4=咅为所求的极人似然赚p=E(X)=X=一,/»=—=—P 31--3为所求的矩估汁位。1--3为所求的矩估汁位。:、设为总体义的样本，义的密度函数为:广1).广1).一0<x<l，/J>-1

其它求参数/)的补估计与极人似然估计.解:芯（义）=iZX解:芯（义）=iZXf=JoA（^+ =£±1M2^E（X）=X,衍：为P的矩估计鼠:L（p）=hf（^p）=（p+irn^，（0<X.<i，'=i，2,|»1|»1hiL=n]n（P+1）+PSlax,.，（0〈又，<1，'=l，2，:-，w）令^=lh+^X'=Ql得知-1-+;dPl+P ZillA,r«l从而p=-\- —为所求的极人似然佔计黾。f-1叫、设《^，…，工„为总体又的徉本，/的密度函数为：10, 0<又<11-0，1<X<20,其它其屮0足未知參数(0<0<1).ICAT为样本屮小ri的个数•求：1.0的®估计；2.0的极人似然估tr.解:(1)"=£(X)=〔V(X;晰=以也十［2(1-e)xdx=^+|(1-0)=|-0,M3 —令E(X)=X,得：0=--^为0的矩估汁萤：(2)Z(^)=fl/(x1^)=0y(l-0)n-V,一1lnZ=NhiO+(?1-?Z)ln(l-0),令^LL=--u-=o，deol-oAV得：6=—^0的极人似然估计黾。n

五、没灯泡寿命I服从参数为0的指数分布，其屮0>0未知，抽取10只测得寿命(单位：h)x=997.1,求参数0的矩佔计似和P{X>1300}的极人似然佔计值.解：E{X)=0,令E(X)=X.得：6=X.所以e=x=997.1为0的珩估计依；P{X>x}=l-P{X<x}=1-F（x）=l-（l-ed）=ee,讲）=n/（\，a）=nyQ （a；>o）,r-l f«lU1n1nliiZ=-n\n0 22,令d\nLii1冬"^-=_?"FSXi=0,得：0= 的极人似然估计依，BOO所以P{I>1300}的极人似然估计值为P{X>1300}=/而=0.2715。7.2估计量的优良准则一、设义，义2，…，％„足収泊松总体/〜兀(又)的-•个简申随机样本，试求又2的无偏估计.解:E(X~)=D(X)+[E(X)]2=A+A2=E(X)+A2,得：A2=E(X2)-E(X),所以=A2-X=-XXf-X,且E(Z2)=A\n,=i故f为A2的无偏估汁。二、设义，工2，…，为总体义的祥本，又的密度函数为:/(X)=e-⑽，x>00, x<0其屮0>0是未知参数，求参数0的矩估计,并证明其优良性.解：闪为£■(.¥)=j^A/(x)dx=fAe-('-s)rfx=1+0,所以0的矩估计为e=x-1。闪为£0)=£(无)一1=£(又)一1=0，所以OSiO的无偏估计;

x-0^uD(X)= (x-0-Y)2e^x~e)dx=\()(m2-2u+l)e^dx=2-2+\=l< — —D(X)1D(0)=D(X-1)=Z>GT)=—=-,nn则对任给的£>0,1——->1——->1 (11->co)，fl€所以0^0的相合佔计。i、没又i，久，…，义w为总体的一个样木，证明:估计at,与y=scf（C| =i）都是总体数学期望TOC\o"1-5"\h\zWr-1 r-1 r-1五（工）的无偏估计，但是火比r有效.证：没茗(1)="，D(X)=o\ In 1 n nE(X)=-z^,)=— =P，E(Y)=s =Zw=P，nj=i n t«i j=iD(无)=—.D(Y)=ic;a2=o2±c^.n j=i f=i由柯西-许瓦兹不等式,有i=ix- 1 n•yi=ix- 1 n•y=nZ^.W-<Z^>r»l H>»1P是D(X)=——<ct2Xc；=D(Y).所以义比】1f效。n,•!叫、设义服从区问［0，0］上的均匀分布，A\，^2,…，是样本.X是样本均值，证明：—y（x-^）2^o2的无偏估计与扣介估计.n一1,=1证:n 证:n n2E(X)=-,D(X)=—£[—f(X,-X)2]=12£(S2)=12P(-T)=12x—=02w-1)-1 12所以—yc-r,.-^)2^^2所以—yc-r,.-^)2^^2的无偏估计:'卜6由辛钦人数定律.—1w P^=-z^— __nr-l 2 nr.l12所以.-14,，n、、了飞=e\1yn 故—y(^,-J)2^02的相介佔计。'卜is7.3参数的区间估计\略。:、随机地从一批钉子屮抽取16枚.测得R长度(以照米计)为：2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 213 2.102.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.11 2.14设钉K服从正态分布，求总体均的90°/。的質信区叫：1.77已知＜7=0.01驵米：2.77(7为未知.1I«1解:X=—艺xf=—(2.14+2.10+…+2.14)=2.125，161=1167 1 16 7r= 乙(X,-xy=0.0293；16-l，=i(1)?7已知＜7=0.01,当a=0.10时，za=z005=1.645,J=2.125±2^1x1.645=2.125±0.004•故总体均俏p的90%的芮位区叫为(2.121.2.129):(2)7ro-为末知，当a=0.10时，迕表得：fa(n-l)=r005(15)=1.7531,Tx±^~ta0?-1)=2.125±04711x1.7531=2.125±0.0075,如2 4战总体均ffip的90。/。的置倍区M为(2.1175,2.1325)。

三、测黾铅的比ffi16次，衍x=2.705,5=0.029,试求铅的比重的95%的置信区M.(没测黾结果服从正态分布，并知测黾无系统误差.)解:当a=0.05吋.査表得:/a(«-l)=/002S(15)=2.1315,于是—ta0?-1)=2.705土ta0?-1)=2.705土0.0294x2.1315=2.705±0.0155故铅的比道的95%的罝信区M为(2.6895,2.7205)。R、对方差2为己知的正态总体米说.问抽収容黾》?为多人的样本，冰能使总体均位//的置佶度为ioo(i-<z)%的罝佶区m长度不人ri?解:由题意，i\L>得子解:由题意，i\L>得子z^，即—J。五、M自动机冰加1:同类吧愈简，假没仓筒的ft抒服从正态分布，现在从两个不同班次的产品中各抽验了5个套筒，测定它们的直径，得数据如下:A班： 2.066 2.063 2.068 2.060 2.067B班： 2058 2.057 2063 2.059 20602试求两班套筒的方差比4的置佶度为090的罝佶区fuj;fivgcr；=aj,iA求两班發简的均侦之差- 的莨仿度为090的筲信区问.解：巾观测仿计筇，X,=2.0648•xB=2.0594，5；=0.0000107，=0.0000053，5；=(打1二队+(”2二效=0.000008，=0.002828；"I+”2_2(1〉当1-a=0.90时，n}=n2=5,査表，得(巧-1，"2-1)=巧05(4,4)=6.39,IFa(w1-l,n1-l)=^95(4,4)=—i—，于是两班套简的方差比#的1-了 • 6.05(4,4)筲G度为筲G度为090的筲倍|x:问为r1075?▲，晋x6.39j，UlUK0.3159J2.9001)：a=na=n十 =1000十1.65:=1002.72,a=na=n十 =1000十1.65:=1002.72,〔2)当1-a=0.90时，w5,査表，/a(n}+n2-2)=r005(8)=1.8595,TJ.是XJ.是XA一=^005(8).氕0.0054±0.003326•故两班赶筒的均俏之差m3的筲信度为0.90的霄信区叫为（0.002074A00S726）。7.4-7.50-17.4-7.50-1分布参数的置信区间-单侧置信区间•、X项T.ffite用了同一规格的零作2000个.其屮有214个；件不超过一年就损坏了,求这种岑件的寿命小超过一年的概率p的筲信水T•为95%的筲信区|川.取自总体又的样本，夕S未知参数，a=0.05,u=2000（k分人），za=1.96,7211=0.107,2000t7=w+z；/2=2000+1.962=2003.84,b=-{Inx+z^/2)=-(2x2000x0.107+l962)=-431.84.c=;?r2=2000x0.1O72=22.90.px=-(-b-y/b2-4ac)=0.09,2ap.=—(-^+>jb2-4ac)=0.12>2a故这种羽T•的寿命不超过一年的概率p的置倍水卞•为95%的SfillxfuJ为(0.09.0.12).:、某城市对一项提案进行民意调査，随机选取了1000名居民，JC中Yf80%的人赞同该捉案，5%的人反对，15%的人弃权，试求居民对该项捉案赞同的比率p的置倍水平为90%的罝佶区问.1第I个人赞同该项提案

第，个人不赞1第I个人赞同该项提案

第，个人不赞1‘4该项提案则又服从0-1分布，，…，尤醐为取14总体I的样本，尸足未知参数，a=0.10,»=1000（允分人〉•za=1.65,x=80%,=X+=X+=X+=X+b=-(2/w+z^)=-(2x1000x0・80+1・65])=-1602.72,c=nx2=1000x0.802=640,Pi2a0.78Pi2a0.78p，=-(-b+-Aac)=0.82,*2a故以民对该项提案赞M的比率p的置信水平为90%的罝倍区问为(0.78.0.82)。三、某fr品加T厂生产的水米_头介锡品(mg.kg)服从正态分布.随机杣取了16H，测flFP均含锡黾为lSOmg/kg,k:准差为10.试求这种罐尖f均含锡黾的置信水•卜为90%的妒测置信上限.解:没火为该厂生产的水果罐尖含锡黾，且X〜專a2、.由题意，知x=180.s=10,"=16,当a=0.10时.S衣得：Zo(n-l)=r010(15)=1.3406,于是p=x十4=/a("-1)=180+2x1.3406=183.3515>Jn 4故这种诚头'|/均介锡:4:的莨倍水H90%的甲测筲倍上限为p=183.3515(r?^/^)。四、一批电子原仲的寿命I服从期望值等丁0(0未知)的指数分布.随机抽取50件,测得T•均脊命力200h,求0的莨佶水平为95%的申侧S信下限.解：由Tw=50(允分大)，则从而解：由Tw=50(允分大)，则从而U当w=50，a=0.05,Za=z005=1.645.x=200时，0=162.2536,故0的筲倍水f•为95%的单侧莨信卜•限为0=162.2536(//).九、力了考饩«厂生产的水泥构件的抗压强度(kg-cm2),随机抽取了25ft进行测试，衍到T均抗川强度为415(kg/cm2),极W以往资料，该厂生A的水浞构件的抗JE强嗖义〜M川202),试求戸的胃位水平为90%的中.侧背位I•.限和中侧筲位下限.解：巾题怠，知《=25・无=415，(7=20,a=0.10，zfl=z0]0=1.28>丁足

（T^z°（T^z°=415+—5x1.28=420.12,E=x-^za=415-^x1.28=409.88,故戸的水T为卯％的中-侧背信上限^p=420,12(kg/cnr').申侧莨倍卜’限为自测(第七章)自测(第七章)一、 略。二、 略。三、 (12分)设总体义的分布密度力f(.x，0)=<百二IKx<eX，又，…，总是X.0其它的样木.求(1)0的补法估计(2)E(0),并判断d足否为0的无偏估计黾.解：(1),令£(•¥)=无，^0=2X-l为0的矩佔计鼠：_ _ 2w 7 0-4-1(2)...£(0)=£(2X-1)=2£(X)-1=二乙E(Xt)一1=一.w 1=0，« a2:.e^e的尤偏佔计。四、(10分〉设总体义〜，V(/l，102)，«仲"的胃信水平为1一a=0.95的背信区叫长度2x10025= xl.96，为5,2x10025= xl.96，解：由题点，知5=x+—r=zaI—IX—Za=—f=2）\小12）如所以Vn=7.84,即w=<51.47*62,故样木容黾w最小应为62。五、五、（16分）假80.50,1.25,0.80,2.00®来自总体I的样本值，已知Y=\nX服从正态分五、五、（16分）假80.50,1.25,0.80,2.00®来自总体I的样本值，已知Y=\nX服从正态分布聊，1）.1.求工的数学期织:2.求jU的胃信度为0.95的黃信区叫.1 少-")-解：(1)/(y)=-^=e 2 <v<-ho,于是E(X)=E(er)=!:e'f(y)ayy Cn)2=^-:e>e了打.1 ， (r-1)2r*®1---丄-dt(2)y=l(ln0.5+lnl.25+ln0.8+ln2)=0,cr=1,w=4,a=0.05.za=z0O25=1.96,故总体均侦厂的筲倍区问为=故总体均侦厂的筲倍区问为=(-0.98,0.98)。六、(10分)ttx 样本，x=4.5065pr，x>n1=0，X<p求五（r）的罝倍水f•为090的置倍区叫.解:W为X~N（"，32）,x=4.5065,zfl=zoos=1.645,n=100,T所以//的肾信水平力0.90的肾位区叫为=(4.013,5.000)；45。65-吾xl645,45°65+^xt645=(4.013,5.000)；xe18xe18*二 十足/＜的中.凋增加函数，T^£（y）的筲位水T为0.90的筲仏区问为=(3.2033,3.6968)o七、（12分）没义,1=(3.2033,3.6968)o七、（12分）没义,12,…，夂足总体,V（//,（T2）的简单随机样本，记T=X2nLiiEiiFJTS/r的无偏估计黾;2.当jU=0，(T=l时，求D(T).证：⑴因为E(T)=E(X12--S2)=E(X2)--E(S2)n n=[£(J)]2+_」£(S2)nE(±X^)-nE(X2)r»l7-A.11•I nE(±X^)-nE(X2)r»l7-A.11•I nnn-1fifi一=/r丄■11卞nflw-1/?Gr+<r2)-w(/r+^-)所以T 的无偏佔计!th(2)3/!=0，(T=l时,(2)3/!=0，(T=l时,X-0〜2V（0，l）,所以Z2〜z2（l），于是f(Z2)=l，D(Z3)=2,所以D(X2所以D(X2)=DJtr——i)——i)幻2幻2故D(T)=D{X2--S2)=n=_2_11~(h-1)2第八章假设检验假设检验的一般理论假设检验的一般理论一、 略。二、 没总体义〜汊（戸，12）,样本容黾为9.假KZ/0：a/=1,//1：P=2的扣绝域为X〉1.5.求犯第I炎错误的概率a和犯第II类错误的概率/?.斛:（i）?7//0K.则-^（0.1）,此时拒绝％的概率为斛:=1-0(1.5)=0.0668；a=P{X>1.5}=!-^=1-0(1.5)=0.0668；a=P{X>1.5}=!-^（2） 则-N（0,1）,此时接受打（，的概率为0=P{%<1.5}=01.5-20=P{%<1.5}=01.5-2=0(-1.5)=0.0668。・一•巳知试给出检验H^.a=5,H.-a^5的拒絶域，井给出检验犯第II・一•巳知试给出检验H^.a=5,H.-a^5的拒絶域，井给出检验犯第II炎错误的概率农达忒.结果用o（・）衣示（敁苫性水T:a）解：27):a=a}5•a=X在成立的条件卜_，介〜2V（0，l），此吋扪绝域为.彳1/2犯第II炎错误的概率为P=p{接受为K}a-5^2^(^+^2(5-^) +V2(5-flj)8.2 正态总体均值与方差的假设检验一、按规定，某种饮料自动销售机笆出的每杯饮料为222mL,今随机取36杯，测得平均埒杯219mL,标准羞为14.2mL.假没毎杯饮枓的黾太服从正态分布，足否吋以认为售出的饮料平均每杯为222mL<a=0.05)?解：没工〜X(jU，CT2).CT未知，依题意，检验假K HQ:p=222,H/口共222'选収统计虽t=X~^^/(n-1)；a=0.05,”=36，/z0=222,S/^Jn拒绝域为|r|> -1)=r003S(35)=2.0301:7)19—7经计算，1ix=219,s=14.2,因为—— =1.2676<2.0301.1 14.2/6所以接受尽，可以A为ft出的饮料平均毎杯为222mL。二、一批保险丝熔断时问服从正态分布,今随机袖取10根试验,结果为(单位:微秒)42 65 75 78 71 59 57 68 54 55MJ：足内吋以汄为幣批保险丝的熔断时叫力'差为8?(a=0.05)解：设示保险蜱熔断时问，且X〜N_2)，依题怠.检验假没H〆=S，Zf^CT2^8；选収统计黾X2=(n_\S〜z2('卜U: a=0.05，n=10, =8,

拒绝域为 厂< 一1)=Zo975(9)=2.70,TZ2>Z^(/7-l)=Z^025(9)=19.023：经计算，有T=62.4,?=12^1=121.82.9|対为z2=9x121,82=137.05>19.023.8所以iH绝/fQ，不能认为铠批保险丝的熔断吋M方差为8。三、在漂白T艺屮耍考察温度对针织品断裂强力的数据.在7(TC与80-CF分别重&作了8次试验，测得断裂强力的数据如下(串位：公斤)70eC: 20.5 18.8 19.8 20.9 21.5 19.5 21.0 21.280.C: 17.7 203 200 18.8 190 20.1 202 191设断裂强力服从正态分布，问：70*CF的强力与80*C下的强力行没有差别?(已知70*C与80°C吋的总体方差相等，a=0.05)足否⑷认为7(TC下的强力与80*C下的强力饤相同的方差？(a=0.05)解：(1)没在两种溫度卜针织品断裂强力分别为义和I".且Y^N(p2,(y；),a未知，依题意，取5=pj-//2=0.检验假设 7/0：^1=只2,好1:^1*P2:v y选収统计St= * -t(n}+w，-2);a=0.05,m=7^=8•拒绝域为 |r|> +n2-2)=r0025(14)=2.1448；20.4-19.46|72.16>2.1448经计钌•有x=20.4,7=6.2,y=19A7_20.4-19.46|72.16>2.1448所以th绝A，以认7(rc卜'的强力与8(rcK的强力介显苦若別。(2)依题盘，检验假检验假©2f0:ar=(T；,Hy:(T!2* :-4-4检验假检验假©2f0:ar=(T；,Hy:(T!2* :-4-452选収统计黾扣绝域为F= 〜F(”i-l,w2-1)；a=0.05，nx=z，2=8选収统计黾扣绝域为sy -F> -1，《2-1)=^.025(7,7)=4.99，IFSF、a(，h-U'2-1)=巧975(7,7)= 1 =0.20:1-2 巧025(7,7)经计算.有1=20.4,7.4=6.2,歹=19.4,7sf=5.8.因为F=^=—=»1.069E(0.20,4.99)，Sy5.8所以接受巧，呵认为70-C卜的强力与80-C卜的强力有相M的方差。四、某工厂试验用一种新工艺处邢污水，为了比较两种工艺的处理效果，安排两种匚艺M时独立地处理污水，T厂阶段性地分别在用新老T艺处理过的水屮随机抽収10个水样，测得：悬汐物的均依(mg/L)分別为无=408,歹=412,方差分别为sf=20,5；=22,假没经处现过的水屮.齡?物含吊都服从iE态分布，11方差相同，足内|4以认为新T艺处理过的水屮姑浮物介比老T.艺处理过的低？(a=0.05)解：设义和I'分别为经新、老下艺处理过的水屮悬浮物介％,且Y〜N(ji2，(y、，a未知，X^Y独立，依题意，检验假没检验假没选取统计黾X选取统计黾X-t(n｝十fl2-2);a=0.05，«!=n2=10.t<-ta(«!+«2-2)=-/005(18)=-1.7341：動/=拉a一動/=拉a一42.0494々一1.9518<-1.7341，所以所以iH绝4以认为新工艺处理过的水屮忌??物含吊比老工艺处理过的低。1616所以所以iH绝4以认为新工艺处理过的水屮忌??物含吊比老工艺处理过的低。1616^.2.771^(0.2381,4.82).^.2.771^(0.2381,4.82).也、某农场为试验磷肥与氮肥能内提高水稻的产品.在同炎地块屮选定亩的20试验田?7千块：试验结果：未施肥的10块试验田每块平均产黾为9.7kg,标准差为1.24吆：另外8块试验IH在捕祌前施加磷肥，椹种后乂分3期施加氮肥，结果每块T均产!力11.4蚣，|小准差为0.745权：假设毎块试验⑴的产品服从正态分布，是内"f以认为施肥后水稻的产鼠有明显提高？(a=0.05)解：没未施肥的试验山悔块产黾为x,施肥的试验山付块产帛为y，n义〜啡'，<)，〜jV(p2.4),JT与I"独克，依题氣检验假设H0Wp2,:叫<人，由r•题H没明确两总体方差相M.W此先检验方差齐性。(1)检验假设Hw:a'=a^HQl:a；*a；；选収统计黾尸尸(乂一1，乂一1);a=0.05, =10,«2=8,拒绝域为 F>Fa(»,-1，”2-1)=尽。25(9,7)=4.82，，队一1)=6975(9,7)=——-——=-^―=0.2381；- ^.025(7,9) 4.20所以接受//D，认为两总体方差相HJ。(2)检验假设Ho: >；/2,H。叫<^2；_Y▲I 〜+n2-2):a=0.05，％=10,w2=8,、vj—+—V”1112绝域为经计算，nt-ta(«!+«2-2)=⑽(16)=-1.7459:,_y=9.7-11.4=-1.7,4=9xl.24:十7x0.745:=1绝域为经计算，n所以当所以当//=2时，拒绝域为 >1.6529o冈为/=一1.7冈为/=一1.7^-3.5424<-1.7459,a/1.1077.所以拒绝尽，故可以U为施肥后水稻的产歐有明显提高。83分布拟合检验一、n1965年1门1口到1971年2J19口的2231天屮，全沢界记录到的组氏4级及4级以上的地蒺共162次，相继两次地蒺问隔大数如F：X[0,5][5,10][10,15][15,20][20,25][25,30][30,35][35,40]彡40频数5031261710S668试检验相继两次地蕋M隔大数久足什服从期切侦等十0的指数分布(CT=0.05)?解:依题意，X检验假没//。：工的分布函数为F(x)=i^e x^°:0， x<0选取统计®Z2=£(，?,~WP,)-Z2(A--r-l)；a=0.05,^=9,r=l,，・=i扪绝域为 x2>zj(々-/•-1)=ZJos(n=14.067;经计界，因为Z2=2.1582<14.067,所以接受/fQ,即汄为服从指数分布。:、某车床生产滚珠，随机地抽取了50个产品，测得它们的H径为(单位:毫米〉15015815.215.115914.714815515615315.115315.015.615.714.814.514.214.914.915.215.315.015.615.114.914.214615.815.215915.215014914814.515.115515.515115.115.015.314.714.515.515.014.714.614.2M；在a=0.05的水平卜滚珠汽杼是否服从K态分布^(15.1,0.43252)?解:滾珠克彳么依题怠，检验假没Hq:X-N(\5A,0.43252)；选取统计畢;f2=f -〜/(斤一'-1):a=0.05,k=4,r/•inpt扪绝域为;r>Z；(^-/•-!)=Zoos⑴=3.841:经计算，因为厂=1.46<3.841，所以接受即认为服从正态分布。8.4置信区间与假设检验之间的关系一、设总体M("，<72)，(72已知，JU未知，X'，X2，…，X”是样本观察值。已知//的置信水甲为095的置信区间为(4.71,569)，那么取显蕃性水平a=0.05时，试检验假设:Zfo:^=5.O,Zf1:p^5.O.解：W为p的置偯水'K为0.95的双侧赏倍|x|nj就足该假g检验问题的敁X性水f')]a=0.05的接受域，而5.0e(4.71,5.69)，所以接受打。。二、设…，是収fi正态总体X〜况G/,1.212)的样本，己知p的赏信水平为1一a的罝借区M^(x--^=9x+^)y/n 小1求假没检验=2.Hni本2的扪绝域.解：通过罝倍区叫求出该假没检验问题的拒绝域.当仏含在置佶区间内时.接受//Q。由置信区问的定义，ii>l-a，2>\-a，-^>1.65292>\-a，-^>1.6529三、S总体未知.，…，弋。取自总体I的样本，样本方差为s\已知<72的单侧置信上限为CT?=2.7067752,求假没检验Hq-.O2 <<的扪绝域.解：巾置信上限的定义，有p{a2<2.10671S2}>l-a,M为p[^-<—-—=3.325ol<Q,1a~2.70677 J所以当^-<3.3250时.扪绝77。，故扑:绝域为/2=^-<3.3250。CJ- O■-己知#的筲信水f•为1一a的双侧黄信区liij上限为^-=^2^2叫、没x己知#的筲信水f•为1一a的双侧黄信区liij上限为^-=^2^2-4-X3.3898,S；求假设检验问题:(T；=(TJ, 卜(T；的S苦水T•为a的fii绝域.解：假没险验问题的拒绝域为F1(9.9)成7所以只芯求II7；(9,9)。冈为$的筲仏水T•为1一a的双侧筲信区叫匕限为(7；4=^-.—!—=弍么(9,9)=4x3.3898,CT；S;Fa(9,9)S；y S;1•- •歸所以尽(9,9)=3.3898,Fa(9,9)=—-—=0.2950•t 1-t 3.3898故扪绝域为F<0.2950jjJcF>3.3898o自测题（第八章）二、 略-三、 （12分）某T厂研制一种柴汕发动机.每升柴汕的运转时叫服从正态分布。现测试6台柴油机.每升柴汕的运转吋叫（羊位：nun）分别为28.27,31,29，30,27,按设计要求，每升柴油的平均运转时问为30mm以上.问在显著水fa=0.05卜，是否有理山认为这种柴汕机符介没计要求？解：设/为柴汕发动机耗1升柴汕运转的时M.则X-N（n^2）^由f•是新产品，只奋明显符合要求，才能认为符合S计要求。依题怠，检验假SH0:p<3Q.Hi：//>30,II检验统illitt=— ,n=6.检验统illitS/y/nlli绝域lli绝域/>/005(5)=2.0150,x=-(28+27+31十29+30十27)=28.67.616?=7"^(x,-T)2=1.6332，6-1，=1g67 30因为t= ~ =-2.00<2.0150.所以接受付。。1.633/V6故可以认为这种柴油发动机不符介设计要求。叫、（12分）一名运动w在一次意外叩故屮受伤.经治疗祸本痊愈.为了检S兗体恢fi的情况，随机抽取了15份近期每天冋一时间的脉搏测屋:数据（靴:次/分钟），计算得1=69.2667（次/分钟）.52=6.1232.已知他正常时脉捋次数X〜7V（66,52），M枞所得数椐足作吋以断定这名运动员的身体己恢鉍到以前状态（a=0.05）?解:耍检验脉M的稳定性和脉搏的速度.依题息，检验假没Hw:ff2=52,HQl:a2*52和2f0:p=66，66（1〉检验假设 =52,/701:a2^52选取统计黾Z2=（/?~?—-Z2（w-1）；a=0.05,"=15，=5\ao

拒绝域为Z2<z；a(”-1)=沁75(14)=5.629.1——2Z2>Z^(W-l)=Z^25(14)=26.119：T而己知x=69.2667,?=6.1232.经计算，/2=14X^；123=20.995.因为5.629</2<26.119,所以接受7^.认为脉搏的稳定性已恢笈如前。(2)检验假SHq:H=66,U建66;选取统计黾t=X~^^r(/2-l); <7=0.05，"=15,Po=66,扣绝域为|f|> -1)=r0.025(14)=2.1448；T而己知x=69.2667»J而己知x=69.2667»J2=6.123、经计算，69.2667:£66.123/Vl5=2.0663,闪为|/|=2.0663<2.1448,所以接受认为脉搏逨度与以前没17显著差W，«上，4以认为这名运动员的身体已恢到以前状态。五、(12分)某元件的寿命X〜，要求p>20时犯第一类错误的概率a<0.025,且犯第二类错误的概率+超过=0.025,试确定样本的容鼠.解:根据题设，由z检验法样本容鼠的选取知:其屮za=ZO.O25=1.96,zp=z0025=1.96，CT'=2.5，//0=20•//=18•5=/z0—//=20—18=2,所以马p<18=20-2时，介仏(1.96-1.96)x2.5=49.即心篇•2故样木容鼠•至少为25，六、(12分〉某下厂生产正常时，出的污水屮动tt物汕的浓度义〜、V(10，l),今阶段性抽収10个水样.测Wf均浓®为108(mg/L).杯准差为1.2(mgiL),该T厂生产足否正常（a=0.05）?解：（1）检验假没讯：a2=i,HXz 取统计衝x2雅眺 ⑼=2■誠Az!M=z‘=詡.经计算：?=(”-?厂=9x1.2-=1296,(jjy.^2=12.96e(2.700,19.023)2,1故接受执，即吋以汄为诽出的污水屮动祖物汕浓度的方差为dl。一］Q〔2）检验假没尸=10. //*10；収统计黾：t=一〜ta（9）:S/V10 -所以接受拒绝域为|/|>/0.025(9)=2.2622； 卜匕品=2.1028<2.2622，所以接受即坷以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10（mg/L）o综上，认为工厂生产正常。七、（12分）测得两批电子器材的样本电阻为：A批X（欧姆）：0140 0138 0.143 0142 0.144 0137B批F（欧姆）：0135 0140 0.142 0136 0.138 0140又S这两批器材电阻分别服从Wi^!2）和、V（小，且样本相互独立，试在a=0.05的显茗水平下，检验假:<Tf=ah解:选取统计量F= 〜F(i\一1，”2-1);a=0.05. =，卜=6，SY扪绝域为F>F^nx-1，w2-1)=仏❶25(5,5)=7.15,*>F<F(n.-l.«2-l)=F0915(5,5)= 1 =▲=0.14:1■了 乓0乃(5,5)7・15经计算.有x=0.1407,^4=0.0028:，歹=0.1385, =0.00273.瞭,=^=1.075輕715)・所以蛾

综合自测题（数理统计部分）略。（本题10分）没随机变黾义的槪率密度为：f（x）=\0^ ，[0,其他其屮0>0是未知参数，Xf，X„l来自/的样本，求0的矩估计和极大似然估计.⑴E（X）=^xfMdx=^-^-dx=^e•令E（X）=X=le,^6=lx为参数0的®估计S。3（2）似然函数为:^,0）=n^-