初三年级相似三角形难题集

..WORD格式可编辑专业技术资料整理[章节训练]第27章相似-8一、选择题〔共15小题1．〔2011•惠山区模拟梯形ABCD中AB∥CD,∠ADC+∠BCD=90°,以AD、AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形,其面积分别是S1、S2、S3,且S1+S3=4S2,则CD=〔A．2.5ABB．3ABC．3.5ABD．4AB2．〔2012•XX二模如图,n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上,设△B2D1C1面积为S1,△B3D2C2面积为S2,…,△Bn+1DnCn面积为Sn,则Sn等于〔A．B．C．D．3．如图,Rt△ABC中,AC⊥BC,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AD交AB于点E,M为AE的中点,BF⊥BC交CM的延长线于点F,BD=4,CD=3．下列结论：①∠AED=∠ADC；②=；③AC•BE=12；④3BF=4AC．其中结论正确的个数有〔A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图,正方形ABCD中,在AD的延长线上取点E、F,使DE=AD,DF=BD；BF分别交CD,CE于H、G点,连接DG,下列结论：①∠GDH=∠GHD；②△GDH为正三角形；③EG=CH；④EC=2DG；⑤S△CGH：S△DBH=1：2．其中正确的是〔A．①②③B．②③④C．③④⑤D．①③⑤5．如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点G,E为AD的中点．连接BE交AC于点F,连接FD．若∠BFA=90°,则下列四对三角形：〔1△BEA与△ACD；〔2△FED与△DEB；〔3△CFD与△ABG；〔4△ADF与△CFB,其中相似的有〔A．〔1〔4B．〔1〔2C．〔2〔3〔4D．〔1〔2〔36．已知：△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为BC中点,CF⊥AD．下列结论：①∠ADF=45°；②∠ADC=∠BDF；③AF=2BF；④CF=3DF．正确的有〔A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图所示,△ABC中,点P,Q,R分别在AB,BC,CA边上,且AP=,BQ=BC,CR=CA,已知阴影△PQR的面积是19cm2,则△ABC的面积是〔A．38B．42.8C．45.6D．47.58．如图,AB为等腰直角△ABC的斜边〔AB为定长线段,O为AB的中点,P为AC延长线上的一个动点,线段PB的垂直平分线交线段OC于点E,D为垂足,当P点运动时,给出下列四个结论：①E为△ABP的外心；②△PBE为等腰直角三角形；③PC•OA=OE•PB；④CE+PC的值不变．A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图,D为⊙O的直径AB上任一点,CD⊥AB,若AD、BD的长分别等于a和b,则通过比较线段OC与CD的大小,可以得到关于正数a和b的一个性质,你认为这个性质是〔A．B．C．D．10．如图,四边形EFGH是矩形ABCD的内接矩形,且EF：FG=3：1,AB：BC=2：1,则tan∠AHE的值为〔A．B．C．D．11．〔2011•綦江县模拟如图,把矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点B落在AD边上的点B′处,点A落在点A′处．设AE=a,AB=b,BF=c,下列结论：①B′E=BF；②四边形B′CFE是平行四边形；③a2+b2=c2；④△A′B′E∽△B′CD；其中正确的是〔A．②④B．①④C．②③D．①③12．如图,O为矩形ABCD的中心,将直角△OPQ的直角顶点与O重合,一条直角边OP与OA重合,使三角板沿逆时针方向绕点O旋转,两条直角边始终与边BC、AB相交,交点分别为M、N．若AB=4,AD=6,BM=x,AN=y,则y与x之间的函数图象是〔A．B．C．D．13．如图,ABCD、CEFG是正方形,E在CD上,直线BE、DG交于H,且HE•HB=,BD、AF交于M,当E在线段CD〔不与C、D重合上运动时,下列四个结论：①BE⊥GD；②AF、GD所夹的锐角为45°；③GD=；④若BE平分∠DBC,则正方形ABCD的面积为4．其中正确的结论个数有〔A．1个B．2个C．3个D．4个14．〔2013•蕲春县模拟如图,点O为正方形ABCD的中心,BE平分∠DBC交DC于点E,延长BC到点F,使FC=EC,连接DF交BE的延长线于点H,连接OH交DC于点G,连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为〔①OH=BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④DH2=HE•HB．A．1个B．2个C．3个D．4个15．〔2011•金平区二模如图,△ABC与△AFG是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠F=90°,BC分别与AF,AG相交于点D,E．则图中不全等的相似三角形有〔A．0对B．1对C．2对D．3对二、填空题〔共8小题〔除非特别说明,请填准确值16．〔2012•XX如图,在Rt△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,点D是AB的中点,连接CD,过点B作BG⊥CD,分别交CD,CA于点E,F,与过点A且垂直于AB的直线相交于点G,连接DF,给出以下五个结论：①=；②∠ADF=∠CDB；③点F是GE的中点；④AF=AB；⑤S△ABC=5S△BDF,其中正确结论的序号是_________．17．如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAC=∠ADC=90°,AB=AC,CE平分∠ACB交AB于点E,F为BC上一点,BF=AE,连接AF交CE于点G,连接DG交AC于点H．下列结论：①AF⊥CE；②△ABF∽△DGA；③AF=DH；④．其中正确的结论有_________．18．〔2012•XX如图,n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上,点M1,M2,M3,…Mn分别为边B1B2,B2B3,B3B4,…,BnBn+1的中点,△B1C1M1的面积为S1,△B2C2M2的面积为S2,…△BnCnMn的面积为Sn,则Sn=_________．〔用含n的式子表示19．如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,E为AB上一点,且ED平分∠ADC,EC平分∠BCD,则下列结论：①DE⊥EC；②点E是AB中点；③AD•BC=BE•DE；④CD=AD+BC．其中正确的有_________．20．〔2011•XX如图,在正方形ABCD中,点E、F分别为AD、AB的中点,连接DF、CE,DF与CE交于点H,则下列结论：①DF⊥CE；②DF=CE；③=；④=．其中正确结论的序号有_________．21．〔2011•内江在直角坐标系中,正方形A1B1C1O1、A2B2C2C1、…、AnBnCnCn﹣1按如图所示的方式放置,其中点A1、A2、A3、…、An均在一次函数y=kx+b的图象上,点C1、C2、C3、…、Cn均在x轴上．若点B1的坐标为〔1,1,点B2的坐标为〔3,2,则点An的坐标为_________．22．〔2010•XX已知菱形ABCD中,对角线AC=8cm,BD=6cm,在菱形内部〔包括边界任取一点P,得到△ACP并涂成黑色,使黑色部分的面积大于6cm2的概率为_________．23．〔2010•江津区已知：在面积为7的梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,BC=4,P为边AD上不与A、D重合的一动点,Q是边BC上的任意一点,连接AQ、DQ,过P作PE∥DQ交AQ于E,作PF∥AQ交DQ于F,则△PEF面积最大值是_________．三、解答题〔共7小题〔选答题,不自动判卷24．〔2011•XX如图〔1,直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A,顶点为P．〔1求该抛物线的解析式；〔2在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在,请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在,请说明理由；〔3连接AC,在x轴上是否存在点Q,使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在,请求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由；〔4当0＜x＜3时,在抛物线上求一点E,使△CBE的面积有最大值．〔图〔2、图〔3供画图探究25．〔2011•XX已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC=60°,等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F．〔1特殊发现：如图1,若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；〔2若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．①猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上,并加以证明；②拓展运用：如图3,当△AEF面积最小时,过点P任作一直线分别交边DA于点M,交边DC的延长线于点N,试判断是否为定值？若是,请求出该定值；若不是,请说明理由．26．〔2011•XX情境观察将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开,得到△ABC和△A′C′D,如图1所示．将△A′C′D的顶点A′与点A重合,并绕点A按逆时针方向旋转,使点D、A〔A′、B在同一条直线上,如图2所示．观察图2可知：与BC相等的线段是_________,∠CAC′=_________°．问题探究如图3,△ABC中,AG⊥BC于点G,以A为直角顶点,分别以AB、AC为直角边,向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF,过点E、F作射线GA的垂线,垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系,并证明你的结论．拓展延伸如图4,△ABC中,AG⊥BC于点G,分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF,射线GA交EF于点H．若AB=kAE,AC=kAF,试探究HE与HF之间的数量关系,并说明理由．27．〔2011•义乌市如图1,在等边△ABC中,点D是边AC的中点,点P是线段DC上的动点〔点P与点C不重合,连接BP．将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角〔0°＜α＜180°,得到△A1B1P,连接AA1,射线AA1分别交射线PB、射线B1B于点E、F．〔1如图1,当0°＜α＜60°时,在α角变化过程中,△BEF与△AEP始终存在_________关系〔填"相似"或"全等",并说明理由；〔2如图2,设∠ABP=β．当60°＜α＜180°时,在α角变化过程中,是否存在△BEF与△AEP全等？若存在,求出α与β之间的数量关系；若不存在,请说明理由；〔3如图3,当α=60°时,点E、F与点B重合．已知AB=4,设DP=x,△A1BB1的面积为S,求S关于x的函数关系式．28．〔2011•XX如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为D．〔1求证：AC平分∠DAB；〔2过点O作线段AC的垂线OE,垂足为E〔要求：尺规作图,保留作图痕迹,不写作法；〔3若CD=4,AC=4,求垂线段OE的长．29．〔2011•XX如图,BD为⊙O的直径,AB=AC,AD交BC于点E,AE=2,ED=4,〔1求证：△ABE∽△ADB；〔2求AB的长；〔3延长DB到F,使得BF=BO,连接FA,试判断直线FA与⊙O的位置关系,并说明理由．30．〔2011•黔南州如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为〔1,,△AOB的面积是．〔1求点B的坐标；〔2求过点A、O、B的抛物线的解析式；〔3在〔2中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△AOC的周长最小？若存在,求出点C的坐标；若不存在,请说明理由；〔4在〔2中x轴下方的抛物线上是否存在一点P,过点P作x轴的垂线,交直线AB于点D,线段OD把△AOB分成两个三角形,使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2：3？若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由．[章节训练]第27章相似-8参考答案与试题解析一、选择题〔共15小题1．〔2011•惠山区模拟梯形ABCD中AB∥CD,∠ADC+∠BCD=90°,以AD、AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形,其面积分别是S1、S2、S3,且S1+S3=4S2,则CD=〔A．2.5ABB．3ABC．3.5ABD．4AB考点：勾股定理；等腰直角三角形；相似三角形的判定与性质．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：过点B作BM∥AD,根据AB∥CD,求证四边形ADMB是平行四边形,再利用∠ADC+∠BCD=90°,求证△MBC为Rt△,再利用勾股定理得出MC2=MB2+BC2,在利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求出MC即可．解答：解：过点B作BM∥AD,∵AB∥CD,∴四边形ADMB是平行四边形,∴AB=DM,AD=BM,又∵∠ADC+∠BCD=90°,∴∠BMC+∠BCM=90°,即△MBC为Rt△,∴MC2=MB2+BC2,∵以AD、AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形,∴△AED∽△ANB,△ANB∽△BFC,=,=,即AD2=,BC2=,∴MC2=MB2+BC2=AD2+BC2=+==,∵S1+S3=4S2,∴MC2=4AB2,MC=2AB,CD=DM+MC=AB+2AB=3AB．故选B．点评：此题涉及到相似三角形的判定与性质,勾股定理,等腰直角三角形等知识点,解答此题的关键是过点B作BM∥AD,此题的突破点是利用相似三角形的性质求得MC=2AB,此题有一定的拔高难度,属于难题．2．〔2012•XX二模如图,n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上,设△B2D1C1面积为S1,△B3D2C2面积为S2,…,△Bn+1DnCn面积为Sn,则Sn等于〔A．B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．专题：压轴题；规律型．分析：由n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上,则B1,B2,B3,…Bn在一条直线上,可作出直线B1B2．易求得△AB1C1的面积,然后由相似三角形的性质,易求得S1的值,同理求得S2的值,继而求得Sn的值．解答：解：n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上,则B1,B2,B3,…Bn在一条直线上,作出直线B1B2．∴S△AB1C1=×2×=,∵∠B1C1B2=60°,∴AB1∥B2C1,∴△B1C1B2是等边△,且边长=2,∴△B1B2D1∽△C1AD1,∴B1D1：D1C1=1：1,∴S1=,同理：B2B3：AC2=1：2,∴B2D2：D2C2=1：2,∴S2=,同理：BnBn+1：ACn=1：n,∴BnDn：DnCn=1：n,∴Sn=．故选D．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质．此题难度较大,属于规律性题目,注意辅助线的作法,注意数形结合思想的应用．3．如图,Rt△ABC中,AC⊥BC,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AD交AB于点E,M为AE的中点,BF⊥BC交CM的延长线于点F,BD=4,CD=3．下列结论：①∠AED=∠ADC；②=；③AC•BE=12；④3BF=4AC．其中结论正确的个数有〔A．1个B．2个C．3个D．4个考点：相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：①∠AED=90°﹣∠EAD,∠ADC=90°﹣∠DAC,∠EAD=∠DAC；②易证△ADE∽△ACD,得DE：DA=DC：AC=3：AC,AC不一定等于4；③当FC⊥AB时成立；④连接DM,可证DM∥BF∥AC,得FM：MC=BD：DC=4：3；易证△FMB∽△CMA,得比例线段求解．解答：解：①∠AED=90°﹣∠EAD,∠ADC=90°﹣∠DAC,∵AD平分∠BAC∴∠EAD=∠DAC,∴∠AED=∠ADC．故本选项正确；②∵∠EAD=∠DAC,∠ADE=∠ACD=90°,∴△ADE∽△ACD,得DE：DA=DC：AC=3：AC,但AC的值未知,故不一定正确；③由①知∠AED=∠ADC,∴∠BED=∠BDA,又∵∠DBE=∠ABD,∴△BED∽△BDA,∴DE：DA=BE：BD,由②知DE：DA=DC：AC,∴BE：BD=DC：AC,∴AC•BE=BD•DC=12．故本选项正确；④连接DM,则DM=MA．∴∠MDA=∠MAD=∠DAC,∴DM∥BF∥AC,由DM∥BF得FM：MC=BD：DC=4：3；由BF∥AC得△FMB∽△CMA,有BF：AC=FM：MC=4：3,∴3BF=4AC．故本选项正确．综上所述,①③④正确,共有3个．故选C．点评：此题重点考查相似三角形的判定和性质,综合性强,证明△ADE∽△ACD和△FMB∽△CMA是解决本题的关键．4．如图,正方形ABCD中,在AD的延长线上取点E、F,使DE=AD,DF=BD；BF分别交CD,CE于H、G点,连接DG,下列结论：①∠GDH=∠GHD；②△GDH为正三角形；③EG=CH；④EC=2DG；⑤S△CGH：S△DBH=1：2．其中正确的是〔A．①②③B．②③④C．③④⑤D．①③⑤考点：正方形的性质；相似三角形的性质．专题：压轴题．分析：本题为选择题,做选择题是要有技巧,像排除法,假设法都可以用,先看选项因为都有③选项故③可作为已知条件求解,△DHB∽△CHG根据面积比等于相似比的平方可得S△CGH：S△DBH=1：2故选项有⑤,然后再看①④中间哪个正确,先看①过G作GO⊥CD于O,设正方形边长为1,则,可求得CH=,====所以OC=,OD=1﹣,又==所以DH=,DO=DH﹣OH=1﹣,可得DO=OH,△DGH为等腰三角形,∠GDH=∠GHD,①正确．解答：解：〔1∵选项都有③,故可确定EG=CH．〔2由题意可得四边形BCED为平行四边形,进而推出△DHB∽△CHG,==,∵面积比等于相似比的平方∴S△CGH：S△DBH=1：2．〔3先看①设正方形边长为1．则==可求得CH=,====所以OD=1﹣,又==∴DH=．DO=DH﹣OH=1﹣∴可得DO=OH,△DGH为等腰三角形,即得∠GDH=∠GHD,①正确故选D．点评：本题考查的知识点比较多,正方形四边相等的性质及等腰三角形两底角相等的性质,面积比等于相似比的平方,相似三角形的比例关系要熟练掌握,另外还要掌握做选择题的一些方法,可是选择题的解答即快又准．5．如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点G,E为AD的中点．连接BE交AC于点F,连接FD．若∠BFA=90°,则下列四对三角形：〔1△BEA与△ACD；〔2△FED与△DEB；〔3△CFD与△ABG；〔4△ADF与△CFB,其中相似的有〔A．〔1〔4B．〔1〔2C．〔2〔3〔4D．〔1〔2〔3考点：矩形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：计算题；压轴题．分析：根据题意,分别寻找各对三角形相似的条件,运用判定方法判断．∠EFC=∠ADC=90°∴∠DCA+∠FED=180°∵∠FED+∠AEB=180°∴∠AEB=∠DCA,∠CDA=∠DAB=90°∵∠DAC=∠ABE∴△BEA∽△ACD．再利用相似三角形相似的判定证明△FED与△DEB,△CFD与△ABG相似,而〔4不成立．解答：解：〔1∵矩形ABCD,∴∠EAB=∠CDA=90°,∴∠BAF+∠CAD=90°,又∠BFA=90°,∴∠BAF+∠ABF=90°,∴∠CAD=∠ABF,∴△BEA与△ACD相似；故此选项正确；〔2△FED与△DEB相似．理由：DE2=AE2=EF•EB,∠DEF=∠BED；故此选项正确；〔3△CFD与△ABG相似．理由：∠CDF=90°﹣∠EDF,∠AGB=90°﹣∠EBG,由〔2的结论得：∠EDF=∠EBD,故∠CDF=∠AGB；∵AB∥CD,∴∠DCF=∠BAG；故此选项正确；〔4△ADF与△CFB不具备相似条件．故选D．点评：本题主要考查了三角形相似的判定．6．已知：△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为BC中点,CF⊥AD．下列结论：①∠ADF=45°；②∠ADC=∠BDF；③AF=2BF；④CF=3DF．正确的有〔A．1个B．2个C．3个D．4个考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．专题：压轴题．分析：根据已知对结论进行分析,从而得到答案．解答：解：作BG⊥CG,交CF的延长线于点G,∵∠CGB=90°,CF⊥AD∴∠1=∠2∵AC=BC∴△ACD≌△CBG∴CD=BG,∠CDA=∠CBG∵CD=BD∴BG=BD∵∠3=∠4,BF=BF∴△BFG≌△BFD∴∠FGB=∠FDB∴∠ADC=∠BDF〔故②正确如图2,作GB⊥BC,交CF延长线于点G,∵∠ACB=90°,BG⊥BC∴AC∥BG,∠CAB=∠3,∠AFC=∠BFG∴△BFG∽△AFC∵BE=BD=BC=AC∴==∴AF=2BF〔③正确所以正确的有两个．故选B．点评：此题很复杂,解答此题的关键是作出辅助线,利用三角形全等及相似求解．7．如图所示,△ABC中,点P,Q,R分别在AB,BC,CA边上,且AP=,BQ=BC,CR=CA,已知阴影△PQR的面积是19cm2,则△ABC的面积是〔A．38B．42.8C．45.6D．47.5考点：三角形的面积；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：通过求出△QPR的面积和△ABC面积的比,即可求出△ABC的面积．解答：解：过P作PM⊥BC于M,过A作AN⊥BC于N∴△BMP∽△BNA∴PM：AN=BP：BA=2：3设△ABC的面积为S,则S△BQP=BQ•PM=•〔BC•〔AN=BC•AN•=S同理可得出：S△QRC=S,同理,过P作PE⊥AC于E,过B作BF⊥AC于F．则S△APR=SS阴影=S﹣S△BQP﹣S△QRC﹣S△APR=S=19∴△ABC的面积S=12×19÷5=45.6．故选C．点评：已知部分求整体,可通过求得部分占整体的比重来求出整体的值．8．如图,AB为等腰直角△ABC的斜边〔AB为定长线段,O为AB的中点,P为AC延长线上的一个动点,线段PB的垂直平分线交线段OC于点E,D为垂足,当P点运动时,给出下列四个结论：①E为△ABP的外心；②△PBE为等腰直角三角形；③PC•OA=OE•PB；④CE+PC的值不变．A．1个B．2个C．3个D．4个考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的性质；全等三角形的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形的外接圆与外心．专题：几何综合题；压轴题．分析：①由于外心是三角形三边中垂线的交点,显然点E是AB、BP两边中垂线的交点,因此符合△ABP外心的要求,故①正确；②此题要通过①的结论来求,连接AE,根据三角形的外心的性质可知：AE=PE=BE,即∠EPA=∠EAP,∠EAB=∠EBA,再结合三角形的内角和定理进行求解即可；③此题显然要通过相似三角形来求解,由于OA=OB,那么可通过证△OEB∽△CPB来判断③的结论是否正确；④此题较简单,过E作EM⊥OC,交AC于M,那么MC=CE,因此所求的结论可转化为证PM是否为定值,观察图形,可通过证△PEM、△BEC是否全等来判断．解答：解：①∵CO为等腰Rt△ABC斜边AB上的中线,∴CO垂直平分AB；又∵DE平分PB,即E点是AB、BP两边中垂线的交点,∴E点是△ABP的外心,故①正确；②如图,连接AE；由①知：AE=EP=EB,则∠EAP=∠EPA,∠EPB=∠EBP,∠EAB=∠EBA；∵∠PAB=45°,即∠EAP+∠EPA+∠EAB+∠EBA=2〔∠EAP+∠EAB=2∠PAB=90°,由三角形内角和定理知：∠EPB+∠EBP=90°,即∠EPB=∠EBP=45°,∴△PEB是等腰直角三角形；故②正确；③∵∠PBE=∠ABC=45°,∴∠EBO=∠PBC=45°﹣∠CBE,又∵∠EOB=∠PCB=90°,∴△BPC∽△BEO,得：,即PC•OB=OE•BC⇒PC•OA=OE•BC；故③错误；④过E作EM⊥OC,交AC于M；易知：△EMC是等腰直角三角形,即MC=EC,∠PME=45°；∴∠PEM=∠BEC=90°+∠PEC,又∵EC=ME,PE=BE,∴△PME≌△BCE〔SAS,得PM=BC,即PM是定值；由于PM=CM+PC=EC+PC,所以CE+PC的值不变,故④正确；因此正确的结论是①②④,故选C．点评：此题主要考查了三角形的外接圆、等腰直角三角形的性质、全等三角形及相似三角形的相关知识等,综合性强,难度较大．9．如图,D为⊙O的直径AB上任一点,CD⊥AB,若AD、BD的长分别等于a和b,则通过比较线段OC与CD的大小,可以得到关于正数a和b的一个性质,你认为这个性质是〔A．B．C．D．考点：圆周角定理；垂径定理；射影定理．专题：压轴题．分析：连接AC,BC；根据射影定理求解．解答：解：连接AC,BC．根据AB是直径,因而∠ACB是直角,CD是直角三角形斜边上的高线,因而CD2=AD•DB,即CD2=ab,CD=．而OC=,并且OC≥CD,则≥．故选A．点评：本题主要考查了圆中直径所对的弦是直径,并且考查了垂径定理．10．如图,四边形EFGH是矩形ABCD的内接矩形,且EF：FG=3：1,AB：BC=2：1,则tan∠AHE的值为〔A．B．C．D．考点：勾股定理；全等三角形的性质；全等三角形的判定；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：先求出△AEH与△BFE相似,再根据其相似比EF：FG=3：1设出AE、BF的长及AB、BC的长,求出的值即可．解答：解：∵四边形EFGH是矩形ABCD的内接矩形,EF：FG=3：1,AB：BC=2：1,∴∠HEA+∠FEB=90°,∵∠FEB+∠EFB=90°,∴∠HEA=∠EFB,∵∠HAE=∠B,∴Rt△HAE∽△EBF,∴===,同理可得,∠GHD=∠EFB,HG=EF,∴△GDH≌△EBF,DH=BF,DG=EB,设AB=2x,BC=x,AE=a,BF=3a,则AH=x﹣3a,AE=a,∴tan∠AHE=tan∠BEF,即=,解得：x=8a,∴tan∠AHE===．故选A点评：此题比较复杂,解答此题的关键是根据题意求出相似三角形的相似比,根据各边之间的关系列出方程解答．11．〔2011•綦江县模拟如图,把矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点B落在AD边上的点B′处,点A落在点A′处．设AE=a,AB=b,BF=c,下列结论：①B′E=BF；②四边形B′CFE是平行四边形；③a2+b2=c2；④△A′B′E∽△B′CD；其中正确的是〔A．②④B．①④C．②③D．①③考点：翻折变换〔折叠问题；勾股定理；平行四边形的判定；矩形的性质；相似三角形的判定．专题：几何综合题；压轴题．分析：由折叠前后对应线段相等可得①成立,那么只要判断③成立与否即可．解答：解：根据题意,结论①B′E=BF正确；连接BE,根据折叠可知：BF=B′F,∠BFE=∠B′FE,又∵EF=EF∴△B′EF≌△BEF〔SAS,∴B′E=BE,∠B′FE=∠BFE,又∵AD∥BC,∴∠B'EF=∠BFE,∴∠B′FE=∠B′EF,∴B′F=B′E,∴B′E=BF,∴BE=B′F=BF=c,在Rt△ABE中,根据勾股定理可得,a2+b2=c2；故选D．点评：此题主要考查图形的折叠问题,同时考查了平行线的性质和等角对等边等知识点．折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,只是位置变化．12．如图,O为矩形ABCD的中心,将直角△OPQ的直角顶点与O重合,一条直角边OP与OA重合,使三角板沿逆时针方向绕点O旋转,两条直角边始终与边BC、AB相交,交点分别为M、N．若AB=4,AD=6,BM=x,AN=y,则y与x之间的函数图象是〔A．B．C．D．考点：相似三角形的性质；动点问题的函数图象．专题：综合题；压轴题．分析：过点O分别作OF⊥AB与F,OE⊥BC与E,易证明△NOF∽△MOE,利用相似比作为相等关系即可得到关于x,y的方程,整理即可得到函数关系式从而判断图象．解答：解：过点O分别作OF⊥AB与F,OE⊥BC与E∵∠POQ=∠EOF=90°∴∠NOF=∠MOE∵∠NFO=∠MEO=90°∴△NOF∽△MOE∴=∵AB=4,AD=6,BM=x,AN=y∴NF=2﹣y,ME=3﹣x,OF=3,OE=2∴=∴y=x﹣〔0＜x＜6故选C．点评：解决有关动点问题的函数图象类习题时,关键是要根据条件找到所给的两个变量之间的函数关系,尤其是在几何问题中,更要注意基本性质的掌握和灵活运用．13．如图,ABCD、CEFG是正方形,E在CD上,直线BE、DG交于H,且HE•HB=,BD、AF交于M,当E在线段CD〔不与C、D重合上运动时,下列四个结论：①BE⊥GD；②AF、GD所夹的锐角为45°；③GD=；④若BE平分∠DBC,则正方形ABCD的面积为4．其中正确的结论个数有〔A．1个B．2个C．3个D．4个考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定；正方形的性质；圆周角定理．专题：压轴题；动点型．分析：①由已知条件可证得△BEC≌△DGC,∠EBC=∠CDG,因为∠BDC+∠DBH+∠EBC=90°,所以∠BDC+∠DBH+∠CDG=90°,即BE⊥GD,故①正确；②若以BD为直径作圆,那么此圆必经过A、B、C、H、D五点,根据圆周角定理即可得到∠AHD=45°,所以②的结论也是正确的．③此题要通过相似三角形来解；由②的五点共圆,可得∠BAH=∠BDH,而∠ABD=∠DBG=45°,由此可判定△ABM∽△DBG,根据相似三角形的比例线段即可得到AM、DG的比例关系；④若BE平分∠DBC,那么H是DG的中点；易证得△ABH∽△BCE,得BD•BC=BE•BH,即BC2=BE•BH,因此只需求出BE•BH的值即可得到正方形的面积,可先求出BE、EH的比例关系,代入已知的乘积式中,即可求得BE•BH的值,由此得解．解答：解：①正确,证明如下：∵BC=DC,CE=CG,∠BCE=∠DCG=90°,∴△BEC≌△DGC,∴∠EBC=∠CDG,∵∠BDC+∠DBH+∠EBC=90°,∴∠BDC+∠DBH+∠CDG=90°,即BE⊥GD,故①正确；②由于∠BAD、∠BCD、∠BHD都是直角,因此A、B、C、D、H五点都在以BD为直径的圆上；由圆周角定理知：∠DHA=∠ABD=45°,故②正确；③由②知：A、B、C、D、H五点共圆,则∠BAH=∠BDH；又∵∠ABD=∠DBG=45°,∴△ABM∽△DBG,得AM：DG=AB：BD=1：,即DG=AM；故③正确；④过H作HN⊥CD于N,连接EG；若BH平分∠DBG,且BH⊥DG,已知：BH垂直平分DG；得DE=EG,H是DG中点,HN为△DCG的中位线；设CG=x,则：HN=x,EG=DE=x,DC=BC=〔+1x；∵HN⊥CD,BC⊥CD,∴HN∥BC,∴∠NHB=∠EBC,∠ENH=∠ECB,∴△BEC∽△HEN,则BE：EH=BC：HN=2+2,即EH=；∴HE•BH=BH•=4﹣2,即BE•BH=4；∵∠DBH=∠CBE,且∠BHD=∠BCE=90°,∴△DBH∽△EBC,得：DB•BC=BE•BH=4,即BC2=4,得：BC2=4,即正方形ABCD的面积为4；故④正确；因此四个结论都正确,故选D．点评：本题主要考查三角形相似和全等的判定及性质、正方形的性质以及圆周角定理等知识的综合应用,能够判断出A、B、C、D、H五点共圆是解题的关键．14．〔2013•蕲春县模拟如图,点O为正方形ABCD的中心,BE平分∠DBC交DC于点E,延长BC到点F,使FC=EC,连接DF交BE的延长线于点H,连接OH交DC于点G,连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为〔①OH=BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④DH2=HE•HB．A．1个B．2个C．3个D．4个考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：根据已知对各个结论进行分析,从而确定正确的个数．①作EJ⊥BD于J,连接EF,由全等三角形的判定定理可得△DJE≌△ECF,再由平行线的性质得出OH是△DBF的中位线即可得出结论；②根据四边形ABCD是正方形,BE是∠DBC的平分线可求出Rt△BCE≌Rt△DCF,再由∠EBC=22.5°即可求出结论；③根据OH是△BFD的中位线,得出GH=CF,由GH＜BC,可得出结论；④由相似三角形的判定定理得出△DHG∽△BDH,根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．解答：解：作EJ⊥BD于J,连接EF①∵BE平分∠DBC∴EC=EJ,∴△DJE≌△ECF∴DE=FE∴∠HEF=45°+22.5°=67.5°∴∠HFE==22.5°∴∠EHF=180°﹣67.5°﹣22.5°=90°∵DH=HF,OH是△DBF的中位线∴OH∥BF∴OH=BF②∵四边形ABCD是正方形,BE是∠DBC的平分线,∴BC=CD,∠BCD=∠DCF,∠EBC=22.5°,∵CE=CF,∴Rt△BCE≌Rt△DCF,∴∠EBC=∠CDF=22.5°,∴∠BFH=90°﹣∠CDF=90°﹣22.5°=67.5°,∵OH是△DBF的中位线,CD⊥AF,∴OH是CD的垂直平分线,∴DH=CH,∴∠CDF=∠DCH=22.5°,∴∠HCF=90°﹣∠DCH=90°﹣22.5°=67.5°,∴∠CHF=180°﹣∠HCF﹣∠BFH=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°,故②正确；③∵OH是△BFD的中位线,∴DG=CG=BC,GH=CF,∵CE=CF,∴GH=CF=CE∵CE＜CG=BC,∴GH＜BC,故此结论不成立；④∵∠DBE=45°,BE是∠DBF的平分线,∴∠DBH=22.5°,由②知∠HBC=∠CDF=22.5°,∴∠DBH=∠CDF,∵∠BHD=∠BHD,∴△DHE∽△BHD,∴=∴DH=HE•HB,故④成立；所以①②④正确．故选C．点评：解答此题的关键是作出辅助线,构造等腰直角三角形,利用等腰直角三角形的性质结合角平分线的性质逐步解答．15．〔2011•金平区二模如图,△ABC与△AFG是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠F=90°,BC分别与AF,AG相交于点D,E．则图中不全等的相似三角形有〔A．0对B．1对C．2对D．3对考点：相似三角形的判定；等腰直角三角形．专题：几何图形问题；压轴题．分析：根据已知及相似三角形的判定方法进行分析,从而得到答案．解答：解：∵△ABC与△AFG是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠F=90°∴∠C=∠B=∠FAG=∠G=45°∵∠CEA=∠B+∠EAB,∠DAB=∠FAG+∠EAB∴∠CEA=∠BAD,又∵AC=BC,∴△CAE≌△BAD；∴△BDA∽△ADE；∴△CAE∽△ADE；∴图中不全等的相似三角形有2对．故选：C．点评：此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等,且夹角相等,那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等,那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．二、填空题〔共8小题〔除非特别说明,请填准确值16．〔2012•XX如图,在Rt△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,点D是AB的中点,连接CD,过点B作BG⊥CD,分别交CD,CA于点E,F,与过点A且垂直于AB的直线相交于点G,连接DF,给出以下五个结论：①=；②∠ADF=∠CDB；③点F是GE的中点；④AF=AB；⑤S△ABC=5S△BDF,其中正确结论的序号是①②④．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：压轴题．分析：由△AFG∽△BFC,可确定结论①正确；由△ABG≌△BCD,△AFG≌△AFD,可确定结论②正确；由△AFG≌△AFD可得FG=FD＞FE,所以点F不是GE中点,可确定结论③错误；由△AFG≌△AFD可得AG=AB=BC,进而由△AFG∽△BFC确定点F为AC的三等分点,可确定结论④正确；因为F为AC的三等分点,所以S△ABF=S△ABC,又S△BDF=S△ABF,所以S△ABC=6S△BDF,由此确定结论⑤错误．解答：解：依题意可得BC∥AG,∴△AFG∽△BFC,∴,又AB=BC,∴．故结论①正确；如右图,∵∠1+∠3=90°,∠1+∠4=90°,∴∠3=∠4．在△ABG与△BCD中,,∴△ABG≌△BCD〔ASA,∴AG=BD,又BD=AD,∴AG=AD；在△AFG与△AFD中,,∴△AFG≌△AFD〔SAS,∴∠5=∠2,又∠5+∠3=∠1+∠3=90°,∴∠5=∠1,∴∠1=∠2,即∠ADF=∠CDB．故结论②正确；∵△AFG≌△AFD,∴FG=FD,又△FDE为直角三角形,∴FD＞FE,∴FG＞FE,即点F不是线段GE的中点．故结论③错误；∵△ABC为等腰直角三角形,∴AC=AB；∵△AFG≌△AFD,∴AG=AD=AB=BC；∵△AFG∽△BFC,∴,∴FC=2AF,∴AF=AC=AB．故结论④正确；∵AF=AC,∴S△ABF=S△ABC；又D为中点,∴S△BDF=S△ABF,∴S△BDF=S△ABC,即S△ABC=6S△BDF．故结论⑤错误．综上所述,结论①②④正确,故答案为：①②④．点评：本题考查了等腰直角三角形中相似三角形与全等三角形的应用,有一定的难度．对每一个结论,需要仔细分析,严格论证；注意各结论之间并非彼此孤立,而是往往存在逻辑关联关系,需要善加利用．17．如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAC=∠ADC=90°,AB=AC,CE平分∠ACB交AB于点E,F为BC上一点,BF=AE,连接AF交CE于点G,连接DG交AC于点H．下列结论：①AF⊥CE；②△ABF∽△DGA；③AF=DH；④．其中正确的结论有①②③④．考点：相似三角形的判定与性质；直角梯形．专题：压轴题．分析：先判断出△ABC是等腰直角三角形,过点E作EF′⊥BC于F′,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AE=EF′,再根据等腰直角三角形的性质可得BF′=EF′,从而确定点F、F′重合,再利用"HL"证明△ACE和△FCE全等,根据全等三角形对应边相等可得AC=CF,根据等腰三角形三线合一的可得AF⊥CE,判断出①正确；求出∠AFC=∠FAC=67.5°,再求出∠DAG=∠AFB=112.5°,∠BAF=∠ACE=22.5°,再根据点A、G、C、D四点共圆得到∠ADG=∠ACE,然后利用两组角对应相等,两三角形相似判断出②正确；求出△ACF和△HCD相似,利用相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AF=DH,判断出③正确；根据S四边形ADCG=S△ACG+S△ADC,利用三角形的面积列出整理成AF•DG的形式,再把AF用DG表示,然后代入进行计算即可判断④正确．解答：解：∵∠BAC=∠ADC=90°,AB=AC,∴△ABC是等腰直角三角形,过点E作EF′⊥BC于F′,则△BEF′是等腰直角三角形,∴BF′=EF′,∵CE平分∠ACB,∴AE=EF′,∴AE=BF′,∵BF=AE,∴BF=BF′,∴点F、F′重合,在△ACE和△FCE中,,∴△ACE≌△FCE〔HL,∴AC=CF,∵CE平分∠ACB,∴AF⊥CE,故①正确；∵∠AFC=∠FAC=90°﹣×45°=67.5°,∴∠DAG=∠AFB=112.5°,∠BAF=∠ACE=×45°=22.5°,∵∠AGC=90°,∠ADC=90°,∴点A、G、C、D四点共圆,AC是直径,∴∠ADG=∠ACE=22.5°,∴∠ADG=∠BAF,∴△ABF∽△DGA,故②正确；∵∠CDH=90°﹣∠ADG=90°﹣22.5°=67.5°,∴∠CDH=∠FAC=67.5°,又∵∠ACF=∠ACD=45°,∴△ACF∽△HCD,∴=,∵△ACD中,∠ACD=90°﹣45°=45°,∠ADC=90°,∴△ACD是等腰直角三角形,∴AC=CD,∴AF=DH,故③正确；∵∠GDC=∠GCD=90°﹣22.5°=67.5°,∴DG=CG,∵△ABF∽△DGA,∴=,∴AF•DG=AD•AB=AD•AD=AD2,∴AD2=AF•DG,S四边形ADCG=S△ACG+S△ADC,=AG•CG+AD•CD,=×AF•DG+×AF•DG,=AF•DG,∵DG=DH+GH=DH+AG=AF+AF=AF,∴AF=DG,∴S四边形ADCG=×DG•DG=DG2,故④正确．综上所述,正确的结论有①②③④．故答案为：①②③④．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质,等腰直角三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,直角梯形,根据角的度数22.5°和67.5°求出相等的角是解题的关键,也是本题的难点．18．〔2012•XX如图,n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上,点M1,M2,M3,…Mn分别为边B1B2,B2B3,B3B4,…,BnBn+1的中点,△B1C1M1的面积为S1,△B2C2M2的面积为S2,…△BnCnMn的面积为Sn,则Sn=．〔用含n的式子表示考点：相似三角形的判定与性质．专题：压轴题；规律型．分析：由n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上,点M1,M2,M3,…Mn分别为边B1B2,B2B3,B3B4,…,BnBn+1的中点,即可求得△B1C1Mn的面积,又由BnCn∥B1C1,即可得△BnCnMn∽△B1C1Mn,然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方,求得答案．解答：解：∵n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上,点M1,M2,M3,…Mn分别为边B1B2,B2B3,B3B4,…,BnBn+1的中点,∴S1=×B1C1×B1M1=×1×=,S△B1C1M2=×B1C1×B1M2=×1×=,S△B1C1M3=×B1C1×B1M3=×1×=,S△B1C1M4=×B1C1×B1M4=×1×=,S△B1C1Mn=×B1C1×B1Mn=×1×=,∵BnCn∥B1C1,∴△BnCnMn∽△B1C1Mn,∴S△BnCnMn：S△B1C1Mn=〔2=〔2,即Sn：=,∴Sn=．故答案为：．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及直角三角形面积的公式．此题难度较大,注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．19．如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,E为AB上一点,且ED平分∠ADC,EC平分∠BCD,则下列结论：①DE⊥EC；②点E是AB中点；③AD•BC=BE•DE；④CD=AD+BC．其中正确的有①②④．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角梯形．专题：压轴题．分析：根据直角梯形、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质进行分析、判断,并作出正确的选择．解答：解：①：∵AD∥BC,∠ADC+∠BCD=180°∵ED平分∠ADC,EC平分∠BCD,∴∠ADE=∠CDE,∠DCE=BCE∴∠DCE+∠CDE=90°∴DE⊥EC；故本选项正确；②延长DE交CB的延长线于点F．∵AD∥BC,DE是∠ADC的角平分线,∴∠CDF=∠ADE=∠DFC,∴CD=CF,∴△CDF是等腰三角形；又由①知DE⊥EC,∴DE=FE,又∵∠AED=∠BEF,∴△BEF≌△AED,∴AE=EB,∴点E是AB的中点；故本选项正确；③由②知,△BEF≌△AED,∴△BEF∽△AED,∴AD•BC=BE•AE故本选项错误；④∵△BEF≌△AED,∴AD=BF；又∵CD=CF,∴CD=AD+BC；故本选项正确；综上所述,①②④正确；故答案是：①②④．点评：本题主要考查了直角梯形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．解答该题时,利用了平行线、角平分线以及等腰三角形的性质．20．〔2011•XX如图,在正方形ABCD中,点E、F分别为AD、AB的中点,连接DF、CE,DF与CE交于点H,则下列结论：①DF⊥CE；②DF=CE；③=；④=．其中正确结论的序号有①②③．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：利用正方形的性质和已知条件可判定Rt△DAF≌Rt△DCE,有全等可判断①②是否正确,再利用相似三角形的判定方法证明△DHE∽△DAF,由相似三角形的性质可判断③④是否正确,进而可知正确结论的序号．解答：解：∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=DA,∠A=∠B=∠ADC=∠DCB=90°,∵点E、F分别为AD、AB的中点,∴DE=AE,∴Rt△DAF≌Rt△DCE,∴DF=CE,故②正确；∠DEC=∠DFA,∵∠DFA+∠FDA=90°,∴∠DEC+∠FDA=90°,∴∠DHE=90°,即DF⊥CE,故①正确；∵∠EDH=∠FDA,∠A=∠DHE=90°,∴△DHE∽△DAF,∵,∵AB=BC=CD=DA,DF=CE,∴,故③正确；∵,,∴,故④不正确．故答案为①②③．点评：本题考查了正方形的性质：四条边相等,四个角都是直角和全等三角形的判定以及全等三角形的性质；同时还考查了相似三角形的判定以及相似三角形的性质；难度不大,综合性不小．是一道考查学生基本能力不错的题目．21．〔2011•内江在直角坐标系中,正方形A1B1C1O1、A2B2C2C1、…、AnBnCnCn﹣1按如图所示的方式放置,其中点A1、A2、A3、…、An均在一次函数y=kx+b的图象上,点C1、C2、C3、…、Cn均在x轴上．若点B1的坐标为〔1,1,点B2的坐标为〔3,2,则点An的坐标为〔2n﹣1﹣1,2n﹣1．考点：一次函数综合题；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题；规律型．分析：首先求得直线的解析式,分别求得A1,A2,A3…的坐标,可以得到一定的规律,据此即可求解．解答：解：∵B1的坐标为〔1,1,点B2的坐标为〔3,2,∴正方形A1B1C1O1边长为1,正方形A2B2C2C1边长为2,∴A1的坐标是〔0,1,A2的坐标是：〔1,2,代入y=kx+b得,解得：．则直线的解析式是：y=x+1．∵A1B1=1,点B2的坐标为〔3,2,∴A1的纵坐标是1,A2的纵坐标是2．在直线y=x+1中,令x=3,则纵坐标是：3+1=4=22；则A4的横坐标是：1+2+4=7,则A4的纵坐标是：7+1=8=23；据此可以得到An的纵坐标是：2n﹣1,横坐标是：2n﹣1﹣1．故点An的坐标为〔2n﹣1﹣1,2n﹣1．故答案是：〔2n﹣1﹣1,2n﹣1．点评：本题主要考查了待定系数法求函数解析式,正确得到点的坐标的规律是解题的关键．22．〔2010•XX已知菱形ABCD中,对角线AC=8cm,BD=6cm,在菱形内部〔包括边界任取一点P,得到△ACP并涂成黑色,使黑色部分的面积大于6cm2的概率为．考点：几何概率；菱形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：让黑色部分的面积大于6cm2的面积数除以总面积数即为所求的概率．解答：解：易得BD的一半为3cm；∵AC=8cm,∴当黑色部分的面积等于6cm2时,∴高应等于1.5cm,那么在△ACD里,使黑色部分的面积大于6cm2的点P在平行于AC且到直线AC的距离大于1.5cm且与AD,CD相交的三角形内,根据相似三角形的知识可得黑色部分的面积大于6cm2的三角形面积占△ACD的面积的,所以概率为．点评：用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．23．〔2010•江津区已知：在面积为7的梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,BC=4,P为边AD上不与A、D重合的一动点,Q是边BC上的任意一点,连接AQ、DQ,过P作PE∥DQ交AQ于E,作PF∥AQ交DQ于F,则△PEF面积最大值是．考点：二次函数的最值；三角形的面积；梯形；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题；动点型．分析：设PD=x,S△PEF=y．根据平行线的性质、全等三角形的判定及相似三角形的判定,证明△PEF≌△QFE、△AEP∽△AQD、△PDF∽△ADQ,相似三角形的面积比是相似比的平方,再由三角形AQD与梯形ABCD的面积公式求得梯形的高,代入S△PEF=〔S△AQD﹣S△DPF﹣S△APE÷2,得出关于x的二次函数方程,根据顶点坐标公式,求得则△PEF面积最大值．解答：解：设PD=x,S△PEF=y,S△AQD=z,梯形ABCD的高为h,∵AD=3,BC=4,梯形ABCD面积为7,∴解得∵PE∥DQ,∴∠PEF=∠QFE,∠EPF=∠PFD,又∵PF∥AQ,∴∠PFD=∠EQF,∴∠EPF=∠EQF,∵EF=FE,∴△PEF≌△QFE〔AAS,∵PE∥DQ,∴△AEP∽△AQD,同理,△DPF∽△DAQ,∴=,=〔2,∵S△AQD=3,∴S△DPF=x2,S△APE=〔3﹣x2,∴S△PEF=〔S△AQD﹣S△DPF﹣S△APE÷2,∴y=[3﹣x2﹣〔3﹣x2]×=﹣x2+x,∵y最大值==,即y最大值=．∴△PEF面积最大值是．点评：本题综合考查了二次函数的最值、三角形的面积、梯形的面积以及相似三角形的判定与性质．三、解答题〔共7小题〔选答题,不自动判卷24．〔2011•XX如图〔1,直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A,顶点为P．〔1求该抛物线的解析式；〔2在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在,请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在,请说明理由；〔3连接AC,在x轴上是否存在点Q,使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在,请求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由；〔4当0＜x＜3时,在抛物线上求一点E,使△CBE的面积有最大值．〔图〔2、图〔3供画图探究考点：二次函数综合题；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；等腰三角形的判定；相似三角形的判定．专题：压轴题．分析：〔1把B、C的坐标代入抛物线,得出方程组,求出方程组的解即可；〔2求出C、P的坐标,求出PC的值,PC是腰时,有3个点,PC是底时,有1个点,根据PC的值求出即可；〔3连接BP,根据相似得出比例式=和=,代入求出BQ即可；〔4连接CE、BE,经过点E作x轴的垂线FE,交直线BC于点F,设点F〔x,﹣x+3,点E〔x,x2﹣4x+3,推出EF=﹣x2+3x,根据S△CBE=S△CEF+S△BEF=EF•OB代入求出即可．解答：解：〔1由已知,得B〔3,0,C〔0,3,∴,解得,∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；〔2∵y=x2﹣4x+3=〔x﹣22﹣1,∴对称轴为x=2,顶点坐标为P〔2,﹣1,∴满足条件的点M分别为M1〔2,7,M2〔2,2﹣1,M3〔2,,M4〔2,﹣2﹣1；〔3由〔1,得A〔1,0,连接BP,∵∠CBA=∠ABP=45°,∴当=时,△ABC∽△PBQ,∴BQ=3．∴Q1〔0,0,∴当=时,△ABC∽△QBP,∴BQ=．∴Q′〔,0．〔4当0＜x＜3时,在此抛物线上任取一点E,连接CE、BE,经过点E作x轴的垂线FE,交直线BC于点F,设点F〔x,﹣x+3,点E〔x,x2﹣4x+3,∴EF=﹣x2+3x,∴S△CBE=S△CEF+S△BEF=EF•OB,=﹣x2+x,=﹣〔x﹣2+,∵a=﹣＜0,∴当x=时,S△CBE有最大值,∴y=x2﹣4x+3=﹣,∴E〔,﹣．点评：本题综合考查了二次函数的综合,二次函数的最值,相似三角形的性质和判定,等腰三角形性质,用待定系数法求二次函数的解析式,三角形的面积等知识点的应用,此题难度偏大,对学生提出较高的要求,综合性比较强．25．〔2011•XX已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC=60°,等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F．〔1特殊发现：如图1,若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；〔2若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．①猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上,并加以证明；②拓展运用：如图3,当△AEF面积最小时,过点P任作一直线分别交边DA于点M,交边DC的延长线于点N,试判断是否为定值？若是,请求出该定值；若不是,请说明理由．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；菱形的性质；三角形的外接圆与外心．专题：压轴题．分析：〔1首先分别连接OE、0F,由四边形ABCD是菱形,即可得AC⊥BD,BD平分∠ADC．AO=DC=BC,又由E、F分别为DC、CB中点,即可证得0E=OF=OA,则可得点O即为△AEF的外心；〔2①首先分别连接PE、PA,过点P分别作PI⊥CD于I,PJ⊥AD于J,即可求得∠IPJ的度数,又由点P是等边△AEF的外心,易证得△PIE≌△PJA,可得PI=PJ,即点P在∠ADC的平分线上,即点P落在直线DB上．②当AE⊥DC时．△AEF面积最小,此时点E、F分别为DC、CB中点．连接BD、AC交于点P,由〔1可得点P即为△AEF的外心．由△GBP∽△MDP,即可为定值2．解答：〔1证明：如图1,分别连接OE、0F,∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,BD平分∠ADC．AD=DC=BC,∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°．∠ADO=∠ADC=×60°=30°,又∵E、F分别为DC、CB中点,∴OE=CD,OF=BC,AO=AD,∴0E=OF=OA,∴点O即为△AEF的外心．〔2解：①猜想：外心P一定落在直线DB上．证明：如图2,分别连接PE、PA,过点P分别作PI⊥CD于I,PJ⊥AD于J,∴∠PIE=∠PJD=90°,∵∠ADC=60°,∴∠IPJ=360°﹣∠PIE﹣∠PJD﹣∠JDI=120°,∵点P是等边△AEF的外心,∴∠EPA=120°,PE=PA,∴∠IPJ=∠EPA,∴∠IPE=∠JPA,∴△PIE≌△PJA,∴PI=PJ,∴点P在∠ADC的平分线上,即点P落在直线DB上．②为定值2．当AE⊥DC时．△AEF面积最小,此时点E、F分别为DC、CB中点．连接BD、AC交于点P,由〔1可得点P在BD上,即为△AEF的外心．如图3．设MN交BC于点G,设DM=x,DN=y〔x≠0．y≠O,则CN=y﹣1,∵BC∥DA,∴△GBP≌△MDP．∴BG=DM=x．∴CG=1﹣x∵BC∥DA,∴△NCG∽△NDM,∴,∴,∴x+y=2xy,∴+=2,即=2．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质,三角形的外心的判定与性质,以及菱形的性质等知识．此题综合性很强,图形也比较复杂,解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．26．〔2011•XX情境观察将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开,得到△ABC和△A′C′D,如图1所示．将△A′C′D的顶点A′与点A重合,并绕点A按逆时针方向旋转,使点D、A〔A′、B在同一条直线上,如图2所示．观察图2可知：与BC相等的线段是AD,∠CAC′=90°．问题探究如图3,△ABC中,AG⊥BC于点G,以A为直角顶点,分别以AB、AC为直角边,向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF,过点E、F作射线GA的垂线,垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系,并证明你的结论．拓展延伸如图4,△ABC中,AG⊥BC于点G,分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF,射线GA交EF于点H．若AB=kAE,AC=kAF,试探究HE与HF之间的数量关系,并说明理由．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；矩形的性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：①观察图形即可发现△ABC≌△AC′D,即可解题；②易证△AEP≌△BAG,△AFQ≌△CAG,即可求得EP=AG,FQ=AG,即可解题；③过点E作EP⊥GA,FQ⊥GA,垂足分别为P、Q．根据全等三角形的判定和性质即可解题．解答：解：①观察图形即可发现△ABC≌△AC′D,即BC=AD,∠C′AD=∠ACB,∴∠CAC′=180°﹣∠C′AD﹣∠CAB=90°；故答案为：AD,90．②FQ=EP,理由如下：∵∠FAQ+∠CAG=90°,∠FAQ+∠AFQ=90°,∴∠AFQ=∠CAG,同理∠ACG=∠FAQ,又∵AF=AC,∴△AFQ≌△CAG,∴FQ=AG,同理EP=AG,∴FQ=EP．③HE=HF．理由：过点E作EP⊥GA,FQ⊥GA,垂足分别为P、Q．∵四边形ABME是矩形,∴∠BAE=90°,∴∠BAG+∠EAP=90°,又AG⊥BC,∴∠BAG+∠ABG=90°,∴∠ABG=∠EAP．∵∠AGB=∠EPA=90°,∴△ABG∽△EAP,∴AG：EP=AB：EA．同理△ACG∽△FAQ,∴AG：FQ=AC：FA．∵AB=k•AE,AC=k•AF,∴AB：EA=AC：FA=k,∴AG：EP=AG：FQ．∴EP=FQ．又∵∠EHP=∠FHQ,∠EPH=∠FQH,∴Rt△EPH≌Rt△FQH〔AAS．∴HE=HF．点评：本题考查了全等三角形的证明,考查了全等三角形对应边相等的性质,考查了三角形内角和为180°的性质,考查了等腰三角形腰长相等的性质,本题中求证△AFQ≌△CAG是解题的关键．27．〔2011•义乌市如图1,在等边△ABC中,点D是边AC的中点,点P是线段DC上的动点〔点P与点C不重合,连接BP．将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角〔0°＜α＜180°,得到△A1B1P,连接AA1,射线AA1分别交射线PB、射线B1B于点E、F．〔1如图1,当0°＜α＜60°时,在α角变化过程中,△BEF与△AEP始终存在相似关系〔填"相似"或"全等",并说明理由；〔2如图2,设∠ABP=β．当60°＜α＜180°时,在α角变化过程中,是否存在△BEF与△AEP全等？若存在,求出α与β之间的数量关系；若不存在,请说明理由；〔3如图3,当α=60°时,点E、F与点B重合．已知AB=4,设DP=x,△A1BB1的面积为S,求S关于x的函数关系式．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；旋转的性质．专题：综合题；压轴