三角函数y=Asin(ωxφ)中对称轴

三函y=Asin（ωφ）的称江苏正弦函数y=sinx的对称轴是x=k

2

韩文美（k∈）对称轴总是经过它图象的最高点或者最低点。由于三角函数y=

是由正弦函数y=sinx复合而成的，所以令

就得到y=

sin(

的对称轴方程x=

k

（k∈Z。通过类比可以得到三角函数y=

的对称轴方程x=

k

（k∈Z）。下面通过几道典型例题来谈一谈如何应用它们的对称轴解题。．析问例1设函数f()

=

sin(2x

)

（

），f(x

图像的一条对称轴是直线x

8

，求

的值。分析：正弦函数y=sinx对称轴x=k

+

，令2x++2

，结合条件

求解。解析：∵

x

8

是函数y=

f)

的图像的对称轴，∴

sin(28

，∴

4

2

，k∈Z而则

34

。点评由于对称轴都是通过函数像的最高点或者最低点的直线以对称轴的方程代入到函数解析式数此时可能取得最大值或最小值错点就在于很多同学误认为由于正弦函数y=sinx的期是

，所以会错误的令

+

2

。．数题例．如果函数y＝＋acos2x的象关于直线＝－

8

对称，则a的为（）A

B－

C．D－1分析：由于本题是选择题，所以解法多种多样，可以带入验证；也可以根据对称轴的通式求解，还可以根据最值求解。解法一：y＝sin2x＋acos2x=

sin（2x＋

），其中cos

=

11

2

，sin

=a1

2

，/

由函数的图象关于x－小值，

对称知，函y＝sin2x＋acos2xx－88

处取得最大值或最∴sin（－

）＋acos－4

）＝±

2

，即

22

（1－）=±

2

，解得＝，以应选择答案：D。点评：过函数y=Asin（象的对称轴。

）图象最值点与y轴行或重合的线都是函数图解法二：显a，若不然x＝－的，当时，y＝sin2xacos2x

8

就是函y＝sin2x的一条称轴，这是不可能=

1

2

(

a1

2

cos2

11

2

sin2x)

2

x

)

，其中

cos

a1

2

，

sin

11

2

，即tan

=

sin1cos

，函数y＝

2

（－

）的图象的对称轴方程的通式2xkk

＋

（k∈Z，∴xk＝

2

k2

，令＝－，=，∴－，8228∴（－k）－14即

1a

－1∴a=－1所求，所以应选择答案D。点评：根据余弦型函数的对称轴问题，结合对应的正切值的值加以分析求解，也是一种特殊的方法。解法三：∵＝＋acos2x的图象关于直＝－

8

对称，∴

f

x8

x=－，0，4∴sinacos＋acos0得＝1所以应选择答案：D。2点评这解法比较巧妙，紧扣对称性的定义用特殊值法代入是可多得的一种快捷方便的解答方法。．单区问例3在下列区间中函数y＝sin（x＋

4

）的单调增区间是（）/

A［

，B．［，24

］

C．－］

D．

，42

］分析：像这类题型，常规解法都是运＝（x）单调增区间的一般结论，由一般到特殊求解，既快又准确，本题倘若运用对称轴方程求单调区间，则是一种颇具新意的简明而又准确、可靠的方法。解析：函数y＝sin（x＋

）的对称轴方程是：－=k（∈Z，4244照选择支，分别取k＝－1、01得一个递增或递减区间分别是［－，］或［44

，

4

］，对照选择支思考即知应选择答案。点评：一般运用正、余弦函数的对称轴方程求其单调区间，可先运用对称轴方程求其一个单调区间，然后在两端分别加上周期的整数倍即得。．数质题例．设点是数

f()

x

的图象的个对称中心，若点到象C的称轴上的距离的最小值A2

4

，则

f(Bπ

的最小正周期是（）．．2分析根据正或弦数图象的对称中心到一条对称轴的距离的最小值等于周期的性质加以转化三角函数的相关性质，从而得到正确解答。

14解析设点是数

f(

x

的图象的个对称中心点P到图象的称轴上的距离的最小值

4

1，而图象的对称中心到一条对称轴的距离的最小值等于周，∴4最小正周期为T=

4

×，即选择答案：B。点评函的对称性与其他应的性质是紧密相关和角函数的周期性问题、单调性问题、最值问题能息息相关，要注意加以相互转化。函数y=

sin(

的对称轴是函数的一条重要