2007年中南数学建模比赛答案

2007高教社杯大学生数学建模竞页赛区评阅（由赛区评阅前进行赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用（由赛区送交前评 （ 评阅前进 本文根据《口统计年鉴》中的部分数据和《国家人口发展，人口做出分析和，分别建立了人口的短期和中长期模型，分析了中首先是对未来短期内的人口的变化进行。考虑到统计数据量较少，波动较大，规律性不强，本文建立了灰色动态模型。首先将近5年各类指标的统计数据作为原始数据序列，以此为基础建立GM（1，1）模型来进行。为了提高的精确度，将每次新得到一年的值加入数据序列，同时淘汰序列中的最老数据，将新序列作为原始数据序列代入灰色动态模型继续进行下一年的。这样求解加入了新变化对值的影响，并减小了陈旧数据所带来的误差，经检验证明该模型的精度更高。人口的数量：2006年为13.124亿，2007年为13.182亿，2008年为13.345亿，2009年为13.510亿，2010年为13.376亿。得到的数据中2006年的结果与《国家人口发展研究·人口发展》课题组的结果十分符合，其他年份的结果也符合《世界人口展望》资料和《国家人口发展》中的发展趋势。接着是对未来中长期的人口的变化进行考虑到的差异对人口数量变化的影响，本文建立了人口的离散模型。分别选取不同的基准年对未来人口进行， 通过计算得到了以2005为基准年进行较为符合《国家人口发展 中的2010～2030年的发展趋势。因此选取2005年的基本数据作为中期的最优基本数据。按照此基本数据得到的2015的人口为14.192亿，2020年的人口为14.665亿，2030年的人口为15.014亿。在长期中，以2005为基准年的数据就不是很符合了，于是接下来对模型进行，研究改进的方法。改进的方法是假定该年实行了限制措施限制该年的出生率，即在原来的率基础上乘以一个比例常数，使得Leslie距阵L(r)的特征值为1，那么乘以r后的率为该基准年能准确以后人口的最佳基准率。然而通过最佳基准率出来的结果并不是很理想，这是由于处理过程中始终假定男女比例为某一常数，因此导致了用最佳基准率出来的结果与课题组有一定的偏差。这样就使得在此基础上的最优基准方案反而不如次优基准方案精确因此这里仍采用以2005年为基准年来最后得到2040年的人口为14.754亿，2050年的人口为13.761亿。但是从最优基准方案也看到了人口变化的一下降后便会进入到一个稳定的状态。明显很符合人口方案的“S”模型。最后，针对自己所建立的模型，提出了模型的优缺点，并指明了改进的方案。 问题发布的《国家人口发展》(见附录1)还做出了进一步的分析。，基本在计算人口总量时，不考 口迁出的影响处于同一的人有相同 机会和能力符号 期人口 基期人口 0t该时期人 口的短期就是对未来的1-5年的人口的变化进行。别、构成、出生率、率、迁移率等未来人口数量的变动；第二，根据过去某一时期内人口增长的速度或绝对数，未来人口发展状况；第三，根据影响人口总率、率等指标的情况，因此就可以用这些指标来未来人口的发展状况。由于每个指标受到各个方面的影响较大如率受到医学条件等各个方面的影灰色系统法以微分方程为表述形式所示的是受外界条件影响的人口数量变化连续过程，模型的建立是运用外界条件和人口指标的历史数据去揭示系统的动态特据本身考虑到灰色系统动态法时的优越性，采用它来对各个指标的短变化情况进行同时为了求出人口的变化“分要素推算法”[1]来推算未来口的总量。的序列。题目中的附件3已给出了每个人近5年的各个指标的数据。由于题目附录模型建立灰色基于灰色系统的GM模型进行，应用最广泛的是GM（1，1）模型， ，对每种户籍处于 ，对每年的每种户籍中不 的每一的人男女出生比率进 们针对每一个数据建立数据列，进行未来5年的该数据，令 x(0)(k){(0) i其中x(0)(k)表示为i的某种户籍的第k年（以2001年为第一年）的ii首先对x(0)(k)做一次累加生成，i (k) i

x(){x(1)(1),x(1)(2),...x(1)

i据此建立关于x(1k)的微分方程iudx(1) (1)u

这是一个一阶微分方程，式中a、ua、ua(BTB)1

u u1/2[x(1)(2)x(1) 1B

1/2[x(1)(3)x(1) 1 1/2[x(1)(n)x(1)(n 1 x(0)(2),x(0)(3),...x(0)

x(1)(k)(x(0)(1)u)ea(k1)

则对t+1时刻的处于第i率的值 GM（1，1）表 GM（1，1）模型的误差分939776值---3---7-54.3.2[5设原始序列为xk){x(0)(1),x(0)(2),...x(0)(k)}，据此建立基本模型G（11， i

){x(1)(2),x(1)(3),...x(1)(k),x(1) i根据新的动态序列再建立灰色模型GM(1,1),出k+2年的值x(0)(k2)i如此递推，逐个直至目标实现在动态中加入的信息不是实测值，而是值，它可以淡化灰平面的度，但仍然是灰色的，这样能更真实的反映系统的实时变化，准确性更高。4.3.4

期人口 基期人口 0t该时期人

设第t年，市数量为A0(t)，镇数量为B0(t),乡数量为C0(t)。处于第市男率为xi，市男占所有市人口的比例为yi；镇男率为ai，镇男占所有镇人口的比例为bi；乡男率为mi，乡男占所有乡人口的比例为ni。设第t年，市女性数量为A1(t)，镇女性数量为B1(t),乡女性数量为C1(t)。处于第i市女率为xj，市女占所有市人口的比例为yj；镇女率为aj，镇女占所有镇人口的比例为bj；乡女率为mj，乡女占所有乡人口的比例为nj。设第t年，为k（14<k<50）的市妇育率为ok，镇妇育率为pk，乡育率为qk则根据（1）式可以计算出第t+1 [(A0(t)A1(t)]y(1x)(B0(t)B1(t))b(1a)(C0(t)C1( [(A0(t j

(1x)(B0(t)B1(t))b(1a)(C0(t)C1(t))n(1m

[o(A0(t)A1(t)]yp(B0(t)

q(C0(t)C1(t))n k

在率的计算过程中，有极其个别的出线了负值（在总共3000多组中，仅仅出现了87组知道率肯定为一个不小于0的数。为了减少计算量，如果出00而达到负值，就向从正轴无限近0一样，达到了负值说明了该数不仅近0而且超过了0。因此这里0。下表进行了处理前和处理后的比较（2007年0-9岁的率的值为例：处--处00表2处理前和处理后的观察所给附录中2003年的率其数据较其它平常年份有较大差异不符合近年率变化的一般规律，引入计算会给结果带来较大的误差，考虑到这一点运用模型进行计算时将此年数据剔除后再进行。0，而对于一些率为0的几率几乎不存在的阶段，需要将出现负值的原始数据提出来，然后从数据中剔除1～2个数据后进行，最终得到比较符合实际情况的值。例如，在利用2001，2002，2004，2005年的数据来2006年率的过程中，得到20岁的城市妇育率为负值这显然是不符合实际情况的也不能将其按处理。因此提出2001、2002、2004、2005年的数据，然后剔除了最久的一个也就是2001年的数据，用剩下的数据进行，最后得到一个符合实际情况下的结果。选用的编程为7.0.1，通过编程计算（程序见附录1，得到了2006到2009年每种户籍不同的男女性的率、处于育龄期的不同每种户籍的妇女的率和城、镇、乡的男女性出生比例。处理值后得到的结果如下表（以2006年15-49岁为例，其它祥见附录市镇乡率率率市妇育镇妇育乡妇育00000000000000000000000000表 2006年15-49岁各指标的情2006-2010(亿（亿（亿 （亿 （亿 （亿 （亿表 2006-2010年的人口果比较符合《国家人口发展》中的“2005-2020年，20-29岁旺盛期妇女数量将形成一个小（见图6），导致出生人口数量出现一个小”发展趋势。《世界人口展望》资料显示，到2010年我国的人口数为13.66亿。从表中可知的较为精确。除此之外，从短期的中，可以窥见这个问题：老年人口数急速攀升,上升,人口老化趋势十分严重。表 2005-2010年中国65岁以上人口根 人口类型分类标准,65岁以上的人口占总人口的14%以上 社会,20%上是超社会[4],通过上面的表格可以看到：老年人在人口中所占有的每年增加约0.2％－0.3％。如果照这个速度发展下去，在未来的20-25年内我国将进入问题二长期首先，对于中期这个概念其定义为从今往后的5-25年。进行人口的中期预测就是对未来的5-25年的人口的。对于长期这个概念其定义为从今往后的25-50年。进行人口的长期就是对未来的25-50年的人口的。在过去的20多年里,中国妇育水平发生了明显的变化。高孩次的妇女人数减少,低孩次的妇女推迟,而且怀孕段妇女集中,旺盛期段曲线狭行以来已累计有近1亿独生，进入21世纪，这部分人陆续进入年龄，将使水平有所提高。 时,考虑到现阶段的低水平很不稳定。群众意愿与现行政和人口加剧流动，使以行政为主的工作方式效力递减；一些地方对的长期的不利影响，都可能导致水平回升。于是，需要采取合理的率作为参数为了集中于考虑的差异对人口数量的影响，使模型具有更加广泛的能力，考虑到的因素的影响需要建立一个离散的模型来人口总数。口（见图7.2.2.1）的影响，2005-2020年，20-29岁旺盛期妇女数量将形成一个小（见图7.2.2.2），导致出生人口数量出现一个小；同时，自实行计划生育以来已累计有近1亿独生，进入21世纪，这部分人陆续进入，将使水平有所提高。上述两种因素共同作用，将使出生率和出生人口数量有明增加1未来我国育龄妇女（15-49）资料来源：《国家人口发展研究·人口发展》课图2未来我国旺盛期育龄妇女（20-29岁）人数资料来源：《国家人口发展研究·人口发展》课根据上面2，可以将未来的时间分为两个时间段。第一个时间段为旺盛期的育龄妇女人数都比较多，因此在第一时间断内将会形成一个人口增长的。在第二个时间段内育龄妇女的人数几乎成直线下降，而且处于旺盛期的妇女人数也基本成下降趋势，因此这个时间段的人口增长速度不会很快。这有助于选择对人口进行的方案，引导选择已知数据中较好的一年的数据作为方案。人口模图7.2.4为根据题中所给的2001-2005年城市的率的数据使用EXCEL绘制口 模式图形,可见每年的模式基本保持未变。而且在《国家人口发 出生、低、低自然增长”的人口增长类型,那么时假定未来五十年模5图32001-2005年口模5图7.2.6为根据题中所给的2001-2005年城市女性的率的数据使用EXCEL绘制口的模式图形。可以看出2001-2005年中国地区的模式基本保持未变。中国地区人口再生产类型属于“低出生、低、低自然增长”的人口增长类型。0率图 2001-2005年口模育方面的差异，建立如下人口的离散模型。记xk(t)为第k年的时候为k的人口的数量其中k=0,1,…,90（90岁以上的90如果知道了第t年的时候各组别的人口数量、各 式，就可以根据人口发展变化的规律推得第t+1年得时候各 首先引入2各概念：k岁人口的年率和k岁妇女的年 这2个概念的具体定义如下： 率d＝一年内k岁人口 k

一年内k岁

pk1dk为k则 组别人口数量随时间的变化规律可用下面的递推公式

再考虑到零岁的人口数量就是 组别妇女 的婴儿数总和，k

bkxka

tkxk

人口数量为，bkxk，

aa

则为第t年k岁妇女 的婴儿数

bkxkx0(t1)

a

k (t1)px

,k0,1,,k k根据人的生理特征和医学上妇育的资料统计，妇女的育龄区间为15－49岁，k<15k>49时，有bk＝0。令,xk,x x(,xk,x 000p100000

a

aLLLeslie距阵[7]x(t1)

当第t0年的人口状况已知时，从上式就可以推出第t0x(t)Ltt0x(t0

利用上面建立的人口问题的离散模型，就可以对人口数量进行和控制对于这个模型中所要求的数据在附录中没有直接给出。因此，只能通过计算将所需要的数据现计算得出。如在这个模型中，需要各个的年率和年率，那1岁率率率率率151617718192021222324252627282930表6处理得出的率和存活表7录中提供的数据，分别以2001到2005年每年的数据为的基准，利用该模型可以求出各个不同的基准对应的结果，如下表所示：表 人口模型对照表（单位：亿将得到的数据的图形用画出，则可得到如下图形图 人口离散模型的增长。的结果都还是比较令人满意的在此要选出这些每个基准年以后人口发展 。在《国家人口发 》中明确提出以下几点内容（12005-20-从图中可以看到的确在2005年到2020间人口数量有个急剧的上升变化（2）根据本课题研究，随着我国经济社会发展和工作加强，20世纪901.8GDP达到3000的目标，要求把总和率继续稳定在1.8左右。2010202013.614.5203315。通过与上面表格中的数据进行比较发现2005年的人口数据与《国家人口发中的课题组的2010年2020年和2033年的人口数据几乎完全一致，因此选取选取2005年的基本数据作为模型的长期的次佳基本数据来预2005表 2005年离散模型值（单位：亿人口数量的问题是解决人口数量控制问题的基础。如果的到人口增长过块，就应该采取一些控制措施去调节，使得人口发展达到一个合理的水平。x(t)Ltt0x(t0x(t)x(t0)、bkdk其中，x(t0)是人口当前的数量，人们无法改变，率dk也已经达到了一个较低水平改变也不会太多比较切实可行的方就是调节率bk这里采取一个比较单的办法即假设各组别妇女的率均在2005年的基础上取比例常数r看看期发展下去这个常数取多大时才能使人口发展达到一个稳定状态再进一步到稳定人口分布时，各组的人口有什么关系。

a1

代替Leslie

a代替以后的距阵为L（r）,现在的目标就是如何选取r，使得极限值limx(t)lim(L(r))tt0x(t x0limx(t)x(t1)L(r)x(tx0rL(r)1x01L(r)1的时候，rb0p0b1b0p0b1p0p1b2 p0

通过求得r的数值，乘以2005年各组别妇女的率后可以得到，最优的基对于进一步的求对于给出的关于r的公式，代入2005年的率bk和存活率pk,可以算得：用这个数字乘以2005年各组别妇女的率后可以得到采取成功控制措施后x(t1)离散模型（最优表10最优基础数据离散模 时期后，逐渐趋于稳定。观察上面的数据可以知道，所的结果是符合这个发展趋势人口数要大的情况（人口为16亿多出现这种结果的主要一个因素是选取的是以2005年人口数据做为基准，相对于以后的长期总和率，2005年的明显要大。故在长期的前期，出现了一个人口快速增长期，这从结果中可以看出，这使得人口只要对进行的基准数据做一个合适的调整，根据模型可以出比较满意的长期的通过对表10的分析和比较，发现通过最佳基准率出来的结果并不是很理想，与《国家人口发展研究·人口发展》课题组所的差别较大。分析认为导致会出现较大偏差的主要原因是由于处理过程中始终假定男女比例为某一常数，而忽略了它是在不停的变化的。通过将表9和表10的比较可以发现最优基础数据在受到男女比例因素的影响下的结果反而不如以次优基础数据的，因此在此选用次优基础数据进行长期的。模型的评由于数据有限，规律性不强，因此用到了灰色模型，很大程度上提高了采用灰色系统动态法对人口进行，求解加入了新变化对值的影响，并减小了陈旧数据所带来的误差，精度更高。采用了人口学中的分要素推算法，使得推算的精度很高，在方法上比普通有通过比较，相对于其它方法人口，该方法的精度时最高的由于方面的问题受到女性人口的影响的同时还受到人口的影响，与两者在的过程中没有考虑到可能出现反弹的概率 于人口的化，劳动人口数和人口抚养比进行对不同的男女比例，对模型计算的结果是有影响的。的模型未能及时更替男女比例。针对以上缺点和不足之处，提出模型改进的基本方法例是在不断的变化着的，因此不能在所有的过程中都采用同一个男女比例数参考[1]《修正指数曲线的人口模型 2007年9月21日[2]《地区未来50年人口变动趋势研究 《市场与人口分析2007年第13卷第2 53- 2007[3]《中国总人口的灰色动态 2007921[4]引自《韩首尔地区人口将从2013年起有所回落 2007年9月22[5]灰色系统理论与应用科学技术文献[6]等灰色动态方法及其在变形中的应[7]梁国业廖建平数学建模冶金工业M文件function %灰色forforfunctionp=yucelforfor命令程序 fori=1:length(X0)/5for %2005forr=1:length(X0)/5 %第2006年的初fori=1:length(X0)/5ifp(i)<0 %2006X2005(:,1)=[];X2006=[X2005,p2006forr=1:length(X0)/5 %第2007年的初fori=1:length(X0)/5 ifp(i)<0 %2007 %2007forr=1:length(X0)/5 %第2008年的初fori=1:length(X0)/5 ifp(i)<0 %2008X2007(:,1)=[];X2008=[X2007,p2008for %第2009年的初fori=1:length(X0)/5 ifp(i)<0 %2009X2008(:,1)=[];X2009=[X2008,p2009forr=1:length(X0)/5 %第2010年的初fori=1:length(X0)/5 ifp(i)<0 %2010命令程序>>chl=input('请输入出生率的数据矩阵'); U=input('请输入率的数据矩阵') %输入率n=input('请输入男女比例') m=input('请输入抽样比例')，%输入抽样比例V＝input('请输入抽样人群数量矩阵