测量误差及其产生的原因

关于测量误差及其产生的原因1第1页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五2一、观测误差当对某观测量进行观测，其观测值与真值(客观存在或理论值)之差，称为测量误差。用数学式子表达：△i=Li–X(i=1,2…n)L—观测值X—真值

§5-1

测量误差概述1、仪器的原因

①仪器结构、制造方面，每一种仪器具有一定的精确度，因而使观测结果的精确度受到一定限制。二、测量误差的来源测量误差产生的原因很多，但概括起来主要有以下三个方面：第2页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五3

例如：

DJ6型光学经纬仪基本分划为1′，难以确保分以下估读值完全准确无误。使用只有厘米刻划的普通钢尺量距，难以保证厘米以下估读值的准确性。

②仪器构造本身也有一定误差。例如：水准仪的视准轴与水准轴不平行，则测量结果中含有i角误差或交叉误差。水准尺的分划不均匀，必然产生水准尺的分划误差。第3页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五4

2、人的原因

观测者感官鉴别能力有一定的局限性。观测者的习惯因素、工作态度、技术熟练程度等也会给观测者成果带来不同程度的影响。

人、仪器和外界环境通常称为观测条件；观测条件相同的各次观测称为等精度观测；观测条件不相同的各次观测称为不等精度观测。3、外界条件

例如：外界环境如温度、湿度、风力、大气折光等因素的变化，均使观测结果产生误差。

例如：温度变化使钢尺产生伸缩阳光曝晒使水准气泡偏移，大气折光使望远镜的瞄准产生偏差，风力过大使仪器安置不稳定等。第4页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五5三、测量误差的分类

先作两个前提假设：①观测条件相同.②对某一量进行一系列的直接观测在此基础上分析出现的误差的数值、符号及变化规律。第5页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五6

先看两个实例：例1：用名义长度为30米而实际长度为30.04米的钢尺量距。丈量结果见下表5-1：

表5-1

尺段数

一二三四五···N观测值306090120150···30n真实长度30.0460.0890.12120.16150.20···30.04n真误差-0.04-0.08-0.12-0.16-0.20···-0.04n可以看出：

误差符号始终不变，具有规律性。误差大小与所量直线成正比，具有累积性。误差对观测结果的危害性很大。第6页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五7例2：

在厘米分划的水准尺上估读毫米时，有时估读过大，有时估过小，每次估读也不可能绝对相等，其影响大小，纯属偶然。大气折光使望远镜中目标成像不稳定，则瞄准目标有时偏左、有时偏右。可以看出：①从个别误差来考察，其符号、数值始终变化，无任何规律性。②多次重复观测，取其平均数，可抵消一些误差的影响。第7页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五81.系统误差

----在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为“系统误差”。系统误差具有规律性。2.偶然误差---在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面上看没有任何规律性，为种误差称为“偶然误差”。个别偶然误差虽无规律，但大量的偶然误差具有统计规律。3.粗差----观测中的错误叫粗差。例如：读错、记错、算错、瞄错目标等。错误是观测者疏大意造成的，观测结果中不允许有错误。一旦发现，应及时更正或重测。引进如下概念：第8页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五9(二)测量误差的处理原则在观测过程中，系统误差和偶然误差总是同时产生。系统误差对观测结果的影响尤为显著，应尽可能地加以改正、抵消或削弱。对可能存在的情况不明的系统误差，可采用不同时间的多次观测，消弱其影响。消除系统误差的常用的有效方法：①检校仪器：使系统误差降低到最小程度。②求改正数：将观测值加以改正，消除其影响。③采用合理的观测方法：如对向观测。研究偶然误差是测量学的重要课题。消除或削弱偶然误差的有效方法：①适当提高仪器等级。②进行多余观测，求最或是值。第9页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五10

四、偶然误差的特性

若△i=Li–

X（i=1,2,3,···,358）表5-2第10页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五11从表5-2中可以归纳出偶然误差的特性⑴在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；⑵绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频率小；⑶绝对值相等的正、负误差具有大致相等的频率；

⑷当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值趋近于零。

用公式表示为：实践表明：观测误差必然具有上述四个特性。而且，当观测的个数愈大时，这种特性就表现得愈明显。第11页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五12-24-21-18-16-12-9-6–30+3+6+9+12+15+18+21+24x=△

图5-1频率直方图

为了直观地表示偶然误差的正负和大小的分布情况，可以按表5-2的数据作误差频率直方图(见下图)。第12页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五13

若误差的个数无限增大(n→∞)，同时又无限缩小误差的区间d△，则图5-1中各小长条的顶边的折线就逐渐成为一条光滑的曲线。该曲线在概率论中称为“正态分布曲线”，它完整地表示了偶然误差出现的概率P。即当n→∞时，上述误差区间内误差出现的频率趋于稳定，成为误差出现的概率。正态分布曲线的数学方程式为:

(5-3)

为标准差，标准差的平方为方差。方差为偶然误差平方的理论平均值：第13页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五14正态分布曲线的数学方程式为:

(5-3)

第14页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五15从5-3式可以看出正态分布具有前述的偶然误差特性。即:

1.f(△)是偶函数。即绝对值相等的正误差与负误差求得的f(△)相等，所以曲线对称于纵轴。这就是偶然误差的第三特性。

2.△愈小，f(△)愈大。当△=0时，f(△)有最大值;反之，△愈大，f(△)愈小。当n→±∞时，f(△)→0,这就是偶然误差的第一和第二特性。

3.如果求f(△)二阶导数并令其等于零，可以求得曲线拐点横坐标：△拐=±

如果求f(△)在区间±的积分，则误差出现在区间内的相对次数是某个定值，所以当愈小时，曲线将愈陡峭，即误差分布比较密集；当愈大时，曲线将愈平缓，即误差分布比较分散。由此可见，参数的值表征了误差扩散的特征。第15页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五16f(△)+σ-σ111√2πσ1△-σ+σf(△)△2+σ-σ2√2πσ12√2πσ1第16页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五17观测条件较好，误差分布比较密集，它具有较小的参数；观测条件较差，误差分布比较分散，它具有较大的参数；具有较小的误差曲线，自最大纵坐标点向两侧以较陡的趋势迅速下降；具有较大的误差曲线，自最大纵坐标点向两侧以较平缓的趋势伸展。最大纵坐标点：第17页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五18§5-2衡量观测值精度的标准一.中误差误差△的概率密度函数为：标准差

在测量工作中，观测个数总是有限的，为了评定精度，一般采用下述误差公式：

①标准差σ中误差m的不同在于观测个数n上；②标准差表征了一组同精度观测在(n→∞)时误差分布的扩散特征，即理论上的观测指标；③而中误差则是一组同精度观测在为n有限个数时求得的观测精度指标；④所以中误差是标准差的近似值估值；⑤随着n的增大，m将趋近于σ。第18页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五19必须指出：

同精度观测值对应着同一个误差分布，即对应着同一个标准差，而标准差的估计值即为中误差。

同精度观测值具有相同的中误差。例3:

设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行了10次观测，求得每次观测所得的三角形内角和的真误差为

第一组：+3″,-2″,-4″,+2″,0″,-4″,+3″,+2″,-3″,-1″；第二组：0″,-1″,-7″,+2″,+1″,+1″,-8″,0″,+3″,-1″.

试求这两组观测值的中误差。由

解得：m1=±2.7″m2=±3.6″

可见：第一组的观测精度较第二组观测精度高。第19页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五20二、容许误差（极限误差）

根据正态分布曲线，误差在微小区间d△中的概率：

p(△)=f(△)·d△设以k倍中误差作为区间，则在此区间误差出现的概率为：

分别以k=1,2,3代入上式，可得：

P(︱△︱≤m)=0.683=68.3℅P(︱△︱≤2m)=0.955=95.5℅P(︱△︱≤3m)=0.997=99.7℅

由此可见：偶然误差的绝对值大于2倍中误差的约占误差总数的5℅，而大于3倍的误差仅占误差总数的0.3℅。由于一般情况下测量次数有限，3倍中误差很少遇到，故以2倍中误差作为允许的误差极限，称为“容许误差”，或称为“限差”即△容=2m第20页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五21三、相对误差

在某些测量工作中，对观测值的精度仅用中误差来衡量还不能正确反映观测的质量。例如:用钢卷尺量200米和40米两段距离，量距的中误差都是±2cm，但不能认为两者的精度是相同的，因为量距的误差与其长度有关。为此，用观测值的中误差与观测值之比的形式来描述观测的质量。即m/L来评定精度，通常称此比值为相对中误差。

相对中误差又可要求写成分子为1的分式，即。上例为K1=m1/L1=1/10000,K2=m2/L2=1/2000

可见:前者的精度比后者高。

与相对误差相对应，真误差、中误差、容许误差都称为绝对误差。第21页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五22§5-3算术平均值及其中误差

设在相同的观测条件下对未知量观测了n次出该未知量的最或然值。，观测值为L1、L2……Ln，现在要根据这n个观测值确定

设未知量的真值为X，写出观测值的真误差公式为∆i=Li-X(i=1,2…n)将上式相加得或故一、观测值的算术平均值第22页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五23

设以x表示上式右边第一项的观测值的算术平均值，即以∆X表示算术平均值的真误差，即代入上式，则得由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多时，∆x趋近于零，即:也就是说，n趋近无穷大时，算术平均值即为真值。第23页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五24

现在来推导算术平均值的中误差公式。因为式中，1／n为常数。由于各独立观测值的精度相同，设其中误差均为m。现以mx表示算术平均值的中误差，则可得算术平均值的中误差为故

该式即算术平均值的中误差公式。

二、算术平均值的中误差公式第24页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五25

三、同精度观测值的中误差

同精度观测值中误差的计算公式为而这是利用观测值真误差求观测值中误差的定义公式，由于未知量的真值往往是不知道的，真误差也就不知道了。所以，一般不能直接利用上式求观测值的中误差。但是未知量的最或然值是可以求得的，它和观测值的差数也可以求得，即第25页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五26因n为有限值，故在实用上可以用x的中误差近似地代替x的真误差，即为用改正数来求观测值中误差的公式，称为白塞尔公式。用改正数计算最或然值中误差的公式为第26页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五27

§5-4误差传播定律

在实际工作中有许多未知量不能直接观测而求其值，需要由观测值间接计算出来。例如某未知点B的高程HB，是由起始点A的高程HA加上从A点到B点间进行了若干站水准测量而得来的观测高差h1……hn求和得出的。这时未知点B的高程H。是各独立观测值的函数。那么如何根据观测值的中误差去求观测值函数的中误差呢？

阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律，称为误差传播定律。第27页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五28

一、倍数的函数设有函数：

Z为观测值的函数，K为常数，X为观测值，已知其中误差为mx，求Z的中误差mZ。设x和z的真误差分别为△x和△z则：若对x共观测了n次，则：将上式平方，得：求和，并除以n，得第28页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五29

即，观测值与常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘常数。因为：所以：第29页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五30

例：在1：500比例尺地形图上，量得A、B两点间的距离SAB=23.4mm，其中误差msab=土0.2mm，求A、B间的实地距离SAB及其中误差msAB。解：由题意：

SAB=500×Sab=500×23.4=11700mm=11.7mmSAB＝500×mSab＝500×（士0.2）

=土100mm＝土0.1m

最后答案为：SAB=11.7m士0.1m第30页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五31

二、和或差的函数设有函数：

Z为x、y的和或差的函数，x、y为独立观测值，已知其中误差为mx、my，求Z的中误差mZ。设x、y和z的真误差分别为△x、△y和△z则

若对x、y均观测了n次，则将上式平方，得第31页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五32

由于Δx、Δy均为偶然误差，其符号为正或负的机会相同，因为Δx、Δy为独立误差，它们出现的正、负号互不相关，所以其乘积ΔxΔy也具有正负机会相同的性质，在求［ΔxΔy］时其正值与负值有互相抵消的可能；当n愈大时，上式中最后一项［ΔxΔy］/n将趋近于零，即求和，并除以n，得

第32页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五33

将满足上式的误差Δx、Δy称为互相独立的误差，简称独立误差，相应的观测值称为独立观测值。对于独立观测值来说，即使n是有限量，由于式残存的值不大，一般就忽视它的影响。根据中误差定义，得

即，两观测值代数和的中误差平方，等于两观测值中误差的平方之和。第33页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五34

当z是一组观测值X1、X2…Xn代数和（差）的函数时，即可以得出函数Z的中误差平方为：

式中mxi是观测值xi的中误差。即，n个观测值代数和（差）的中误差平方，等于n个观测值中误差平方之和。第34页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五35

当诸观测值xi为同精度观测值时，设其中误差为m，即mx1=mx2=mxn=m则为这就是说，在同精度观测时，观测值代数和（差）的中误差，与观测值个数n的平方根成正比。例设用长为L的卷尺量距，共丈量了n个尺段，已知每尺段量距的中误差都为m，求全长S的中误差ms。解：因为全长S=L＋L＋……＋L（式中共有n个L）。而L的中误差为m。

量距的中误差与丈量段数n的平方根成正比。第35页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五36

例如以30m长的钢尺丈量90m的距离，当每尺段量距的中误差为±5mm时，全长的中误差为第36页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五37

当使用量距的钢尺长度相等，每尺段的量距中误差都为mL，则每公里长度的量距中误差mKm也是相等的。当对长度为S公里的距离丈量时，全长的真误差将是S个一公里丈量真误差的代数和，于是S公里的中误差为式中，S的单位是公里。即：在距离丈量中，距离S的量距中误差与长度S的平方根成正比。第37页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五38

例:为了求得A、B两水准点间的高差，今自A点开始进行水准测量，经n站后测完。已知每站高差的中误差均为m站，求A、B两点间高差的中误差。解：因为A、B两点间高差hAB等于各站的观测高差hi（i=l，2…n）之和，即:hAB=HB-HA=h1+h2+…..+hn

则即水准测量高差的中误差，与测站数n的平方根成正比。第38页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五39

在不同的水准路线上，即使两点间的路线长度相同，设站数不同时，则两点间高差的中误差也不同。但是，当水准路线通过平坦地区时，每公里的水准测量高差的中误差可以认为相同，设为mkm。当A、B两点间的水准路线为S公里时，A、B点间高差的中误差为即，水准测量高差的中误差与距离S的平方根成正比。或第39页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五40

在水准测量作业时，对于地形起伏不大的地区或平坦地区，可用式计算高差的中误差；对于起伏较大的地区，则用式计算高差的中误差。

例如，已知用某种仪器，按某种操作方法进行水准测量时，每公里高差的中误差为±20mm，则按这种水准测量进行了25km后，测得高差的中误差为第40页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五41三、线性函数设有线性函数：则有

例设有线性函救观测量的中误差分别为，求Z的中误差第41页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五42四、一般函数

式中xi(i=1，2…n)为独立观测值，已知其中误差为mi(i=12…n)，求z的中误差。当xi具有真误差Δ时，函数Z相应地产生真误差Δz。这些真误差都是一个小值，由数学分析可知，变量的误差与函数的误差之间的关系，可以近似地用函数的全微分来表达。第42页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五43式中（i=l，2…n）是函数对各个变量所取的偏导数，以观测值代人所算出的数值，它们是常数，因此上式是线性函数可为：第43页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五44

例设有某函数z=S·sinα

式中S=150.11m，其中误差ms=士005m；α=119°45′00″，其中误差mα=20.6″；求z的中误差mz。解：因为z=S·sinα，所以z是S及a的一般函数。第44页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五45求观测值函数的精度时，可归纳为如下三步：

1）按问题的要求写出函数式：

2）对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值真误差之间的关系式：式中，是用观测值代入求得的值。

3）写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式：

第45页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五46例如，设有函数z=x＋y，而y=3x，此时，。因为x与y不是独立观测值，因为不论n值多少，恒有因此，应把Z化成独立观测值的函数，即z=x+3x=4x上式中X与3X两项是由同一个观测值X组成的，必须先并项为z=4x而后求其中误差，即mz=4mx第46页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五47

§5-5广义算术平均值及权

如果对某个未知量进行n次同精度观测，则其最或然值即为n次观测量的算术平均值：一、广义算术平均值第47页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五48在相同条件下对某段长度进行两组丈量：第一组：第二组：

算术平均值分别为第48页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五49其中误差分别为：第49页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五50全部同精度观测值的最或然值为：第50页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五51在值的大小体现了中比重的大小，称为的权。令第51页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五52若有不同精度观测值其权分别为该量的最或然值可扩充为：称之为广义算术平均值（加权平均值）。第52页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五53当各观测值精度相同时第53页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五54二、权定权的基本公式：称为中误差，为单位权观测值，当观测值称为单位权，单位权中误差。第54页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五55权的特性1反映了观测值的相互精度关系。

3

不在乎权本身数值的大小，而在于相互的比例关系。值的大小，对X值毫无影响。2第55页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五564若同类量的观测值，此时，权无单位。若是不同类量的观测值，权是否有单位不能一概而论，而视具体情况而定。第56页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五57例：已知的中误差分别为：设若设第57页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五581水准路线观测高差的权例：常用定权公式第58页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五59

当各测站观测高差的精度相同时，水准路线观测高差的权与测站数成反比。四条水准路线分别观测了3,4,6,5测站。第59页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五60令c=3,令c=4,第60页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五61

水准路线的长分别为设每公里水准测量观测的中误差为第61页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五62

当每公里水准测量的精度相同时，水准路线观测的权与路线长度成反比。第62页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五63当S=c=10公里的水准路线的观测高差为单位权观测。每测站观测高差精度相同时：每公里观测高差精度相同时：第63页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五64例对某角作三组同精度观测：第一组测4测回，算术平均值为

第二组测6测回，算术平均值为

第三组测8测回，算术平均值为

三、不同个数的同精度观测值求得的算术平均值的权。第64页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五65由不同个数的同精度观测值求得的算术平均值，其权与观测值个数成正比。第65页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五66令第66页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五67§5-6单位权中误差的计算公式

在同精度观测中，观测值的精度是相同的，因此可用来计算观测值的中误差。在不同精度观测中，每个观测值的精度不同，就必须先求出单位权中误差μ，然后根据

求出各观测值的中误差。以推导计算单位权中误差的公式为第67页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五68

§5-7由真误差计算中误差对于一组同精度或不同精度观测值来说，如果已经知道它们的真误差，则可按式计算观测值的中误差；用式计算单位权中误差。第68页，共77页，2022年，5月20日，6点10分，星期五69一、由三角形闭合差求测角中误差上式就是由三角形闭合差计算的测角中误差的公式，名为菲列罗公式