胡不归、阿波罗尼斯圆、瓜豆模型、费马点、托勒密定理、梅涅劳斯定理、塞瓦定理、西姆松定理 主讲刘蒋巍

胡不归、阿波罗尼斯圆、旋转相（瓜豆模型点、四点共圆及圆中的相似形（重点：托勒密定理梅涅劳斯定理、瓦定理、西姆松定理（主讲人：刘蒋巍）2021常州中考考前复习指导第讲教学内容教学目标教学重点教学难点教学内容

胡不归、阿波罗尼斯圆、旋转相似（瓜豆模型马点、四点共圆及圆中的相似形（重点：托勒密定理梅涅劳斯定理、塞瓦定理、西姆松定理理解胡不归、阿波罗尼斯圆、旋转相似（瓜豆模型点、四点共圆及圆中的相似形（重点：托勒密定理了解梅涅劳斯定理、塞瓦定理、西姆松定理理解胡不归阿波罗尼斯圆旋转相瓜豆模型点四点共圆及圆中的相似点：托勒密定理）理解胡不归、阿波罗尼斯圆、旋转相似（瓜豆模型点、四点共圆及圆中的相似形（重点：托勒密定理）教学过程★值题1.胡不1

xoy胡不归、阿波罗尼斯圆、旋转相（瓜豆模型点、四点共圆及圆中的相似形（重点：托勒密定理梅涅劳斯定理、瓦定理、西姆松定理（主讲人：刘蒋巍）xoy如图，在平面直角坐标系中，已知直

x与x轴交于A，y轴交于点B，过A、两点的抛物线ax

与x轴于另一点

C(

．（1）求抛物线的解析式；（3M为直线下方抛物线上一点Ny上一点△的面积最大时MNON的最小值．如图，在平面直角坐标系中，二次函=ax的图像经过点A（00-3（2，0中对称轴与轴交于D。（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD则PD的最小值为。2

胡不归、阿波罗尼斯圆、旋转相（瓜豆模型点、四点共圆及圆中的相似形（重点：托勒密定理梅涅劳斯定理、瓦定理、西姆松定理（主讲人：刘蒋巍）2.阿波尼圆已知点

M(,

与两定点

O(0,0),

的距离之比为

，那么M的坐标应满足什么关系？拓展：已知动M与两定点、B的距离之比

，那么M的轨迹是什么？背景展阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一3

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胡不归、阿波罗尼斯圆、旋转相（瓜豆模型点、四点共圆及圆中的相似形（重点：托勒密定理梅涅劳斯定理、瓦定理、西姆松定理（主讲人：刘蒋巍）阿波罗尼约公元前年明过这样一个命题面内到两定点距离之比为常数k）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定

B

间的距离为2，动点与，距离之比为2，当，不共线时△面积的最大值是（）A

B．2

C．

23

D．

23答案：A发现隐的方法利用圆的定义或圆的几何性质确定隐圆．在平面上给定相异两点，B设点在同一平面上且满足|＝PB，当λ且λ时，点P的轨迹是个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆．两定点，B，动点P满足PA2

＋|2

是定值，确定隐圆．满足条件，

2BC的ABC的面积的最大值是_________7

xOyA2胡不归、阿波罗尼斯圆、旋转相（瓜豆模型点、四点共圆及圆中的相似形（重点：托勒密定理梅涅劳斯定理、瓦定理、西姆松定理（主讲人：刘xOyA2古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点AB的距离之比为定值）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，、，P满足设点P所构成的曲线为，下列结论正确的是

2

，①上存在D，使得到点

的距离为3②在上存在点

，使得

MA③在上存在点，使得答案：①③

NONA3.旋转似—瓜模8

胡不归、阿波罗尼斯圆、旋转相（瓜豆模型点、四点共圆及圆中的相似形（重点：托勒密定理梅涅劳斯定理、瓦定理、西姆松定理（主讲人：刘蒋巍）如图A﹣11﹣4是ABC上一动点，连，斜边在OP的右上方作直角三角形，其中OQP，∠POQ当点在ABC的三条边上运动一周时，点Q动的路径长为（）A4

B6．4D69

胡不归、阿波罗尼斯圆、旋转相（瓜豆模型点、四点共圆及圆中的相似形（重点：托勒密定理梅涅劳斯定理、瓦定理、西姆松定理（主讲人：刘蒋巍）问题探究：如图，在矩中＝10cos∠ABDPBD一点B'是点以P对称中心的对称点，点B也在（可以是端点PD的中点，以点E为圆，'半径在BD方作半圆．（1＝

时，AP⊥BD时，此时半径是；（2当半圆与矩形的边相切时，求的长；拓展延伸：（3如图，＝6＝接写出AD的最大值．

，以BC为底边在上方作等腰△BCD其中∠＝120°直

胡不归、阿波罗尼斯圆、旋转相（瓜豆模型点、四点共圆及圆中的相似形（重点：托勒密定理梅涅劳斯定理、瓦定理、西姆松定理（主讲人：刘蒋巍）如图，在RtABC，∠90°，＝4AC10点D是上的一个动点，以CD为直径作圆O连接BD圆O于点E则的最小值为．费马点【试题呈现】如图（1知一次函数y图与轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y过A、B点，且与x轴交于另一点C.(1)b的值；(2)如图1D为AC的中点，点在线段BD上，BE=2ED，连接延长交抛物线于点M，求点M的坐标；(3)将直线绕点A逆时针方向旋转15后y轴于连接CG，如图内一点连接PA、分别以AP为边在它们的左侧作等等连QR求证：求PG最小值，并求出当PAPC取最小值时，P的坐标图（1）

图（2）

355x胡不归、阿波罗尼斯圆、旋转相（瓜豆模型点、四点共圆及圆中的相似形（重点：托勒密定理梅涅劳斯定理、瓦定355x解析1b233（2D(，yx，又BE=2ED，(,1)，xBD联得x

12M(,)525（3）易APG，PGPA,，PAPCPGPRPC，根据“两点之间线段最短”，PRPCRQ最短，3)，AGQG，在QHC，由勾股定理得19，

第（）问示

PG最小值2以AC边在它的下方作等，同理可得：PGGM最短，则P点为直CQ与直GM的交点

CQ

337

(xyGM

3(x联7x

解得：

xy

19

（图）【试题背景研究】2016盐城中考压轴题（3问的第小问PC的最小值并求出当PAPCPG取最小值时，点P的坐标”此处的，称之为：费马点。费马点定义“费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点。费马点性质（1）平面内一点P到△ABC三顶点的之和为PA+PB+PC，当点费马点时，距离之和最小.在特殊三角形中：

11111胡不归、阿波罗尼斯圆、旋转相（瓜豆模型点、四点共圆及圆中的相似形（重点11111托勒密定理梅涅劳斯定理、瓦定理、西姆松定理（主讲人：刘蒋巍）三内角皆小于的三角形，分别以AB，BC，CA，为边，向三角形外侧做正三形ABC，ACB，BCA，然后连接AA，BB，CC，则三线交于一点则点P就是所求的费马点.若三角形有一内角大于或等于，则此钝角的顶点就是所求.当ABC为等边三角形时，此时外心与费马点重合.本题第（3问第小问，求的坐标，笔者给出的解法就是依据上述费马点的性质2解的。考生可以根据题设条件，根据类比的思想，AC为边在它的下方作等ACM，以CG为边在它的右侧作等（如图5.直、GM、AN中任意两条的交点都点（图）（2010建宁德如图四边形是正方形eq\o\ac(△,)ABE是等边三角形为对角线BD（不含点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到，连接、AM、CM.⑴求证eq\o\ac(△,)AMB△ENB；⑵①当M点何处时，＋CM的值小；②当M点在何时，＋BMCM值最小，并说明理由；⑶当AM＋BM＋CM的最小值为3时，求正方形的边长ADEBC

胡不归、阿波罗尼斯圆、旋转相（瓜豆模型点、四点共圆及圆中的相似形（重点：托勒密定理梅涅劳斯定理、瓦定理、西姆松定理（主讲人：刘蒋巍）5.四点圆圆的似（点托密理判断四点共圆的方法判定定理1共底边的两个直角三角形，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径．判定定理2共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆．判定定理3对于凸四边形ABCD对角互补

四点共圆。

胡不归、阿波罗尼斯圆、旋转相（瓜豆模型点、四点共圆及圆中的相似形（重点：托勒密定理梅涅劳斯定理、瓦定理、西姆松定理（主讲人：刘蒋巍）判定定理4相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD其对角线ACBD于P，

四点共圆。判定定理5割线定理：对于凸四边形ABCD边的延长线、交于PC

四点共圆。判定定理6托勒密定理的逆定理：对于凸四边形ABCD，ABAD

四点共圆。

胡不归、阿波罗尼斯圆、旋转相（瓜豆模型点、四点共圆及圆中的相似形（重点：托勒密定理梅涅劳斯定理、瓦定理、西姆松定理（主讲人：刘蒋巍）（本题满分分）阅读《由圆内接四边形想到的托勒密定理成问题在线段AC上取点，使得∠∠ABD，你能推出哪些结论？师（追问请写出相似三角形对应边比例式。生：①△BCE∽△；②△DBC∽△ABE

---------①；

--------②师：你能从这些比例式中得出圆内接四边形的这些线段之间有什么结论吗？生：①+②得：总结：______________________________________（请用文字语言表述）【学以致用】请用阅读所获取的信息解答下面的问题：如图，在的内接四边形，＝3＝5＝60°，为弧BD的中点，试猜想长，并说明理由。

胡不归、阿波罗尼斯圆、旋转相（瓜豆模型点、四点共圆及圆中的相似形（重点：托勒密定理梅涅劳斯定理、瓦定理、西姆松定理（主讲人：刘蒋巍）探究问题：（1）阅读理解：①如图（A已知ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点为ABC的费马点，此时＋PB＋值为的费马距离②如（B边形的四个顶点在同一圆上则有CD＋·＝ACBD此为托勒密定理.（2）知识迁移：①请你利用托勒密定理，解决如下问题：如图（C知点P为等边外接圆的

上任意一点.证：PB＋PA.②根据（）①的结论，我们有如下探寻ABC（其中∠、∠B、∠小于120°）的费马点和费马距离的方法：第一步：如图（Deq\o\ac(△,)ABC的外部以BC边长作等边BCD及其外接圆；

胡不归、阿波罗尼斯圆、旋转相（瓜豆模型点、四点共圆及圆中的相似形（重点：托勒密定理梅涅劳斯定理、瓦定理、西姆松定理（主讲人：刘蒋巍）第二步：在

上任取一点PP′A、P′B、P′CP′D.知P′A＋P′B＋P′CP′A＋（P′B＋P′C）＝P′A＋；第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找eq\o\ac(△,)ABC的马点，并请指出线段长度即eq\o\ac(△,)ABC的费马距离

的（3）知识应用：20104，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水已知三村庄A、、C构成如图（）所示的ABC（其中∠、∠B、∠C均小于120°选取一点打水井，使从水井P到三村庄A、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值.6.梅涅斯理塞定、姆定梅涅劳斯定理设

',','

分别是ΔABC的三边BC，AB或其长线上的点，若

',','

三点共线，则BA'''B'梅涅劳斯定理的逆定理条同，若

'CB''