动量和动量定理

动量和动量定理一:冲量1.冲量：定义—力和作用时间的乘积。2.定义式：I=Ft（1）计算恒力的冲量（2）F是变力，可采用图像法、分段法、动量定理等高中常采用动量定理求解(3)冲量是矢量:若力方向不变，I和力方向同

若力方向变，I和△V方向同（动量定理）

（4）冲量是描述力的时间积累效应的物理量，是过程量，它与时间相对应（5）要注意的是：冲量和功不同。恒力在一段时间内可能不作功，但一定有冲量。冲量的计算要明确求哪个力的冲量，还是物体的合外力的冲量。I=Ft只能恒力的冲量。F是变力，可采用图像法、分段法、动量定理等，高中常采用动量定理求解例1.平抛一质量m=2Kg的物体，经t=5s，重力的冲量解析：重力为恒力，可直接用定义式求解则：I=mgt=100Ns例2.如图，物体原先静止，在恒力F1、F2分别作用t1、t2，求物体受F1、F2的合冲量。F1F2分析：整过程作用力为变力，但分两段，则每段为恒力，可用定义式求解，且F1、F2在一套直线上，可用代数求和。I合=F1t1+F2t2.若两力方向相反呢？例3.物体受F=Kt作用，求t1时间内的冲量。分析：力随t变化，是变力，不能采用定义式求解。图像法：以t为横轴，F为纵轴建立坐标系。则图线与时间轴围成的面积，表示一段时间内的冲量。tFF=Kt1t1I=Kt12/2t/sF/N86I=24Ns

在物理学中什么叫动量？它的单位是什么？你是怎样理解动量这个概念？是状态量。二、动量1、概念：在物理学中，物体的质量m和速度v的乘积叫做动量。2、定义式：p=mv3、单位：千克米每秒，符号是kg·m/s4、对动量的理解：（2）瞬时性（1）矢量性运算遵循平行四边形定则。方向与瞬时V方向同。（3）相对性物体的动量与参照物的选择有关。中学阶段常以地球为参考系。讨论一下动量和动能的关系1.动量和动能都是描述物体运动过程中某一时刻的状态2.动量是矢量，动能是标量

动量发生变化时，动能不一定发生变化，动能发生变化时，动量一定发生变化3.定量关系动量发生变化速度大小改变方向不变速度大小不变方向改变速度大小和方向都改变动能改变动能改变动能不变常以匀直、匀加（减）直、匀圆、平抛运动为例。试讨论以下几种运动的动量变化情况。物体做匀速直线运动物体做自由落体运动物体做平抛运动物体做匀速圆周运动动量大小、方向均不变动量方向不变，大小随时间推移而增大动量方向时刻改变，大小随时间推移而增大动量方向时刻改变，大小不变三、动量的变化1.定义：物体的末动量与初动量之矢量差叫做物体动量的变化.2.表达式：△P=m·△v.说明：①动量的变化等于末状态动量减初状态的动量，其方向与△v的方向相同.②动量的变化也叫动量的增量或动量的改变量.讨论一下动量和动能的关系例1、一个质量是0.1kg的钢球，以6m/s的速度水平向右运动，碰到一个坚硬物后被弹回,沿着同一直线以6m/s的速度水平向左运动（如图），碰撞前后钢球的动量各是多少？碰撞前后钢球的动量变化了多少？求解方法在同一条直线上运动，先取正方向，把矢量运算转化为代数运算，连同正负号一起代入。例2、一质量为0.5kg的木块以10m/s速度沿倾角为300的光滑斜面向上滑动（设斜面足够长）,求木块在1s末的动量和3s内的动量变化量的大小？（g=10m/s2）v0300思考：在运算动量变化量时应该注意什么？解析：设斜向上的速度为正1.初动量P0=mV0=5Kg.m/s2.加速度a=gsin300=5m/s2.斜向下。1s末的速度V1=V0-at1=5m/s。动量P1=mV1=2.5Kg.m/s动量变化量△P1=P1-P0=-2.5Kg.m/s。大小为2.5kg·m/s3）3s末的速度V2=V0-at2=-5m/s,动量P2=mV2=-2.5Kg.m/s动量变化量△P2=P2-P0=-7.5Kg.m/s，大小为7.5kg·m/s△P=I=mat=mgsin300.t下节学不在同一条直线上运动，运用平行四边形定则（矢量运算法则）△P=P2-P1。P2=△P+P1。P2合矢量、为平行四边形的对角线，△P、P1平行四边形的两个邻边实验

鸡蛋从一定的高度落到地板上，肯定会打破。现在，在地板上放一块泡沫塑料垫。我们尽可能把鸡蛋举得高高的，然后放开手，让它落到泡沫塑料垫上，看看鸡蛋会不会被打破。

在日常生活中，有不少这样的事例：跳远时要跳在沙坑里;跳高时在下落处要放海绵垫子;从高处往下跳，落地后双腿往往要弯曲;轮船边缘及轮渡的码头上都装有橡皮轮胎等.这样做的目的是为了缓冲.而在某些情况下，我们又不希望缓冲，比如用铁锤钉钉子.四、动量定理(可求I、F、P、t、△P)1.动量定理：物体所受合外力的冲量等于物体的动量变化即I=ΔpF合·Δt=mv′-mv=Δp⑴动量定理表明冲量是使物体动量发生变化的原因，冲量是物体动量变化的量度。这里所说的冲量必须是物体所受的合外力的冲量。(与动能定理比较）⑵动量定理给出了冲量（过程量）和动量变化（状态量）间的互求关系。⑶实际上现代物理学把力定义为物体动量的变化率：

F合=Δp／Δt（这也是牛顿第二定律的动量形式）⑷动量定理的表达式是矢量式。在一维的情况下，各个矢量必须以同一个规定的方向为正。F=Δp/Δt=mΔv/Δt=ma为了解释这类现象，我们就来学习关于的知识动量定理问题：一个物体的质量为m，在合力F的作用下做匀速直线运动，经过t时间，它的动量变化跟所受的合力的有什么关系？推导的依据:牛顿第二定律和运动学的有关公式物体的初动量为p=mv、末动量为p‘=mv‘，经历的时间为t，由加速度的定义式由牛顿第二定律F=ma=可得Ft=mv’－mv，

即Ft=p‘－p=mv’-mv

Ft=p/－p=mv/-mv………(1)公式的右边是t这段时间动量的增加量，左边既与力的大小、方向有关，又与力的作用时间有关。Ft这个量反映了力对时间的积累效应物理学中把：力与时间的乘积叫力的冲量，用字母I表示公式：I=Ft则(1)式可表示为I=p‘－p

2.公式:Ft=p/一p其中F是物体所受合力，p是初动量，p/是末动量，t是物体从初动量p变化到末动量p‘所需时间，也是合力F作用的时间。3.单位：F的单位是N，t的单位是s，p和P‘的单位是kg·m/s（kg·ms-1）。对动量定理的进一步认识1.动量定理中的方向性公式Ft=p/一P=△p是矢量式，合外力的冲量的方向与物体动量变化的方向相同。合外力冲量的方向可以跟初动量方向相同，也可以相反。1.物理意义:物体所受合力的冲量等于物体的动量变化.动量定理的理解匀加直匀减直例题：一个质量为0.18kg的垒球，以25m/s的水平速度飞向球棒，被球棒打击后，反向水平飞回，速度的大小为45m/s。设球棒与垒球的作用时间为0.01s，球棒对垒球的平均作用力有多大？分析：球棒对垒球的作用力是变力，力的作用时间很短。在这个短时间内，力大小先是急剧地增大，然后又急剧地减小为零。在冲击、碰撞一类问题中，相互作用的时间很短，力的变化都具有这个特点。动量定理适用于变力，因此，可以用动量定理求球棒对垒球的平均作用力。

由题中所给的量可以算出垒球的初动量和末动量，由动量定理即可求出垒球所受的平均作用力。解析：设以返回的速度方向为正方向由动量定理得：Ft=mv-(-mv0)，则F=1260N，即F与返回速度同向

解：取垒球飞向球棒时的方向。垒球的初动量为：P=mv=0.18×25kgm/s=4.5kgm/s垒球的末动量为：P’=mv’=-0.18×45kgm/s=-8.1kgm/s由动量定理可得垒球所受的平均力为：F=(P’-P)/t=(-8.1-4.5)/0.01N=-1260N

垒球所受的平均力的大小为1260N，负号表示力的方向与所选的正方向相反，即力的方向与垒球飞回的方向相同。2.动量的变化率:动量的变化跟发生这一变化所用的时间的比值。由动量定理Ft=△p得F=△P/t，可见，动量的变化率等于物体所受的合力。当动量变化较快时，物体所受合力较大，反之则小;当动量均匀变化时，物体所受合力为恒力.3.动量定理的适用范围:

动量定理不但适用于恒力，也适用于随时间变化的变力.对于变力情况，动量定理中的F应理解为变力在作用时间内的平均值.在实际中我们常遇到变力作用的情况，比如用铁锤钉钉子，球拍击乒乓球等，钉子和乒乓球所受的作用力都不是恒力，这时变力的作用效果可以等效为某一个恒力的作用，则该恒力就叫变力的平均值。

应用动量定理来解释鸡蛋下落是否会被打破等有关问题.

鸡蛋从某一高度下落，分别与石头和海绵垫接触前的速度是相同的，也即初动量相同，碰撞后速度均变为零，即末动量均为零，因而在相互作用过程中鸡蛋的动量变化量相同.而两种情况下的相互作用时间不同，与石头碰时作用时间短，与海绵垫相碰时作用时间较长，由Ft=△p知，鸡蛋与石头相碰时作用大，会被打破，与海绵垫相碰时作用力较小，因而不会被打破.

再解释用铁锤钉钉子、跳远时要落入沙坑中等现象.在实际应用中，有的需要作用时间短，得到很大的作用力而被人们所利用，有的需要延长作用时间(即缓冲)减少力的作用.请同学们再举些有关实际应用的例子.加强对周围事物的观察能力，勤于思考，一定会有收获.分析：1.对于钉钉子：缩短作用时间，增大作用力。

2.对于跳沙坑：延长作用时间，减小作用力。

巩固练习:l.一个人慢行和跑步时，不小心与迎面的一棵树相撞，其感觉有什么不同?请解释.

2.一辆满载货物的卡车和一辆小轿车都从静止开始，哪辆车起动更快?为什么?

3.人下楼梯时往往一级一级往下走，而不是直接往下跳跃七八级，这是为什么?动量定理1.内容:物体所受合力的冲量等于物体的动量变化冲量是物体动量变化的原因。动量定理是解决力学问题的重要定理2.表达式:Ft=mv’-mvF物体所受合力m物体的质量V’物体的末速度V物体的初速度t作用时间3.应用①物体速度变化相同时,作用时间短,作用力大;作用时间长,作用力小.②解题步骤:a:定对象(单个物体)b:受力分析c:定正方向d:写出合力的冲量、初、末动量e:代入求解板书设计动量的理解1.对于一个质量不变的物体，下列正确的（）A.物体的动量发生变化，其动能一定变化。B.物体的动量发生变化，其动能不一定变化C.物体的动能不变，其动量不变。D.物体的动能变化，其动量不一定变化分析：1。动量变化三种情况。（m、v方向、大小）

2.动能变化两种情况（m、v的大小）匀速圆周运动m不变，V大小一定变以初速度v0平抛一个质量为m的物体，t

秒内物体的动量变化是多少？例1解：因为合外力就是重力，所以Δp=Ft=mgt

本题用冲量求解，比先求末动量，再求初、末动量的矢量差要方便得多。因此可以得出规律：I和Δp可以互求。当合外力为恒力时往往用Ft

来求；当合外力为变力时，在高中阶段我们只能用Δp来求。V0gtV0V动量定理的应用例2一质点在水平面内以速度v做匀速圆周运动，如图，质点从位置A开始，经1/2圆周，质点所受合力的冲量是多少?

vAABvBO解:质点做匀速圆周运动，合力是一个大小不变、但方向不断变化的力，注意:变力的冲量一般不能直接由F·Δt求出，可借助I=F合·Δt＝Δp间接求出，即合外力力的冲量由末动量与初动量的矢量差来决定．

以vB方向为正，因为vA

＝-v，

vB

＝v，则Δp＝ｍvB

-ｍvA

＝ｍ［v-（-v）］＝2ｍv，合力冲量与vB同向．例3、关于冲量、动量及动量变化，下列说法正确的是:（)A.冲量方向一定和动量变化的方向相同B.冲量的大小一定和动量变化的大小相同C.动量的方向改变，冲量方向一定改变D.动量的大小不变，冲量一定为0.ABI=△P=m△V=mv2-mv1.(平抛运动）2.动量的变化包括方向、大小的变化。例如：平抛运动：动量大小（方向）都在时刻变化。但在相等的时间内冲量相等匀速圆周运动：动量大小不变，而方向时刻变化，但合外力不为0.冲量不为0.水平面上一质量为m的物体，在水平恒力F作用下，由静止开始做匀加速直线运动，经时间t后撤去外力，又经过时间2t物体停下来，设物体所受阻力为恒量，其大小为（）Ａ．FＢ．F/2Ｃ．F/3Ｄ．F/4解：整个过程的受力如图所示，Ff2ttf对整个过程，根据动量定理，设F方向为正方向，有(F–f)×t–f×2t=0得f=F/3C例4F1t2t1tFF20解:从图中可知，物体所受冲量为F-t图线下面包围的“面积”，设末速度为v′，根据动量定理

F合

·Δt＝Δp，有F1t1+F2(t2-t1)=mv′-0∴v′=[F1t1+F2(t2-t1)]／m例5.如图表示物体所受作用力随时间变化的图象，若物体初速度为零，质量为m，求物体在t2

时刻的末速度?

一维运动(变力)问题解决方法：1.规定矢量的正方向2.分段求各力的冲量，求和冲量3.利用动量定理列方程求解在光滑水平面上水平固定放置一端固定的轻质弹簧，质量为m的小球沿弹簧所位于的直线方向以速度V运动，并和弹簧发生碰撞，小球和弹簧作用后又以相同的速度反弹回去。在球和弹簧相互作用过程中，弹簧对小球的冲量I的大小和弹簧对小球所做的功W分别为（）（A）I＝0、W＝mv2

（B）I＝2mv、W=0（C)I＝mv、W=mv2／2（D)I＝2mv、W=mv2／2B例71.弹力是变力：求冲量利用动量定理。设反弹速度V为正则：I=mv-(-mv)=2mv2.利用动能动量求做功：W=mv2/2-m(-v)2/2=0摆长为L的单摆的最大摆角θ小于50，摆球质量为m，摆球从最大位移处运动到平衡位置的过程中（）（A）重力的冲量为（B）合外力的冲量为（C）合外力的冲量为零（D）拉力的冲量为零例8θL解：单摆的周期为t=1/4·TAB恒力的冲量：变力的冲量：动能定理：mgL(1-COSθ)=mv2/2质量为m的小球由高为H的光滑斜面顶端无初速滑到底端过程中，重力、弹力、合力的冲量各是多大？例9.Hαm解：力的作用时间相同，可由下式求出三力的大小依次是mg、mgcosα和mgsinα，所以它们的冲量依次是：一质量为m的小球，以初速度v0

沿水平方向射出，恰好垂直地射到一倾角为30°的固定斜面上，并立即反方向弹回。已知反弹速度的大小是入射速度大小的3/4，求在碰撞中斜面对小球的冲量大小解：小球在碰撞斜面前做平抛运动.设刚要碰撞斜面时小球速度为v.

由题意，v的方向与竖直线的夹角为30°，且水平分量仍为v0，如右图.v030°v0v30°由此得v=2v0①碰撞过程中，小球速度由v变为反向的3v/4,碰撞时间极短，可不计重力的冲量，由动量定理，设反弹速度为正，这斜面对小球的冲量为由①、②得变力的冲量I=△P碰撞，爆炸等作用时间短，内力远大于外力，可不计外力。质量m=1.5kg的物块（可视为质点）在水平恒力F作用下，从水平面上A点由静止开始运动，运动一段距离撤去该力，物块继续滑行t=2.0s停在B点，已知A、B两点间的距离s=5.0m，物块与水平面间的动摩擦因数μ=0.20，求恒力F多大。(g=10m/s2)

解:设撤去力F前物块的位移为s1，撤去力F时物块速度为v，物块受到的滑动摩擦力f=μmg(如图示)ABffFStS1对撤去力F后物块的滑动过程应用动量定理得-ft=0-mvv=4m/s由运动学公式得s1=1m对物块运动的全过程应用动能定理

Fs1-fs=0由以上各式得代入数据解得F=15N

动量定理和动能定理结合冲量和动量的习题设计例1：m=2Kg,从倾角θ=370的斜面顶端滑到底端历时t=2s，设μ=02.求物体所受各力及合力在此段时间内的冲量。θmgNf解析：物体受到三个力的作用，如图。1.mg的冲量：IG=mgt=40Ns.竖直向下2.N的冲量：IN=Nt=mgcosθ.t=32Ns.

垂直斜面向上3.N的冲量：If=ft=μNt=μmgcosθ.t=6.4Ns.沿斜面向上4.合外力：F=mgsinθ-f=mgsinθ-μmgcosθ=8.8N合外力的冲量：I=Ft=17.6Ns。沿斜面向下变式1.一物体沿斜面上升，再回到出发点（μ≠0），各力的冲量A.向上运动时重力的冲量大于向下运动重力的冲量。B.沿斜面向上、向下运动f的冲量大小等。分析：1.向上运动时间(逆向思维）：S=a1t12/2。向下运动时间：S=a2t22/2.a1=g+μg.a2=g-μg.则a1>a2.t1<t2.2.重力、f为恒力：I=Ft例2.将m=0.1Kg的小球从离地面4m高处，竖直向上抛出。抛出时的初速度V0=8m/s,（不计阻力),求：1.小球落地时的动量2.小球从抛出到落地过程动量的变化量。3.小球从抛出到落地过程中重力的冲量。V1V2h分析：1、2问必知初、末速度，3问利用动量定理求解知初、末速度和位移利用动能定理，知初、末速度和时间利用动量定理解：由机械能守恒定律（动能定理）求落地速度V.

mgh=mv2/2-mv02/2,v=1.2m/s1.落地时动量大小:I=mv=1.2Kg.m/s.竖直向下2.以v0方向为正。P0=mv0=0.8Kg.m/s.P=mv=-1.2Kg.m/s△P=P-P0=-2.0Kg.m/s.方向向下3.由动量定理得：I合=IG=△P=-2.0Kg.m/s。向下练习1.两球m1=2m2,当它们动能相等时，动量之比P1:P2=分析：P=√2mEK得√2:12.关于△P和P，正确的（）A.物体做圆周运动时，P的大小一定变化。B.物体做抛体运动时，动量可能先减小后增大C.物体的△P和P方向一定在同一条直线上。D.物体做匀速圆周运动时，经某一段时间，△P可能为0.匀圆v大小不变，方向变但变速圆周，v大小变B。斜向上抛，竖直上抛，v先减后加。C。对于曲线运动，如平抛运动，二者方向可不在同一直线上D.当t=nT时，初末V等大，同向。△P=mv2-mv1=0动量定理的理解Ft=P2-P1=△P或I合=△P或I合=P2-P1.1.反映合外力的I和物体△P的关系，并非某一个力的I。2.物体△P方向决定于I的方向。△P与I同向。3.冲量是动量变化的原因4.F=△P/t，动量变化率即合外力的大小5.研究对象：单一物体、物体系统。解题步骤：1.确立研究对象，明确运动过程和时间

2.规定正方向

3.分析受力和各力的冲量情况，明确初、末状态动量。对系统（整体）只分析外力，不分析内力（不影响系统总P）4.建立适当坐标系5.列方程：I合=△P例3.如图，一物体以ω做匀圆运动，向心力F，则物体从A点经半个周期到B点，向心力的冲量大小和方向。AB分析：1.向心力即物体的合外力。是变力。利用动量定理I合=△P

。设向左为正方向则：PA=-mVA=-mRωPB=mVB=mRωF=mRω2所以向心力的冲量：I=2F/ω2.水平面上有两个质量相等的物体a、b，分别在水平推力F1、F2作用下开始运动，分别运动一段时间后撤去推力，两物体都继续运动一段时间后停下，v-t图线如图AB∥CD，则水平推力F1＞F2,a受F1的冲量I1＜b受F2的冲量I2。分析:1.OA、OB段受推力和摩擦力，且OA斜率大，所以：aA＞aB.F-f=ma。2.AB、CD段受阻力。且斜率同，加速度同。

f=ma。所以：F1大于F2。3.全过程利用动量定理,ta<tb,以F方向为正方向。I总=IF-If。初末动量都为0.△P=0所以：IF-If=0，IF=If=ft.mgfNFVtaAbCBDO3.一个m=0.1Kg的小球，从h=0.8m高处下落到一厚垫子上，若小球从接触软垫到陷至最低点经历0.2s，则这段时间内软垫对小球的冲量和平均作用力？（g=10/不计空气阻力）ht1t2mgmgF一。全过程解：初末动量都为0，在空中时间t1=√2h/g=0.4s设向下为正方向mgt1+mgt2-Ft2=0-0,所以：Ft2=0.6Ns，F=3N二。分段求解解：着垫速度V=√2gh=4m/s.设向下为正方向。着垫后：mgt2-Ft2=0-mvFt2=0.6NsF=3N整体法4.如图，水平粗糙地面上放一质量M，倾角θ的粗糙斜面体，有一质量m的小滑块以初速度v0由低端上滑，经时间t滑到某处速度为0，上滑过程中斜面不动，求此过程中水平面对斜面体的摩擦力和支持力。v0分析：求整体外力采用整体法:不考虑系统内力作用。以物体和斜面为系统：受重力、支持力、静摩擦力。解析：物体和斜面为系统。受力如图

Vx=v0cosθPx0=mvx.Vy=v0sinθPy0=mvy.在x轴：-ft=0-mvx.所以：f=mv0cosθ/t在y轴：Nt-(M+m)gt=0-mvy.所以：N=(M+m)g-mv0sinθ/tmgNf附加题物体A和B用轻绳相连挂在轻弹簧下静止不动，如图（a）所示。A的质量为m，B的质量为M，将连接A、B的绳烧断后，物体A上升经某一位置时的速度大小为v，这时物体B的下落速度大小为u，如图（b）所示，在这段时间里，弹簧弹力对物体A的冲量等于（）(A)mv(B)mv－Mu(C)mv＋Mu(D)mv＋muABmM(a)BAuv(b)解：对B物，由动量定理Mgt=Mu∴gt=u对A物，由动量定理IF–mgt=mv∴IF=mgt+mv=mu+mvD

例11解方程组质量为m1的气球下端用细绳吊一质量为m2的物体，由某一高处从静止开始以加速度a下降，经时间t1绳断开，气球与物体分开，再经时间t2气球速度为