高三数学知识点：热点复习指导

6/6高三数学知识点：热点复习指导天津市第四十二中学张鼎言(一)根底题复习导引：数列是定义在正整数集或正整数子集上的函数,函数的图象是平面直角坐标系上的点集。项an是n的函数,同数Sn也是n的函数,af(n)是复合函数,如下面的第2、3题。等差、等比中项始终是高考(Q吧)拟题的知识点,如下面的第1、5题。在数列问题中,从一般到特殊的思想方法,是重要的思路,如第3、5题。1.假设an是等差数列,首项a10,a2019+a20190,a2019·a20190,那么使前n项和Sn0成立的最大自然n是()A、4005B、4006C、4007D、4008解：∵a2019·a20190∴a2019与a2019中必有一个为负。又a10只有d0,a2019、a2019中才可能有负值,∴a20190a2019+a2019=2a1+4005d=a1+a1+4005d=a1+a40060∴S4006=-(a1+a4006)0S4007=-(a1+a4007)=-·2a20190∴选B注：此题不同于当Sn最大时求n的值,在审题中注意区别。2.两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn,且-=-,那么使得-为整数的正整数n的个数是()A.2B.3C.4D.5解：∵an,bn为等差数列∴可设An=(7n+45)gn,Bn=(n+3)gnan=An-An-1=14n+38,bn=Bn-Bn-1=2n+2,(n2)-=-=k,k为正整数n=-,n为正整数,719K=8、9、10、11、13∴选D注：假设{an}为等差数列,那么Sn=pn2+qn,是常数项为0,关于n的二次函数。3.数列{an}、{bn}都是公差为1的等差数列,其首项分别为a1、b1,且a1+b1=5,a1,b1∈N*。设cn=-(n∈N*),那么数列{cn}的前10项和等于()A.55B.70C.85D.100解：某些数列问题经常用一般到特殊的思考方法。c1=-=a1+(b1-1)·1c2=-=a1+(b2-1)·1c3=-=a1+(b3-1)·1c2-c1=b2-b1=1,c3-c2=b3-b2=1c1=a1+b1-1=4∴{cn}为c1=4,公差为1的等差数列∴S10=85选C注：-其中bn是项数,在数列中,项an是项数n的函数。4.各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,假设Sn=2,S3n=14,那么S4n等于(A)80(B)30(C)26(D)16解：Sn=a1+a2+…+an=2S2n=Sn+an+1+an+2+…+a2n=Sn+qn(a1+a2+…+an)=Sn+Sngqn=2+2qnS3n=S2n+a2n+1+a2n+2+…+a3n=S2n+q2ngSn=2+2qn+2q2n=14→qn=2S4n=S3n+(a3n+1+a3n+2+…+a4n)=S3n+q3ngS1=30选B注：这里把Sn作为一个单位,以此表示S2n,S3n,S4n,这是一个“整体〞的思想方法。5.在等差数列{an}中,假设a10=0那么有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n19,n∈N)成立.类比上述性质,相应地,在等比数列{bn}中,假设b9=1那么有等式____成立。分析：用一般到特殊的思考方法。a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n不好理解,不妨假定,n=18,这时上面的等式变为:a2+a3+…+a17+a18=0,a2+a18=a3+a17=…=a9+a11=2a10=0,可以看出题目条件中给出的等式是等差中项的变形,这是问题的实质。假设给出a9=0,可以引出:a1+a17=a2+a16=a3+a15=…=a8+a10=2a9=0那么应有下面的等式:a1+a2+…+an=a1+a2+…+a17-n类比等比数列:b9=1,b1·b17=b2·b16=…=b8·b10=b92=1。∴b1·b2……bn=b1·b2……b17-n(n17,n∈N)注：灵活运用等差、等比中项是数列问题中的重要内容,下面的结论有助于这种灵活应用。假设p、q、m、n均为正整数,且p+q=m+n,在等差数列中有ap+aq=am+an;在等比数列中,ap·aq=am·an6.数列{an}中,a1=-,an+an+1=-,n∈N*那么-(a1+a2+…+an)等于()A.-B.-C.-D.-分析：假设把an+an+1看成一项,那么{an+an+1}为等比数列。(a1+a2)+(a2+a3)+(a3+a4)+…=2(a1+a2+a3+a4+…)-a1∵a1+a2=-,∴2(a1+a2+a3+…)-a1-=(a1+a2+…+an)=-选C。注：在数列求和问题中,有时可以把几项并成一项,也有时把一项分拆成几项,这是求和中“变形〞的一条重要思路.7.{an}是等差数列,{bn}是公比为q的等比数列,a1=b1,a2=b2≠a1,记Sn为数列{bn}的前n项和,(1)假设bk=am(m,k是大于2的正整数),求证：Sk-1=(m-1)a1;(2)假设b3=ai(i是某一正整数),求证：q是整数,且数列{bn}中每一项都是数列{an}中的项;(3)是否存在这样的正数q,使等比数列{bn}中有三项成等差数列?假设存在,写出一个q的值,并加以说明;假设不存在,请说明理由;解：(1)∵a1=b1,a2=b2≠a1→b2≠b1→q≠1∴Sk-1=-=-=-=-=(m-1)a1解：(2)b3=b1q2=a1q2=a1+(i-1)gd=a1+(i-1)(a2-a1)=a1+(i-1)(b2-b1)=a1+(i-1)(a1q-a1)∵a1≠0,q≠1∴q2=1+(i-1)(q-1)q=i-2,q是整数,由b1=a1,b2=a2,b3=ai→q=i-2下面只讨论n4的情况bn=b1qn-1=a1+(k-1)d=a1+(k-1)(a2-a1)=a1+(k-1)ga1g(q-1)化简qn-1=1+(k-1)(q-1)k=1+-1+1+q+q2+…qn-2假设i=1,q=-1,q+q2+…qn-2=0或-1k=2,1;i=2,q=0。矛盾i3,k是正整数。分析(3)b1=a1,b2=a2,a3=b(n)为所求由a1、a2、a3成等差b1、b2、b(n)也成等差a3=a1+2d=b1+2(a2-a1)=b1+2(b1q-b1)=b1(2q-1)=b1qn-1n3