等差数列及其前n项及讲义

等差数列及其前n项及讲义等差数列及其前n项及讲义8/8等差数列及其前n项及讲义等差数列及其前n项和一、等差数列的有关见解（一）等差数列的定义：假如一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差．．．．．．．．．．．．．．．．等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。．．．．．．．利用：“an1－an＝d(d为常数)”判断一个数列是不是等差数列。注意：项起，而是从第3项起或第4项起，那么此数列不是（1）假如一个数列不是从第2等差数列；（2）等差数列要求这个常数必然同样；（3）公差d：d＝an1－an＝an－an1(n≥2)；（4）当d＝0时，数列为常数数列；当d＞0，数列为递加数列；当d＜0，数列为递减数列；（5）公差必然为后一项减前一项，不可以颠倒。（二）、等差数列的通项公式假如等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d，或许．．．．．．．通项公式的变形：a＝a＋(n－m)。n．m．．．．．．d（三）、等差中项：（1）由三个数a，A，b构成的等差数列，A叫做a和b的等差中项，则2A＝a＋b；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2）若在一个等差数列中，除掉首项和末项之外，每一项都是它前一项与后一项的等差中项，即2an＝an1＋an1。3）特别地：在△ABC中，A、B、C成等差数列，则B＝600。例1：已知数列{an}为等差数列a3＝5，a7＝－7，则a15＝____________。【基本量法】4431【剖析】－4.变式练习1：若等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a2是对于x的方程x2－a3x＋a4＝0的两根，求数列{an}的通项公式。12311a1＝2，【解】由题意知∴a＝2n.a1a2＝a4，a1a1＋d＝a1＋3d，d＝2，变式练习2：（1）方程x2－6x＋1＝0的两根的等差中项为________。（2）等差数列{an}中，前三项挨次为1，5，1，则公差d＝________.x16xx【剖析】(1)设方程两根为x112、x212x＋x＝3.，则x＋x＝6，因此其等差中项为2(2)由1＋1＝2×5得x＝2，故知等差数列{an}的首项为1，公差d＝1.x＋1x6x312变式练习3：等差数列{an}中，若a7－a3＝20，则a2017－a2011＝()A：40B：30C：25D：20【剖析】选B.由于4d＝a7－a3＝20，因此d＝5，于是a2017－a2011＝6d6×5＝30.二、等差数列的性质1、d＞0，{an}是递加数列；d＝0，{an}是常数列；d＜0，{an}是递减数列。2、公差d＝ana1＝anam(m、n∈N＋)n1nm3、若p＋q＝m＋n，则ap＋aq＝am＋anm、n、p、q∈N＋；特别地：mn＝k，则2ak＝am＋an(角标公式)2例2：在公差为d的等差数列{an}中，1）若a2＋a3＋a23＋a24＝48，则a13________________。2）若a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2×a5＝52，则d＝____________。a＝4，a＝13，【剖析】：（1）a13＝12.（2）∴22或∴d＝3或d＝－3.a5＝13a5＝4，变式练习1：已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，则a4＋a8＝___________。2【剖析】：3变式练习2：（1）在等差数列中a1＋a9＝15，a8＝4，则a2＝()A：10B：11C：12D：9【剖析】B（2）在等差数列{an}中，若a4＝10，则a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝()A：30B：40C：50D：60【剖析】C变式练习3：在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则log2(2a12a22a10)＝()A：10B：20C：40D：2＋log52【剖析】a1＋a2＋⋯＋a10＝5(a5＋a6)＝5×4＝20，进而log2··⋯·220＝20.()＝log2变式练习4：在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－1a8的值为2()A：4B：6C：8D：10【剖析】选C.由于a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，因此a6＝16.因此a7－111a8＝2(2a7－a8)＝(a6＋a8－a8)＝822三、等差数列前n项和Sn1、公式：Sn＝n(a1an)＝na1＋n(n1)d；22由前n项和公式得：Sn＝An2＋Bn＋C，则{an}成等差数列的充要条件是C＝0。2、性质：{an}中，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列。（1）、在等差数列例3：设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＝3，S9－S6＝27，则该数列的首项a1等于()6363A：－B：－C：D：5555【剖析】：由得解得a1=.应选D.变式练习1：在等差数列an中，已知S848，S12168，求数列an的通项公式。【剖析】：a18,d4an＝4n－12变式练习2：《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十一尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，问第十天织尺数为（）A：6B：9C：12D：15【剖析】：S7＝21，a2a5a815，则a10＝15变式练习3：已知数列an为等差数列，前30项的和为50，前50项的和为30，求前80项的和。50900A30BA4【剖析】：解：设SnAn2Bn75，2500A50B解得30B4915Sn4n249nS80480249808075157515注：等差数列有以下性质：若Spq,Sqppq则Spqpq。例4：在等差数列an中，已知a4a512，那么它的前8项之和S8等于（）A：12B：24C：36D：48【剖析】：D变式练习1：已知等差数列an中，a2a5a9a1260，那么S13（）A：390B：195C：180D：120【剖析】：C变式练习2：在等差数列{an}中，a21＝20，则S41＝__________。【剖析】820变式练习3：已知在等差数列an中，a3、a15是方程x2－6x－10＝0的根，则S17＝（）A：41B：51C：61D：68【剖析】：B变式练习4：an的公差d，a2a4a10080，那么S100（）已知等差数列12A：80B：120C：135D：160【剖析】：B例5：等差数列{an}的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为()A：130B：170C：210D：260【剖析】：C变式练习1：设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S31，则S6()S63S123B：1C：8D：1A：3910【剖析】：A变式练习2：an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7a8a9（）等差数列{A．63B．45C．36D．27【剖析】：B变式练习3：等差数列an共有3m项，若前2m项的和为200，前3m项的和为225，则中m的和（）A：50B：75C：100D：125【剖析】：B四、等差数列前n项和的最值1、等差数列前n和Sn＝na1＋n(n1)d＝1d2＋(a1－d)上式可成：Sn＝An2＋222Bn。当d≠0，数列S1，S2，⋯⋯Sn的象是抛物上的一群弧立点。2、等差数列前n和的最：（1）利用二次函数象的性；（2）当a1＞0，d＜0，由am≥0，am1≤0，Sm最大；（3）a1＜0，d＞0，由am≤0，am1≥0，Sm最小。例6：在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求Sn的最大。【剖析】：方法一：∵S17＝9得：25×17＋17(171)d＝25×9＋9(91)dS22得：d＝－2，∴Sn＝25n＋n(n1)(2)＝－(n－13)2＋1692∴当n＝13，Sn有最大169。方法二：同法一先求出d＝－2，∵a1＝25＞0n1an25(n1)013得2由252n01an1n122

∴当n＝13，Sn有最大169。变式练习1：在等差数列{an}中，a1＞0，S4＝S9，Sn取最大，n＝__________。【剖析】：6或7变式练习2：在等差数列{an}中，前n和Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，当Sn取最小，n＝（）。A：6B：7C：8D：9a111236A【剖析】：Sn(n6)d2变式练习3：在等差数列{an}中，前n和Sn，若S16＞0，S17＜0，当Sn取最大，n＝（）。A：16B：8C：9D：10a1a160a1a160a8a90a80【剖析】：得得故Ba1a170a90a90a90例7：已知数列{an}是等差数列，a2＝4，a8＝－14，算｜a1｜＋｜a2｜＋⋯⋯＋｜an1｜＋｜an｜的。【剖析】：∵an1，当n≤3，an＞n3｜a1｜＋｜a2｜＋⋯⋯＋｜an－1｜＋｜an｜a1a2a3an,(n3)＝a1a2a3a4a5an,(n4)(a1an)n3n217n3),(n3)＝2,(n＝22(a1a2a3)(a1a2an),(n4)3n217n48,(n4)2课后综合练习n1n＋1n＋)，a101的（）1、在数列{a}中，a＝2，2a＝2a＋1(n∈NA：49B：50C：51D：52【剖析】：D2、在等差数列{a}中首70，公差－9，个数列中最小的一（）nA：a8B：a9C：a10D：a11【剖析】：B3、在等差数列{an}中，a2＝－5，a6＝a4＋6，a1等于（）A：－9B：－8C：－7D：－4【剖析】：B4、已知数列{an}等差数列，且a1＋a7＋a13＝，tan(a2＋a12)的（）A：3B：－3C：±33D：－3【剖析】：B5、在等差数列{an}中，首a1＝0，公差d≠0，若ak＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7，k的是（）A：21

B：22

C：23

D：24【剖析】：B6、已知等差数列

{an

}的公差

1，且

a1＋a2＋a3＋⋯⋯＋

a99＝99，

a3＋a6＋a9＋⋯⋯＋a96＋a99＝（A：99B：66

）C：33

D：0【剖析】：B7、已知数列

{an}等差数列且

a1＋a5＋a9＝4

，

cos(a2＋a8)的

(

)3B：13D：－1A：C：－2222【剖析】选D8、在等差数列

{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋

a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为

(

)A：30

B：27

C：24

D：21【剖析】选B.令b1＝a1＋a4＋a7＝39，b2＝a2＋a5＋a8＝33，b3＝a3＋a6＋a9，由于{an}成等差数列，因此b1，b2，b3成等差数列，因此a3＋a6a9＝b3＝b2＋(b2－b1)＝2b2－b1＝27.9、等差数列an的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝8，则S6等于_______________。【剖析】：1410、在等差数列an中，若S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20＝____。【剖析】：911、在等差数列an中，a1a2a315,anan1an278，Sn155，n________________。【剖析】：1012、设等差数列{an}知足sin2a4cos2a7sin2a7cos2a4＝1，公差d∈(－1，0)，当且sin(a5a6)仅当n＝9时，数列{an}的前n项和Sn获得最大值，求该数列首项a1的取值范围________。【剖析】：(4,3)3213、等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6。（1）求{