《数学分析II》课程实施大纲

PAGEPAGE43《数学分析II》课程实施大纲目录1．教学理念52．课程介绍53．教师简介54．先修课程55．课程目标66．课程内容67.课程实施67.1教学单元一67.2教学单元二87.3教学单元三97.4教学单元四117.5教学单元五127.6教学单元六147.7教学单元七177.8教学单元八197.9教学单元九217.10教学单元十257.11教学单元十一287.12教学单元十二337.13教学单元十三408．课程要求429．课程考核4210．学术诚信4311．课堂规范4312．课程资源4313．教学合约4414．其他说明44附教学日历…………………441．教学理念学习数学，主要是学习它的思想和方法，从而帮助我们处理工作和生活中遇到的问题。2．课程介绍2.1课程的性质本课程是该专业的基础必修课程，是后续课程的基础。2.2课程在学科专业结构中的地位、作用是后续课程的基础和前继，具有课时重，内容多，教学时间跨度长的特点。重点培养学生严密的逻辑思维能力、构造性思维能力。2.3课程的前沿及发展趋势是经典的微积分学，主要是其它学科的基础。2.4学习本课程的必要性为后继学科作准备；培养严密的逻辑思维能力；学习数学的思想和方法。3．教师简介4．先修课程：高中初等数学5．课程目标5.1知识与技能方面：具有较为严密的逻辑思维能力，较强的推理能力。5.2过程与方法方面：注重学生从初等数学学习到高等数学学习的转变，培养学生独立思考和生活的能力；重点培养学生学会和使用数学的思想和方法。5.3情感、态度与价值观方面：结合学生刚从高中进入大学的特点，通过该课程的教学，培养学生具有正确的人生观和价值观，积极向上，努力拚搏的生活态度；具有良好的大局观，豁达的胸怀，给社会传递正能量。6．课程内容6.1课程的内容概要本期主要讲授一元函数解析性中的可积性以及级数理论。由于函数的解析性是以函数极限为基础，所以前继知识是数列极限、函数极限、函数的其它解析性。6.2教学重点、难点重点：函数可积的定义、相关性质；级数敛散性的判定难点：函数可积的条件；级数敛散性的判定6.3学时安排参见教学日历7.课程实施7.1教学单元一：函数可积的定义7.1.1教学日期：参见附教学日历7.1.2教学目标：熟练掌握函数的可积的定义7.1.3教学内容（含重点、难点）：函数可积的定义7.1.4教学过程：第九章定积分一、定义分的定义1、设有函数，（1）分割T：对自变量的取值范围进行分割，在中插入n-1个分点，将区间分成个小区间，记每个小区间长度为，（2）求Rimenn和：在每个小区间上，近似地把曲边梯形看作矩形，矩形的宽为，高为，小曲边梯形的面积，从而大曲边梯形的面积．(3)当时，若（定数），则称在上可积，并记定义：设f是定义在[a,b]的一个函数，J是一个确定的实数.若对任给的正数，总存在某一正数，使得对[a,b]的任何分割T，以及在其上任意选取的点集，只要<就有例：用定积分的定义求7.1.57.1.67.1.7课前准备情况及其他相关特殊要求7.1.华东师范大学数学系编《数学分析》第四版，第九章第一节；刘玉琏，傅沛仁编，数学分析讲义的第九章.7.2教学单元二:函数可积的条件7.2.1教学日期：参见教学日历7.2.2教学目标7.2.37.2.4第二节函数可积的条件定理1（必要条件）：如果函数在上可积，则在上有界。证明：（略）例：其中上的有理数时，上的无理数时，满足定理的结论但不满足条件。定理2（充要条件：）函数在上可积当就有定理2：函数在上可积当就有定理3（可积的充分条件一）：如果函数在上连续，则函数在上可积。证明：设T是对[a,b]实施的任一分割，由于在上连续，所以在上连续上有最值，在每个小区间(i=1,2,….n)也有最值，记M，m，是函数f分别在[a,b]和小区间上的最大与最小值。这时：=，由于由于在上连续，从而一致连续，对，只要，就有，=7.2.57.2.6作业安排及课后反思7.2.7课前准备情况及其他相关特殊要求7.2.华东师范大学数学系编《数学分析》第四版，第九章第二节；刘玉琏，傅沛仁编，数学分析讲义的第九章.7.3教学单元三：函数可积的条件（续）7.3.17.3.7.3.7.3引理：如果函数在与上可积，则函数在上可积。证明：由于函数在与上可积，则存在对的一个分割与的分割，使得，令分割是由与的分点组成，则是对实施的一个分割，且=+，从而函数在上可积。定理（可积的充分条件二）：如果函数在上只有有限个间断点，则函数在上可积。证明：设函数在上只有有限个间断点，由引理，只需证明如果函数在上只有一个间断点，函数在上可积。不妨设b为函数的间断点。T是对实施的任一分割，=对，由于函数在上连续，设是对的任一分割，，当时，。而，只要取，当就有定理：（可积的充分条件三）：如果函数在上单调，则函数在上可积。证明：（略）例：显然，在[0,1]上有无数个间断点，但在[0,1]上单调增，故d[0，1]上可积。注：此例与第二充分条件的关系例：证明Rimann（x）在[0,1]上可积注：此例与三个充分条件的关系7.3.57.3.67.3.77.2.华东师范大学数学系编《数学分析》第四版，第九章第二节；刘玉琏，傅沛仁编，数学分析讲义的第九章.7.4教学单元四：函数可积的性质7.4.17.4.27.4.3教学内容（含重点、难点）7.4可积函数的性质及证明：（1）如果函数在上可积，则函数k在上可积，且.（2）如果函数，在上可积，则在上可积，且（3）如果函数，在上可积，且，则.（4）如果函数在上可积，则在上可积，并且.（5）如果函数在与上可积，则函数在上可积，且.（6）如果函数在上连续，，且，则.（7）积分第一中值定理：如果函数在上连续，则使得.推论：如果函数在上连续，在上不变号，则使得.（8）积分第二中值定理：如果函数在上可积（i）在上单调减且，使得（ii）在上单调增且，使得注：各性质的应用7.4.7.4.67.4.7.4华东师范大学数学系编《数学分析》第四版，第九章第三节；刘玉琏，傅沛仁编，数学分析讲义的第九章7.5教学单元五:函数积分的计算7.5.1教学日期7.5.27.5.3教学内容（含重点、难点）：重点：7.5定积分的计算方法一：定义法例1：用积分的定义求定积分的计算方法二：原函数法一、原函数的定义设函数在区间I上可导，记，称是在区间I上的导函数，称是在区间I上的一个原函数。定理：如果、是同一个函数在区间I上的一个原函数，则二、牛顿—莱布尼兹公式定理：设函数在区间I上可导，记，如果函数在上可积，则证明：设T是对实施的任一分割，分点为，在上可导。在上满足lagrange中值定理，使得：，从而=由于在上可积，==例：应用N-L公式求注：N-L公式引出的问题及解决办法问题1：被积函数在什么条件下有原函数？问题2：如果在区间I上有原函数，怎么求？问题3：N-L公式中，选择的哪一个原函数？定义：变限函数设函数在上可积，对，积分=称为变上限函数。定理：如果函数在上可积，则=在上连续。证明：用函数连续的定义证明定理（原函数存在定理）：如果在区间I上连续，则在区间I上存在原函数。即=是在区间I上的一个原函数。证明：参见主要参考书目注：此定理的作用，以及给出的变限函数求导数法则例：求极限例：例：设在上连续，，证明：7.5.7.57.5.7.5华东师范大学数学系编《数学分析》第四版，第九章第四、五节；刘玉琏，傅沛仁编，数学分析讲义的第九章7.6教学单元六:定积分的应用7.6.17.6.2教学目标：熟练掌握用7.6.3教学内容（含重点、难点）7.6.第十章定积分的应用一、用定积分求极限原理：如果函数在上可积，用N-L公式可求出，将所求极限转化成在上的Riemnn和，从而求出极限。例：求解：===二、用定积分求平面图形的面积1、直角坐标系平面图形的面积由连续曲线y=f(x)(≥0)，以及直线x=a,x=b(a＜b）和x轴所围曲边梯形的面积为:例：求由抛物线与直线x－2y－3=0所围平面图形的面积yyxOx=1解：如图可将所求平面图形区域看作X型，也可看作Y型2、参数方程所确定的平面图形面积设曲线C：所围成的平面图形面积为：S=或例：求摆线一拱与X轴围成面积。3、极坐标系下平面图形面积的求法如下图，在极坐标系下，平面图形由，，参照定积分的定义，对进行分割T：在每一个上，把曲边扇形近似看作扇形，面积为：从而，大的曲边扇形面积当时，大的曲边扇形面积例：求心形线围成面积。7.6.7.6.67.6.7.6华东师范大学数学系编《数学分析》第四版，第十章第一、二节；刘玉琏，傅沛仁编，数学分析讲义的第十章7.7教学单元七:定积分的应用（续）7.71教学日期：参见教学日历7.7.27.7.37.7.4三、应用定积分求平面曲线的弧长平面曲线弧长的定义：设有平面曲线C，作分割T’:在曲线C上插入n-1个分点，将曲线分成n个小的曲线段，（），求得曲线段（），得曲线段长度，当时，如果，称平面曲线C为可求长的，记为平面曲线C的弧长。问题1：平面曲线C满足什么条件时有长度？问题2：平面曲线C有长度时，怎么求？定义：如果平面曲线C：满足：具有连续的导函数，且，称曲线C是光滑曲线。定理：如果平面曲线C，是光滑曲线，则C是可求长的.证明（略）定理：如果平面曲线C，是光滑曲线，则其弧长为：例：求，的弧长思考：如果曲线用参数方程、极坐标方程表示怎么求？例：求摆线一拱的弧长。四、应用定积分求旋转曲面的侧面积定义：设有平面曲线C：，绕x轴旋转一周得旋转曲面，如下图：应用微元法求得旋转曲面的侧面积公式：例：求圆在上的弧段绕x轴旋转所得球带的面积。思考：平面曲线C用参数方程给出，侧面积怎么求？例：求内摆线绕x轴旋转所得旋转曲面的侧面积。7.7.57.7.67.7.7课前准备情况及其他相关特殊7.7.华东师范大学数学系编《数学分析》第四版，第十章第三、四节；刘玉琏，傅沛仁编，数学分析讲义的第十章7.8教学单元八:反常积分7.2.1教学日期：参见教学日历7.2.27.2.3教学内容（含重点、难点）：7.2.第十一章反常积分一、无穷限反常积分的定义：设函数在区间上有定义，在任何有限区间上可积，如果极限，称为在上的反常积分或无穷积分。记为，也称积分收敛，如果极限不存在，称积分发散。类似地，可定义无穷积分，的敛散性。例：讨论积分的敛散性例：讨论积分二、瑕积分的定义：设函数在上有定义，在点a的任意右领域内无界但在任何闭区间上可积，如果存在极限，称瑕积分收敛于，称为的瑕点。记为，如果极限不存在，称瑕积分发散。类似地可定义为的瑕点的积分的敛散性，也可定义为的瑕点瑕积分的敛散性。例：讨论积分例：讨论积分的敛散性解：设在上连续，为瑕点，由于，故当时积分收敛于三、无穷积分的性质与判定定理：无穷积分收敛的充要条件是：只要就有：7.6.57.6.6作业安7.6.77.6.华东师范大学数学系编《数学分析》第四版，第十一章第一、二节；刘玉琏，傅沛仁编，数学分析讲义的第十一章7.9教学单元九7.1.1教学日期：7.1.2教学目标：准确理解敛散性概念、级数收敛的必要条件和其它性质；7.1.3教学内容：第十二章数项级数——§1数项级数的敛散性。教学重点：敛散性概念和性质教学难点：级数收敛的Cauchy准则7.1.4教学过程：第十二章数项级数第一节数项级数的收敛性一．数项级数的定义定义1给定一个数列，将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式（1）称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中称为级数（1）的通项。级数（1）简记为：，或。二、数项级数的收敛性记：称之为级数的第个部分和，简称部分和。定义2若数项级数的部分和数列收敛于S（即），则称数项级数收敛，称S为数项级数的和，记作=。若部分和数列发散，则称数项级数发散。例1试讨论等比级数（几何级数），的收敛性。例2讨论级数的收敛性。解：用拆分消去法求。三、数项级数与数列的关系:对应部分和数列{}，收敛{}收敛；对每个数列{}，可以看作对应级数的部分和，=。于是，数列{}收敛级数收敛。可见，级数与数列是同一问题的两种不同形式。四、级数与无穷积分的关系无穷积分可化为级数：,,易见有=。综上所述，级数和无穷积分可以互化，它们有平行的理论和结果。可以用其中的一个研究另一个。五、收敛级数的性质由于级数和数列的关系，不难得到下面的定理，定理12.1（级数收敛的Cauchy准则）级数（1）收敛的充要条件是：任给正数，总存在正整数，使得当以及对任意的正整数，都有。根据定理12.1，级数（1）发散的充要条件是：存在某个，对任何正整数N，总存在正整数，有。推论（必要条件）若级数（1）收敛，则。注：此条件只是必要的，并非充分的，如下面的例3。例3讨论调和级数的敛散性。例4应用级数收敛的柯西准则证明级数收敛。证明：由于=。故对，取，使当及对任何正整数，都有。故级数收敛。定理12.2若级数与都有收敛，则对任意常数，级数也收敛，且。即对于收敛级数来说，交换律和结合律成立。定理12.3去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性。（即级数的敛散性与级数的有限个项无关，但其和是要改变的）。若级数收敛，设其和为S，则级数也收敛，且其和为。并称为级数的第个余项（简称余项），它代表用代替S时所产生的误差。定理12.4在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。注意：从级数加括号后的收敛，不能推断加括号前的级数也收敛（即去括号法则不成立）。如：收敛，而级数是发散的。例5（2003华东师大）设且收敛，证明：收敛．证明：提示：设与的部分和分别为与，则例6（2001华东师大）设收敛，，证明收敛且．7.9.5教学方7.9.67.9.77.9.8华东师范大学数学系编《数学分析》第四版，第十二章第一、二节；刘玉琏，傅沛仁编，数学分析讲义的第十二章7.10教学单元十7.107.10.2教学目标：熟练利用正项级数的收敛原理，比较判别法，比值判别法判定正项级数的敛散性。7.10.3教学内容：第十二章数项级数——§教学重点：正项级数的收敛判定教学难点：比较判别法的收敛判定及应用7.10.4第二节正项级数一、正项级数收敛性的一般判别原则1．正项级数的概念若，则称级数为正项级数。（若，也可以转化为正项级数）2．基本定理定理12.5正项级数收敛部分和数列有界。3.正项级数判敛的比较原则定理12.6（比较原则）设和均为正项级数，如果存在某个正数N，对一切都有，则（1）若级数收敛，则级数也收敛；（2）若级数发散，则级数也发散。证明：由定义及定理12.5即可得。例1考察的收敛性。推论（比较判别法的极限形式）设和是两个正项级数，若，则（1）当时，级数、同时收敛或同时发散；（2）当且级数收敛时，级数也收敛；（3）当且发散时，级数也发散。证明：由极限定义和比较原则即可得。例2判断下列级数的敛散性:⑴;⑵;⑶例3若，讨论级数的敛散性。二、比式判别法和根式判别法定理12.7（达朗贝尔判别法，或称比式判别法）设为正项级数，且存在某个正整数及常数：（1）若对，有，则级数收敛；（2）若对，有，则级数发散。推论（比式判别法的极限形式）设为正项级数，且，则（1）当时，级数收敛；（2）当（可为）时，级数发散；（3）当时，级数可能收敛，也可能发散。（如：，）。证明：由比式判别法和极限定义即可得。例4讨论级数的收敛性。例5讨论级数的敛散性。例6判断级数的敛散性。例7判定正误，说明理由（1）正项级数满足，则收敛。（2）级数满足，则不绝对收敛，但可能条件收敛。（3）正项级数收敛，则存在正数，使得（提示：不对，如）定理12.8（柯西判别法，或称根式判别法）设为正项级数，且存在某个正整数及正常数，（1）若对，有，则级数收敛；（2）若对，有，则级数发散。证明：由比较判别法即可得。推论（根式判别法的极限形式）设为正项级数，且，则（1）当时，级数收敛；（2）当（可为）时，级数发散；（3）当时，级数可能收敛，也可能发散。如：，。证明：由定理12.8可得例8研究级数的敛散性。三、积分判别法定理12.9设为[上非负减函数，则正项级数与反常积分同时收敛或同时发散。例9讨论下列级数（1），（2），（3）的敛散性。7.10.57.10.67.10.77.6108参考资料（具体到哪一章节或页码）华东师范大学数学系编《数学分析》第四版，第十二章第三、四节；刘玉琏，傅沛仁编，数学分析讲义的第十二章7.11教学单元十一7.11.17.11.2教学目标：掌握交错级数收敛、一般级数的绝对收敛与条件收敛的判定；会用Cauchy、D`Alembert判别法及其极限形式，Raabe7.11.3教学内容：第十二章数项级数——§教学重点：绝对收敛与条件收敛的判定教学难点：Raabe变换及引理7.11.4第三节一般项级数一、交错级数若级数的各项符号正负相间，即，称为交错级数。定理12.11（莱布尼茨判别法）若交错级数满足下述两个条件：（1）数列单调递减；（2）。则级数收敛。且此时有。推论若级数满足莱布尼茨判别法的条件，则其余项估计式为。例1判别下列级数的收敛性：（1）；（2）；（3）。二绝对收敛级数及其性质若级数各项绝对值所组成的级数收敛，则称原级数绝对收敛。定理12.12绝对收敛的级数一定收敛。证明：由绝对收敛的定义及级数收敛的柯西准则即可得。例2对任何实数，级数是绝对收敛的。若级数收敛，但级数发散，则称级数条件收敛。如：是条件收敛的；和是绝对收敛的。例3判定级数的绝对收敛、条件收敛与发散性．例4证明：若绝对收敛，则也绝对收敛．全体收敛的级数可分为绝对收敛级数和条件收敛级数两大类。绝对收敛的级数有以下性质：1。级数的重排把正整数列到它自身的一一映射称为正整数列的重排，相应地称级数为级数的重排。定理12.13设级数是级数的任意一个重排，若绝对收敛，则也绝对收敛，且其和不变。证明（略）注意：（1）由条件收敛的级数重排后所得到的级数，不一定收敛；即使收敛，也不一定收敛于原来的和数。（2）条件收敛的级数适当重排后，可得到发散级数，或收敛于事先指定的任何数。如：设，则，而，它正是第1个级数的重排。2．级数的乘积设有收敛级数，（1）。（2）它们每一项所有可能的乘积为：……………………这些乘积可以按各种方法排成不同级数，常见的有按正方形顺序或按对角线顺序依次相加，如下表……………………定理12.14（柯西定理）设绝对收敛,绝对收敛,并设=A，=B。则它们以任何方式排列的乘积级数也绝对收敛，且乘积级数的和为AB。证明：（略）例5等比级数=，是绝对收敛的，将按三角顺序排列。则得到==.三、型如的级数判敛法1．阿贝耳判别法引理（分部求和公式，也称阿贝尔变换）设，为两组实数，若令，则有下列求和公式成立：。推论（阿贝尔引理）若（1）单调数组；（2）对任一正整数有，记，则有。证明：由阿贝尔引理即可得。定理12.15（阿贝尔判别法）若(1)为单调有界数列，(2)级数收敛，则级数收敛。定理12.16（狄利克雷判别法）若(1)为单调递减数列，且，(2)级数的部分和数列有界，则级数收敛。例6若数列为单调递减，且，则级数与对任何都收敛。7.11.57.11.6作业安排及课后反思7.11.77.11.华东师范大学数学系编《数学分析》第四版，第十二章第三、四节；刘玉琏，傅沛仁编，数学分析讲义的第十二章7.12教学单元十二7.12.17.12.22、掌握函数列一致收敛的判别法；3、熟练掌握函数项级数一致收敛的Weierstrass判别法7.12.3教学内容：第十三章函数列与函数项级数——§教学重点：函数列、函数项级数一致收敛的定义与判定教学难点：一致收敛的柯西准则7.12.4第十三章函数列与函数项级数第一节一致收敛性一、函数列及极限函数设（1）是一列定义在同一数集E上的函数，称为定义在E上的函数列。也可简记为：或，。设，将代入得到数列：（2）若数列（2）收敛，则称函数列（1）在点收敛，称为函数列（1）的收敛点。若数列（2）发散，则称函数列（1）在点发散。若函数列（1）在数集上每一点都收敛，则称（1）在数集D上收敛。这时，都有数列的一个极限值与之对应，由这个对应法则就确定了D上的一个函数，称它为函数列的极限函数。记作。于是，有，，或，。函数列极限的定义：对每一个固定的，对，（注意：一般说来N值的确定与和的值都有关），使得当时，总有。且使函数列收敛的全体收敛点的集合，称为函数列的收敛域。例1设，为定义在上的函数列，证明它的收敛域是，且有极限函数（3）例2，用“”定义验证在内.二、函数列的一致收敛性问题：设在数集D上,.试问:能否由通项的连续性、可微性和可积性判断出极限函数的连续性、可微性和可积性?答案是否定的.那末,在什么条件下答案是肯定的？一个充分条件就是所谓“一致收敛”。定义1设函数列与函数定义在同一数集D上，若对任给的正数，总存在某一正整数，使得当时，对一切的，都有则称函数列在上一致收敛于，记作：，。注意：1.定义中的只与有关而与的值无关。2.函数列在上一致收敛于，必在上收敛于。反之不成立。定义设函数列与函数定义在同一数集D上，若存在正数，对任意正整数，都存在正整数与，使得则称函数列在上不一致收敛于一致收敛的几何意义：对任何正数，存在正整数，对一切，曲线都落在以曲线与为边的带开形区域内。定理13.1（函数列一致收敛的柯西准则）函数列在数集上一致收敛的充要条件是：对任给的正数，总存在正数，使得当时，对一切，都有。（4）证：[必要性]设，，即对任给，存在正数，使得当时，对一切，都有。（5）于是当，由（5）就有。[充分性]若条件（4）成立，由数列收敛的柯西准则，在上任一点都收敛，记其极限函数为，。现固定（4）式中的，让，于是当时，对一切都有：。由定义1，，。定理13.2函数列在区间上一致收敛于的充要条件是：。（6）证明[必要性]若，。则对任给的正数，存在不依赖与的正整数，当时，有，。由上确界的定义，亦有。则有。[充分性]由假设，对任给的，存在正整数,使得当，有。（7）因为对一切，总有。故由（7）式得。于是在上一致收敛于。推论设在数集D上,.若存在数列D,使,（8）则函数列在数集D上非一致收敛.应用推论判断函数列在数集D上非一致收敛时,常选为函数―在数集D上的最值点.例3设，证明函数列在R内一致收敛.例4设，证明在R内,但不一致收敛.例5.证明在内,.证：易见而在内成立.由定理13.2得,.例6对定义在区间上的函数列证明:,但在上不一致收敛.例7设可微函数列在收敛，在上一致有界，证明：在上一致收敛。三、函数顶级数及其一致收敛性1．函数项级数及其和函数设是定义在数集E上的一个函数列，表达式，（9）称为定义在E上的函数顶级数，简记为或。称，，（10）为函数顶级数（9）的部分和函数列。若，数顶级数（11）收敛，既部分和当时极限存在，则称级数（9）在点收敛，称为级数（9）的收敛点，若级数（11）发散，则称级数（9）在点发散。若级数（9）在E某个子集D上每个点都收敛，则称级数（9）在点D上收敛，若D为级数（9）全体收敛点的集合，这时则城D为级数（9）的收敛域。级数（9）在D上每一点x与其所对应的数项级数（11）的和构成一个定义在D上的函数，称为级数（9）的和函数，并写作，，即，。也就是说，函数项级数（9）的收敛性就是指它的部分和函数列（10）的收敛性。例8讨论定义在上的函数项级数（几何级数）的一致收敛性．（12）的部分和函数为。故当时，。所以几何级数（12）在内收敛于和函数；当时，几何级数是发散的。四、函数项级数一致收敛1．函数项级数一致收敛性定义若函数项级数的部分和函数列在上一致收敛，则称函数项级数在上一致收敛。2．函数项级数一致收敛性的判定定理13.3（柯西准则）函数项级数在上一致收敛的充分必要条件是：时，对一切自然数及都有：定理13.4（M——判别法）函数项级数定义在上且存在收敛的正项级数使得：则函数项级数在上一致收敛。定理13.5（阿贝耳判别法）（判定函数项级数在上一致收敛的方法）若函数项级数在上一致收敛，函数列单调且一致有界，则函数项级数在上一致收敛。定理13.6（狄里克雷判别法）（判定函数项级数在上一致收敛的方法）若函数项级数的部分和函数列在上一致有界，函数列单调且一致收敛于零，则函数项级数在上一致收敛。例9讨论在的一致收敛性．例10若区间上，对任何正整数都有：，证明当在上一致收敛时，级数在上也一致收敛．7.12.5教学方法7.12.67.12.77.12.华东师范大学数学系编《数学分析》第四版，第十三章第一、二节；刘玉琏，傅沛仁编，数学分析讲义的第十三章7.13教学单元十三7.13.17.13.27.13.3教学内容：第十三章函数项级数——§教学重点：函数列与函数项级数的性质定理教学难点：函数列与函数项级数的性质定理的应用7.13.4一致收敛函数列与函数项级数的性质一、函数列一致收敛级数的性质定理定理13.9（连续性）若函数列在上一致收敛于，且每一项在连续，则极限函数在上连续，且定理13.10（可积性）若函数列在上一致收敛于，且每一项在连续，则极限函数在上连续，且定理13.11（可微性）若函数列在收敛，且每一项在连续的导数，且在上一致收敛，则极限函数在上可导，且例1设函数在上具有任意阶导数且任意有限区间内一致收敛于，证明（为任意常数）．二、函数项级数一致收敛级数的性质定理定理13.12（连续性）若函数项级数在上一致收敛，每一项在上连续，则和函数在上连续，且定理13.13（可积性）若函数项级数在上一致收敛，每一项在上连续，则和函数在上可积，且定理13.14（可微性）若函数项级数在收敛，每一项在上连续的导数，且在上一致收敛，则和函数在上可导，且例3证明：函数在上连续，且有连续的导函数．例4函数项级数，证明：例5证明：函数项级数在上不一致收敛，但在上连续，且有各阶连续导数。7.13.57.13.67.13.77.13.华东师范大学数学系编《数学分析》第四版，第十三章第三、四节；刘玉琏，傅沛仁编，数学分析讲义的第十三章8．课程要求8.1学生自学要求：学生要做到课前有预习、课后有复习。8.2课外阅读要求：至少阅读两本参考资料8.3课堂讨论要求：结合该课程的特点，学会用数学的思想方法处理和解决问题。8.4课程实践要求：9．课程考核9.1出勤（迟到、早退等）、作业、报告等的要求：（1）不缺席、不迟到、不早退（2）练习要求：课后努力复习，必须有一定量的练习，根据自己情况决定练习量的多少（有的知识点教师对练习量有特殊要求），以达到对知识的要求为准。教师不定期查练习册，练习量作为平时考核的主要依据之一。（3）作业要求：对每个知识点，教师会布置一定的作业量，要求整洁，不能有修改。条理清晰，思路清楚，逻辑严密。作业的质量是平时考核的主要依据之一。9.2成绩的构成与评分规则说明期终成绩由平时成绩、期中考试成绩、期末考试成绩组成。（1）平时成绩（占总成绩30%）：由课程考核的三个方面组成。对每次作业、练习的检查评出等级A，B，C。对迟到、早退、缺席也有相应的评分标准。具体评分标准参见成绩登记册。（2）期中考试成绩