《数学分析》（3-2）课程实施大纲

,.(由以下命题4系2)命题3设幂级数和的收敛半径分别为和,,则ⅰ>,—Const，.ⅱ>+,.ⅲ>()(),,.3.和函数的性质:命题4设在(内.则ⅰ>在内连续;ⅱ>若级数或收敛,则在点(或)是左(或右)连续的;ⅲ>对,在点可微且有。ⅳ>对,在区间上可积,且.当级数收敛时,无论级数在点收敛与否,均有.这是因为:由级数收敛,得函数在点左连续,因此有.推论1和函数在区间内任意次可导,且有,…….由系1可见,是幂级数的和函数的必要条件是任意次可导.推论2若,则有例7验证函数满足微分方程.验证：所给幂级数的收敛域为..,代入,例8求的收敛半径与和函数．解：首先确定收敛域：；再求和函数：设，，则，其中，收敛域为。所以其中，收敛域为。所以所以从而所以所以所求和函数为例9求级数的和．提示：，而是在处的值。例10求的值．解：先求的和函数．因为，所以当时原级数收敛，当时原级数发散．当时原级数为发散，当时原级数为收敛．从而原级数的收敛域为．设其和函数为，，则，又，所以，所以课堂练习：习题中选择1-2题五．小结7.6.5教学方法：讲授法7.6.6作业安排及课后反思：作业：P54：1(2),(6),(7);2(1),(2);6课后反思：1．缺项的幂级数的收敛半径的求法2．总结求幂级数的和函数的基本步骤7.6.7课前准备情况及其他相关特殊要求：复习函数项级数一致收敛的性质7.6.8参考资料：吴良森等主编《数学分析学习指导书》，P76-P907.7教学单元七7.77.7.2教学目标：理解函数幂级数展开的条件，掌握初等函数的幂级数展开．7.7.3教学内容：第十四章幂级数——§2函数的幂级数展开式教学重点：函数的幂级数展开式；教学难点：函数的幂级数展开式；7.7.4教学过程：函数的幂级数展开（4学时）函数的幂级数展开:1、Taylor级数Taylor公式：.余项的形式:Peano型余项：，（只要求在点某邻域内有阶导数，存在）Lagrange型余项：在与之间，或.积分型余项:当函数在点的某邻域内有阶连续导数时,有.Cauchy余项:在上述积分型余项的条件下,有Cauchy余项.特别地，时，Cauchy余项为在与之间.Taylor级数:Taylor公式仅有有限项,是用多项式逼近函数.项数无限增多时,得称此级数为函数在点的Taylor级数.要函数在点无限次可导,就可写出其Taylor级数.称=时的Taylor级数为Maclaurin级数,即级数。自然会有以下问题:对于在点无限次可导的函数,在的定义域内或在点的某邻域内,函数和其Taylor级数是否相等呢?2．函数与其Taylor级数的关系例1函数在点无限次可微，求得：其Taylor级数为.该幂级数的收敛域为.仅在区间内有=.而在其他点并不相等,因为级数发散.那么,在Taylor级数的收敛点,是否必有和其Taylor级数相等呢?回答也是否定的.例2函数在点无限次可导且有，因此其Taylor级数，在内处处收敛，但除了点外,函数和其Taylor级数并不相等。另一方面，在点的某邻域内倘有,则在点无限次可导且级数必为函数在点的Taylor级数.综上，我们有如下结论：⑴对于在点无限次可导的函数，其Taylor级数可能除点外均发散,即便在点的某邻域内其Taylor级数收敛，和函数也未必就是。由此可见，不同的函数可能会有完全相同的Taylor级数。⑵若幂级数在点的某邻域内收敛于函数，则该幂级数就是函数在点的Taylor级数。于是，为把函数在点的某邻域内表示为关于的幂级数，我们只能考虑其Taylor级数.3．函数的Taylor展开式若在点的某邻域内函数的Taylor级数收敛且和恰为，则称函数在点可展开成Taylor级数(自然要附带展开区间，称此时的Taylor级数为函数在点的Taylor展开式或幂级数展开式，简称函数在点可展为幂级数。当=0时,称Taylor展开式为Maclaurin展开式。通常多考虑的是Maclaurin展开式。4。可展条件Th1（必要条件）函数在点可展在点有任意阶导数.Th2（充要条件）设函数在点有任意阶导数.则在区间内等于其Taylor级数(即可展)的充要条件是:对,有.其中是Taylor公式中的余项.证：把函数展开为阶Taylor公式，有.Th3（充分条件）设函数在点有任意阶导数，且导函数所成函数列一致有界,则函数可展.证：利用Lagrange型余项，设，则有.例3展开函数ⅰ>按幂;ⅱ>按幂.解：,,.所以，ⅰ>.可见，的多项式的Maclaurin展开式就是其本身。ⅱ>初等函数的幂级数展开式:为得到初等函数的幂级数展开式，或直接展开，或间接展开。1..(验证对R，在区间(或)上有界,得一致有界，因此可展)..2.,.,.可展是因为在内一致有界.3.二项式的展开式:为正整数时,为多项式,展开式为其自身;为不是正整数时,可在区间内展开为=利用二项式的展开式,可得到很多函数的展开式。例如取,得，.时,,.间接展开：利用已知展开式,进行变量代换、四则运算以及微积运算,可得到一些函数的展开式，利用微积运算时，要求一致收敛。幂级数在其收敛区间内闭一致收敛，总可保证这些运算畅通无阻，4...事实上，利用上述的展开式,两端积分，就有,.验证知展开式在点收敛,因此,在区间上该展开式成立.5..由.两端积分,有验证知上述展开式在点收敛,因此该展开式在区间上成立.例4展开函数.解：.例5展开函数.解：例5（2001华东师大）设求解：因为，所以根据泰勒系数公式有：且所以例6求函数在处的幂级数展开式。解：因为，而所以课堂练习：习题中选择1-2题三．小结7.7.5教学方法：讲授法7.7.6作业安排及课后反思：作业：P63:1;2(4),(6);3(2);4(1)课后反思：总结求函数幂级数展开式的方法，特别是间接求法7.7.7课前准备情况及其他相关特殊要求：复习泰勒公式7.7.8参考资料：吴良森等主编《数学分析学习指导书》，P90-P1017.8教学单元八7.8.1教学日期：7.8.2教学目标：掌握三角函数系的正交性与函数的傅里叶级数的概念，能将一些怪为同期的函数展开成傅里叶级数．7.8.3教学内容：第十五章傅立叶级数——§1傅立叶级数教学重点：Fourier级数的敛散性判定方法。函数的为周期的函数的Fourier级数展开教学难点：计算傅立叶系数7.8.4教学过程：第十五章傅里叶级数§傅里叶级数一．三角级数·正交函数系1．三角级数和三角函数系概念在科学实验与工程技术的某些现象中，常会碰到一种周期运动．最简单的周期运动，可用正弦函数来描写．由所表达的周期运动也称为简谐振动，其中为振幅,为初相角，为角频率，于是简谐振动的周期是．较为复杂的周期运动，则常是几个简谐振动。的叠加由于简谐振动的周期为，所以函数的周期为．对无穷多个简谐振动进行叠加就得到函数项级数若级数收敛，则它所描述的是更为一般的周期运动现象．对于级数，我们只要讨论（如果，可用代替）的情形．由于所以记，，，则级数可写成它是由三角函数列（也称为三角函数系）所产生的一般形式的三角级数．容易验证，若三角级数收敛，则它的和一定是一个以为周期的函数．2．三角级数收敛性定理若级数收敛，则级数在整个数轴上绝对收敛且一致收敛．证明3．三角函数系具有特性首先容易看出性质：三角函数系中所有函数具有共同的周期．性质：在三角函数系中，任何两个不相同的函数的乘积在上的积分都等于零，即而中任何一个函数的平方在上的积分都不等于零，即通常把两个函数与在上可积，且的函数与称为在上是正交的．由此，我们说三角函数系在上具有正交性，或说是正交函数系．二．以为周期的函数的傅里叶级数应用三角函数系的正交性，我们讨论三角级数的和函数与级数的系数之间的关系．定理若在整个数抽上且等式右边级数一致收敛，则有如下关系一般说，若是以为周期且在上可积的函数，则可按公式计算出，它们称为函数（关于三角函数系）的傅里叶系数，以的傅里叶系数为系数的三角级数称为（关于三角函数系）的傅里叶级数，记作这里记号“～”表示上式右边是左边函数的傅里叶级数．由定理知道：若式右边的三角级数在整个数抽上一致收敛于其和函数，则此三角函数就是的傅里叶级数，即此时式中的记号“～”可换为等号．然而，若从以为周期且在上可积的函数出发，按公式求出其傅里叶系数并得到傅里叶级数，这时还需讨论此级数是否收敛．如果收敛，是否收敛于本身．这就是下一段所要叙述的内容．三．收敛性定理下面的定理称为傅里叶级数收敛定理定理若以为周期的函数在上按段光滑，则在每一点，的傅里叶级数收敛于在点的左、右极限的算术平均值，即．其中为的傅里叶系数．定理说明：若的导函数在上连续，则称在上光滑．但若定义在上除了至多有有限个第一间断点的函数的导函数在上除了至多有限个点外都存在且连续，在这有限个点上导函数的左、右极限存在，则称在上按段光滑．根据上述定义，若函数在上按段光滑，则有如下重要性质：在上可积．在上每一点都存在，且有：在补充定义在上那些至多有限个不存在点上的值后（仍记为），在上可积．从几何图形上讲，在区间上按段光滑函数，是由有限个光滑弧段所组成，它至多有有限个第一类间断点与角点．收敛定理指出，的傅里叶级数在点处收敛于这一点上的左、右极限的算术平均值；而当在点连续时，则有，即此时的傅里叶级数收敛于．于是有如下推论．推论若是以为周期的连续函数，且在上按段光滑，则的傅里叶级数在上收敛于．根据收敛定理的假设，是以为周期的函数，所以系数公式中的积分区间可以改为长度为的任何区间，而不影响的值：其中为任何实数．注意：在具体讨论函数傅里叶级数展开式时，常只给出函数在（或）上的解析表达式，但读者应理解为它是定义在整个数轴上以为周期的函数．即在以外的部分按函数在上的对应关系作周期延拓．如为上的解析表达式，那么周期延拓后的函数为因此我们说函数的傅里叶级数就是指函数的傅里叶级数．四．例题例1设求的傅里叶级数展开式．解：（略）例2把下列函数展开成傅里叶级数：解：所以当时当，收敛于所以即当或时，收敛于．五．小结7.8.57.8.6作业：P76:1(1);3课后反思：总结要掌握函数的傅里叶级数展开式的方法：作周期延拓；判断延拓后函数是否按段光滑？利用公式（10、）计算；按收敛定理写出函数的傅里叶级数展开式．7.8.7复习已学的定积分的计算方法7.8.8吴良森等主编《数学分析学习指导书》，P105-P1127.9教学单元九7.8.1教学日期：7.8.2教学目标：掌握三角函数系的正交性与函数的傅里叶级数的概念，能将一些以为同期的函数展开成傅里叶级数．7.8.3教学内容：第十五章傅立叶级数——§2以为同期的函数的展开式教学重点：函数的为周期的函数的Fourier级数展开，正（余）弦展开。教学难点：利用公式计算7.8.4教学过程：§2以2为同期的函数的展开式一．以2为同期的函数的傅里叶级数1．以2为同期的函数的傅里叶级数设是以2为同期的函数，令或则是以为同期的函数．若在上可积，则在上也可积．的傅里叶级数为（1）其中（2）（3）现在把代入（1），（2）和（3）得（4）与（5）这样就得到的傅里叶级数和它的傅里叶系数．若在上按段光滑，则同样可由收敛定理知：．2．求以2为同期的函数的傅里叶级数的展开式求展开式的一般方法：按（4），（5）计算系数；将求出的系数代入级数若在上按段光滑，则例1把函数展开成傅里叶级数．解：由于在（-5，5）上按段光滑，因此可以展开成傅里叶级数．于是当时当时，级数收敛于当和5时，级数收敛于课堂提问：函数在展开成傅里叶级数的系数公式是怎样的？二．偶函数与奇函数的傅里叶级数设是以2为同期的偶函数，或是定义在上的偶函数，则在上，是偶函数，而是奇函数，因此的傅里叶系数为于是的傅里叶级数为．由于上式只含有余弦函数的项，所以上式右端的级数称为余弦级数同理，设是以2为同期的奇函数，或是定义在上的奇函数，则得的傅里叶系数为于是的傅里叶级数为由于上式只含有正弦函数的项，所以上式右端的级数称为正弦级数若，则偶函数所展开成的余弦级数为其中，奇函数所展开成的余弦级数为．其中，例设函数求的傅里叶级数展开式．例3把定义在上的函数（其中）展开成正弦级数．例4把在内展开成：（i）正弦数；(ii)余弦级数．解：（1）展开成正弦级数：所以的正弦级数为当时右边级数收敛于． （2）展开成余弦级数：所以的余弦级数为当时右边级数收敛于．把定义在上的函数作偶式延拓或作奇式延拓发到上．然后求延拓后函数的傅里叶级数．但显然可见，对于定义在上的函数，将它展开成余弦级数或正弦级数时，可以不必作延拓而直接计算出它的傅里叶系数．四．小结7.9.57.9.6作业：p84:2;6课后反思：利用展开成傅叶级数求数项级数的和的方法7.9.7傅里叶系数公式及定积分的计算技巧7.9.8吴良森等主编《数学分析学习指导书》，P112-P1207.10教学单元十7.8.1教学日期：7.8.2教学目标：理解收敛性定理证明．7.8.3教学内容：第十五章傅立叶级数——§3收敛性定理证明教学重点：收敛性定理证明教学难点：收敛性定理证明7.8.4教学过程：§3*收敛性定理证明为了证明傅里叶级数的收敛定理，先证明下面两个预备定理．预备定理（贝塞耳不等式）若函数在上可积，则其中为的傅里叶系数，式称为贝塞耳不等式．推论若为可积函数，则因为的左边级数收敛，所以当时，通项，亦即有与，这就是式．这个推论也称为黎曼一勒贝格定理．推论若为可积函数，则预备定理若是以为周期的函数，且在上可积，则它的傅里叶级数部分和可写成当时，被积函数中的不定式由极限来确定．式也称为的傅里叶级数部分和的积分表示式．现在证明定理（收敛定理），重述如下：若以为周期的函数在上按段光滑，则在每一点，的傅里叶级数（§1,(12)）收敛于在点的左、右极限的算术平均值，即其中为的傅里叶系数．小结7.10.57.10.6作业：p7.10.7预习课本知识内容7.10.8吴良森等主编《数学分析学习指导书》，P120-PP1297.11教学单元十一7.11.1教学日期：7.11.2教学目标：理解平面点集中的一基本概念：开集、邻域、聚点、闭集、有界点集等，理解Cauchy准则，闭域套定理、聚点定理、有限覆盖定理，掌握二元函数的概念7.11.3教学内容：第十六章多元函数的极限与连续——§1平面点集与多元函数教学重点：二元函数的概念．教学难点：平面点集中的一基本概念7.11.4教学过程：第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数一、平面点集平面点集：坐标平面上满足某种条件P的点的集合，称为平面点集，记为满足的条件P}．常见平面点集:（1）全平面：．（2）半平面:,,．等．（3）以点为中心，为半径的圆内所有点集合：（4）矩形及其内部所有点的集合：邻域：设点为平面上一点点A的圆邻域：点A的方邻域：圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域，通常用“点A的邻域”泛指这两种形式的邻域，记为或．点A空心邻域：或注：的区别．二、平面点集的基本概念1．内点、外点和界点设A是R2中任意一点，E是R2任意一子集，内点：若存在点A的某个邻域，使得，则称点A为E的内点；全体内点的集合称为E的内部，记作；外点：若存在点A的某个邻域，使得，则称点A为E的外点；界点：若存在点A的任何邻域内既含有属于E的点，又含有不属于E的点，则称点A为E的界点．例1、确定集的内点、外点集和边界．例2、为Dirichlet函数,确定集的内点、外点和界点集．2．聚点和孤立点聚点:若在点的任何空心邻域内都含有中的点，则称是的聚点，聚点本身可能属于，也可能不属于．孤立点:若点，但不是的聚点，即存在某一正数，使得，则称点是的孤立点．3．关系孤立点一定是界点；内点和非孤立点的界点一定是聚点；既不是聚点，又不是孤立点，则必为外点．例：，确定集的聚点集．解：的聚点集．开集和闭集开集：若平面点集所属的每一点都是的内点（即），则称为开集．闭集：若平面点集的所有聚点都属于，则称为闭集．若点集没有聚点，这时也称为闭集．和空集为既开又闭集．5．(以连通性分为)开区域、闭区域、区域开域:若非空开集具有连通性，即中任意两点之间都可用一条完全含于的有限折线（由有限条直线段连接而成的折线）相连接，则称为开域（或称连通开集）．闭域:开域连同其边界所成的点集称为闭域．区域:开域、闭域，或者开域连同其一部分界点所成的点集，统称为区域．以上常见平面点集均为区域．6.有界集与无界集有界点集:对于平面点集，若存在某一正数，使得其中是坐标原点（也可以是其他固定点），则称是有界点集．否则就是无界点集．7.点集的直径两点的距离：．点集的直径：．8.三角不等式对上任何三点,和，皆有三、点列的极限定义设为平面点列，为一固定点．若对任给的正数，存在正整数，使得当时，有，则称点列收敛于点，记作或．例1,,．例2设为点集的一个聚点，则存在中有点列,使．四、中的完备性定理Cauchy收敛准则定理（柯西准则）平面点列收敛的充要条件是：任给正数，存在正整数，使得当时，对一切正整数，都有．2.闭集套定理定理（闭域套定理）设是中的闭域列，它满足：,则存在唯一的点．聚点原理定理（聚点定理）设为有界无限点集，则在中至少有一个聚点．推论有界无限点列必存在收敛子列．有限复盖定理定理（有限覆盖定理）设为一有界闭域，为一开域族，它覆盖了（即，则在中必存在有限个开域它们同样覆盖了（即）．五、二元函数1．二元函数的定义、记法、图象定义设平面点集，若按照某对应法则中每一点都有唯一确定的实数与之对应，则称为定义在上的二元函数（或称为到的一个映射），记作且称为的定义域；所对应的为在点的函数值，记作；全体函数值的集合为的值域，记作．通常还把的坐标称为的自变量，而把称为因变量．在映射意义下，上述称为的象，称为的原象．当把和它所对应的象一起组成三维数组时，三维欧式空间中的点集．便是二元函数的图象．通常的图象是一空间曲面，的定义域便是该曲面在平面上的投影．为方便起见，由式所确定的二元函数也记作，2、定义域例：求下列函数的定义域并作图：（1）;（2）.六．小结7.10.57.10.6作业：p100:5;8(1),(6),(7),(10);9课后反思：7.10.7集合的作图7.10.8吴良森等主编《数学分析学习指导书》，P134-P1477.12教学单元十二7.11.1教学日期：7.11.2教学目标：理解掌握二元函数极限、累次极限定义与性质7.11.3教学内容：第十六章多元函数的极限与连续——§2多元函数极限教学重点：二元函数的极限教学难点：二元函数的极限不存在判定7.11.4教学过程：§2二元函数极限一．二元函数极限1．二元函数极限定义设为定义在上的二元函数，为的一个聚点，是一个确定的实数．若对任给的正数，总存在某正数，使得当时，都有则称在上当时，以为极限，记作在对于不致产生误解时，也可简单地写作当分别用坐标表示时,式也常写作例1用“”定义验证极限.例2用“”定义验证极限.例3，证明证：（用极坐标变换）2。极限与子集上极限的关系定理的充要条件是：对于，只要是E的聚点，就有推论1设，是的聚点，若极限不存在，则极限也不存在．推论2设，是和的聚点，若存在极限，，但，则极限不存在．推论3极限存在对D内任一点列，但,数列收敛．推论1相当于数列与子列关系中“子列不存在极限，则数列不存在极限”．推论2相当于数列与子列关系中“若两个子列存在不同的极限，则数列不存在极限”．推论3相当于海涅定理．通常为证明极限不存在,可证明沿某个方向的极限不存在,或证明沿某两个方向的极限不相等,或证明方向极限与方向有关．但应注意，沿任何方向的极限存在且相等全面极限存在(以下例5)．例4设，证明极限不存在．例5求下列极限:（1）;（2）;（3）;（4）.3．极限的定义定义设为二元函数的定义域，的一个聚点．若对任给正数，总存在点邻域，使得当时，都有，则称时，存在非正常极限，记作或仿此可类似地定义：．例6验证.二、累次极限1．累次极限的定义在上一段所研究的极限中，两个自变量同时以任何方式趋于．这种极限也称为重极限．在这一段里，我们要考察依一定的先后顺序相继趋于与时的极限，这种极限称为累次极限．定义设的聚点，是的聚点，是的聚点，二元函数在集合上有定义．若对每一个，存在极限，由于此极限一般于有关，因此记作．而且进一步存在极限．则称此极限为二元函数先对后对的累次极限，并记作．或简记作．类似地可以定义先后对的累次极限．例7,求在点的两个累次极限．例8,求在点的两个累次极限．例9,求在点的两个累次极限．2．二极限与累次极限的关系⑴两个累次极限存在时,可以不相等．⑵两个累次极限中的一个存在时,另一个可以不存在．例如函数在点的情况．⑶二重极限存在时,两个累次极限可以不存在．例如：例10中的函数,由，可见二重极限存在，但两个累次极限均不存在．⑷两个累次极限存在(甚至相等)二重极限存在．（参阅例4和例8）．综上，二重极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系，但有以下确定关系：Th2若二重极限和累次极限(或另一次序)都存在，则必相等．证明推论1二重极限和两个累次极限三者都存在时，三者相等．推论2两个累次极限存在但不相等时，二重极限不存在．推论1给出了累次极限次序可换的一个充分条件，但两个累次极限中一个存在，另一个不存在二重极限不存在．三．小结7.127.12作业：P106:1(1),(3),(5)(7);2(1),(2),4课后反思：总结二重极限、两个累次极限的求法及存在性判定7.12一元函数极限的证明方法和极限的求法7.12吴良森等主编《数学分析学习指导书》，P147-P1557.13教学单元十三7.17.13.2教学目标：7.13.3教学内容：第十六章多元函数的极限与连续——§教学重点：二元函数的连续的定义与性质教学难点：有界闭域上连续函数性质．7.1§二元函数的连续性一．二元函数的连续性概念定义设为定义在点集上的二元函数，（它或者是的聚点，或者是的孤立点）．对于任给的正数，总存在相应的正数，只要，就有则称关于集合在点连续．在不致误解的情况下，也称在点连续．若在上任何点都关于集合连续，则称为上的连续函数．由上述定义知道：若是的孤立点，则必定是关于的连续点；若是的聚点，则关于在连续等价于如果是的聚点，而式不成立（其含义与一元函数的对应情形相同），则称是的不连续点（或称间断点）．特别当式左边极限存在但不等于时，是的可去间断点．把上节例、给出的函数在原点连续；例给出的函数在原点不连续，又若把例的函数改为其中为固定实数，亦即函数只定义在直线上．这是由于，因此，在原点沿着直线是连续的．设、，则称（3）为函数在点的全增量．和一元函数一样，可用增量形式来描述连续性，即当时，在点连续．如果在全增量中取，则相应的函数增量称为偏增量，记作一般说来，函数的全增量并不等于相应的两个偏增量之和．若一个偏增量的极限为零，例如，它表示在的两个自变量中，当固定时，作为的一元函数在连续．同理，若，则表示在连续．容易证明：当在其定义域的内点连续时，在和都连续．但是反过来，二元函数对单个自变量都连续并不能保证该函数的连续性（除非再增加条件）．例如二元函数在原点处显然不连续．但由于因此在原点处对和对分别都连续．若二元函数在某一点连续，则与一元函数一样，可以证明它在这一点近旁具有局部有界性、局部保号性以及相应的有理运算的各个法则．定理（复合函数的连续性）设函数和在平面上点的某邻域内有定义，并在点连续；函数在平面上点的某邻域内有定义，并在点连续，其中，．则复合函数在点也连续．二、有界闭域上连续函数的性质本段讨论有界闭域上多元连续函数的性质．它们可以看作是闭区间上一元连续函数性质的推广．定理（有界性与最大、最小值定理）若函数在有界闭域上连续，则在上有界，且能取得最大与最小值．定理（一致连续性定理）若函数在有界闭域上连续，则在上一致连续．即对任何，总存在只依赖于的正数，使得对一切点、，只要，就有：．定理（介值性定理）设函数在区域上连续，若为中任意两点，且，则对任何满足不等式的实数，必存在点，使得．实际上，定理与中的有界闭域可以改为有界闭集.但是，介值性定理中考察的点集只能假设是一区域，这是为了保证它具有连通性，而一般的开集或闭集不一定具有这一特性，此外，由定理可知，若为区域上连续函数，则必定是一个区间（有限或无限）．例（华东师大2003年）若函数在上对连续，且存在，对，满足，试证：在上连续．证明：，有然后利用已知条件证．所以，在上连续．课堂练习：习题中选择1-2题三．小结7.137.13作业：P112:1(3),(4),2,4课后反思：总结一元函数与多元函数连续性的区别与联系7.13复习一元函数的连续性7.13吴良森等主编《数学分析学习指导书》，P155-P1647.14教学单元十四7.147.14.2教学目标：7.14.3教学内容：第十七章多元函数微分学——§教学重点：偏导数、全微分定义与求法．教学难点：可微条件．7.14第十七章多元函数微分学§1可微性一．可微性与全微分定义设函数在点的某领域内有定义，对于中的点，若函数在点处的全增量可表示为：=其中是仅与点有关的常数，,是较高阶的无穷小量，则称函数在点可微．并称式中关于的线形函数为函数在点的全微分，记作由，可见是的线形主部，特别当充分小时,全微分可作为全增量的近似值，即在使用上，有时也把(1)式写成如下形式，其中，=．考察函数在点处的可微性．二．偏导数1．偏导数的定义、记法定义设函数．若，且在的某一邻域内有定义，则当极限（5）存在时．称这个极限为函数在点关于的偏导数，记作或|．注意1这里符号专用于偏导数算符，与一元函数的导数符号相仿，但又有差别．注意2在上述定义中，在点存在关于（或）的偏导数，至少在（或）的偏导数，至少在（或）上必须有定义．若函数在区域上每一个点都存在对（或对）的偏导数，则得到函数在区域上对（或对）的偏导数（也简称偏导数），记作或（或）．也可简单地记作或或．2。偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义是：作为一元函数在的导数，就是曲线C在点处的切线对于轴的斜率，即与轴正向所成倾斜的正切．同样，是平面与曲面的交线在点处的切线关于轴的斜率．3。求偏导数由偏导数的定义还知道，函数对哪一个自变量求偏导数，是先把其他自变量看作常数，从而变成一元函数的求导问题．因此第五章中有关求导的一些法则，对多元函数求偏导数仍然适用．例2求函数在点关于和关于的偏导数．例3求函数的偏导数．例4求三元函数的偏导数．例5证明函数在点连续,并求和．证：，所以在点连续．，不存在．三．可微条件1．必要条件:定理17．1（可微的必要条件）若二元函数在其定义域内一点处可微，则在该点关于每个自变量的偏导数都存在，且（1）式中的．依此函数在点的全微分（2）可惟一地表示为．与一元函数的情况一样，由于自变量的增量等于自变量的微分，即，所以全微分又可写为．若函数在区域上每一个点都可微，则称函数在区域上可微，且在上全微分为．例5讨论函数在原点的偏导存在性与可微性．2．充分条件定理17．2（可微的充分条件）若函数的偏导数在点的某邻域内存在，且与在点处连续，则函数在点可微．定理17.2若在点处连续，点存在，则函数在点可微．证：，即在点可微．要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件.例5设，验证函数在点可微，但和在点处不连续．（简证,留为作业）．证：因此，即,在点可微，．但时,有,沿方向不存在,沿方向极限不存在；又时,，因此，不存在，在点处不连续．由关于和对称，也在点处不连续．四．中值定理定理设函数在点的某邻域内存在偏导数，若属于该邻域，则存在和使得（12）例6设在区域D内.证明在D内．五．连续、偏导数存在及可微之间的关系从可微性概念看到，函数在可微点处必连续，但在函数的连续点处不一定存在偏导数，当然它更不能保证函数在该点可微．例如，函数（圆锥）在原点连续，但在该点不存在偏导数，也不能保证函数在该点连续．例如：在原点不连续，但却存在偏导数，且．这是因为偏导数只是刻画了函数沿轴或轴方向的变化特征．所以这个例子只能说明在原点分别对和对必定连续，但由此并不能保证作为二元函数在原点连续．与定理17．2相仿，只有对偏导数附加适当的条件后，才能保证函数的连续性．六．可微性的几何意义与应用1．可微性的几何意义切平面的定义：定义3设是曲面上一点，为通过点的一个平面，曲面上的动点到定点和到平面的距离分别为d与h．若当Q在上以任何方式趋近于时恒有，则称平面为曲面在点P处的切平面，P为切点．定理17．4曲面在点存在不平行于轴的切平面的充要条件是函数在点可微．(证略)2．切平面的求法设函数在点可微，则曲面在点处的切平面方程为（其中），法线方向数为：，法线方程为．例7试求抛物面在点处的切平面方程和法线方程．3．作近似计算和误差估计:例8求的近似值．例9应用公式计算某三角形面积．现测得,.若测量的误差为的误差为.求用此公式计算该三角形面积时的绝对误差限与相对误差限．课堂练习：习题中选择1-2题七．小结7.14.57.14作业:P124:1(5),(7)(9),3,5;7;9;11,12课后反思：1．总结多元函数的导数与微分的求法，2．总结多元函数的可导性与可微性的判定7.14复习一元函数的导数与微分定义与求法7.14吴良森等主编《数学分析学习指导书》，P168-P1817.15教学单元十五7.15.1教学日期：7.15.2教学目标：熟悉复合函数的偏导数．7.15.3教学内容：第十七章多元函数微分学——§2复合函数微分法教学重点：复合函数求导的链式法则．教学难点：抽象的复合函数求导．7.15.4教学过程：§2复合函数微分法以下列三种情况介绍复合线路图：（1）；（2）,；（3）．一．复合函数的求导法则以二元复合函数：情况为例．定理若函数，，在点可微，在点可微，则复合函数．在点可微，且它关于与的偏导数分别为称这一公式为链式法则．证明：对;,;.情况可写出相应的链式法则．对外元，内元,有，.例1设，而，求．例2设可微，在极坐标变换下，证明．例3设，其中，求．例4用多元复合微分法计算下列一元函数的导数：（1）；（2）．例5，求和.例6设函数可微..求、和.二．复合函数的全微分若以和为自变量的函数可微，则其全微分为．如果作为中间变量又是自变量的可微函数，则由定理17.5知道，复合函数是可微的，其全微分为由于又是的可微函数，因此同时有这就是关于多元函数的一阶（全）微分形式不变性．利用微分形式的不变性，更能有条理地计算复杂函数的全微分．例7设，利用微分形式不变性求，并由此导出．课堂练习：习题中选择1-2题三．小结7.157.15作业：作业:P132:1(1)(3),(5);2;3;8课后反思：总结多元函数的复合函数的求导公式及应用7.15复习一元函数的复合函数的求导公式7.15吴良森等主编《数学分析学习指导书》，P181-P1947.16教学单元十六7.17.16.2教学目标：掌握方向导数与剃度概念．熟悉求7.16.3教学内容：第十七章多元函数微分学——§教学重点：求方向导数与剃度教学难点：方向导数与剃度的意义7.1§3方向导数与梯度一．方向导数1．方向导数的定义定义1设三元函数在点的某邻域内有定义，为从点出发的射线，为上且含于内的任一点，以表示与两点间的距离．若极限．存在，则称此极限为函数在点沿方向的方向导数，记作或．对二元函数在点，可仿此定义方向导数．易见，、和是三元函数在点分别沿轴正向、轴正向和轴正向的方向导数．例1=．求在点处沿方向的方向导数。其中，（1）为方向；（2）为从点到点的方向．解：（1）为方向的射线为，即.,.因此，（2）从点到点的方向的方向数为方向的射线为：．,;．因此（略）．2．方向导数的计算定理17.6若函数在点可微，则在点处任一方向的方向导数都存在，且。其中为方向的方向余弦．例2设，求在点沿方向的方向导数．例3设，这个函数在原点不连续（当然也不可微），但在始于原点的任何射线上，都存在包含原点的充分小的一段，在这一段上的函数值为零．于是由方向导数定义，在原点处沿任何方向都有．这个例子说明：(i)函数在一点可微是方向导数存在的充分条件而不是必要条件；(ii)函数在一点连续同样不是方向导数存在的必要条件，当然也不是充分条件。二．梯度1.梯度的定义定义2若在点存在对所有自变量的偏导数，则称向量为函数在点的梯度，记作。向量的长度（或模）为。易见，对可微函数，方向导数是梯度在该方向上的投影．2。梯度的几何意义:对可微函数,梯度方向是函数变化最快的方向。这是因为|．其中是与夹角.可见时取最大值，在的反方向取最小值．例4设，求在点处的梯度及它的模．3．梯度的运算性质（ⅰ）．（ⅱ）(+)=+．（ⅲ）()=+．（ⅳ）．（ⅴ）()=.证：（ⅳ）,.．课堂练习：习题中选择1-2题三．小结7.177.17作业：P136:2,3,5课后反思：理解掌握方向导数与剃度的意义7.17预习课本知识7.17吴良森等主编《数学分析学习指导书》，P194-P1977.18教学单元十八7.18.1教学日期：7.18.2教学目标：掌握高阶偏导数及极值等概念，了解泰勒公式，会求函数的极值7.18.3教学内容：第十七章多元函数微分学——§泰勒公式与极值问题教学重点：求函数极值．教学难点：泰勒公式．7.18.4教学过程：§4泰勒公式与极值问题一．高阶偏导数由于的偏导函数，仍然是自变量与的函数，如果它们于与的偏导数也存在，则说函数具有二阶偏导数，二元函数的二阶偏导数有如下四种情形：类似地可定义更高的偏导数，的三阶偏导数共有八种情形，如…….例1求函数的所有二阶偏导数和．例2求函数的所有二阶偏导数．注意从上面两个例子看到，这些函数关于和的不同顺序的两个二阶偏导数都相等（种既有关于又有关于的高阶偏导数称为混合偏导数），即．但这个结论并不对任何函数都成立，例如函数它的一阶偏导数为。。进而求在处关于和的两个不同顺序的混合偏导数，得。由此看到，这里的在原点处的两个二阶混合偏导数与求导顺序有关．那么，在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢？为此，我们按定义先把与表示成极限形式．由于。因此有。类似地有为使成立，必须使这两个累次极限相等，即可以交换累次极限次序．下述定理出了使极限相等的一个充分条件．定理17.7若和都在点连续，则．这个定理的结论对元函数的混合偏导数也成立．如三元函数，若下述六元函数混合偏导数，，，，，在某一点都连续，则在这一点六个混合偏导数都相等；同样，若二元函数在点存在直到阶的连续混合偏导数，则在这一点阶混合偏导数都与顺序无关．今后除特别指出外，都假设相应阶数的混合偏导数连续，从而混合偏导数与求导顺序无关．下面讨论复合函数的高阶偏导数．设z是通过中间变量x,y而成为的函数，即其中．．若函数都具有连续的二阶偏导数，则作为复合函数的对同样存在二阶连续偏导数，具体计算如下：，．显然与仍是的复合函数，其中,是的函数，，，，是的函数．继续求关于的二阶偏导数=+=+．同理可得+，=例3设，求．二．中值定理和泰勒公式二元函数的中值公式和泰勒公式，与一元函数的拉格郎日公式和泰勒公式相仿，对于元函数也有同样的公式，只是形式上更复杂一些．在叙述有关定理之前，先介绍凸区域的概念．若区域上任意两点的连线都含于，则称为凸区域．这就是说，若为凸区域，则对任意两点，和一切，恒有．定理17.8（中值定理）设二元函数在凸开域上连续，在的所有内点都可微，则对内任意两点，存在某，使得注意若是闭凸域，且对上任意两点，及任意，都有，则对上连续，内可微的函数，只要，也存在使式成立．例如是圆域在上连续，在内可微，则必有式成立．倘若是矩形区域，那就不能保证对上任意两点都有式成立．公式也称为二元函数（在凸域上）的中值公式．它与定理的中值公式相比较，差别在于这里的中值点是在的连线上，而在定理17.3中与可以不相等．推论若函数在区域上存在偏导数，且，则在区域上为常量函数．定理17.9（泰勒定理）若函数在点的某邻域内有直到阶的连续偏导数，则对内任一点，存在相应的，使得=+．称为二元函数在点的阶泰勒公式。其中，．例4求在点的泰勒公式（到二阶为止），并用它计算．三．极值问题多元函数的极值问题是多元函数微分学的重要应用，这里仍以二元函数为例进行讨论．定义设函数在点的某邻域内有定义．若对于任何点，成立不等式(或)，则称函数在点取得极大（或极小）值，点称为的极大（或极小）值点．极大值、极小值统称极值．极大值点、极小值点统称极值点．注意：这里所讨论的极值点只限于定义域的内点．例5设，，．由定义直接知道，坐标原点是的极小值点，是的极大值点，但不是的极值点．这里因为对任何点，恒有；对任何，恒有；而对于函数，在原点的任意小邻域内，既含有使的II、IV象限中的点，又含有使的II、IV象限中的点，所以既不是极大值又不是极小值．由定义可见，若在点取得极值，则当固定时，一元函数必定在取相同的极值．同理，一元函数在也取相同的极值．于是得到二元函数取极值的必要条件如下：定理17.10（极值必要条件）若函数在点存在偏导数，且在取得极值，则有．(8)反之，若函数在点满足(16)，则称点为的稳定点．定理17.01指出：若存在偏导数，则其极限点必是稳定点．但稳定点并不都是极值点，如例5中的函数，原点为其稳定点，但它在原点并不取得极值．与一元函数的情形相同，函数在偏导数不存在的点上也有可能取得极值．例如在原点没有偏导数，但是的极小值．为了讨论二元函数在点取得极值的充分条件，我们假定具有二阶连续偏导数，并记（9）它称为在的黑塞矩阵．定理17.11（极值充分条件）设二元函数在点()的某邻域内具有二阶连续偏导数，且是的稳定点．则当是正定矩阵时，在取得极小值；当是负定矩阵时，在取得极大值；当是不定矩阵时，在不取极值．根据正半定或负半定对称所属主子行列式的符号规则，定理17.11由又可写成如下比较实用的形式：若函数f如定理17.11所设．是f的稳定点，则有：当时，在点取得极小值;当时，在点取得极大值;当时，f在点不能取得极值；当时，不能肯定f在点是否取得极值．例6求的的极值．例7讨论在原点是否取得极值．例8讨论是否存在极值．例9证明：圆的所有外切三角形