数学分析 第二章 数列极限3课件

§3数列极限存在的条件定义：单调递增单调递减单调数列单调减少单调增加如：10/29/20221定理9（单调有界定理）

[1]单调递增有上界的数列必有极限，且它的极限等于数列的上确界.[2]单调递减有下界的数列必有极限，且它的极限等于数列的下确界.10/29/20222几何解释:注1:此准则只给出了极限存在的充分性条件，并没有给出极限是什么。但是，在已知极限存在时常可以通过一些方法求出极限（特别是由递推公式给出的数列的极限问题）。定理9（单调有界定理）

在实数系中，单调有界数列必有极限.注2：由于数列极限与数列中的有限项无关，因此定理9可以叙述为：在实数系中，数列自某项之后单调有界，则必有极限.10/29/20223例1证10/29/20225由xn>0A0,10/29/20226证法210/29/20227例2证两边取极限，得.0lim

,0,0)1(===¥®nnnxxa故则当,1

11<->+nnxxan时，当只要n充分大10/29/20228例4S为有界集，证明：若supS=aS，则存在严格递增数列{xn}S,使得证ax1x2x3xn10/29/202210计算复利息问题:设本金为A0,利率为r,期数为t:1.若每期结算一次，则本利和A为2.若每期结算m次，则本利和Am为3.若立即产生立即结算，则本利和即为连续复利10/29/20221210/29/202214利用算术平均值不等式和二项式展开式可以分别证明：f(n)<f(n+1),（n=1,2,3,…）f(n)<3（n=1,2,3,…）10/29/202215例5证明：证：10/29/202216n!>2n-1再证有界性10/29/202217从这个例子我们看到，一个有理数列的极限却是无理数，这说明有理数域对极限运算不封闭，极限理论必须在实数范围内研究。同时，这个例子也这说明在有理数域内单调有界定理不成立。e是无理数,10/29/202218例710/29/202220定理10（Cauchy收敛准则）

2.收敛数列的各项越到最后，离得越近，以至于充分后面的任何两项之距离可以任意小（挤到一起了）。1.Cauchy条件说明，利用数列本身就可以判断是否收敛，而不借助数列之外的数a.注10/29/202221例6证10/29/202223由Cauchy准则，{an}收敛。注：本题教材上P35用的是“单调有界定理”证明的。10/29/202224第二章习题课数列极限的定义10/29/202226数列极限的等价命题10/29/202227

收敛数列的性质

1、唯一性；2、有界性；3、保号性；4、保不等式性；5、迫敛性；6、子列收敛性；7、四则运算性。10/29/202228求数列{an}极限的方法：1、恒等变形（通分、约分、分子或分母有理化等）；2、极限的四则运算；4、利用单调有界定理；3、利用重要极限5、证明奇偶子列收敛于同一个数。6、凭直觉估计极限值，再用极限定义证明。7、利用迫敛性。10/29/202230几个常用数列的极限10/29/202231解题方面注意点：1、-N定义求极限，N的找法。*不再含有n*取整后取作N10/29/2022322、证明数列{an}单调的方法。10/29/202233例1下列数列是否存在极限，若存在，求出其值。答（1）发散。（2）1。（3）1/6。（4）0。由迫敛性即得。（5）1/2。10/29/202234例2证10/29/20223510/29/202236例3解将分子、分母同乘以因子(1-x),则10/29/202237解例510/29/202238例6证10/29/202239由Cauchy准则，{xn}收敛。10/29/202240例7证明证10/29/202241由Cauchy准则，{xn}收敛。10/29/202242解例810/29/202243例