物理竞赛课件7：曲线运动曲直谈

曲线运动曲直谈曲线运动曲直谈1曲线运动要点一、曲线运动的发生条件F合外力方向与速度方向不在一直线二、曲线运动的特点速度方向一定变化切向力改变速度大小法向力改变速度方向vFnFt三、求解曲线运动问题的运动学基本方法矢量的合成与分解微元法曲线运动要点一、曲线运动的发生条件F合外力方向与速度方向不在2曲线运动的加速度质点的瞬时加速度定义为

AvAvB为求一般的做曲线运动质点在任一点的瞬时加速度，通常将其分解为法向加速度an与切向加速度at．OA点曲率圆A点曲率圆半径B曲线运动的加速度质点的瞬时加速度定义为AvAvB为3

在离水面高度为h的岸边，有人用绳子拉船靠岸，若人收绳的速率恒为v0，试求船在离岸边s距离处时的速度与加速度的大小各为多少？

专题7-例1解:依据实际运动效果分解船的运动：v0Avvnhsvt船及与船相系的绳端A的实际运动是水平向左的，这可看作是绳之A端一方面沿绳方向向“前方”滑轮处“收短”，同时以滑轮为圆心转动而成，即将实际速度v分解成沿绳方向“收短”的分速度vn和垂直于绳方向的转动分速度vt;注意到绳子是不可伸长的，人收绳的速率v0也就是绳端A点沿绳方向移动速率vn:

由图示v、vt、vn矢量关系及位置的几何关系易得：

求船的速度续解在离4求船的加速度在一小段时间Δt内,船头位置从A移A′，绳绕滑轮转过一小角度Δθ→0:Avv0vtv0读题由加速度定义得：

由几何关系得：

求船的加速度在一小段时间Δt内,船头位置从A移A′，绳绕滑轮5解:质点沿圆周做速度大小、方向均变化的运动．每个瞬时的加速度均可分解为切向加速度at与法向加速度an，前者反映质点速率变化快慢，后者反映质点速度方向变化快慢．

如图所示，质点从O点由静止开始沿半径为R的圆周做速率均匀增大的运动，到达A点时质点的加速度与速度方向夹角为α，质点通过的弧s所对的圆心角为β，试确定α与β间的关系．专题7-例2vAaAOβsatan由题给条件而又解:质点沿圆周做速度大小、方向均变化的运动．每个瞬6

如图所示，质点沿一圆周运动，过M点时速度大小为v，作加速度矢量与圆相交成弦MA=l，试求此加速度的大小．小试身手题1解:将M点加速度沿切向与法向进行分解!vaMAlOatan法向加速度如图所示，质点沿一圆周运动，过M点时速7元贝驾考元贝驾考2016科目一科目四

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如图所示，曲柄OA长40cm,以等角速度ω=0.5rad/s绕O轴反时针方向转动．由于曲柄的A端推动水平板B而使滑杆C沿竖直方向上升，求当曲柄与水平线夹角θ=30°时，滑杆C的加速度．小试身手题2解:杆A与B板接触点有相同沿竖直方向的加速度

!杆上A点加速度OABCωθaAaAyaCθ此即滑杆C的加速度代入数据得滑杆C的加速度如图所示，曲柄OA长40cm,以等角速9

有一只狐狸以不变的速度v1沿着直线AB逃跑，一猎犬以不变的速率v2追击，其运动方向始终对准狐狸．某时刻狐狸在F处，猎犬在D处，FD⊥AB，且FD＝L，如图．试求此时猎犬的加速度的大小．

小试身手题3解:设Δt时间内，v2方向变化Δθ,Δθ→0时:

FLABDv1v2v2v2v2由加速度定义，猎犬加速度有一只狐狸以不变的速度v1沿着直10

赛车在公路的平直段上以尽可能大的加速度行驶，在0.1s内速度由10.0m／s加大到10.5m／s，那么该赛车在半径为30m的环形公路段行驶中，要达到同样大的速度需要多少时间？当环形公路段的半径为多少时，赛车的速度就不可能增大到超过10m/s？（公路的路面是水平的）

小试身手题4解:直线加速时车的加速度

:

在环形公路上，法向加速度切向加速度代入数据当轨道半径令法向加速度大小等于a0:无切向加速度，赛车速率不会增加赛车在公路的平直段上以尽可能11

质点沿半径为R的圆周运动，初速度的大小为v0．在运动过程中，点的切向加速度与法向加速度大小恒相等，求经时间T质点的速度v．

小试身手题6解:设速率从v0增加,取运动过程中第i个极短时间Δt，由题意有本题用微元法若速率从v0减小,有质点沿半径为R的圆周运动，初12y解:

质点的运动是质点相对槽的运动及与槽一起转动两者之合运动．

如图所示，圆盘半径为R，以角速度ω绕盘心O转动，一质点沿径向槽以恒定速度u自盘心向外运动，试求质点的加速度．

专题7-例3科里奥利加速度AO本题讨论中介参考系以ω匀速转动时，质点加速度的构成

u

设某一瞬时质点沿槽运动到与O相距r的位置AyBxOAuωru经Δt时间，质点沿槽运动到与盘心O相距r+uΔt的位置B，盘转过了角度ωΔt，故质点实际应在位置B′在Δt时间内，质点沿y方向速度增量为在Δt时间内，质点沿x方向速度增量为注意到Δt→0时

续解y解:质点的运动是质点相对槽的运动及与槽一起转动两13读题方向与x成牵连加速度科里奥利加速度矢量图示中介参考系以ω匀速转动时，质点加速度的构成相对中介参考系的加速度

牵连加速度

科里奥利加速度yxOA由于参考系转动及质点对参考系有相对运动而产生的，方向指向u沿ω方向转过90°的方向返回试手读题方向与x成牵连加速度科里奥利加速度矢量图示中介参考系以ω14

如图所示,一等腰直角三角形OAB在其自身平面内以等角速度ω绕顶点O转动，某一点M以等相对速度沿AB边运动，当三角形转了一周时，M点走过了AB，如已知AB＝b，试求M点在A时的速度与加速度．

小试身手题5解:求质点的速度OABMω引入中介参照系-三角形OAB质点对轴O的速度（相对速度）三角形A点对轴的速度（牵连速度）质点对轴O的速度（绝对速度）vMvMAvA三速度关系为vM方向与AB夹角续解如图所示,一等腰直角三角形O15求质点的加速度相对中介参考系的加速度

牵连加速度科里奥利加速度OABMωaAa科aM方向与AO夹角规律求质点的加速度相对中介参考系的加速度牵连加速度科里奥利加速16曲线运动轨迹的曲率曲线的弯曲程度用曲率描述

曲线上某点的曲率定义为圆周上各点曲率相同:曲线上各点对应的半径为该点曲率倒数1/K的圆称为曲率圆,该圆圆心称曲线该点的曲率中心!曲线运动轨迹的曲率曲线的弯曲程度用曲率描述曲线上某17M1物理方法求曲率(半径)示例1

用矢量分解法求椭圆长轴与短轴端点的曲率半径,已知长半轴与短半轴为a和b.专题7-例4设质点在M平面内沿椭圆轨道以速率v运动，这个运动在M1平面的一个分运动轨道恰成半径为b的圆，则两平面间夹角对椭圆长轴端的A点:A1aA1对A点投影A1点:椭圆短轴端B点的曲率半径由B1vvMAaABvaBaBM1物理方法求曲率(半径)示例118

用运动分解法求抛物线上某点的曲率半径.专题7-例5yxOp设质点以速度v0做平抛运动平抛规律消去t得对轨迹上的P点:式中物理方法求曲率(半径)示例2抛物线上x=p/2点试手用运19

旋转半径为r、螺距为h的等距螺旋线，曲率半径处处相同．试用运动学方法求解曲率半径ρ值．小试身手题7解:设物体以v0做匀速率的圆周运动、同时以vh沿垂直于v0方向做匀速直线运动，每前进一个螺距，完成一次圆周，即有

设螺旋线上任一点的曲率半径为ρhr旋转半径为r、螺距为h的等距20受恒力作用平抛运动规律力与初速度垂直轨迹为半支抛物线匀变速曲线运动◎物体在时刻t的位置◎物体在时刻t的速度水平方向匀速运动与竖直方向自由落体运动的合成返回受恒力作用平抛运动规律力与初速度垂直轨迹为半支抛物线匀变速曲21平抛初速大小不同,落在斜面上时速度方向相同!H变换坐标描述平抛运动v0g空中飞行时间距斜面最大高度沿斜面方向的匀加速运动与垂直斜面方向的上抛运动之合成!平抛初速大小不同,落在斜面上时速度方向相同!H变换坐标描述平22

如图所示，小冰球从高为H的光滑坡顶由静止开始下滑，这个坡的末端形如水平跳板．当跳板高h为何值时，冰球飞过的距离s最远？它等于多少？小试身手题8HhAB解:物体从坡末端B水平飞出后做平抛运动:由基本不等式性质如图所示，小冰球从高为H的光滑23

两个质点以加速度g在均匀重力场中运动．开始时两个质点位于同一点，且其中一个质点具有水平速度v1＝3.0m／s；另一个质点水平速度v2＝4.0m／s，方向与前者相反．求当两个质点的速度矢量相互垂直时，它们之间的距离．

小试身手题9解:当两质点速度互相垂直时，速度矢量关系如图示:v1vyv1tv2tv2vy由矢量图得两个质点以加速度g在均匀重力场24

如图，一仓库高25m，宽40m．今在仓库前lm、高5m的A处抛一石块，使石块抛过屋顶，问距离l为多大时，初速度v0之值最小？（g取10m/s2）小试身手题10

hSv0lvBAH解:B过B点时速度方向与水平成45°时，可以最小的vB越过40m仓库顶!从A到B竖直方向分运动有从A到B水平方向分运动有如图，一仓库高25m，宽4025x岸

木排停泊在河上，到岸的距离L＝60m．流水速度同离岸的距离成比例地增大，在岸边u0=0，而在木排边流速uL=2m/s．小汽船离开岸驶向木排．船对水的速度v=7.2km/h．问驾驶员在起航前应该使船指向何方，使以后无须校正船速就能靠上与起航处正对面的木排？这时船航行多少时间？小试身手题11解:V0=v流水速度为船的合速度为在岸边船的合速度大小V0=v方向如示!中间时刻船合速度沿x方向,航线如

示vu中VVvuL通过L的时间x岸木排停泊在河上，到岸的距离26

如图所示，一个完全弹性小球自由下落，经5m碰到斜面上的A点．同时斜面正以V＝10m／s在水平面上做匀速运动，斜面与水平面的倾角为45°．问在离A点多远处，小球将与斜面发生第二次碰撞？小试身手题12解:球以v=10m/s入射，与斜面的接近速度

vAV球与斜面的分离速度

球从与斜面分离到再次碰撞历时g注意到球沿斜面体方向初速度为零，加速度gsin45°

球再与斜面碰撞处距A如图所示，一个完全弹性小球自由27

如图所示，一人站在一平滑的山坡上，山坡与水平面成角度α．他与水平成θ仰角扔出的石子落在斜坡上距离为L，求其抛出时初速度v0及以此大小初速度抛出的石子在斜坡上可以达到的最大距离．

小试身手题13解:v0g石子沿山坡方向做匀加速运动

石子沿垂直山坡方向做匀加速运动

设抛出石子的仰角为β

如图所示，一人站在一平滑的山坡28

小球以恒定速度v沿水平面运动，在A点坠落于半径为r和深为Ｈ的竖直圆柱形井中．小球速度v与过Ａ点井的直径成α，俯视如图．问v、H、r、α之间关系如何，才能使小球与井壁和井底弹性碰撞后，能够从井里“跳出来”（不计摩擦）小试身手题14vAr解:小球运动轨迹的俯视图如示

小球两次与壁相碰点间水平射程为

历时

从进入至与底碰撞历时

为使小球与井壁和井底弹性碰撞后，能够从井里“跳出来”(n、k均为正整数)

小球在竖直方向做自由下落或碰底上抛至速度为零小球在水平方向以v匀速运动,碰壁“反射”小球以恒定速度v沿水平面运动，29

如图，一位网球运动员用拍朝水平方向击球，第一只球落在自己一方场地上后弹跳起来刚好擦网而过，落在对方场地Ａ处．第二只球直接擦网而过，也落在Ａ处．球与地面的碰撞是完全弹性的，且空气阻力不计，试求运动员击球高度为网高的多少倍？小试身手题15解:BACOH设C点高度为h，由题意球1运动时间为由题意球2运动时间为∵水平射程相同x如图，一位网球运动员用拍朝水平30

初速度为v0的炮弹向空中射击，不考虑空气阻力，试求出空间安全区域的边界的方程．小试身手题16解:这个问题可抽象为一个求射出炮弹在空中可能轨迹的包络线方程问题，包络线以外即为安全区域．如图，在空间三维坐标中，设初速度方向与xy平面成θ角，由抛体运动规律可建立时间t的三个参数方程

xzyOv0vxvyvz续解初速度为v0的炮弹向空中射击31这是发射角θ各不相同的炮弹的空间轨迹方程此方程式有解时，必满足

包络线方程为

这里我们运用了曲线簇的包络线的数学模型处理了一个有实际应用背景的物理问题

整理该包络线方程为所求安全区域的边界方程读题这是发射角θ各不相同的炮弹的空间轨迹方程此方程式有解时，必满32M读题M点速度矢量与加速度矢量关系如示

求轨迹的曲率半径ρ：vMaMatv0v0M点加速度即法向分量续解M读题M点速度矢量与加速度矢量关系如示求轨迹的曲率半径ρ：33曲线运动曲直谈曲线运动曲直谈34曲线运动要点一、曲线运动的发生条件F合外力方向与速度方向不在一直线二、曲线运动的特点速度方向一定变化切向力改变速度大小法向力改变速度方向vFnFt三、求解曲线运动问题的运动学基本方法矢量的合成与分解微元法曲线运动要点一、曲线运动的发生条件F合外力方向与速度方向不在35曲线运动的加速度质点的瞬时加速度定义为

AvAvB为求一般的做曲线运动质点在任一点的瞬时加速度，通常将其分解为法向加速度an与切向加速度at．OA点曲率圆A点曲率圆半径B曲线运动的加速度质点的瞬时加速度定义为AvAvB为36

在离水面高度为h的岸边，有人用绳子拉船靠岸，若人收绳的速率恒为v0，试求船在离岸边s距离处时的速度与加速度的大小各为多少？

专题7-例1解:依据实际运动效果分解船的运动：v0Avvnhsvt船及与船相系的绳端A的实际运动是水平向左的，这可看作是绳之A端一方面沿绳方向向“前方”滑轮处“收短”，同时以滑轮为圆心转动而成，即将实际速度v分解成沿绳方向“收短”的分速度vn和垂直于绳方向的转动分速度vt;注意到绳子是不可伸长的，人收绳的速率v0也就是绳端A点沿绳方向移动速率vn:

由图示v、vt、vn矢量关系及位置的几何关系易得：

求船的速度续解在离37求船的加速度在一小段时间Δt内,船头位置从A移A′，绳绕滑轮转过一小角度Δθ→0:Avv0vtv0读题由加速度定义得：

由几何关系得：

求船的加速度在一小段时间Δt内,船头位置从A移A′，绳绕滑轮38解:质点沿圆周做速度大小、方向均变化的运动．每个瞬时的加速度均可分解为切向加速度at与法向加速度an，前者反映质点速率变化快慢，后者反映质点速度方向变化快慢．

如图所示，质点从O点由静止开始沿半径为R的圆周做速率均匀增大的运动，到达A点时质点的加速度与速度方向夹角为α，质点通过的弧s所对的圆心角为β，试确定α与β间的关系．专题7-例2vAaAOβsatan由题给条件而又解:质点沿圆周做速度大小、方向均变化的运动．每个瞬39

如图所示，质点沿一圆周运动，过M点时速度大小为v，作加速度矢量与圆相交成弦MA=l，试求此加速度的大小．小试身手题1解:将M点加速度沿切向与法向进行分解!vaMAlOatan法向加速度如图所示，质点沿一圆周运动，过M点时速40元贝驾考元贝驾考2016科目一科目四

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如图所示，曲柄OA长40cm,以等角速度ω=0.5rad/s绕O轴反时针方向转动．由于曲柄的A端推动水平板B而使滑杆C沿竖直方向上升，求当曲柄与水平线夹角θ=30°时，滑杆C的加速度．小试身手题2解:杆A与B板接触点有相同沿竖直方向的加速度

!杆上A点加速度OABCωθaAaAyaCθ此即滑杆C的加速度代入数据得滑杆C的加速度如图所示，曲柄OA长40cm,以等角速42

有一只狐狸以不变的速度v1沿着直线AB逃跑，一猎犬以不变的速率v2追击，其运动方向始终对准狐狸．某时刻狐狸在F处，猎犬在D处，FD⊥AB，且FD＝L，如图．试求此时猎犬的加速度的大小．

小试身手题3解:设Δt时间内，v2方向变化Δθ,Δθ→0时:

FLABDv1v2v2v2v2由加速度定义，猎犬加速度有一只狐狸以不变的速度v1沿着直43

赛车在公路的平直段上以尽可能大的加速度行驶，在0.1s内速度由10.0m／s加大到10.5m／s，那么该赛车在半径为30m的环形公路段行驶中，要达到同样大的速度需要多少时间？当环形公路段的半径为多少时，赛车的速度就不可能增大到超过10m/s？（公路的路面是水平的）

小试身手题4解:直线加速时车的加速度

:

在环形公路上，法向加速度切向加速度代入数据当轨道半径令法向加速度大小等于a0:无切向加速度，赛车速率不会增加赛车在公路的平直段上以尽可能44

质点沿半径为R的圆周运动，初速度的大小为v0．在运动过程中，点的切向加速度与法向加速度大小恒相等，求经时间T质点的速度v．

小试身手题6解:设速率从v0增加,取运动过程中第i个极短时间Δt，由题意有本题用微元法若速率从v0减小,有质点沿半径为R的圆周运动，初45y解:

质点的运动是质点相对槽的运动及与槽一起转动两者之合运动．

如图所示，圆盘半径为R，以角速度ω绕盘心O转动，一质点沿径向槽以恒定速度u自盘心向外运动，试求质点的加速度．

专题7-例3科里奥利加速度AO本题讨论中介参考系以ω匀速转动时，质点加速度的构成

u

设某一瞬时质点沿槽运动到与O相距r的位置AyBxOAuωru经Δt时间，质点沿槽运动到与盘心O相距r+uΔt的位置B，盘转过了角度ωΔt，故质点实际应在位置B′在Δt时间内，质点沿y方向速度增量为在Δt时间内，质点沿x方向速度增量为注意到Δt→0时

续解y解:质点的运动是质点相对槽的运动及与槽一起转动两46读题方向与x成牵连加速度科里奥利加速度矢量图示中介参考系以ω匀速转动时，质点加速度的构成相对中介参考系的加速度

牵连加速度

科里奥利加速度yxOA由于参考系转动及质点对参考系有相对运动而产生的，方向指向u沿ω方向转过90°的方向返回试手读题方向与x成牵连加速度科里奥利加速度矢量图示中介参考系以ω47

如图所示,一等腰直角三角形OAB在其自身平面内以等角速度ω绕顶点O转动，某一点M以等相对速度沿AB边运动，当三角形转了一周时，M点走过了AB，如已知AB＝b，试求M点在A时的速度与加速度．

小试身手题5解:求质点的速度OABMω引入中介参照系-三角形OAB质点对轴O的速度（相对速度）三角形A点对轴的速度（牵连速度）质点对轴O的速度（绝对速度）vMvMAvA三速度关系为vM方向与AB夹角续解如图所示,一等腰直角三角形O48求质点的加速度相对中介参考系的加速度

牵连加速度科里奥利加速度OABMωaAa科aM方向与AO夹角规律求质点的加速度相对中介参考系的加速度牵连加速度科里奥利加速49曲线运动轨迹的曲率曲线的弯曲程度用曲率描述

曲线上某点的曲率定义为圆周上各点曲率相同:曲线上各点对应的半径为该点曲率倒数1/K的圆称为曲率圆,该圆圆心称曲线该点的曲率中心!曲线运动轨迹的曲率曲线的弯曲程度用曲率描述曲线上某50M1物理方法求曲率(半径)示例1

用矢量分解法求椭圆长轴与短轴端点的曲率半径,已知长半轴与短半轴为a和b.专题7-例4设质点在M平面内沿椭圆轨道以速率v运动，这个运动在M1平面的一个分运动轨道恰成半径为b的圆，则两平面间夹角对椭圆长轴端的A点:A1aA1对A点投影A1点:椭圆短轴端B点的曲率半径由B1vvMAaABvaBaBM1物理方法求曲率(半径)示例151

用运动分解法求抛物线上某点的曲率半径.专题7-例5yxOp设质点以速度v0做平抛运动平抛规律消去t得对轨迹上的P点:式中物理方法求曲率(半径)示例2抛物线上x=p/2点试手用运52

旋转半径为r、螺距为h的等距螺旋线，曲率半径处处相同．试用运动学方法求解曲率半径ρ值．小试身手题7解:设物体以v0做匀速率的圆周运动、同时以vh沿垂直于v0方向做匀速直线运动，每前进一个螺距，完成一次圆周，即有

设螺旋线上任一点的曲率半径为ρhr旋转半径为r、螺距为h的等距53受恒力作用平抛运动规律力与初速度垂直轨迹为半支抛物线匀变速曲线运动◎物体在时刻t的位置◎物体在时刻t的速度水平方向匀速运动与竖直方向自由落体运动的合成返回受恒力作用平抛运动规律力与初速度垂直轨迹为半支抛物线匀变速曲54平抛初速大小不同,落在斜面上时速度方向相同!H变换坐标描述平抛运动v0g空中飞行时间距斜面最大高度沿斜面方向的匀加速运动与垂直斜面方向的上抛运动之合成!平抛初速大小不同,落在斜面上时速度方向相同!H变换坐标描述平55

如图所示，小冰球从高为H的光滑坡顶由静止开始下滑，这个坡的末端形如水平跳板．当跳板高h为何值时，冰球飞过的距离s最远？它等于多少？小试身手题8HhAB解:物体从坡末端B水平飞出后做平抛运动:由基本不等式性质如图所示，小冰球从高为H的光滑56

两个质点以加速度g在均匀重力场中运动．开始时两个质点位于同一点，且其中一个质点具有水平速度v1＝3.0m／s；另一个质点水平速度v2＝4.0m／s，方向与前者相反．求当两个质点的速度矢量相互垂直时，它们之间的距离．

小试身手题9解:当两质点速度互相垂直时，速度矢量关系如图示:v1vyv1tv2tv2vy由矢量图得两个质点以加速度g在均匀重力场57

如图，一仓库高25m，宽40m．今在仓库前lm、高5m的A处抛一石块，使石块抛过屋顶，问距离l为多大时，初速度v0之值最小？（g取10m/s2）小试身手题10

hSv0lvBAH解:B过B点时速度方向与水平成45°时，可以最小的vB越过40m仓库顶!从A到B竖直方向分运动有从A到B水平方向分运动有如图，一仓库高25m，宽4058x岸

木排停泊在河上，到岸的距离L＝60m．流水速度同离岸的距离成比例地增大，在岸边u0=0，而在木排边流速uL=2m/s．小汽船离开岸驶向木排．船对水的速度v=7.2km/h．问驾驶员在起航前应该使船指向何方，使以后无须校正船速就能靠上与起航处正对面的木排？这时船航行多少时间？小试身手题11解:V0=v流水速度为船的合速度为在岸边船的合速度大小V0=v方向如示!中间时刻船合速度沿x方向,航线如

示vu中VVvuL通过L的时间x岸木排停泊在河上，到岸的距离59

如图所示，一个完全弹性小球自由下落，经5m碰到斜面上的A点．同时斜面正以V＝10m／s在水平面上做匀速运动，斜面与水平面的倾角为45°．问在离A点多远处，小球将与斜面发生第二次碰撞？小试身手题12解:球以v=10m/s入射，与斜面的接近速度

vAV球与斜面的分离速度

球从与斜面