流体力学第一章-绪-论-第二章-场论与正交曲线坐标课件

流体力学

退出中国科学文化出版社流体力学退出中国科学文化出版社1前言本书是为高等工科院校非力学专业硕士研究生流体力学课程教学编写的。考虑到教学时数有限，所以有些内容并未深入展开。本书重点放在流体力学的基本概念、基本理论和解决流体力学问题的基本方法上，目的在于为研究生开展课题研究和将来从事工作提供必需的较为坚实的流体力学基础知识，同时也兼顾到工程技术人员和科技工作者的需要。全书分上下两册，三篇，十五章。上册包括第一篇“流体力学基础”和第二篇“流体动力学基本原理及流体工程”，具体内容为：绪论、场论与正交曲线坐标、流体静力学、流体运动学、流体动力学微分形式基本方程、流体动力学积分形式基本方程、伯努利方程式及其应用、量纲分析和相似原理、流动阻力与管道计算、边界层理论、流体绕过物体的流动和气体动力学基础。下册包括第三篇“计算流体动力学”，具体内容为：计算流体动力学的数学物理基础、流体动力学问题的有限差分解法和流体动力学问题的有限元解法。

退出前言本书是为高等工科院校非力学专业硕士研究生流体2目录流体力学基础第一篇第二篇流体动力学基本原理及流体工程退出第三篇计算流体动力学

目录流体力学基础第一篇第二篇流体动力学基本原理及流体工3第一篇流体力学基础

绪论场论与正交曲线坐标流体静力学流体运动学第一章第二章第三章第四章退出返回第一篇流体力学基础绪论4第二篇

流体动力学基本原理及流体工程流体动力学微分形式基本方程流体动力学积分形式基本方程伯努利方程及其应用量纲分析和相似原理流动阻力与管道计算边界层理论

流体绕过物体的流动

气体动力学基础

第五章第六章第七章第八章第九章退出返回第十章第十一章第十二章第二篇

流体动力学基本5第三篇计算流体动力学

计算流体动力学数学物理基础

流体动力学问题的有限差分解法

流体动力学问题的有限元解法

第十三章第十四章第十五章退出返回第三篇计算流体动力学6第一章绪论

流体力学的研究对象和发展历史

流体力学的研究方法第一节第二节退出返回第一章绪论流体力学的研究对象和7第二章场论与正交曲线坐标

矢量的基本运算

张量及其基本性质常见的几种坐标系曲线坐标系及其基本性质物理量的梯度、散度、旋度哈密尔顿算子、拉普拉斯算子及其在流体力学中的应用广义高斯定理和斯托克斯定理第一节第二节第三节第四节第五节第六节第七节退出返回第二章场论与正交曲线坐标矢量的基本8第三章流体静力学作用于流体上的力

静止流场中的应力静止流体的基本微分方程重力场中静止流体的压力，静止流体对物面的作用力重力场中静止气体的压力分布非惯性坐标系中的静止流体表面张力与毛细现象流体静压力的测量原理第一节第二节第三节第四节第五节第六节第七节第八节退出返回第三章流体静力学作用于流体上的力第9第四章流体运动学流体运动的描述

迹线、流线、流管环量和旋度、通量和散度的物理意义微元流体线的运动流体微团的运动

第一节第二节第三节第四节第五节退出返回第四章流体运动学流体运动的描述第一10第五章

流体动力学基本原理及流体工程

连续性方程理想流体运动方程实际流体运动方程第一节第二节第三节退出返回第五章

流体动力学基本11第六章

流体动力学基本原理及流体工程连续性方程

动量方程动量矩方程能量方程第一节第二节第三节第四节退出返回第六章

流体动力学12第七章伯努利方程式及其应用伯努利方程式及其限定条件

实际流体的伯努利方程式实际流体的总流伯努利方程式相对运动的伯努利方程式伯努利方程式的应用

第一节第二节第三节第四节第五节退出返回第七章伯努利方程式及其应用伯努利方程13第八章量纲分析和相似原理

量纲分析和定理

相似理论流体力学模型研究方法第一节第二节第三节退出返回第八章量纲分析和相似原理量纲分析和14第九章流体阻力与管道计算流动状态与阻力分类

圆管中的层流圆管中的紊流圆管中的沿程阻力第一节第二节第三节第四节退出返回第九章流体阻力与管道计算流动15第十章边界层理论

边界层特性边界层微分方程平板层流边界层的微分方程解边界层积分（动量）方程平板层流边界层的积分方程解平板紊流边界层计算平板混合边界层计算第一节第二节第三节第四节第五节退出返回第六节第七节第十章边界层理论边界层特性第一16第十一章流体绕过物体的流动

平面势流流体绕过圆柱体的流动流体绕过球体的流动

第一节第二节第三节退出返回第十一章流体绕过物体的流动平面势流17第十二章气体动力学基础

压力波的传播，音速运动点扰源产生的扰动场，马赫数与马赫角一元稳定等熵流动的基本方程理想气体一元稳定等熵流动的基本特性气流参数与流道截面积的关系渐缩喷管和拉伐尔喷管

第一节第二节第三节第四节第五节退出返回第六节第十二章气体动力学基础压力波的传播18第十三章

计算流体动力学数学物理基础

流动问题数值求解的基本步骤流动控制方程离散方程的建立方法差分方程特性分析

第一节第二节第三节第四节退出返回第十三章

计算流体动力学数学物理19第十四章

流体动力学问题的有限差分解法

势流问题的数值计算回流流动问题的数值计算

第一节第二节退出返回第十四章

流体动力学问题的有限差20第十五章

流体动力学问题的有限元解法

有限元法的基本思想与区域离散化有限元法中代数方程的建立二维边值问题有限元法求解举例有限分析法介绍

第一节第二节退出返回第三节第四节第十五章

流体动力学问题的有限元21流体力学是研究流体在外力作用下的平衡和运动规律的一门科学。它和固体力学不同之处在于流体在运动时具有连续不断地变形的特性且其运动规律是十分复杂的。象其它大多数科学一样，流体力学成为一门独立的科学经历了漫长的发展过程。史前人类就有解决某些流体流动问题的丰富知识，如船舶制造和灌溉系统建设。公元前三世纪Archimedes(285-212B.C.)提出了浮力定律并将其应用于漂浮和浸没于液体中的物体，这实际上是流体力学微分算法的雏形。

公元十五世纪前，船舶、运河、水渠的工程设计水平得到了较大的提高，然而流动分析技术却并未有重大发展。Leonardo(1452-1519)导出了一维稳定流动的质量守恒方程。Leonardo是一个杰出的实验家，他对波、射流、水跃、涡流形成等现象作了精确的描述。Mariotte(1620-1684)建造了第一个风洞，并利用该风洞作了大量的模型试验。

第1页第一章绪论第一节流体力学的研究对象和发展历史退出返回流体力学是研究流体在外力作用下的平衡和运动规22

自Newton(1642-1727)提出了三大运动定律和线性流体的粘性定律以后，流体力学得到了较大的发展。十八世纪的一大批数学家如Bernoulli、Euler、Lagrange、Laplace等在理想流体的假定下取得了许多无摩擦流动问题的研究成果，如Euler的运动微分方程和其积分形式——Bernoulli方程。但理想流体的假定有较大的局限性，工程实际中的大多数流动无不受流体粘性的影响。当时的工程师们开始抵制这种他们认为不切实际的理想流体流动理论，在几乎完全依赖实验的基础上发展了一门新的科学——水力学。这样的实验科学家有Weber、Hagen、Poiseulle、Darcy等。他们通过实验得到了诸如明渠流动、船舶阻力、管道流动、波动等问题的有用数据。

十九世纪末，实验的水力学和理论的流体动力学开始结合。WilliamFroude（1810-1879）和他的儿子RobertFroude（1846-1924）建立了模型试验定律，Rayleigh（1842-1919）提出了量纲分析技术。Reynolds（1842-1912）在1883发表了经典的管道实验结果，提出了著名的无量纲参数——雷诺数Re。

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第一章绪论第一节流体力学的研究对象和发展历史退出返回自Newton(1642-1727)提出了三大运动23

Navier(1785-1836)和Stokes(1819-1903)在欧拉运动方程中加入了牛顿粘性项，建立了粘性流体的运动方程式。1904年德国工程师Prandtl(1875-1953)发表了流体力学方面最具影响的论文，提出了现代流动分析中最重要的理论——边界层理论。这些理论对流体力学开始脱离经典式的理论研究而与工程实际相结合起到了很大的作用。二十世纪中叶以后，随着宇宙航行，人造卫星、核能工业、生物工程和环境、医学等科学技术的发展，稀薄气体动力学、电磁流体力学、非牛顿流体力学、多相流体力学、生物流体力学、气动噪声流体力学等流体力学分枝也均在形成和发展中。地球上71覆盖着水、100覆盖着空气，流体力学问题无处不有。象气象学、海洋学涉及流体力学；我们的呼吸、生理循环涉及流体力学；航空、航天、航海涉及流体力学；水利灌溉、洪水控制、生活供水、污水排放涉及流体力学；石油化学工业中几乎没有哪一个化工过程中不包含流体力学问题。

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第一章绪论第一节流体力学的研究对象和发展历史退出返回Navier(1785-1836)和Stokes24在研究流体力学时，考虑到流体运动的复杂性，仅采用固体力学中严格的数学推导方法还不能完全解决问题，需要广泛采用半经验的理论和实验研究所取得的数据。近年来由于计算机的发展，计算流体力学所占的地位已越来越重要，对于一些复杂的流体力学数学模型，可采用计算机进行计算，但某些复杂的流体力学问题仍无法仅靠单纯的数学计算来解决。因此研究流体力学还必须用理论、计算与实验三者相互结合的方法。近年来实验技术发展很快，许多过去难以测量的参数和观察的现象，现在可以比较准确地测量和观察出来。测量和观察技术从低速流动扩展到高速流动，从稳定流动扩展到不稳定流动，从静态扩展到动态。但实验亦有其局限性，它往往不能阐明流体运动的一般特性。流体力学学科的发展一方面有赖于计算流体力学的发展，实验和实践必须由理论分析和数值计算来加以指导和验证。另一方面，现代实验技术的发展加强了对理论和计算准确性的检验。这种理论、计算与实验的紧密结合，必将大大加速流体力学学科的发展。

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第一章绪论第二节流体力学的研究方法

退出返回在研究流体力学时，考虑到流体运动的复杂性，仅采用固25第一章绪论第二节流体力学的研究方法

解决流体流动问题有三种基本方法：1.

控制体分析法，即积分方程法；2.

微元体分析法，即微分方程法；3.

实验研究，即量纲分析法。流体流动必须满足三大力学守恒定理以及热力学状态方程和相关的边界条件：

1.

质量守恒定理，即连续性条件；

2.

动量守恒定理，即牛顿第二定理；

3.

能量守恒定理，即热力学第一定理；

4.

状态方程，如ρ＝ρ（P,T）;

5.

固体表面、交界面、流道进出口的边界条件。

第2页退出返回第一章绪论第二节流体力学的研究方法解决流26在解决某一具体的流体力学问题之前需要弄清流动属于哪一种类型，流体流动如何分类最为合理迄今并无共识。通常的做法是按照流动分析时所作的假设来划分，即假定流动为：1.

稳定的（定常的）或不稳定的（不定常的）；2.

无粘性的或粘性的；3.

不可压缩的或可压缩的；4.

气体或液体。

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第一章绪论第二节流体力学的研究方法

退出返回在解决某一具体的流体力学问题之前需要弄清流动属于哪一种27场是具有物理量的空间。在许多科学、技术问题中，常常要考察某种物理量（如温度、密度、电位、力、速度等）在空间的分布和变化规律。为了揭示和探索这些规律，数学上就引进了场的概念。如果在全部空间或部分空间里的每一点都对应着某个物理量的一个确定的值，就说在这空间里确定了该物理量的场。如果这物理量是标量，就称这个场为标量场；若是矢量，就称这个场为矢量场。例如温度场、密度场、电位场等为数量场；而力场、速度场等为矢量场。此外，若场中之物理量在各点处的对应值不随时间而变化，则称该场为稳定场；否则，称为不稳定场。场的研究方法是将物理量作为空间点的位置R和时间t的函数。但在场论分析中，t作为参变量处理，即分析t时刻的场的情况。

第1页第二章场论与正交曲线坐标退出返回场是具有物理量的空间。在许多科学、技术问题中，28

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第一节矢量的基本运算

退出返回一、矢量运算符号规定（一）

爱因斯坦（Einstein）求和符号数学式子任意一项中如出现一对符号相同的指标，称为爱因斯坦求和符号，它是哑指标，表示求和。例如：

采用了爱因斯坦求和符号后线性代数方程组

第二章场论与正交曲线坐标

第一节矢量的基本运算退出返回一、矢量29

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第一节矢量的基本运算

退出返回可简写成：

式中左端项中j出现两次，代表求和指标；i在左、右两项各只出现一次，代表指定指标。（二）克罗内克尔（Kronecker）符号

任意两个正交单位矢量的点积用表示，称为克罗内克尔

式中i，j是自由指标，（2.1）式表示，

。显然，，i表示重复求和。

第二章场论与正交曲线坐标第一节矢量的基本运算退出返回可简写成30

第4页

第一节矢量的基本运算

退出返回第二章场论与正交曲线坐标的定义亦可写成

（三）置换符号任意两个正交单位矢量的叉积可表示为

式中称为置换符号，又称利西（Ricci）符号，其数值如下：中有2个或3个自由指标值相同。中按12312顺序任取3个排列。中按13213顺序任取3个排列。

上式表示，，其余分量为零。

第一节矢量的基本运算退出返回第二章31

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第一节矢量的基本运算

退出返回第二章场论与正交曲线坐标

由此可知，中任意两个自由指标对换，对应分量值相差一个负号，如，故称为置换符号。二、矢量运算的常用公式

（2.3）

（2.4）

（2.5）第一节矢量的基本运算退出返回第二章32

第6页

第一节矢量的基本运算

退出返回第二章场论与正交曲线坐标

（2.6a）

（2.6b）

（2.7）

（2.8）第一节矢量的基本运算退出返回第二章33

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第一节矢量的基本运算

退出返回第二章场论与正交曲线坐标

三、矢量分量的坐标变换矢量是一个物理量，它独立于坐标系的选取。当坐标系发生改变时，矢量本身不发生变化，仅是它的分量随坐标变换按一定规律发生改变。按矢量定义：

（2.9），和，分别为在两个不同的正交坐标系中的分量和坐标轴单位矢量。各单位矢量间夹角的余弦（即方向余弦）为lj，mj，nj（j=1,2,3）如表2.1所示，则对应的矢量分量的坐标变换关系有：表2.1坐标轴间方向余弦第一节矢量的基本运算退出返回第二章34

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第一节矢量的基本运算

退出返回第二章场论与正交曲线坐标

（2.10）

例如：

第一节矢量的基本运算退出返回第二章35

第1页

第二节张量及其基本性质退出返回第二章场论与正交曲线坐标

一、张量的定义在正交坐标系中张量可以定义为：设有正交坐标系在其上定义有个函数，若坐标系线性变换时，即

（2.11）作如下式中为常系数，与此相应，函数（式中重复下标表示对该下标求和）作如下变换

（2.12）第二节张量及其基本性质退出返回第二章36

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第二节张量及其基本性质退出返回。第二章场论与正交曲线坐标

则定义为一个张量，记为

（2.13）例如设坐标数，在空间任一点规定三个矢量，和如果按式（2.11）把直角坐标系变换到另一个直角坐标系中，得到另一组矢量，和，它们满足系式：

（2.14）第二节张量及其基本性质退出返回。第二37

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第二节张量及其基本性质退出返回第二章场论与正交曲线坐标

式中是坐标轴和显然，矢量，，的分量与矢量，，的分量有如下关系

上述关系式即式（2.12），因此分量定义一个张量之间夹角的方向余弦。（2.15）

（2.16）由于在上述张量的定义中，其分量的数目为坐标数的平方，因此上述张量称为二阶张量。张量在三维空间中的分量数可用来表示，n为张量的阶。于是，标量为零阶张量，矢量为一阶张量，流体微团的变形速率为二阶张量，应力场梯度为三阶张量。

第二节张量及其基本性质退出返回第二章38

第4页

第二节张量及其基本性质退出返回第二章场论与正交曲线坐标二、二阶张量的基本性质流体力学中经常遇到的张量为二阶张量，如应力、变形和转动，它们具有如下一些基本性质：

这种张量称为对称张量。1.张量元素具有对称性（2.17）2.张量的代数运算规则（1）张量与张量相加是指其对应元素相加，其和仍为一张量，即

（2）张量与标量相乘仍为一张量，即（为标量）

（2.19）（2.18）（3）张量与矢量相乘（内积）为一矢量右乘定义为

（2.20）第二节张量及其基本性质退出返回第二章39

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第二节张量及其基本性质退出返回第二章场论与正交曲线坐标

左乘定义为

（4）张量与张量相乘仍为一张量，即

（2.22）（2.21）3.根据对称张量性质可知，在流体内任一点存在三个相互垂直的轴，沿着与该轴垂直的面上，张量的切向分量为零，只有法向分量。该轴称为主轴。在应力张量中称为主应力轴，在变形张量中称为主变形轴。

第二节张量及其基本性质退出返回第二章40

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第三节常见的几种坐标系退出返回第二章场论与正交曲线坐标xzijky=constx=constz=const图2.1直角坐标系xyo直角坐标系是最简单、最基本的一种坐标系，又称笛卡尔坐标系，如图2.1所示。首先在空间取一点作为原点，过此点分别作互相正交的直线，并分别命名为过原点的轴。（1）坐标面：由三族分别过原点的与轴垂直的平面所组成。其方程为（2）坐标轴：不同族的坐标面的交线组成坐标轴。轴是两坐标面的交线；，一、直角坐标系，第三节常见的几种坐标系退出返回第二章41

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第三节常见的几种坐标系退出返回第二章场论与正交曲线坐标轴是两坐标面的交线；轴是两坐标面的交线。（3）单位矢量：通常分别以表示沿并遵循右手法则。直角坐标系中一点的三个单位矢量互成正交，各点的同类单位矢量方向不变。坐标轴的单位矢量，（4）空间点的表示：以三个坐标面的交点表示空间点（5）矢径表示法：由原点至空间某点而连成的矢量线称为矢径，第三节常见的几种坐标系退出返回第二章42

第3页

第三节常见的几种坐标系退出返回第二章场论与正交曲线坐标二、柱坐标系首先在空间取一点作为原点，以此点作直角坐标系。（1）坐标面：分别由下列三族曲面所组成。以过原点的轴为对称轴的圆柱面族；以与z轴相；以通过轴的子午面族垂直的平面族。

（2）坐标轴：由不同族的坐标面相交而成。轴是两坐标面的交线；轴是两坐标面的交线。轴是两坐标面的交线；（3）单位矢量：通常分别以，，表示沿，，，的方向可能变化。

，，轴的单位矢量，并规定遵循右手法则。柱坐标系中一点的三个单位矢量互成正交，在不同点上第三节常见的几种坐标系退出返回第二章43

第4页

第三节常见的几种坐标系退出返回第二章场论与正交曲线坐标（4）空间点的表示：以三个坐标面的交点表示空间点（5）矢径表示法：eerezxz=const

=constr=const图2.2柱坐标系rzyo第三节常见的几种坐标系退出返回第二章44

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第三节常见的几种坐标系退出返回第二章场论与正交曲线坐标图2.3球坐标系eeeRzyx

=constR=const

=constRo三、球坐标系首先在空间取一点作为原点，过此点作直角坐标系。（1）坐标面：分别由以原点为中心的球面族，以原点为顶点轴为对称轴的圆锥面族

和子午面族

以三族曲面所组成，，确定了三个特定的坐标面，如图2.3所示。第三节常见的几种坐标系退出返回第二章45

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第三节常见的几种坐标系退出返回第二章场论与正交曲线坐标

（2）坐标轴：由不同族的坐标面相交而成。轴是，两坐标面的交线；轴是，两坐标面的交线；轴是，两坐标面的交线。

（3）单位矢量：通常分别以，，表示沿，，，，的方向是坐标轴的单位矢量，并规定遵循右手法则。球坐标中一点的三个单位矢量互成正交，一般情况下，不同点上同族单位矢量不同的。（4）空间点的表示：以三个坐标面的交点表示空间点（5）矢径表示法：。第三节常见的几种坐标系退出返回第二章46

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第三节常见的几种坐标系退出返回第二章场论与正交曲线坐标

四、直角坐标系、柱坐标系和球坐标系间的坐标变换关系直角坐标系和柱坐标系间的坐标变换关系:

（2.23）

直角坐标系和球坐标系间的坐标变换关系:

（2.24）

第三节常见的几种坐标系退出返回第二章47

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第四节常见的几种坐标系退出返回第二章场论与正交曲线坐标

柱坐标系、球坐标系均属曲线坐标系。坐标系的基本功能是识别空间位置，为了便于应用可人为地规定某种曲线坐标系。一、曲线坐标系首先在空间取一点作为原点，以此点作直角坐标系。（1）坐标面：取三族曲面,,作为坐标面族，其反函数为,,。,确定了三个特定的坐标面，如图2.4所示。（2）坐标轴：不同族的坐标面的交线组成坐标轴。轴是,

两坐标面的交线；轴是,两坐标面的交线；轴是两坐标面的交线。

,第四节常见的几种坐标系退出返回第二章48

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第四节常见的几种坐标系退出返回第二章场论与正交曲线坐标坐标轴的单位矢量，以

（3）单位矢量：沿坐标线的切线，且方向的单位矢量称为，，在曲线坐标系中，它们随空间位置而表示，它们遵循右手法则。改变，即这是曲线坐标系与直角坐标系的一个主要差别。

（4）空间点的表示：以三个坐标面的交点表示空间点。（5）矢径表示法：

（2.25）式中，，与，，有关。，第四节常见的几种坐标系退出返回第二章49

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第四节常见的几种坐标系退出返回第二章场论与正交曲线坐标

ods2ds3ds1q2xyq2=constq3=constq1=constq3q1re3e2e1M(q1,q2,q3)图2.4曲线坐标系z第四节常见的几种坐标系退出返回第二章50第二章场论与正交曲线坐标

第4页

第四节常见的几种坐标系退出返回

二、矢径由微分定义

（2.26）点到点引起的增量为的微分从

（2.27），因而由于

（2.28）

（2.29）令，则上式可写成

（2.30）

（2.31）第二章场论与正交曲线坐标第四节51

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第四节常见的几种坐标系退出返回第二章场论与正交曲线坐标（2.32）

同理可得

，，

（2.33）

，，上式中、、因此矢径的微分可写成

、称为拉梅系数。

（2.34）

第四节常见的几种坐标系退出返回第二章52

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第四节常见的几种坐标系退出返回第二章场论与正交曲线坐标

若已知坐标面族方程则可求得上式中的拉梅系数和单位矢量。

因此拉梅系数可写成

（2.36）（2.35）单位矢量可写成

在正交曲线坐标系中，三个单位矢量满足：，即（2.37）

（2.38）第四节常见的几种坐标系退出返回第二章53

第7页

第四节常见的几种坐标系退出返回第二章场论与正交曲线坐标

它适用于已知，，利用梯度性质，正交条件也可写成：，即

它适用于已知的情况。的情况。（2.39）例题2.1求柱坐标系中的拉梅系数和坐标轴单位矢量，并证明其正交。

，，，其反函数为，，。解：对于柱坐标系，，，，，，，，第四节常见的几种坐标系退出返回第二章54第二章场论与正交曲线坐标

第8页

第四节常见的几种坐标系退出返回

因此拉梅系数为

由（2.37）式，并注意到，则可求得单位矢量为

显然

第二章场论与正交曲线坐标第四节55第二章场论与正交曲线坐标

第9页

第四节常见的几种坐标系退出返回

其实拉梅系数亦可用几何的方法确定。因为，即其几何意义为：坐标值的单位增量引起的对应弧长的单位增量。按照该定义不难直接由几何关系求得上例中的拉梅系数（请读者自行求解）。三、坐标轴单位矢量的偏导数在曲线坐标系中坐标轴单位矢量的偏导数可按下式计算第二章场论与正交曲线坐标第四节56第二章场论与正交曲线坐标

第10页

第四节常见的几种坐标系退出返回

柱坐标系中单位矢量的偏导数：

球坐标系中单位矢量的偏导数：

第二章场论与正交曲线坐标第四节57第二章场论与正交曲线坐标

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第五节物理量的梯度、散度、旋度退出返回

一、物理量的梯度物理量的梯度可以用来描述该物理量在一点邻域内的变化情况。（一）方向导数的计算公式方向导数是函数在一点处沿某一方向对距离的变化率。在直角坐标系中，设函数在点处可微，

为l方向上在点M0处沿l方向的方向导数为：

的方向余弦，则函数

式中是在点M0的偏导数。

（2.43）（二）标量梯度的定义、性质及其在直角坐标系中的表达式如有一矢量，处处满足。

这里为标量沿方向的方向定义为物理量的梯度，并表示为导数，则。它在直角坐标系中第二章场论与正交曲线坐标第五节58第二章场论与正交曲线坐标

第2页

退出返回

标量梯度有两条常用的重要性质：（2.44）①，，式中。前式表示由梯度沿方向的方向导数，后式表示由梯度可以知道方向经过线段dl的增量。可以得到物理量该物理量沿②，这里为等值面法线指向增大方向的单位矢量，是沿方向的方向导数，所以由梯度可以求得等值面法线方向。的单位矢量显然，的方向一定与的面相垂直，是函数在空间的最大变化率。第五节物理量的梯度、散度、旋度的表达式为：

第二章场论与正交曲线坐标退出返回59第二章场论与正交曲线坐标

第3页

退出返回

例题2.2求数量场在点处的梯度，以及沿矢量方向的方向导数。方向的单位矢量为解：

于是有

第五节物理量的梯度、散度、旋度第二章场论与正交曲线坐标退出返回60第二章场论与正交曲线坐标

第4页

退出返回

例题2.3求曲面的法线单位矢量解：

。第五节物理量的梯度、散度、旋度第二章场论与正交曲线坐标退出返回61第二章场论与正交曲线坐标

第5页

退出返回

（三）矢量梯度的定义、性质及其在直角坐标系中的表达式如果有一个二阶张量，处处满足，这里为矢量沿方向的方向导数，则定义为矢量的梯度，并表示为。它在直角坐标系中的表达式为

类似于标量梯度，矢量梯度有下述性质：，。

（2.45）由这两个公式可求得矢量沿方向的方向导数和沿矢量线段的增量。由于矢量场没有等值面概念，因而。

第五节物理量的梯度、散度、旋度第二章场论与正交曲线坐标退出返回62第二章场论与正交曲线坐标

第6页

退出返回

二、物理量的散度物理量的散度可用来判别场是否有源。（一）矢量散度的定义及其在直角坐标系中的表达式设有矢量场，于场中一点处作一包含点在内的任一闭曲面，设其所包围的空间区域为，体积为，以表示从其内部穿出的通量。若当以任意方式缩向点时，下式

之极限存在，则称此极限为矢量场在点处的散度，记作

（2.46）式中为边界曲面上微元面积的外法线单位矢量。第五节物理量的梯度、散度、旋度第二章场论与正交曲线坐标退出返回63第二章场论与正交曲线坐标

第7页

退出返回

散度的定义是与坐标系无关的。在直角坐标系中，令，则有：

（2.47）

流体力学中常用的矢量散度为速度散度，令，则

（二）二阶张量的散度及其在直角坐标系中的表达式与矢量散度相类似，可以定义二阶张量的散度为

（2.48）第五节物理量的梯度、散度、旋度第二章场论与正交曲线坐标退出返回64第二章场论与正交曲线坐标

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在直角坐标系中，令，则有：

（2.49）（三）有源场与无源场由散度定义可见，散度为一数量，表示场中一点处的通量对体积的变化率，也就是在该点处对一个单位体积来说所穿出之通量，称为该点处源的强度。当时，称矢量场为有源场；当时，其场为无源场。

三、物理量的旋度物理量的旋度可用来判别场是否有旋。（一）旋度的定义第五节物理量的梯度、散度、旋度第二章场论与正交曲线坐标退出返回65第二章场论与正交曲线坐标

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设有矢量场中一点处存在一矢量，若处处满足则定义矢量为的旋度，并用来表示。这里为可缩封闭曲线，为以为周线包含点的任一曲面，为曲面向点缩小至零时的法线方向单位矢量，与满足右手螺旋法则，为矢量沿的环量。（二）旋度在直角坐标系中的表达式在直角坐标系中，令，则的旋度可表示为：

（2.50）第五节物理量的梯度、散度、旋度第二章场论与正交曲线坐标退出返回66第二章场论与正交曲线坐标

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流体力学中常用的矢量旋度为速度旋度，令，则

（三）有旋场与无旋场若矢量的旋度处处为零，则称矢量场为无旋场；否则矢量场就是有旋场。第五节物理量的梯度、散度、旋度第二章场论与正交曲线坐标退出返回67第二章场论与正交曲线坐标

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第六节哈密尔顿算子、拉普拉斯算子及其在流体力学中的应用一、哈密尔顿算子利用哈密尔顿算子可以方便地推导或证明一些公式并简化数学公式的书写。哈密尔顿算子是一个具有微分及向量双重运算的算子，适用于任意正交曲线坐标系，但其具体形式在不同坐标系中是不同的，哈密尔顿算子在直角坐标系中的表达式为：

运算时先进行微分运算，后进行向量运算，具体运算规定如下：

（2.51a）

（2.51b）

（2.51c）

（2.51d）第二章场论与正交曲线坐标退出返回68第二章场论与正交曲线坐标

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第六节哈密尔顿算子、拉普拉斯算子及其在流体力学中的应用二、拉普拉斯算子物理量梯度的散度运算称为拉普拉斯运算，用算子表示，即，，这里称为拉普拉斯算子。按哈密尔顿算子的运算规则，

（2.52a）

（2.52b）在直角坐标系中有三、哈密尔顿算子、拉普拉斯算子在流体力学中的应用下面给出流体力学中常用的，系、柱坐标系、球坐标系中的表达式，这里为任意矢量，也可看做速度，为任意标量，也可看做速度势。，，，，在直角坐标，第二章场论与正交曲线坐标退出返回69第二章场论与正交曲线坐标

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第六节哈密尔顿算子、拉普拉斯算子及其在流体力学中的应用（一）直角坐标系

（2.53a）

（2.53b）

（2.53c）

（2.53d）

（2.53e）

（2.53f）第二章场论与正交曲线坐标退出返回70第二章场论与正交曲线坐标

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第六节哈密尔顿算子、拉普拉斯算子及其在流体力学中的应用

（二）柱坐标系

（2.54a）

（2.54b）

（2.54c）

（2.53g）

（2.54d）

（2.54e）第二章场论与正交曲线坐标退出返回71第二章场论与正交曲线坐标

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第六节哈密尔顿算子、拉普拉斯算子及其在流体力学中的应用

（2.54f）

（2.54g）

（三）球坐标系

（2.55a）

（2.55b）第二章场论与正交曲线坐标退出返回72第二章场论与正交曲线坐标

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第六节哈密尔顿算子、拉普拉斯算子及其在流体力学中的应用

（2.55c）

（2.55d）

（2.55e）

（2.55f）

第二章场论与正交曲线坐标退出返回73第二章场论与正交曲线坐标

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第六节哈密尔顿算子、拉普拉斯算子及其在流体力学中的应用

（2.55g）第二章场论与正交曲线坐标退出返回74第二章场论与正交曲线坐标

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（2.56）

第七节广义高斯（Gauss）定理和斯托克斯（Stokes）定理一、广义高斯定