




版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
课时作业(二十一)一、选择题1.(2021·浙江模拟)函数y=23x+1在x=0处的导数是(A)A.6ln2 B.2ln2C.6 D.2【解析】∵y′=3ln2·23x+1,∴y=23x+1在x=0处的导数是:3ln2×2=6ln2.故选A.2.(2021·全国Ⅲ卷模拟)若函数f(x)=ex+ax-1的图象经过点(1,e),则曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线的斜率k=(D)A.e B.e+1C.e2 D.e2+1【解析】依题意,e=f(1)=e+a-1,解得a=1,即函数f(x)=ex+x-1,又f′(x)=ex+1,得曲线y=f(x)在点(2,f(2))处切线的斜率k=f′(2)=e2+1.故选D.3.函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是(D)【解析】观察导函数f′(x)的图象可知,f′(x)的函数值从左到右依次为小于0,大于0,小于0,大于0,∴对应函数f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增.观察选项可知,排除A,C.如图所示,f′(x)有3个零点,从左到右依次设为x1,x2,x3,且x1,x3是极小值点,x2是极大值点,且x2>0,故选项D正确.故选D.4.(2021·全国卷模拟)f(x)是定义在R上的奇函数,且f(1)=0,f′(x)为f(x)的导函数,且当x∈(0,+∞)时f′(x)>0,则不等式f(x-1)>0的解集为(A)A.(0,1)∪(2,+∞) B.(-∞,1)∪(1,+∞)C.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(-∞,0)∪(1,+∞)【解析】∵f(x)是定义在R上的奇函数,且f(1)=0,当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,∴f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上单调递增,图形如下:∴f(x)>0的解集为:(-1,0)∪(1,+∞),又y=f(x-1)的图象是y=f(x)的图象向右平移一个单位,∴不等式f(x-1)>0的解集为(0,1)∪(2,+∞),故选A.5.(2021·龙岩模拟)已知函数f(x)=eq\f(x,lnx)-ax在(1,+∞)上有极值,则实数a的取值范围为(B)A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(-∞,\f(1,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-∞,\f(1,4)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(1,4))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,4)))【解析】f′(x)=eq\f(lnx-1,(lnx)2)-a,设g(x)=eq\f(lnx-1,(lnx)2)=eq\f(1,lnx)-eq\f(1,(lnx)2),∵函数f(x)在区间(1,+∞)上有极值,∴f′(x)=g(x)-a在(1,+∞)上有变号零点,令eq\f(1,lnx)=t,由x>1可得lnx>0,即t>0,得到y=t-t2=-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t-\f(1,2)))eq\s\up12(2)+eq\f(1,4)≤eq\f(1,4),∴a<eq\f(1,4).故选B.6.(2021·全国高三模拟)函数f(x)=(x-2)·ex的最小值为(B)A.-2 B.-eC.-1 D.0【解析】f′(x)=ex+(x-2)ex=(x-1)ex,令f′(x)=0,解得x=1.所以f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故f(x)的最小值为f(1)=-e.故选B.7.(2020·汉台区校级模拟)已知函数f(x)=x2-alnx+1在(1,3)内不是单调函数,则实数a的取值范围是(A)A.(2,18) B.[2,18]C.(-∞,2]∪[18,+∞) D.[2,18)【解析】因为f′(x)=2x-eq\f(a,x),x>0,当a≤0时,f′(x)>0恒成立,故函数在(1,3)内单调递增,不符合题意;当a>0时,f′(x)>0可得,x>eq\f(\r(2a),2),f′(x)<0可得0<x<eq\f(\r(2a),2),因为f(x)=x2-alnx+1在(1,3)内不是单调函数,所以1<eq\f(\r(2a),2)<3,解可得,2<a<18.故选A.8.(2020·鹿城区校级模拟)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx,其导函数y=f′(x)的图象经过点(1,0)、(2,0),如图所示,则下列命题正确的是(D)A.当x=eq\f(3,2)时函数取得极小值B.f(x)有两个极大值点C.f(1)<0D.abc<0【解析】函数f(x)=ax3+bx2+cx,其导函数y=f′(x)=3ax2+2bx+c,由函数的图象可知,a>0,f′(1)=0,f′(2)=0,x=1,x=2是函数的两个极值点,f(1)是极大值,f(2)是极小值,所以B,C不正确;A不正确;f′(x)=3ax2+2bx+c,由图象可得-eq\f(2b,6a)>0,b<0,eq\f(c,3a)>0,所以c>0,可得abc<0,所以D正确;故选D.二、填空题9.(2021·郑州一模)已知曲线y=eq\f(x2,4)-3lnx的一条切线斜率为eq\f(1,2),则切点横坐标为__3__.【解析】设切点横坐标为x.由题设知y′=eq\f(x,2)-eq\f(3,x)∴k=y′|x=x0=eq\f(x0,2)-eq\f(3,x0)=eq\f(1,2)xeq\o\al(2,0)-x0-6=0,x0=3或x0=-2(舍去)∴x0=310.(2020·江苏百校联考)函数f(x)=lnx-2x2的单调减区间为__eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),+∞))__.【解析】因为f(x)=lnx-2x2,则f′(x)=eq\f(1,x)-4x,令f′(x)<0解得x>eq\f(1,2),所以函数的单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),+∞)).11.(2021·安徽师范大学附属中学高三模拟)函数f(x)=eq\f(1,2)x2-2lnx+x的极值点是__1__.【解析】f(x)=eq\f(1,2)x2-2lnx+x的定义域为(0,+∞),f′(x)=x-eq\f(2,x)+1=eq\f(1,x)(x+2)(x-1),所以令f′(x)>0,解得x>1,令f′(x)<0,解得x<1,所以x=1为f(x)=eq\f(1,2)x2-2lnx+x的极值点.故答案为1.12.(2021·浙江高三模拟)已知函数f(x)=ex+lnx,g(x)=4x+eq\f(1,x),且x满足1≤x≤2,则g(x)-f(x)的最大值为__5-e__.【解析】令h(x)=g(x)-f(x)=4x+eq\f(1,x)-ex-lnx,1≤x≤2,则h′(x)=4-eq\f(1,x2)-ex-eq\f(1,x),令m(x)=4-eq\f(1,x2)-ex-eq\f(1,x),则m′(x)=eq\f(2,x3)-ex+eq\f(1,x2),1≤x≤2,易知m′(x)单调递减,则m′(1)=3-e>0,m′(1.1)=eq\f(2,1.13)+eq\f(1,1.12)-e1.1<0,则必存在一点x0∈(1,1.1),使m′(x0)=eq\f(2,xeq\o\al(3,0))-ex0+eq\f(1,xeq\o\al(2,0))=0,即eq\f(2,xeq\o\al(3,0))+eq\f(1,xeq\o\al(2,0))=ex0,即m(x)在(1,x0)单调递增,在(x0,2)单调递减,则函数m(x)在x0处取最大值,且m(x0)=4-eq\f(1,xeq\o\al(2,0))-ex0-eq\f(1,x0)=4-eq\f(1,xeq\o\al(2,0))-eq\f(1,x0)-eq\f(2,xeq\o\al(3,0))-eq\f(1,xeq\o\al(2,0))=4-eq\f(2,xeq\o\al(2,0))-eq\f(1,x0)-eq\f(2,xeq\o\al(3,0)),x0∈(1,1.1)易知m(x0)单调递增,则m(x0)<m(1.1)=4-eq\f(2,1.12)-eq\f(1,1.1)-eq\f(2,1.13)<0,则m(x)<0,在1≤x≤2时,恒成立,即h′(x)<0,故h(x)单调递减,从而h(x)≤h(1)=5-e.故答案为5-e.三、解答题13.(2021·四川高三零模)已知函数f(x)=eq\f(1,3)x3+eq\f(a,2)x2-2x+eq\f(5,6),其中a∈R.若函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线2x+y-1=0平行.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的极值.【解析】(1)由已知,可得f′(x)=x2+ax-2.∵函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线2x+y-1=0平行,∴f′(1)=a-1=-2,解得a=-1.经验证,a=-1符合题意.(2)由(1)得f(x)=eq\f(1,3)x3-eq\f(1,2)x2-2x+eq\f(5,6),求导f′(x)=x2-x-2=(x+1)(x-2).令f′(x)=0,得x=-1或x=2,当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-1)-1(-1,2)2(2,+∞)f′(x)+0-0+f(x)单调递增↗极大值单调递减↘极小值单调递增↗∴当x=-1时,f(x)取得极大值,且f(-1)=2;当x=2时,f(x)取得极小值,且f(2)=-eq\f(5,2).14.(2021·全国高三模拟)已知函数f(x)=xex+eq\f(1,2)ax2+ax,g(x)=eq\f(1,2)ax2-alnx(a∈R).(1)讨论f(x)在区间(0,+∞)上的单调性;(2)若关于x的不等式f(x)>g(x)在区间(0,+∞)上恒成立,求a的取值范围.【解析】(1)f(x)=xex+eq\f(1,2)ax2+ax,x∈(0,+∞),求导得:f′(x)=(x+1)ex+ax+a=(ex+a)(x+1).当a≥-1时,ex+a≥0,x+1>0,f′(x)≥0,f(x)在(0,+∞)上单调递增.当a<-1时,令f′(x)>0,得ex>-a,x>ln(-a),f(x)单调递增;令f′(x)<0,得ex<-a,x<ln(-a),f(x)单调递减.综上,当a≥-1时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a<-1时,f(x)在(0,ln(-a))上单调递减,在(ln(-a),+∞)上单调递增.(2)由f(x)>g(x)得,xex+ax>-alnx⇒xex>-a(x+lnx).令t=xex,t∈(0,+∞),则x+lnx=ln(xex)=lnt,上式变为t>-alnt.①当a=0时,上式恒成立;②当a>0时,t→0时,-alnt→+∞,不成立;③当a<0时,-eq\f(1,a)>eq\f(lnt,t)=h(t),求导得:h′(t)=eq\f(1-lnt,t2)=0⇒t=e,所以,h(t)max=h(e)=eq\f(1,e),则-eq\f(1,a)>eq\f(1,e),即-e<a<0.综上,a∈(-e,0].15.(2021·贵州凯里一中高三三模)已知函数f(x)=x3-3kx+2,k∈R.(1)若x=-2是函数f(x)的极值点,求k的值及f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,2))上有且仅有2个零点,求f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,2))上的最大值g(k).【解析】(1)由题知,f(x)=x3-3kx+2的定义域为R,f′(x)=3x2-3k,∴f′(-2)=12-3k=0,解得k=4,∵f′(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2),∴x∈(-2,2)时,f′(x)<0;x∈(-∞,-2)∪(2,+∞)时,f′(x)>0.∴f(x)的单调增区间是(-∞,-2)和(2,+∞),单调减区间为(-2,2).(2)由(1)知,f′(x)=3(x2-k),①当k≤0时,f′(x)=3(x2-k)≥0恒成立,∴f(x)在[0,2]上单调递增,最多只有1个零点,不符合条件,舍去.②当k≥4时,当x∈[0,2]时,f′(x)=3(x2-k)≤0恒成立,∴f(x)在[0,2]上单调递减,最多只有1个零点,不符合条件,舍去.③当0<k<4时,令f′(x)=3(x2-k)<0得0<x<eq\r(k),∴f(x)在(0,eq\r(k))上递减,在(eq\r(k),2)上递增,要使函数f(x)在区间[0,2]上有且仅有2个零点,必有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f(0)≥0,,f(\r(k))<0,,f(2)≥0
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 临终人文关怀实践-洞察及研究
- 喷发灾害风险评估-洞察及研究
- 智能传感器在既有建筑中的应用-洞察及研究
- 物联网能耗优化-第1篇-洞察及研究
- 微流控芯片制造-洞察及研究
- 浮游生物垂直迁移机制-洞察及研究
- 2026届山东省济南市高新区重点名校中考数学模拟试题含解析
- 湖北省黄冈市黄梅县重点达标名校2026届中考三模物理试题含解析
- 江苏省南通市崇川区2026届中考试题猜想数学试卷含解析
- 广西钦州市钦南区达标名校2026届中考考前最后一卷数学试卷含解析
- 新视野大学英语(第四版)读写教程2(思政智慧版) 课件 Unit3 The young generation making a difference Section A
- 公路桥涵工程施工方案
- 世界各国电源插头标准和电压(含标准常用线规号码与线径对照表-)
- 中小学生牛奶配送项目投标方案
- 热电厂2空预器大修施工方案
- 十二岁套面圈的顺口溜大全
- 转型中的中东经济
- 新疆民族发展史和宗教演变史课件
- 页岩气开发现状及核心技术关键问题
- 自制中外对比旧约历史年代对照表
- 家庭医生签约服务培训课件
评论
0/150
提交评论