专题一第2讲高考数学(理科)二轮复习讲义

第2讲三角恒等变换与解三角形(小题)热点一三角恒等变换1.三角求值“三大种类”“给角求值”“给值求值”“给值求角”.2.三角恒等变换“四大策略”(1)常值代换：常用到“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45等°.(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等.(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次.(4)弦、切互化.例1(1)(2019·榆林模拟)若α，β都是锐角，且cosα＝5，sin(α＋β)＝3，则cosβ等于()552525A.25B.525或255或5C.255D.525答案A剖析因为α，β都是锐角，且cosα＝5<1，52因此ππ3<α<，2132又sin(α＋β)＝5，而2<5<2，3π5π因此4<α＋β<6，4因此cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－5，sinα＝1－cos2α＝255，cosβ＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα525.5，sin(α－β)＝－10，α，β均为锐角，则β等于()(2)已知sinα＝5105ππA.12B.3ππC.4D.6答案C剖析因为α，β均为锐角，因此－ππ2<α－β<2.又sin(α－β)＝－10，因此cos(α－β)＝3101010.又sinα＝5，因此cosα＝25，55因此sinβ＝sin[α－(α－β)]sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)531025102＝5×10－5×－10＝2.π因此β＝.4(3)3－1＋64sin220°＝________.22sin20°cos20°答案32剖析因为3－13cos220°－sin220°＝sin220°cos220°sin220°cos220°3cos20＋°sin20°3cos20－°sin20°＝1sin240°42cos20°－30°2cos20°＋30°1sin240°4＝16cos10cos°50°16sin80°sin240°＝°sin4032sin40cos°40°＝sin40°＝32cos40°，因此3－11(1－cos40)°＝32.22＋64sin220°＝32cos40＋°64×sin20°cos20°2追踪演练1π3，则cos2018π(1)已知sin－α＝2α＋等于()63321A.3B.321C.－3D.－3答案D2018π2π剖析cos2α＋3＝cos2α＋＋672π3＝cos2α＋2π3，∵sinπ＝cosπ3－α＋α＝3，632018π2π∴cos2α＋3＝cos2α＋32cos2α＋π－1＝2－1＝－1.333(2)(2019吕·梁模拟)已知α∈0，π，β∈0，π，tanα＝cos2β，则()221－sin2βππA.α＋β＝2B.α－β＝4ππC.α＋β＝4D.α＋2β＝2答案B剖析tanα＝cos2β＝2β－sin2β＝cosβ＋sinβcosβ－sinβ＝cosβ＋sinβcos1－sin2βcos2β＋sin2β－2sinβcosβcosβ－sinβ2cosβ－sinβ1＋tanβπα∈π，β∈πππ＝＝tan＋β，又因为0，20，2，因此α＝＋β，即α－β＝1－tanβ444.热点二利用正弦、余弦定理解三角形abc1.正弦定理：在△ABC中，sinA＝sinB＝sinC＝2R(R为△ABC的外接圆半径变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，sinA＝a，sinB＝b，sinC＝2R2RsinA∶sinB∶sinC等.2.余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA.b2＋c2－a2变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝.

).，a∶b∶c＝2R1113.三角形的面积公式：S＝2absinC＝2acsinB＝2bcsinA.例2(1)(2019·东北师大附中、重庆一中、吉大附中、长春十一中联考)在△ABC中，A，B，π→→C所对的边分别为a，b，c，B＝3，AB·BC＝－2，且满足sinA＋sinC＝2sinB，则该三角形的外接圆的半径R为()4323A.3B.3C.3D.2答案B剖析由题意，因为→→1AB·BC＝accos(π－B)＝－ac＝－2，因此ac＝4.2由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB.又因为sinA＋sinC＝2sinB，因此a＋c＝2b，因此a＋c24＝(a＋c)2－3ac，因此3a＋c24＝12，因此(a＋c)2＝16，因此a＋c＝4，因此b＝2，因此2R＝b＝2＝43，sinBπ3sin33因此R＝3.(2)(2019葫·芦岛调研)△ABC的周长为10＋27，且满足sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶7，则△ABC的面积为()A.63B.47C.87D.12答案A剖析由正弦定理及sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶7，可得a∶b∶c＝2∶3∶7，于是可设a＝2k，b＝3k，c＝7k(k>0)，由余弦定理可得cosB＝a2＋c2－b24k2＋7k2－9k27321.2ac＝2×2k·7k＝，∴sinB＝1－cos2B＝1414又2k＋3k＋7k＝10＋27，∴k＝2，即a＝4，c＝27，∴S△ABC11321＝acsinB＝2·4·27·＝63，214即△ABC的面积为63.追踪演练2(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为S，且a＝1,4S＝b2＋c2－1，则△ABC外接圆的面积为()πA.4πB.2πC.πD.2答案D剖析由余弦定理得，b2＋c2－a2＝2bccosA，a＝1，因此b2＋c2－1＝2bccosA，又S＝1bcsinA,4S＝b2＋c2－1，21因此有4×2bcsinA＝2bccosA，π即sinA＝cosA，因此A＝，4由正弦定理得，1＝2R，得R＝2，π2sin4π因此△ABC外接圆的面积为2.(2)(2019广·州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a的取a，b，c，若A＝3B，则b值范围是()A.(0,3)B.(1,3)C.(0,1]D.(1,2]答案B剖析A＝3B?sinA＝sin3B＝sin2B＋B＝sin2BcosB＋cos2BsinBsinBsinBsinBsinB2sinBcos2B＋cos2BsinB＝2cos2B＋cos2B＝2cos2B＋1，sinB即ab＝sinsinAB＝2cos2B＋1，又A＋B∈(0，π)，即4B∈(0，π)?2B∈0，π?cos2B∈(0,1)，∴a∈(1,3).2b热点三正弦、余弦定理的实质应用1.用正弦定理和余弦定理可解决距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题或物理问题等.2.解决三角形应用题的基本思路画图解三角形检验实责问题――→数学问题―――→数学问题的解――→实责问题的解.3.用正、余弦定理解决问题的一般步骤：(1)选定或确定要创办的三角形，要第一确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理，若是都可用，选择便于计算的定理.例3(1)某游轮在A处看灯塔B在A的北偏东75°的方向上，距A126海里处，灯塔C在A的北偏西B在南偏东

30°的方向上，距A83海里处，游轮由A处向正北方向航行到60°的方向上，则此时灯塔C与游轮的距离为()

D处时再看灯塔A.20海里

B.83海里C.232海里

D.24海里答案

B剖析

以下列图，在△ABD

中，∠DAB＝75°，∠ADB＝60°，B＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得AD＝AB，sinBsin∠ADB2∴AD＝ABsinB＝126×2＝24.sin∠ADB32在△ACD中，AD＝24，AC＝83，∠CAD＝30°，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos30°＝242＋(83)2－2×24×83×

23＝192，∴CD＝83.(2)如图，某学生社团在校园内测量远处某栋楼CD的高度，D为楼顶，线段AB的长度为600m，在A处测得∠DAB＝30°，在B处测得∠DBA＝105°，且此时看楼顶D的仰角∠DBC＝30°，已知楼底C和A，B在同一水平面上，则此楼高度CD＝________m.(精确到1m)答案212剖析在△ABD中，由正弦定理，得BD＝AB，由AB＝600，得sin30°sin180°－105°－30°600sin30°BD＝sin45＝3002，在Rt△BCD中，°因为∠DBC＝30°，因此CD＝1BD＝1502≈212.2追踪演练3(1)以下列图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔15000m，速度为1000km/h，翱翔员先看到山顶的俯角为15°，经过108s后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为________m.(取3＝1.732)答案6340剖析以下列图，108s＝0.03h，AB＝1000×0.03＝30(km).∵∠C＝75°－15°＝60°，∵AB＝BC，sin60°sin15°∴BC＝ABsin15°sin60＝203sin15(km)°，°∴C到AB边的距离h＝BCsin75＝°203sin15sin°75＝°103sin30＝°535×1.732＝8.66(km)，∴山顶的海拔高度为15000－8660＝6340(m).(2)以下列图，为测量竖直旗杆CD的两点A，B，在A处测得旗杆底部

的高度，在旗杆底部C所在水平川面上采用相距C在西偏北20°的方向上，旗杆顶部D的仰角为

421m60°；在B处测得旗杆底部

C在东偏北

10°的方向上，旗杆顶部

D的仰角为

45°，则旗杆

CD

的高度为________m.答案12剖析设CD＝x，x>0.∵在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，BC＝x.∵在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝CD＝x.tan60°3在△ABC中，∵∠CAB＝20°，∠CBA＝10°，∴∠ACB＝180°－20°－10°＝150°，∴由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos150°，即(421)2＝1x2＋x2＋2·x·x·3＝7x2，3323x＝12.旗杆CD的高度为12m.真题体验1.(2017山·东，理，9)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC形，且满足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，则以低等式成立的是(

为锐角三角)A.a＝2b

B.b＝2a

C.A＝2B

D.B＝2A答案剖析

A∵等式右边＝

sinAcosC＋(sinAcosC＋cosAsinC)＝sinAcosC＋sin(A＋C)sinAcosC＋sinB，等式左边＝sinB＋2sinBcosC，∴sinB＋2sinBcosC＝sinAcosC＋sinB.由cosC>0，得sinA＝2sinB.依照正弦定理，得a＝2b.π2.(2019全·国Ⅱ，理，10)已知α∈0，2，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα等于()15325A.5B.5C.3D.5答案B剖析由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝1－2sin2α＋1，即2sinαcosα＝1－sin2α.因为π，因此cosα＝1－sin2α，因此2sinα1－sin2α＝1－sin2α，解得sinα＝5α∈0，25，应选B.3.(2019全·国Ⅱ，理，15)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，Bπ＝，则△ABC的面积为________.3答案63剖析方法一π因为a＝2c，b＝6，B＝，因此由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得62＝(2c)23＋c2－π11×432×2c×ccos，得c＝23，因此a＝43，因此△ABC的面积S＝acsinB＝322π3.×23×sin＝63方法二因为a＝π2c，b＝6，B＝，因此由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得62＝(2c)2＋c23－2×2c×ccosππ，得c＝23，因此a＝43，因此a2＝b2＋c2，因此A＝，因此△ABC的面32积S＝1×23×6＝63.2押题展望4，α∈π，则sinπ0，4－α的值为________.1.已知sin2α＝54答案1010剖析ππππ因为2－α＝－2α，则2α＝－2－α，4224因此sin2α＝sinππ＝cos2π－2－α－α，2444π因此5＝1－2sin24－α，因此sin2πππ，－α＝1，又－α∈0，44104因此sinπ10－α＝410.2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为bcosC＝1＋cos2C，C是锐角，且aa，b，c，若ccosB1＋cos2B27，cosA＝1，则△ABC的面积为________.3答案72剖析由正弦定理可得bcosC＝sinBcosC，ccosBsinCcosB又由余弦的倍角公式可得1＋cos2C＝2cos2C，1＋cos2B22cosB因此sinsinBC＝coscosCB，即sin2B＝sin2C，π因此B＝C或B＋C＝，21又cosA＝3，因此

A∈

π，因此0，2

B＝C，因此a2＝b2＋c2－2bccosA，整理得2b2－2b2＝28，3解得b＝c＝21，因此S＝1bcsinA＝72.23.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝30°，C＝45°，c＝3，点P是平面ABC内的一个动点，若∠BPC＝60°，则△PBC面积的最大值是________.答案938剖析∵A＝30°，C＝45°，c＝3，∴由正弦定理a＝c，sinAsinC1可得a＝c·sinA＝3×2＝32sinC22.2又∠BPC＝60°，∴在△PBC中，令PB＝m，PC＝n，m2＋n2－9由余弦定理可得cos∠BPC＝2＝1，2mn29932时等号成立)，∴m2＋n2－＝mn≥2mn－(当且仅当m＝n＝2229193∴mn≤2，∴Smax＝2mnsin∠BPC＝8.A组专题通关π1，则cos2α等于()－α＝1.(2019沈·阳市东北育才学校模拟)已知cos2577A.25B.－252323C.25D.－25答案C剖析π1，又由cos2α＝1－2sin2α＝1－2×1＝23.由cos－α＝1，得sinα＝25525252.tan70＋°tan50－°3tan70tan°50的°值为()3A.3B.3C.－3D.－33答案D剖析tan70＋°tan50°因为tan120°＝＝－3，1－tan70tan°50°即tan70°＋tan50－°3tan70°tan50＝°－3.3.(2019吕·梁模拟)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，a，b，c，若2cosB＝c则该三角形必然是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形答案Aaa2＋c2－b2a2＋c2－b2a剖析由2cosB＝c及余弦定理得2×2ac＝ac＝c，整理得c2＝b2，∴b＝c，∴△ABC为等腰三角形.π4.(2019黄·冈调研)已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且C＝4，c＝2，a＝x，若满足条件的三角形有两个，则x的取值范围是()A.2<x<1B.2<x<2C.1<x<2D.1<x<2答案B剖析在△ABC中，由正弦定理得a＝c，sinAsinC即x＝2，可得sin1A＝x，sinAπ2sin4π3ππ21由题意得，当A∈，且A≠时，满足条件的△ABC有两个，因此2<2x<1，解得2<x<2，442则x的取值范围是(2，2).5.(2019甘·肃省静宁县第一中学模拟)某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，此后船沿南偏东60°的方向航行15km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是()A.5kmB.52kmC.53kmD.10km答案C剖析依照题意画出相应的图形，以下列图，其中C为灯塔，A为某船开始的地址，B为船航行15km后的地址.由题意可得，在△ABC中，CAB＝∠B＝30°，AB＝15，∴∠ACB＝120°，在△ABC中，由正弦定理得BC＝AB，sin∠CABsinC15×1AB·sin∠CAB15×sin302＝°3，∴BC＝sin120＝3＝5sinC°2即船与灯塔的距离是53km.2cos(α－ββ－cos(α－2β2，则1－tan2α6.(2019韶·关调研)已知等于())cos)＝41＋tan2α34A.－4B.－334C.4D.3答案A剖析2cos(α－β)cosβ－cos(α－2β)＝2cos(α－β)cosβ－cos(α－β－β)2cos(α－β)cosβ－cos(α－β)cosβ－sin(α－β)sinβcos(α－β)cosβ－sin(α－β)sinβcos(α－β＋β)＝cosα，cosα＝2，sin2α＝1－cos2α＝7，48∴tan2α＝7，从而1－tan2α3.＝－1＋tan2α47.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，acosB＋bcosA＝2ccosC，c＝7，且△ABC的面积为

33，则△ABC

的周长为

(

)2A.1＋

7

B.2＋

7C.4＋

7

D.5＋

7答案D剖析在△ABC中，acosB＋bcosA＝2ccosC，则sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosC，即sin(A＋B)＝2sinCcosC，π∵sin(A＋B)＝sinC≠0，∴cosC＝，∴C＝，3由余弦定理可得，a2＋b2－c2＝ab，即(a＋b)2－3ab＝c2＝7，又S＝1absinC＝3ab＝33，∴ab＝6，242(a＋b)2＝7＋3ab＝25，a＋b＝5，∴△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋7.8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acosB－bcosA＝c，则acosA＋bcosB2acosB的最小值为()43A.3B.3323C.3D.3答案D剖析∵acosB－bcosA＝c，21111∴由正弦定理化简得，sinAcosB－sinBcosA＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，2222整理得，sinAcosB＝3cosAsinB，∴cosAcosB>0，tanA＝3tanB；则acosA＋bcosB＝cosA＋b＝cosA＋sinBacosBcosBacosBsinA≥2cosAsinB2tanB＝2123·＝tanA＝3.cosBsinA3由cosA＝sinB，得πA＝B或A＋B＝，cosBsinA2又由已知条件知A≠B，π故当且仅当A＋B＝2时，等号成立.∴acosA＋bcosB的最小值为23acosB3.9.已知2sinθ＝1－cosθ，则tanθ等于()A.－4或0B.4或03344C.－3D.3答案A剖析因为2sinθ＝1－cosθ，θθθθ因此4sin2cos2＝1－1－2sin22＝2sin22，解得sinθθθθ或2，＝0或2cos＝sin，即tan＝02222θ又tanθ＝2tan2，θ21－tan2当tanθ时，tanθ＝0；＝02当tanθ4＝2时，tanθ＝－.2310.(2019安·徽省合肥一中、马鞍山二中等六校联考)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则以下命题正确的选项是()①若a2＋b2π<c2，则C>；2π②若ab>c2，则C>3；③若a3＋b3π＝c3，则C<；2π④若2ab>(a＋b)c，则C>2；π⑤若(a2＋b2)c2<2a2b2，则C<.3A.①②③B.①②⑤C.①③④D.①③⑤答案D剖析对于①，a2＋b2<c2，可以得出a2＋b2－c2πcosC＝2ab<0，因此C>，故正确；2对于②，ab>c2?cosC＝a2＋b2－c22ab－abπ2ab>＝1，得出C<，故错误；2ab23π对于③，其逆否命题为“若C≥，则a3＋b3≠c3”.2π当C≥时，c2≥a2＋b2?c3≥ca2＋cb2>a3＋b3，即a3＋b3≠c3成立，故正确；2对于④，取a＝b＝2，c＝1，满足2ab>(a＋b)c，利用余弦定理得ππC<<，故错误；32对于⑤，因为2abc2≤(a2＋b2)c2<2a2b2，因此有c2<ab，即cosC＝a2＋b2－c22ab－ab＝1，所2ab>2ab2π①③⑤.以C<，故正确，因此正确命题的序号是311.在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c.若A＝120°，a＝1，则2b＋3c的最大值为()221A.3B.335C.32D.2答案B剖析因为A＝120°，a＝1，设三角形外接圆半径为R，由正弦定理可得

a＝sinA

bsinB

＝c＝2RsinC1＝23，sin120°3因此b＝2323，3sinB，c＝3sinC故2b＋3c＝4323sinC3sinB＋33sin(60°－C)＋23sinC＝432213sinC＋2cosC＝3sin(C＋φ).因此2b＋3c的最大值为2213.12.(2019黄·冈调研)已知圆C：x2＋(y－1)2＝R2与函数y＝2sinx的图象有唯一交点，且交点的α4cos2－α－22等于()横坐标为α，则sin2αA.－2B.2C.－3D.3答案B剖析依照题意，圆C：x2＋(y－1)2＝R2与函数y＝2sinx的图象有唯一交点，则圆C在交点处的切线与函数y＝2sinx在交点处的切线重合；又由交点的横坐标为α，则交点的坐标为(α，2sinα)，对于y＝2sinx，其导数y′＝2cosx，则有y′|＝αα，则有2sinα－1＝－1，x＝2cosα－02cosα变形可得α＝2cosα(1－2sinα)＝2cosα－4sinαcosα，4cos2α2α－α－α－22cos2－1则2＝2sin2αsin2α2cosα－2cosα－4sinαcosα＝2.2sinαcosα13.(2019洛·阳统考)已知tanα＋π2，则2sinα＝________.＝43sinα＋cosα答案13剖析已知tanα＋π＝2，张开获取1＋tanα4＝21－tanα212sinα＝2tanα＝31?tanα＝，则1＋1＝.33sinα＋cosα3tanα＋13b＋a＝2asinB－c，14.(2019韶·关调研)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且sinCsinB－sinA则A＝________.答案π4剖析由正弦定理a＝b＝c得b＋a＝2asinB－c，sinAsinBsinCcb－a整理得b2－a2＝2acsinB－c2，即b2＋c2－a2＝2acsinB＝2bcsinA，由余弦定理得b2＋c2－a2＝2bccosA，π∴2bccosA＝2bcsinA，即cosA＝sinA，∴A＝4.15.(2019茂·名模拟)《九章算术》中记录了一个“折竹抵地”问题，今年超强台风“山竹”登陆时再现了这一现象

(以下列图

)，很多大树被暴风折断

.某路边一树干被台风吹断后

(没有完好断开)，树干与底面成

75°角，折断部分与地面成

45°角，树干底部与树尖着地处相距

10米，则大树原来的高度是

________米(结果保留根号

).答案52＋56剖析以下列图，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则∠AOB＝75°，∠ABO＝45°，因此∠OAB＝60°.由正弦定理知，AO＝AB＝10，sin45°sin75°sin60°因此OA＝106152＋56(米)，3(米)，AB＝3因此OA＋AB＝52＋56(米).πDE与AB，AC分别交于点D，16.如图，在△ABC中，BC＝2，∠ABC＝，AC的垂直均分线3E，且DE＝6，则BE2＝________.2答案5＋32剖析如图，连接CD，由题设，有∠BDC＝2A，因此CD＝BC＝2，πsin2Asin2Asin3故CD＝3sin2A.又DE＝CDsinA＝3＝6，2cosA2因此cosA＝2π2，而A∈(0，π)，故A＝，4因此△ADE为等腰直角三角形，因此AE＝DE＝62.在△ABC中，∠ACB＝5πAB＝2，，因此125ππsin12sin4故AB＝3＋1，2262625在△ABE中，BE＝(3＋1)＋2－2×(3＋1)××2＝＋