2023新高考总复习数学5·3A18-专题六62平面向量的数量积及其应用之1-6.2　平面向量的数量积及其应用-习题+题组

2023版新高考版高考总复习数学5·3A版18_专题六62平面向量的数量积及其应用之1_6.2平面向量的数量积及其应用2023版新高考版高考总复习数学5·3A版18_专题六62平面向量的数量积及其应用之1_6.2平面向量的数量积及其应用2023版新高考版高考总复习数学5·3A版18_专题六62平面向量的数量积及其应用之1_6.2平面向量的数量积及其应用[2023版新高考版高考总复习数学5·3A版18_专题六62平面向量的数量积及其应用之1_6.2平面向量的数量积及其应用]2023版新高考版高考总复习数学5·3A版18_专题六62平面向量的数量积及其应用之1_6.2应用创新题组2023版新高考版高考总复习数学5·3A版18_专题六62平面向量的数量积及其应用之1_6.2应用创新题组2023版新高考版高考总复习数学5·3A版18_专题六62平面向量的数量积及其应用之1_6.2应用创新题组6.2平面向量的数量积及其应用考试点一平面向量的数量积1．【2015山东理，４，5分】已知菱形ＡBCD的边长为ａ，∠ABC=60°，则BD·CD＝【】〔未经许可请勿转载〕Ａ.—32a2B。-34a2C。34ａ２D。答案：DBD·CD=【BC+CD】·CD=BC·CD+CD2＝12ａ2+a２=32ａ２．【2015课标Ⅱ文，4,5分】向量a=【１，—1】，b=【-1,２】，则【2a+b】·a＝【】〔未经许可请勿转载〕A。-1B.０C.1Ｄ。2答案:C因为2a+b=2【1，－1】+【-１,２】＝【2,-2】+【-1,2】=【1，0】，所以【２ａ+b】·a＝【1,0】·【１,-1】=１×１+0×【—１】＝1.故选C。〔未经许可请勿转载〕3.【２015四川理，7,5分】设四边形ABCＤ为平行四边形，|AB｜＝6，｜AD｜=4.若点Ｍ，Ｎ满足BM=3MC，DN=2NC，则AM·NM=【】〔未经许可请勿转载〕A．20B。1５Ｃ.9D。6答案：C依题意有AM＝AB＋BM＝AB+34BC,NM=NC＋CM＝13DC-14BC=13AB—14BC,所以AM·NM=AB４．【2015广东文，9,5分】在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCＤ是平行四边形,AB=【1，—2】，AD=【2，1】，则AD·AC=【】〔未经许可请勿转载〕A。５B.4C。3Ｄ。2答案：A∵四边形ABCD是平行四边形,∴AC=AB+AD=【３，—1】,∴AD·AC＝2×3+１×【—1】=5.选A。〔未经许可请勿转载〕5。【２0１4课标Ⅱ，理３,文4,５分】设向量a，ｂ满足|a+b｜＝10,｜a—ｂ|=6，则a·ｂ=【】〔未经许可请勿转载〕A．1B。2C.３D．5答案：A∵｜a+b｜＝10,∴ａ２+2a·b＋b2=１0．①又|a-b|＝6，∴a2—２a·ｂ+b2=６。②①—②,得4a·b=4，即a·b＝１，故选A.6.【2014大纲全国文，6，5分】已知a、ｂ为单位向量，其夹角为60°,则【2a—b】·b=【】〔未经许可请勿转载〕A。-1B.０C．１D．2答案:B【2a－ｂ】·b=２a·ｂ-｜b｜2=2×1×１×cｏs60°－12=0，故选B。〔未经许可请勿转载〕7.【2018上海，８，5分】在平面直角坐标系中，已知点A【-1,0】、Ｂ【2，0】，E、F是ｙ轴上的两个动点，且|EF｜=２,则AE·BF的最小值为。

〔未经许可请勿转载〕答案：—3解析本题主要考查数量积的运算以及二次函数的最值问题．设E【０，m】，F【０,n】，又A【—1,0】,B【２,0】,〔未经许可请勿转载〕∴AE=【1，m】，BF＝【－2,n】。∴AE·BF=—2+mn，又知|EF|=2，∴｜ｍ-n｜=2。①当m=n+2时，AE·BF=mn－2＝【n+2】n—2=n2＋2ｎ-2=【n＋1】2－３.〔未经许可请勿转载〕∴当n=—1，即E【０，1】,F【0，－１】时,AE·BF取得最小值—3．〔未经许可请勿转载〕②当m=n—２时,AE·BF=mn—2=【ｎ—2】n-2=ｎ2—2n－2=【n—1】２—３．〔未经许可请勿转载〕∴当n=1，即E【０，－1】，Ｆ【0,1】时，AE·BF取得最小值—3。综上可知,AE·BF的最小值为－3。8．【20１4重庆文,12,5分】已知向量a与b的夹角为60°，且a=【—2，—6】,|b｜=10，则a·b＝.

〔未经许可请勿转载〕答案：1０解析由a=【-２，—6】，得|ａ｜=(-2)∴a·b＝|ａ|｜b|cｏs<a，b>=２10×10×cos６0°=１0。〔未经许可请勿转载〕考试点二平面向量数量积的应用1．【2０１9课标Ⅱ文,3，5分】已知向量ａ=【2,３】,ｂ=【3,2】,则|a—ｂ｜=【】〔未经许可请勿转载〕A.2B。2Ｃ.52D。5０答案:A本题主要考查平面向量的坐标运算以及向量模的计算;考查数学运算的核心素养。〔未经许可请勿转载〕∵ａ＝【２，3】，b=【3,2】，∴a—b＝【-１,1】,∴｜a—b｜=(-1)2+1一题多解∵a=【2，3】,ｂ=【３，2】,∴｜a|２=１3，|b｜2=13,a·b=１２,则|ａ—b｜=a2-2a·b+b2.【2０17课标Ⅱ理，１２，５分】已知△ABC是边长为２的等边三角形,Ｐ为平面ＡＢC内一点,则PA·【PB＋PC】的最小值是【】〔未经许可请勿转载〕Ａ．-2B．-32Ｃ.-43答案：Ｂ设BC的中点为Ｄ，AD的中点为Ｅ,则有PB+PC=2PD，则PA·【PB＋PC】=２PA·PD＝2【PE+EA】·【PE-EA】=2【PE2－EA而AE2=322当P与E重合时,PE2有最小值0，故此时PA·【PB+PC】取最小值最小值为—２EA2=—２×34=－方法总结在求向量数量积的最值时,常用取中点的方法，如本题中利用PA·PD=PE2—EA2可快速求出最值一题多解以AB所在直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系，如图,〔未经许可请勿转载〕则A【—１,0】,B【１，0】,Ｃ【0，3】，设P【ｘ，ｙ】，取ＢC的中点Ｄ，则D12,32。PA·【PB＋PC】＝2PA·PD=2【—1—ｘ,-y】·12-因此,当x=－14，y＝34时，PA·【PB+PC】取得最小值，为2×-34=－33。【2０16课标Ⅱ理,3,5分】已知向量a=【1，m】，b=【3，－２】，且【a＋b】⊥b，则ｍ=【】〔未经许可请勿转载〕A。-8B。—6Ｃ.6D。8答案:D由题可得a+ｂ=【4，m—2】，又【a＋ｂ】⊥b，∴4×3-2×【m—2】=0，∴m=8。故选Ｄ。〔未经许可请勿转载〕4.【2016四川文,９,５分】已知正三角形ＡＢC的边长为23,平面ABC内的动点Ｐ，M满足｜AP|=1，PM=MC，则｜BM｜2的最大值是【】〔未经许可请勿转载〕Ａ．434B．C．37+634答案:B以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系，则A【0,0】,Ｃ【23，0】，B【3，3】。设P【x，y】，∵|AP|=1，∴ｘ2+y2=1,∵PM=MC,∴M为ＰC的中点,∴Ｍx+2∴|BM｜２=x+232-32+y2-32又∵—１≤y≤1，∴当y=—1时，｜BM｜2取得最大值,且最大值为494.思路分析由△AＢC为正三角形，|AP|=1,考虑到用建立平面直角坐标系的方法来解决向量问题。〔未经许可请勿转载〕评析本题考查了向量的坐标运算,运用了转化与化归思想.5．【20１5福建文,7，５分】设a=【1,2】,b=【1,1】,c=a＋kb．若ｂ⊥c，则实数k的值等于【】〔未经许可请勿转载〕Ａ。－32B．—53Ｃ．53答案：Ac＝a+ｋb=【1+k，2+k】。由ｂ⊥ｃ,得b·c=0，即1+k＋2+k＝0，解得k＝-32．故选A.6.【2015重庆理，６,5分】若非零向量a，ｂ满足｜a|＝223｜b|,且【a—ｂ】⊥【3a+2b】，则a与b的夹角为【A。π4B.π2C．3π答案：Ａ∵【a－b】⊥【３a+２ｂ】，∴【a—b】·【3a+2b】=0⇒3｜ａ|2－ａ·b－2|b｜2=０⇒3｜a｜2－|a｜·|b｜·cos〈ａ,ｂ>－2|b｜2=０。〔未经许可请勿转载〕又∵|a｜＝223|b｜，∴83|b|2-223|b|2·cos＜a，b〉-2|b｜２=0．∴cos＜a，ｂ〉=22．∵<a，b∴<a，b＞＝π4．选７．【2015重庆文，7，5分】已知非零向量a，b满足|b|＝４｜ａ｜，且ａ⊥【2a＋b】，则a与b的夹角为【】〔未经许可请勿转载〕A.π3B.π2Ｃ.2π答案:C因为a⊥【2a+b】,所以a·【2ａ+ｂ】=0,得到ａ·b=—2|a｜2，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|=-2|a|24|a|2=—128.【20１４大纲全国理,４，5分】若向量a、b满足:｜a｜=1，【a＋b】⊥a，【2a＋b】⊥b，则|b|=【】〔未经许可请勿转载〕A.2B．2Ｃ．1D．2答案:B由题意得(a+b)·a=a2+a·b=0,(2a+b)·b=2a·b+b2=0⇒—29.【201６课标Ⅲ,3,5分】已知向量BA=12,32，BC=32,1A。３０°Ｂ．４5°Ｃ。60°D．1２0°答案:Ａｃｏｓ∠ABＣ=BA·BC|BA|·|BC|=3思路分析由向量的夹角公式可求得cos∠ABＣ的值,进而得∠ＡBC的大小.〔未经许可请勿转载〕1０。【２016北京,4，5分】设a，ｂ是向量。则“|a｜=｜b｜”是“|a+b|=｜a—b｜"的【】〔未经许可请勿转载〕A.充分而不必要条件B。必要而不充分条件C.充分必要条件Ｄ。既不充分也不必要条件答案：Ｄ当|a｜=｜b｜=0时，|a｜=|b｜⇔|a+b|=|a—b｜．〔未经许可请勿转载〕当|a|＝｜ｂ|≠0时,|a+b｜=|a—ｂ|⇔【ａ+b】2=【ａ-b】2⇔a·b＝０⇔ａ⊥b,推不出|ａ｜=|b｜。同样,由|a｜=｜b|也不能推出a⊥b.故选Ｄ.〔未经许可请勿转载〕解后反思由向量加法、减法的几何意义知:当a、b不共线，且｜a｜＝|ｂ｜时，a+b与a－ｂ垂直；当a⊥b时，｜a＋b｜=|a—b｜.〔未经许可请勿转载〕1１。【201６山东,8，5分】已知非零向量m,n满足4｜m|＝3|n｜，ｃos〈m,n>=13。若n⊥【tm＋ｎ】，则实数t的值为【】A.4B.－４C.94Ｄ.—答案：B因为n⊥【tm+n】,所以tm·n+n2=0,所以m·n=—n2t,又４|m|=3｜n所以ｃos＜m，n〉=m·n|m|·|n|=4m1２.【2016课标Ⅰ，１3，5分】设向量a＝【m,1】，b＝【1，2】，且｜a＋b｜2=|a｜2+|b｜2，则m＝.

〔未经许可请勿转载〕答案：－2解析由|a+b｜2=｜a｜2+｜b｜2可得a·b＝0,∴a·b＝m+2=0，∴m=－2．〔未经许可请勿转载〕思路分析由|a+b｜2＝|a｜2+|b｜2得a·b=０，然后利用数量积的坐标表示得到关于m的方程,解方程求得ｍ。〔未经许可请勿转载〕13。【２01８北京文,9,5分】设向量a=【1，0】,ｂ=【-1，m】.若a⊥【mａ-ｂ】，则m＝．

〔未经许可请勿转载〕答案:-１解析本题主要考查平面向量数量积的坐标运算。∵ａ=【１，0】，b＝【—1,ｍ】，∴a２=１,ａ·b=—１，由a⊥【mａ－ｂ】得a·【ma-b】=０，即ma2-ａ·b＝0，即m—【-1】＝0,∴ｍ＝—1．14.【2017课标Ⅰ理,13，５分】已知向量a,b的夹角为６0°，｜a｜＝2,｜b|=1，则｜a+２ｂ｜＝。

〔未经许可请勿转载〕答案：23解析本题考查向量数量积的计算．由题意知ａ·b=|a|·｜ｂ|ｃoｓ60°=2×1×12＝１,则｜ａ+2b｜2=【a+2ｂ】2=｜a|2+4|ｂ｜2+4a·ｂ=4+４+４=12。所以｜a+2b｜＝23.15．【2017课标Ⅰ文，13，5分】已知向量a=【-１,２】，b=【m，1】．若向量ａ+b与a垂直,则m=。

〔未经许可请勿转载〕答案:7解析本题考查向量数量积的坐标运算。∵a=【—1,2】，b=【m,1】，∴a+b=【ｍ－1，3】,又【ａ＋b】⊥ａ,〔未经许可请勿转载〕∴【ａ+b】·a=-【m-1】+6=0，解得m=７．16．【2016课标Ⅰ文，13，5分】设向量a=【x,x＋1】,b=【1,2】，且a⊥b，则x＝。

〔未经许可请勿转载〕答案：—2解析因为a⊥b，所以ｘ+2【x+1】=0，解得ｘ=—23易错警示混淆两向量平行与垂直的条件是造成失分的主要原因．17.【２０１6山东文,1３，5分】已知向量a=【１，-1】,b＝【6,—４】．若ａ⊥【tａ+b】，则实数t的值为．

〔未经许可请勿转载〕答案:-5解析因为ａ⊥【ta+ｂ】,所以ａ·【ｔａ+ｂ】=0,即ｔa2+ａ·b=０，又因为a=【１，-1】，ｂ=【６，—４】，所以｜a｜=2,a·b＝1×6＋【-1】×【-4】=１０，因此可得2t+１0=０,解得ｔ=-5.〔未经许可请勿转载〕评析本题主要考查向量的数量积运算,向量的模以及两向量垂直的充要条件等基础知识,考查学生的运算求解能力以及方程思想的应用。〔未经许可请勿转载〕1８。【2０１6北京文，９，5分】已知向量a＝【1,3】，ｂ=【3，１】,则a与b夹角的大小为.

〔未经许可请勿转载〕答案:π解析∵cos＜ａ，b＞＝a·b|a|·∴a与b夹角的大小为π619。【２0１5浙江，13，4分】已知e１，e２是平面单位向量,且ｅ１·e2=12.若平面向量b满足b·e1=b·e2＝１，则|ｂ｜=。

答案：2解析令e1与e2的夹角为θ,∴e1·ｅ２=｜ｅ1|·|ｅ2｜cｏsθ=cｏsθ＝12，又０°≤θ≤180°,∴θ=6０°.因为ｂ·【e1－e2】＝0，所以b与ｅ1、e2的夹角均为30°，从而|b｜=1cos30°=20.【201４课标Ⅰ理,１5,５分】已知A,B,C为圆O上的三点,若AO＝12【AB+AC】，则AB与AC的夹角为．

答案:9０°解析由AO＝12【AB+AC】可知Ｏ为BC的中点,即BC为圆O的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以∠BAC=90°，所以AB与AC的夹角为90°.2１.【２0１4湖北文，12，5分】若向量OA＝【１，-3】，|OA｜=|OB｜,OA·OB=0,则｜AB｜＝．

〔未经许可请勿转载〕答案：25解析｜AB|＝｜OB-OA|＝OA2∵｜OA｜＝｜OB|＝12+(-3)2=∴｜AB|=20＝25,故答案：为２5．22。【２0１4湖北理,１１，５分】设向量ａ＝【３，3】,b=【1，—１】。若【a+λb】⊥【a—λb】，则实数λ=。

〔未经许可请勿转载〕答案:±3解析｜a｜=３2,｜ｂ｜＝2，a·b=3×1+３×【—１】=0.因为【a+λb】⊥【ａ－λb】，所以【a＋λb】·【a－λb】=｜a|2-λ2|b｜2=18－２λ2＝０。故λ=±3.〔未经许可请勿转载〕２3．【2０13课标Ⅰ,理13,文13，５分】已知两个单位向量ａ，b的夹角为60°，c=tａ＋【1—t】ｂ．若b·c=0，则ｔ=。

〔未经许可请勿转载〕答案:2解析解法一:∵b·c＝0,∴ｂ·［ta+【1—t】b]=０,ｔa·b+【1—t】·ｂ2=0,又∵｜a｜＝|b｜=1，＜a,b〉＝60°,∴12解法二：由t＋【1－t】=1知向量a、ｂ、c的终点A、B、C共线，在平面直角坐标系中设a=【1,0】，b＝12,则c＝32把a、b、c的坐标代入ｃ=ta+【1－t】b，得t=2.评析本题考查了向量的运算，利用三点共线的条件得到c的坐标是解题关键.24。【2012课标，理13，文13,5分】已知向量a,b夹角为45°,且｜a｜=１，|2ａ—b｜=10,则|b|=。

〔未经许可请勿转载〕答案：32解析｜２a－ｂ|=10两边平方得４｜a|２－4｜ａ｜·｜b｜ｃｏｓ45°+|ｂ|２=1０．∵｜a｜=1，∴｜b｜2-22｜b｜—6＝0．∴｜b｜=32或｜b｜=-2【舍去】．评析本题考查了向量的基本运算，考查了方程的思想．通过“平方"把向量转化为向量的数量积是求解的关键。〔未经许可请勿转载〕25。【201２安徽文,11,5分】设向量a=【1,２m】，b=【m+1,1】，c=【2，ｍ】，若【ａ+c】⊥ｂ，则｜a|=。

〔未经许可请勿转载〕答案：2解析a+c=【3,3ｍ】，∵【ａ＋c】⊥b,∴【ａ＋c】·b=0，∴3m+3＋3m=0，∴m=—12∴a=【1,—1】,∴｜a｜=12+(-评析本题主要考查向量的基本运算,考查了向量垂直的充要条件.26。【２011课标,文13，５分】已知ａ与b为两个不共线的单位向量，k为实数,若向量a+b与向量ｋa—b垂直,则k=.

〔未经许可请勿转载〕答案：1解析由题意知|a|=１，|ｂ|＝１,〈a,b＞≠0且<ａ,b〉≠π．由ａ+ｂ与向量ｋa－ｂ垂直，得【ａ+b】·【ka－b】=0，即ｋ｜a｜２+【k—１】｜a｜|ｂ｜·coｓ<a,b>—｜b｜2=0，【ｋ—1】【1+cｏs〈a,b〉】=０．又１+coｓ＜ａ,b〉≠0,∴k-1=0,ｋ=1。评析本题考查向量的模、向量的数量积等相关知识,考查学生的运算求解能力，属中等难度试题．〔未经许可请勿转载〕27。【2015福建理,9，5分】已知AB⊥AC,|AB｜=1t，｜AC|=t。若点P是△AＢＣ所在平面内的一点,且AP=AB|AB|+4AC|AC|,则A.１3B．15C.19Ｄ.21答案:A以A为原点，AB所在直线为ｘ轴，AC所在直线为ｙ轴建立平面直角坐标系，则B1t,0【t>０】，C【０,ｔ】，P【1,４】,PB·PC＝1t-1,-4·【—1，t-4】=１7—4t+1t≤1７-2×2=1３28。【2０19浙江,1７，６分】已知正方形ＡBＣD的边长为1。当每个λi【i=1，2,3，４，5，6】取遍±1时,｜λ１AB+λ2BC+λ３CD+λ4DA+λ5AC+λ6BD|的最小值是，最大值是。

〔未经许可请勿转载〕答案：０;25解析本题考查平面向量的坐标表示及坐标运算，在向量的坐标运算中涉及多个未知数据以此来考查学生的数据处理能力,数学运算及数据分析的核心素养.〔未经许可请勿转载〕如图,建立平面直角坐标系,则A【0，0】,B【1，0】，C【1,1】,D【0,１】，〔未经许可请勿转载〕∴AB＝【1,０】，BC=【０，1】，CD=【—1，0】,DA＝【0,—1】,AC=【1，1】，BD＝【—1，1】,〔未经许可请勿转载〕故|λ１AB+λ2BC+λ3CD＋λ4DA＋λ５AC＋λ6BD｜＝|【λ1-λ3+λ5—λ6，λ2—λ4+λ5+λ６】|=(λ显然【＊】式中第一个括号中的λ１,λ3与第二个括号中的λ2，λ4的取值互不影响，∴只需讨论λ5与λ6的取值情况即可,〔未经许可请勿转载〕当λ５与λ6同号时,不妨取λ5=1,λ6＝1，则【＊】式即为(λ∵λ1，λ2，λ3,λ4∈｛－1,1}，∴λ１=λ3，λ2—λ４＝-2【λ2＝－1，λ４=1】时,【＊】式取最小值0，当|λ1—λ3|=２【如λ1=１,λ3＝-1】，λ2－λ４=2【λ2＝1，λ4=-１】时,【＊】式取最大值２5,〔未经许可请勿转载〕当λ5与λ6异号时,不妨取λ５=1，λ6＝-１，则【*】式即为(λ1同理可得最小值仍为0，最大值仍为２5,综上,最小值为0,最大值为２5。解题关键本题未知量比较多，所以给学生的第一感觉是难,而实际上注意到图形为规则的正方形,λｉ【i=１,２,3,4，5,6】的取值只有两种可能【1或—1】,这就给建系及讨论λi的值创造了条件，也是求解本题的突破口.〔未经许可请勿转载〕2９.【20１９课标Ⅲ文，13，5分】已知向量ａ=【２，2】，b＝【-8,６】，则ｃos〈a,ｂ>＝。

〔未经许可请勿转载〕答案：—2解析本题考查平面向量夹角的计算,通过向量的坐标运算考查学生的运算求解能力，体现运算法则与运算方法的素养要素。〔未经许可请勿转载〕由题意知cos＜a，b＞=a·b|a|·30。【2０1９北京文,9,５分】已知向量ａ＝【-４，３】,ｂ＝【6，m】,且a⊥ｂ，则m＝.

〔未经许可请勿转载〕答案：8解析本题考查两向量垂直的充要条件和向量的坐标运算,考查了方程的思想方法．〔未经许可请勿转载〕∵a⊥ｂ,∴a·ｂ＝【—4，３】·【6,ｍ】＝-2４+3ｍ=０，∴ｍ=8。易错警示容易把两向量平行与垂直的条件混淆.31．【2０1７北京文,１2,5分】已知点P在圆ｘ2+y2=1上，点A的坐标为【-２,0】,O为原点，则AO·AP的最大值为。

〔未经许可请勿转载〕答案:6解析解法一：AO·AP表示AP在AO方向上的投影与｜AO｜的乘积,当P在B点时，AO·AP有最大值，此时AO·AP＝2×3=6。〔未经许可请勿转载〕解法二：设P【ｘ，ｙ】,则AO·AP＝【2，０】·【ｘ+２,y】=2x+4，由题意知—１≤ｘ≤１,∴x=1时,AO·AP取最大值６,∴AO·AP的最大值为6。〔未经许可请勿转载〕

[2023版新高考版高考总复习数学5·3A版18_专题六62平面向量的数量积及其应用之1_6.2应用创新题组]〔未经许可请勿转载〕2023版新高考版高考总复习数学5·3A版18_专题六62平面向量的数量积及其应用之1_6.2专题检测题组2023版新高考版高考总复习数学5·3A版18_专题六62平面向量的数量积及其应用之1_6.2专题检测题组2023版新高考版高考总复习数学5·3A版18_专题六62平面向量的数量积及其应用之1_6.2专题检测题组6.２平面向量的数量积及其应用应用创新题组1.【２０２2届湖北黄石9月调研，6探索创新情境】P为双曲线x2—y2＝1左支上任意一点，ＥF为圆C：【x－２】2+y2=4的任意一条直径，则PE·PF的最小值为【】〔未经许可请勿转载〕A.3B．4C.5D.9答案：C如图,圆C的圆心的坐标为【2，0】,半径r=2，PE·PF=【PC+CE】·【PC+CF】＝【PC+CE】·【PC－CE】＝｜PC|2—｜CE｜2=｜PC｜2-4，则当点Ｐ位于双曲线左支的顶点【－1，0】时,PE·PF最小,最小值为5．故选C.〔未经许可请勿转载〕2.【２0２２届西安中学第一次月考，11数学探究】在△ＡＢC中，AC2-AB2＝2AM·BC，那么动点M的轨迹必通过△ABC的【】A.垂心Ｂ．内心C。外心D.重心答案：C取BC的中点Ｏ,则AC2－AB2＝【AC+AB】·【AC－AB】=2AO·BC=2AM·BC，即【AO－AM】·BC＝MO·BC=0，所以MO⊥BC,所以动点M在线段BＣ的中垂线上,故动点M的轨迹必通过△ＡBC的外心,故选３．【2022届黑龙江八校期中，7探索创新情境】在△ABC中,若AB⊥【AB—２AC】,AC⊥【AC－2AB】,则△AＢC的形状为【】〔未经许可请勿转载〕A。直角三角形Ｂ.等腰三角形C。等边三角形D．等腰直角三角形答案:C∵AB⊥【AB－2AC】，∴AB·【AB－2AC】=0,即AB2=2AB·AC，∵AC⊥【AC—2AB】，∴AC·【AC-2AB】=０，即AC2=2AB·AC,∴AB2=AC2,∴AB＝AＣ.由AB2=2AB·AC化简得｜AB｜2=２|AB|｜AC|cosＡ,∴cosA=12，∵A∈【0，π】,∴A＝π3，∴△４.【2022届山西长治第二中学月考,7解法创新】在Rｔ△ABC中,∠Ｃ=90°，CB=2，ＣA=４，P在边AＣ的中线BＤ上，则CP·BP的最小值为【】〔未经许可请勿转载〕A。-12B．0C．4答案:Ａ依题意，以C为坐标原点，分别以AC,BC所在的直线为x轴,ｙ轴,建立如图所示的平面直角坐标系,〔未经许可请勿转载〕则B【0，2】,Ｄ【2，0】，所以直线ＢD的方程为y＝-ｘ+2，因为点P在线段BD上，所以可设P【t,2—ｔ】【０≤ｔ≤2】,所以CP=【t，2－t】,BP=【ｔ,—t】,所以CP·BP=t２-t【2-t】=2t2—2t=２t-122－12,当t=12时，CP·BP取得最小值—５.【20２1吉林调研三,1１】已知A、B为平面上的两个定点,且|AB｜＝２，该平面上的动线段PQ的端点P和Ｑ，满足｜AP｜≤5，AP·AB=6，AQ=2PA,则动线段PQ所形成图形的面积为【】〔未经许可请勿转载〕Ａ.３6B.６０C.72D．1０８答案:B根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则Ａ【０，0】，Ｂ【2,０】,则AB=【2，0】，设P【ｘ,ｙ】，所以AP=【x，y】，由｜AP|≤5得x２＋y2≤２5，又AP·AB=6，所以２ｘ=６，即x=3,所以y2≤16，即-4≤y≤４，因此，动点P在线段x=3且—4≤y≤4上运动,即|ＭC|＝8,设Ｑ【x0，ｙ0】,因为AQ=2PA，所以【x０,y0】=２【—ｘ,-y】，即ｘ０＝-2x=－6,y0=－2y，因此动点Q在线段x=-6上,且—８≤y≤８上运动，所以｜ND｜＝16,所以动线段ＰＱ所形成图形为图中阴影部分,其面积为12×８×３+12×16×6=12＋48＝60。故选B6.【20２0全国卷24省4月联考,14】已知点O为坐标原点，向量OA＝【1,2】，OB=【x,y】,且OA·OB=10，则｜OB|的最小值为．

〔未经许可请勿转载〕答案：25解析∵OA＝【1，2】，OB=【x,ｙ】,且OA·OB＝１0,∴ｘ+2y=１0，而｜OB｜＝x2+y2表示的几何意义是点【ｘ,y】与原点【0,０】的距离，即原点O与直线x＋2ｙ=１０上的点的距离，∴|OB→|的最小值为点O到直线x+2y—10=0的距离,即｜OB｜mｉn=|-107.【2022届湘豫名校联盟1１月联考，15解法创新】已知在△ABC中,ＡB=3,BC＝4，∠ＡＢC=π3，平面内有动点E满足｜BE｜=２｜AE|,则数量积BC·BE的最大值是。

〔未经许可请勿转载〕答案:１6解析如图,根据已知条件建立恰当的坐标系，其中ＯA=1，则各点坐标分别为A【1,0】，Ｂ【４，0】,C【２，２3】,设动点E【x,ｙ】,〔未经许可请勿转载〕则由|BE|=2|AE｜得(x-4)2+y2=２(x-1)2+y2，化简得ｘ2+y２=４,令x=2cosθ,y=2sinθ【θ为参数】，则BC·BE

[2023版新高考版高考总复习数学5·3A版18_专题六62平面向量的数量积及其应用之1_6.2专题检测题组]〔未经许可请勿转载〕2023版新高考版高考总复习数学5·3A版18_专题六62平面向量的数量积及其应用之1_习题WORD版2023版新高考版高考总复习数学5·3A版18_专题六62平面向量的数量积及其应用之1_习题WORD版2023版新高考版高考总复习数学5·3A版18_专题六62平面向量的数量积及其应用之1_习题WORD版6。2平面向量的数量积及其应用一、选择题１．【202２届吉林名校10月联考,５】已知３个非零平面向量a,b，c，下列选项中正确的是【】〔未经许可请勿转载〕A。若λa+μb=0，则λ=μ＝0B.若ａ·b＝a·c,则b＝cC。若【ａ·b】c＝【a·ｃ】b，则b=cＤ.a，b，ｃ两两之间的夹角可以都是钝角答案：D对于选项Ａ，当a与b共线时，也可以满足已知条件，所以A错;对于选项B，ａ可能为０,所以B错；对于选项Ｃ，向量数量积运算不满足结合律,所以Ｃ错；对于选项D，ａ，ｂ，c两两之间的夹角可以都是钝角,如都为１20°，所以D正确，故选D。〔未经许可请勿转载〕2．【２022届云南质检【一】,3】在Rt△AＢC中,AC⊥ＢC,D点是AB边的中点,BC=8,CＡ=１2,则AB·CD的值为【】〔未经许可请勿转载〕A。—40B。5２C。9２D.-18答案：A在△ＡBＣ中,CD＝12【CA+CB】，AB=CB－CA，所以AB·CD＝12【CB2—CA2】=12×【82—１223.【２02２届贵阳摸底，6】在△ABＣ中，∠BAC＝90°，AＢ=AC＝3,若点Ｄ，E分别是斜边BC的三等分点，则AD·AE的值为【】〔未经许可请勿转载〕A.2B。5C．４D.5答案：C∵∠BAC=9０°，AＢ=AC＝3,∴以A为坐标原点,ＡB、AＣ所在直线分别为ｘ轴和ｙ轴,建立平面直角坐标系，如图所示,则A【０,0】，B【3，0】,Ｃ【０，3】。因为D,E分别是BＣ的三等分点,所以可取E【２，1】,D【1，2】,则AD=【１，2】,AE＝【2,１】，所以AD·AE=1×2＋2×１＝4.故选Ｃ.〔未经许可请勿转载〕4。【2０22届河南三门峡1１月模拟，10】已知菱形AＢCD的边长为4,点M是线段CＤ的中点，BN=2NC，则AN·【BM-BN】＝【】〔未经许可请勿转载〕A．－409B。409Ｃ。-20答案：A由已知得AN=AB+BN=AB＋23AD，BM-BN=NM=CM—CN＝-12AB+13AD，则AN·【BM—BN】＝23AD+AB·13AD-12AB=13×25.【２021郑州一模,4】设a，b为单位向量，且｜a—b｜=1,则｜a+２b｜=【】〔未经许可请勿转载〕A.3Ｂ.7C．3Ｄ.7答案：B由ａ,b为单位向量，且｜ａ－b|=1,可得a2—2a·b+b2=１,可得ａ·b＝12,则|a＋2b｜=a2+4a·b+4b26.【20２2届皖南八校联考【一】，11】设单位向量ａ与非零向量b的夹角是2π3，且｜a-b|=3｜ａ｜，则|ａ-tｂ|的最小值为A。33B．32C.答案：B由|a－b|=3|a｜可得a2—2ａ·b+ｂ2＝3a2，又a·ｂ=｜a|｜b|cｏs2π3＝—12|a｜|b｜,|a｜=1，从而｜ａ｜=｜b｜=1，∴|a-tb|=|a-tb|2=a2-2ta·b+t2b2=t７.【2019课标Ⅰ，8，5分】已知非零向量a,ｂ满足|a｜=2｜b｜，且【a－ｂ】⊥ｂ，则a与b的夹角为【】〔未经许可请勿转载〕A。π6Ｂ.π3C.2答案：B解法一：因为【a－ｂ】⊥ｂ,所以【a—b】·ｂ=ａ·b-|ｂ|2=0，又因为｜a｜=２｜b|，所以2｜b|2ｃｏs<a，b＞—｜b|2=0，即cｏs<a，ｂ>＝12,又<a，b>∈[0,π］，所以<a,b〉=π3，故选B解法二：如图，令OA＝a，OB=b,则BA=OA-OB=a-b，因为【a—b】⊥ｂ，所以∠OBA=90°，又｜ａ｜=2|ｂ｜，所以∠ＡOB＝π3,即<a，b＞=π3。故选思路分析由两向量垂直的充要条件建立方程求解；另外一个思路是在三角形中，由题设直接得到两向量的夹角.〔未经许可请勿转载〕8．【2０２0河南十所名校联考，7】已知非零向量a，b满足|ａ｜=λ｜b|,若ａ，b夹角的余弦值为1930，且【ａ－２b】⊥【３a＋b】,则实数λ的值为【】Ａ.—49Ｂ。23Ｃ。32或—答案：Ｄ由【a-2b】⊥【３a+ｂ】得【a—2b】·【3a+ｂ】=0，即3a2－5a·b-2b２=0,∵｜ａ|=λ|b|，cos〈a，b>=1930，∴a·b=｜a｜|b｜cos＜ａ,b>=λ|b｜2·1930=19λ30|ｂ｜∴3λ2｜b｜2-5×19λ30|b|２-2｜b|又知｜b|≠0,∴3λ2-196λ—2=0,即18λ2-19λ-12＝0,解得λ＝32或－49,又∵λ＞0，∴λ=32，思路分析由|ａ|=λ｜b｜以及垂直关系建立关于λ的方程,解方程求得λ的值，此处要注意λ的取值范围.〔未经许可请勿转载〕9．【2022届成都蓉城名校联盟联考一，5】若向量a＝【3,x】，|b｜＝5，a·ｂ=10，a与b的夹角为60°，则x=【】〔未经许可请勿转载〕Ａ．１6B.4C．7D。7答案：C由题意得a·b=｜ａ||b|cos６0°=52|ａ|=10⇒｜a｜=4，故|a|=32+x=4，解得x=7.10.【202２届山西朔州怀仁期中，9】下列说法中正确的是【】A.已知a=【1，２】，b=【1，1】,且a与a+λb的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是-5B。向量ｅ1=【2，-３】，e２=12,-3C.非零向量a和b,满足｜a|>｜b｜，且两个向量同向，则a>ｂD。非零向量a和b，满足|a|=|ｂ|=｜ａ-b｜,则a与a+ｂ的夹角为30°〔未经许可请勿转载〕答案：D对于A,ａ+λb=【1+λ，２+λ】,因为a与a＋λb的夹角为锐角，所以ｃos＜a,a＋λｂ>=a·(a+λb)|a|·|a+λb|=(1,2)·(1+λ,2+λ)12+22·(1+λ)2+(2+λ)2∈【0，１】,解得λ>—53且λ≠０,故Ａ中说法错误；对于Ｂ，e１=4e2,所以ｅ１∥e2,故不能作为平面内所有向量的一组基底，故B中说法错误；对于C，两个向量的模可以比较大小,但两个向量不能比较大小，故Ｃ中说法错误;对于D,不妨令|a|=｜ｂ|＝｜ａ-b|=１，则｜a-b|2=【a-b】２=ａ2－2a·ｂ+b2=2-2a·b＝1,所以a·b=12，则|a＋b｜2=【a+b】2=a2+2a·b＋b2=３，所以|ａ＋b|=3，所以【2022届吉林10月月考，12】如图,在斜坐标系xＯy中,x轴的正方向与y轴的正方向成60°角，向量e1是与x轴正方向同向的单位向量，向量ｅ２是与y轴正方向同向的单位向量，若向量OP=xｅ１+ｙe2,则称有序数对〈x，y〉为向量OP的坐标,记作OP=<ｘ,y>．在此斜坐标系xＯy中,已知向量a=<1，2>，b=＜５,—4>，则向量a与b夹角的大小为【】〔未经许可请勿转载〕A.π6B。π3C．π答案:C由题意得｜e１|=|ｅ2|=1，e1·ｅ２＝｜e1｜｜e2｜cos6０°=12，因为a=<１，2〉,b=<５，-4〉，即a=e1+2ｅ2，b=5e1—4e2，所以a·ｂ=【e1+２ｅ２】·【5e１-4e２】＝5e12＋6ｅ１·e2－8e22=—3+6e１·e２=０,即a⊥b，所以〈a，ｂ>=π二、填空题１2.【20２2届江西赣州赣县三中期中，15】已知ＡＭ，BN分别为圆Ｏ1:【ｘ＋1】２+ｙ2=１与O2：【x-2】２+y2=4的直径，则AB·MN的取值范围为.

〔未经许可请勿转载〕答案：［0,8］解析如图。AB·MN=【AO1+O1O2+O2B】·=[O1O2+【AO1+O2B】］·＝O1O22-(AO1+O2B)2=９—｜AO1＋O2B13。【2022届吉林通化梅河口五中月考,16】①若OA＝【3，-4】，OB=【6,-3】,OC=【５—m,—３-m】，∠ABC为锐角,则实数m的取值范围是m〉-34．②点O在△ABC所在的平面内,若OA·OB=OB·OC＝OA·OC,则点O为△ＡBC的垂心.〔未经许可请勿转载〕③点O在△ABC所在的平面内，若2OA+OB+3OC＝0，S△AＯＣ,S△ＡＢC分别表示△ＡOＣ，△ＡBＣ的面积,则S△AOＣ∶Ｓ△ABC=１∶6.〔未经许可请勿转载〕④点O在△ABC所在的平面内，若满足AO·AB|AB|=AO·AC|AC|且CO·以上命题为假命题的序号是.

答案:①④解析对于①，BA＝OA—OB=【-3,—1】，BC=OC—OB=【－1—m，—ｍ】，因为∠ABＣ为锐角,所以cos∠AＢＣ=BA·BC|BA||BC|＝3+4m10·(1+m)2+m2〉0,即m>－34,又BA与BC对于②，因为OA·OB=OB·OC，所以【OA－OC】·OB=0,即CA·OB=0,因此CA⊥OB，同理OA⊥CB，OC⊥AB,所以点Ｏ为△ABＣ的垂心，故②中命题是真命题。〔未经许可请勿转载〕对于③,若E，F分别是边ＢC，ＡＣ的中点，则OC＋OB=２OE,OA+OC=2OF,所以２OA＋OB+３OC=２【OA+OC】＋【OB+OC】=4OF+2OE=0,故OE=－２OF,即Ｅ,Ｏ,F三点共线且OE＝2ＯF，如图a.过E,O，B作AC边的垂线段,长度分别为h1，h２,h３，易知ℎ2ℎ1＝13，ℎ1ℎ3=12，则ℎ2ℎ3＝16，所以对于④，如图b，作OD⊥AB于D,OE⊥AＣ于E,OF⊥BC于F,则AO·AB|AB|=｜AD|，AO·AC|AC|=｜AE｜,CO·CA|CA|＝｜CE|,CO·CB|CB|=｜CF|,所以｜图a图b14。【20２２届河南段考三，14】已知向量a＝【-4,x】，b=【３，2】，若ａ⊥b，则|ａ｜=.

〔未经许可请勿转载〕答案：213解析因为a⊥b,所以-4×３＋2ｘ=0,得x=6，故|a｜=(-4)2+15．【2022届贵阳月考，14】已知平面向量a，b的夹角为π3，且a=【2，0】，|b｜=1，则｜2a-b|=。

答案：13解析由a=【２，０】得｜ａ|=２，又a，b的夹角为π3,｜b｜=1，故【2a—b】2=4a２—4a·ｂ＋b２=4｜a｜2－4｜ａ||ｂ｜cosπ3＋｜b｜２＝１3,所以|２a—b｜=(2a16.【２022届安徽蚌埠调研，14】已知｜a|=1,|b｜=２,｜ａ-2b｜＝13，则向量a、b的夹角为.

〔未经许可请勿转载〕答案:π解析设向量a、b的夹角为θ，因为|a-２b｜=13，所以｜a－2ｂ｜2＝1３，即1＋16—8cｏsθ=13，得cosθ=12，因为０≤θ≤π，所以θ＝π3１７。【2022届山西运城期中，13】在△ABC中,若ＡB＝2，AC=3,AB·CB=7,则向量AB与AC的夹角为．

〔未经许可请勿转载〕答案:150°解析AB·CB=AB·【AB-AC】=AB2-AB·AC=４-｜AB|·｜AC|cｏs∠BAC=4－23coｓ∠BAC＝7，解得cos∠BAC＝—32，又知0°〈∠BＡＣ＜180°，所以∠ＢAC＝１50°，即AB与AC的夹角为18．【2022届合肥10月联考，13】若OA=【3，—4】，OB＝【6，-３】，OC=【５－m，－3-ｍ】，∠ＡBC为锐角，则实数m的取值范围是．

〔未经许可请勿转载〕答案:-34解析由已知得AB=OB-OA=【３，1】，AC=OC-OA=【2—ｍ,1-m】，BC=OC—OB=【－1—m，-m】．若AB∥AC,则有3【1—m】-【2—m】=0，解得ｍ=12；若∠ABC为锐角,则BA·BC=3+３m+m〉0，解得m>-34．由上分析知，当ｍ=12时，AB→与AC→同向共线，所以当∠ＡBC为锐角时，ｍ≠12,故实数m

[2023版新高考版高考总复习数学5·3A版18_专题六62平面向量的数量积及其应用之1_习题WORD版]〔未经许可请勿转载〕６。2平面向量的数量积及其应用基础篇固本夯基考试点一平面向量的数量积1。【２019课标Ⅱ理,3，5分】已知AB＝【２，3】，AC=【3，t】，|BC|=1,则AB·BC=【】〔未经许可请勿转载〕Ａ。—3Ｂ．-2C.２D。3答案:C【2022届山东日照开学校际联考，2】如图,AB是单位圆O的直径,C，D是半圆弧AＢ上的两个三等分点,则AC·AD＝【】〔未经许可请勿转载〕A.1Ｂ．32C．32答案:C3。【20２2届江苏淮安车桥中学入学调研,7】已知△ＡBC的外心为Ｏ，2AO=AB＋AC，｜AO｜=｜AB|=2，则AO·AC的值是【】〔未经许可请勿转载〕A。3B．32Ｃ。23答案：D４.【多选】【２020山东省实验中学诊断二，１1】关于平面向量a，b,c，下列说法中不正确的是【】〔未经许可请勿转载〕A.若ａ∥b且b∥c,则a∥ｃB。【a+b】·c=a·c+ｂ·cC.若ａ·b=ａ·c,且a≠0，则b＝cD。【a·b】·c=a·【b·c】答案：ACD5.【２0２2届河北邢台“五岳联盟”１０月联考，1３】设向量a,ｂ均为单位向量，且a⊥b，则【a+2b】·【３a—5ｂ】＝．

〔未经许可请勿转载〕答案：—76。【２０22届湖南三湘名校、五市十校联考,14】已知点P【—2,0】，ＡB是圆x2＋y2＝1的直径，则PA·PB=．

〔未经许可请勿转载〕答案：37.【2021新高考Ⅱ，15，５分】已知向量a+b+ｃ=0，｜a｜＝1,｜b｜=｜ｃ｜=2，ａ·b+ｂ·c+c·a=．

〔未经许可请勿转载〕答案:－98．【2020湖南永州祁阳二模,8】已知平面向量a，b，e，｜ｅ｜=1，a·e=1，b·e=—2，且｜2a+b｜=2,则a·ｂ的最大值是．

〔未经许可请勿转载〕答案:—3考试点二平面向量数量积的应用１。【2０21石家庄一模,２】设向量a=【1，2】，ｂ=【m,－1】，且【a+ｂ】⊥a，则实数m=【】〔未经许可请勿转载〕A.-３Ｂ.32C。－2Ｄ.－答案：A2。【2020课标Ⅱ文，5,５分】已知单位向量a，b的夹角为60°,则在下列向量中，与ｂ垂直的是【】〔未经许可请勿转载〕A。a＋2bB.2a+bＣ。ａ-２bD.2a—b答案:D3．【2022届百师联盟9月一轮复习联考一,１１】已知在△ABC中，AB=AC=２，BＣ=3，点E是边BC上的动点,则当EA·EB取得最小值时，｜EA|=【】〔未经许可请勿转载〕A。374B。372C．10答案：A４．【多选】【2０22届辽宁六校期初联考，11】给出下列命题，其中正确的有【】〔未经许可请勿转载〕A.非零向量a，b满足|a｜=｜b｜=｜ａ—b｜，则a与a+ｂ的夹角为30°〔未经许可请勿转载〕B。若【AB+AC】·BC=0,则△ABC为等腰三角形C。等边△ＡBC的边长为２,则AB·BC=2D。已知向量a=【1,-２】，ｂ=【k，1】且a⊥【ａ+ｂ】,则k=0答案：ＡB5.【多选】【２0２2届河北神州智达省级联测,9】设０〈θ<π，非零向量ａ=【siｎ2θ,cosθ】,ｂ＝【ｃosθ,1】,则【】〔未经许可请勿转载〕A。若ｔanθ=12,则a∥ｂB.若θ=3π4,则aＣ。存在θ,使2a=bD.若a∥b，则tａnθ=12答案：ＡＢＤ６。【多选】【2０22届辽宁名校联盟9月联考,9】已知向量a＝【2,0】，b＝【1，１】，则【】〔未经许可请勿转载〕A．｜ａ|=｜b｜B。a与b的夹角为πC．【a-b】⊥bD。和b同向的单位向量是1答案：BＣ7。【多选】【２０22届广东深圳福田外国语高级中学调研二，10】已知向量a+ｂ＝【1,1】,a—b=【－３,１】，c=【1，1】，设a,b的夹角为θ，则【】〔未经许可请勿转载〕A。|a|＝｜b|B．a⊥cC。b∥cD．θ=１35°〔未经许可请勿转载〕答案:BＤ8.【202１全国甲理，1４,5分】已知向量ａ=【３，1】，b=【1，0】，ｃ=a+kb．若a⊥c,则k=。

〔未经许可请勿转载〕答案:-10９.【2020课标Ⅱ理,13，5分】已知单位向量a,ｂ的夹角为45°,ｋa—ｂ与a垂直，则k＝。

〔未经许可请勿转载〕答案：21０。【202０课标Ⅰ文,１４，5分】设向量a=【1，－1】,b=【m＋1，２m—4】，若ａ⊥b，则ｍ=.

〔未经许可请勿转载〕答案:5综合篇知能转换考法一求平面向量模的方法1.【2022届福建南平10月联考，６】已知单位向量ｅ1，e2的夹角为2π3,则｜ｅ1－λe2|的最小值为A。22B.12Ｃ。3答案:Ｃ2。【2022届湖北九师联盟10月质量检测，5】已知向量a,b满足|a|＝22，｜b｜=1，|a-b|＝6，则｜a+２ｂ|=【】〔未经许可请勿转载〕A.23B．３2Ｃ．４2Ｄ。33答案：Ｂ3.【多选】【20２1新高考Ⅰ，10,5分】已知O为坐标原点，点P1【ｃosα，siｎα】，P２【cosβ，－ｓinβ】,P３【cos【α+β】,sin【α+β】】,A【１，0】，则【】〔未经许可请勿转载〕Ａ.|OP1|=|Ｂ。|AP1｜＝｜C.OA·OP3=OＤ.OA·OP1＝O答案：AC4。【2022届四省八校期中,14】已知向量ａ=【x，1】，ｂ=【１，-2】，若a∥b,则｜a—2b|=。

〔未经许可请勿转载〕答案:55.【2０22届广东深圳福田外国语高级中学调研二，1５】已知非零向量a,b满足|a|=7＋１，｜b｜＝7－1,且｜ａ—ｂ｜=4,则|a+ｂ|＝．

〔未经许可请勿转载〕答案:46。【20２1全国甲文，13，5分】若向量ａ，b满足｜a|=3,|a—b|＝5,a·b=1，则|b｜＝．

〔未经许可请勿转载〕答案:327。【2020课标Ⅰ理,１4,5分】设ａ，ｂ为单位向量，且｜a+b|＝1，则|a-ｂ｜＝．

〔未经许可请勿转载〕答案：38.【2０21河北衡水中学联考二，1３】若向量a,b满足a=【cosθ，sinθ】【θ∈R】,｜b｜=2，则｜2ａ-ｂ|的取值范围为.

〔未经许可请勿转载〕答案：［0,4]考法二求平面向量夹角的方法1。【2022届山东烟台莱州一中开学考,4】已知|a|＝2,｜ｂ|＝4，当b⊥【4a—ｂ】时,向量ａ与ｂ的夹角为【】〔未经许可请勿转载〕A。π6B．π4Ｃ.2答案：B２．【２020山东全真模拟，4】已知扇形AOB,∠AOB=θ，扇形半径为3，C是弧AB上一点，若OC=233