微积分第二章 极限与连续课件

极限的产生过程极限思想的产生和其他科学思想一样，是必须经过历代古人的思考与实践一步一步渐渐积累起来的，它也是社会实践的产物。极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显的“取极限”，而是借助于间接证法—归谬法来完成有关的证明。微积分I第二章极限与连续2022/10/281微积分I第二章极限与连续到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中大量的问题，只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。2022/10/282微积分I第二章极限与连续起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到人们的怀疑与攻击。到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限作出过各自的定义。到了19世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论。2022/10/283第二章、极限与连续第一节：数列的极限一.数列概念二.数列极限三．数列极限的性质一.数列概念定义2.1是定义在正整数集合上的函数,当自变量n按正整数的顺序取值时,称函数值相应排列成的一串数为数列,简记为{f(n)},f(n)叫做数列的一般项(或通项).数列中的每个数叫做数列的项,第n项例1：例2：例3：微积分I第二章极限与连续2022/10/286数0,此时,我们就说数列

{yn

}以

0为极限.二.数列极限对于数列

{yn},我们需要研究的问题是:当n无限增大时(记为n→∞),数列的一般项

yn

的变化趋势.特别地,当n无限增大时,如果

yn能与某个确定的常数a无限接近,则称常数a为数列

{yn}当

n→∞时的极限.,不难看出,当n→∞时,yn

无限地趋近于常考察数列与常数0的接近程度可用2022/10/287微积分I第二章极限与连续无论给定多么小的正数,在n无限增大的变化过程中,总有那么一个时刻N,在这个时刻以后（即n>N

或n

充分大以后）,

由此可见,对于数列都小于那个正数.2022/10/288微积分I第二章极限与连续意给定的,总存在正整数N,当n>N时,不等式如果不存在这样的常数,则称数列{yn}没有极限,或者称数列{yn}是发散的.定义2.2设{yn}为一数列,如果存在常数对于任恒成立,则称常数是数列{yn}当n趋于无穷大时的极限,或称{yn}收敛于记为2022/10/2810微积分I第二章极限与连续

注

(1)在数列极限定义中,ε可以任意给定是很重要的,如果让正数ε任意小,则不等式充分表达出yn与a无限接近的意思.(2)正整数N与ε有关,随着ε的给定而可选定.(3)数列极限定义只能验证某一个数是否为数列的极限,但不能用于求数列的极限.2022/10/2812微积分I第二章极限与连续2022/10/28微积分I第二章极限与连续14成立.三．数列极限的性质

定理2.1.1(极限的唯一性)

如果数列{yn}收敛,则其极限唯一.定理2.1.2(有界性)

如果数列{yn}收敛,则{yn}一定有界.

注

上述定理的逆不成立.数列有界是数列收敛的必要条件,有界数列不一定收敛.例如

定理2.1.3(保号性)

如果,且则存在正整数N,当时,恒有§2.2函数的极限一.函数极限的概念二.函数极限的性质一.函数极限的概念在§2.1中,我们讨论了特殊函数─数列{f(n)}的极限,现在我们来讨论一般函数f(x)的极限.由于一般函数

f(x)中的自变量x

的变化趋势通常可分为“x→∞”和“x→x0”两种,所以我们将分两种情况分别予以讨论.1.当

x→∞时,函数ƒ(x)的极限仿照数列极限的定义,下面我们给出x→∞时,ƒ(x)的极限的定义.定义2.3设函数

ƒ(x)当大于某一正数时有定义，如果存在常数A,对于任意给定的,总存在使得当x满足不等式

时,不等式恒成立,则称常数

A为当x→∞时函数ƒ(x)的极限,或称当x→∞时ƒ(x)

收敛于A,记作（当

x→∞

）或如果把上面定)

那么只要且无限增大(记作就可得义中的改为的定义.同样,而无限增大(记作)

那么只要把便得的定义.改为由定义2.2.1可以证明：的充要条件是定义2.4设函数ƒ(x)在x0

的某个去心邻域内有定义,如2.时,函数ƒ(x)的极限果存在常数A,恒成立,则称常数A为当x→x0

时函数ƒ(x)的极限.记为注表示ƒ(x)在点x0是否有定义并无关系,我们关心的是x→x0时,ƒ(x)的变化趋势而不是ƒ(x)在点x0处是否有意义.x→x0时ƒ(x)有没有极限,与在定义2.2.2中,极限过程

x→x0包括了x同时从

x0的左、右两侧无限的趋于x0.但是,有时我们只能或只需考虑x

仅从

x0的左侧或右侧趋于

x0（记为

x→x0-或

x→x0+）时,f(x)的变化趋势.例如函数只能从2的右侧趋于2,从而就必须引进函数左、右极限的概念.就可以得到在x0处的左极限.记为类似地,在的定义中,把改为左极限和右极限统称为单侧极限.由极限定义易知以下的充要条件成立.定理2.1

函数y=ƒ(x)当x→x0

时极限存在且为A的充要条件是函数y=ƒ(x)

的左极限和右极限都存在且等于A.即例5设函数,讨论是否存在?解因此不存在.当x<0时,有当x>0时,有二.函数极限的性质由于函数极限的定义按自变量的变化过程不同有各种不同的形式，下面仅以定理2.2.2(唯一性)

若注

若极限不唯一,变化趋势不定.例如于函数极限性质的一些定理.至于其他极限形式的性质,只要相应地作一些修改便可得出.这种形式给出关存在,则极限值A唯一.定理2.2.3(局部有界性)

若证取ε

=1,因为则存在当时,于是,当时取当有存在,那么存在常数M>0和δ>0，使得当时,必存在那么一个时刻,在此时刻以后,就恒有即证设A>0取正数由limƒ(x)=A

的定义,定理2.2.4(局部保号性)

若且A>0(或A<0).则存在δ>0,使得当时,ƒ(x)

>0(或ƒ(x)<0).§2.3无穷小与无穷大一.无穷小二.无穷大三.无穷小的性质本节将讨论在理论和应用上都比较重要的两种变量：无穷小量和无穷大量.为叙述简便我们用来表示在自变量各种变化过程中函数的极限.自变量的变化过程,包括x→x0

，

x→x0+，

x→x0-，

x→∞，

x→+∞,x→-∞，n→∞等.一.无穷小定义2.3.1

如果在自变量的某个变化过程中,则称函数f(x)为在该变化过程中的无穷小量,简称无穷小.简单地说,以零为极限的变量称为无穷小量.例如

注(1)

无穷小是极限为零的变量，不能把它与绝对值很小的非零常数相混淆.在常数中,只有零可以作为无穷小，但无穷小却不一定是零.(2)

一个变量f(x)是否为无穷小量与其自变量的变化过程有关.如当时,为无穷小量;当x不趋于1时,则不是无穷小量.例1自变量x在何变化过程中,下列变量f(x)为无穷小？解(3)无论x趋于何值,二.无穷大

定义2.3.2

如果在自变量的某个变化过程中,函数

f(x)的绝对值无限增大（即），则称函数

f(x)为在该变化过程中的无穷大量，简称无穷大.

注(1)

无穷大量是一个绝对值可以任意变大的变量,而不是一个很大的常量.当取正值无限增大(取负值绝对值无限增大)时,称为正无穷大量(负无穷大量).

注(2)

通常是极限不存在的记号.例2自变量x在何变化过程中,下列变量为无穷大?解(1)当或时,(2)当时,(3)当时,(4)无论x趋于何值,sinx都不是无穷大.三.无穷小的性质性质1

有限个无穷小的和、差、积仍为无穷小.性质2

有界变量与无穷小的乘积为无穷小.推论1

常数与无穷小的乘积仍为无穷小.推论2

有极限的变量与无穷小的乘积仍为无穷小.由上面定理容易得到下面的推论.证明从略.证明下面仅证明时的情况.必要性则对任意,存在,使得当时，恒有

表示为常数与无穷小之和.反之易证充分性.

定理2.3.1

自变量x在任何变化过程中,函数

f(x)收敛于常数

A,即

的充分必要条件是

,其中

是在该自变量同一变化过程中的无穷小量.无穷小量与无穷大量的关系：例如因此即