公式法教学课件

公式法【授课目的】1．掌握一元二次方程求根公式的推导，并会用求根公式解一元二次方程。（重点）2．经过公式推导，加强推理技术训练，进一步发展逻辑思想能力。(难点)3．经过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成优秀的运算习惯。【授课过程】一、感悟导入[师]前面我们学习了一元二次方程的解法。你能用配方法解答下面D的方程吗？(课件展现)用配方法解方程2x2-7x+3＝0。2[生]解：2x-7x+3＝0，两边都除以2，得x2-7x+3＝0。22移项，得；x2-7x=-3。2配方，得x2-7x+(-7)2＝-3+(-7)2．2424两边分别开平方，得x-7＝±544即x-7=5或x-7=-5。4444121∴x=3，x=。2[设计妄图]：为了检测学生用配方法解一元二次方程的掌握情况，针对出现的问题实时弥补，为本节课的学习作好铺垫。]二、自主研究[师]同学们做得很好，接下来大家来试着做一做下面的练习。试一试，必然行：(课件展现)用配方法解以下对于x的方程：22（1）x+ax＝1；（2）x+2bx+4ac＝0。配方得x2+ax+(a)2＝1+(a)2，222(x+a)2=4a。4两边都开平方，得11x+a＝±4a2，22即x+a＝4a2，x+a=-4a2。2222∴x=a4a2a4a2，x2＝1222[生]（2）解x-2bx+4ac＝0，2移项，得x+2bx＝-4ac．配方，得x2-2bx+b2＝-4ac+b2，(x+b)2=b2-4ac．两边同时开平方，得x+b＝±b24ac，即x+b＝b24ac，x+b＝-b24ac∴x=-b+b24ac，x＝-b-b24ac12[生]老师，我感觉做错了，他经过配方获得(x+b)2＝b2-4ac．依据平方根的性质知道：只有正数和零才有平方根，即只有在b2-4ac≥0时，才能够用开平方法解出x来。因此，在这里应当加一个条件：b2-4ac≥0。[师]噢，同学们来想一想，讨论讨论，说得有道理吗？[生齐声]同学说得正确。由于负数没有平方根，因此，解方程x2+2bx+4ac＝0时，必然有条件：b2-4ac≥0，才有求出的解。否则，这个方程就没有实数解。[师]同学们理解得很正确，那解方程x2+ax＝1时用不用加条件呢？[生齐声]不用。[师]那为什么呢？[生齐声]由于把方程x2+ax＝1配方变形为(x+a)2=4a2，右边4a2就是一个正数，所244以就不用加条件了。[师]好，从以上解题过程中，我们发现：利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的。因此，假如能用配方法解一般的一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)，获得根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简捷得多。[设计妄图]：学生自主获得把新知识转变为旧知识的这种解决问题的过程，提高认识决问题的能力，为公式法的推导做好铺垫。三、合作竞学[师]刚才我们已经利用配方法求解了四个一元二次方程，那你可否利用配方法的基本步骤解方程ax2+bx+c＝0(a≠0)呢？大家可参照解方程2x2-7x+3＝0的步骤进行。12[生]由于方程的二次项系数不为1，因此第一应把方程的二次项系数变为1，即方程两边都除以二次项系数a，得x2bxc0aa0，因此，方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的两边都除以a时，[生]由于这里的二次项系数不为需要说明a≠0。[师]对，从前我们解的方程都是数字系数，显然就能够看到：二次项系数不为0，因此无需特别说明，而方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的两边都除以a时，必然说明a≠0。好，接下来该怎样呢？[生]移项，得x2bxcaabx22x2bcb配方，得a2aa2a，b224acbx4a22a。[师]这时，能够直接开平方求解吗？[生]不，还需要讨论。由于a≠0，因此4a2>0。当b2-4ac≥0时，就能够开平方。b24ac0[师]对，在进行开方运算时，被开方数必然是非负数，即要求4a2。由于4a2>0224acbbx4a2恒建立，因此只要b2-4ac是非负数即可。因此，方程2a的两边同时开方，bb24acx2得2a4a。大家来想一想，讨论讨论：b24acb24ac4a22a吗？[师]当b2-4ac≥0时，bb24acb24acx4a22a2ab24ac由于式子前面有双重符号“±”，因此不论a>0仍是a<0，都不影响最后的结果：2abb24acx4a2因此2a，bb24acbb24acx4a22a2a好，我们来看推导过程。(课件展现)两边都除以a13ax2+bx+c=0(a≠0)x2bxc0配方aabx22x2bcba2aa2ab224acbx4a22a假如xbb24acbb24acb24ac02a4a22a这样，我们就获得一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的求根公式：bb24acx2a(b2-4ac≥0)，ax2+bx+c＝0(a≠0)，即(课件展现)一般地，对于一元二次方程xbb24ac当b2-4ac≥0时，它的根是2a[师]用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。(Solvingbyformular)由此我们可以看到：一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的根是由方程的系数a．b．c确定的。因此，在解一元二次方程时，先将方程化为一般形式，此后在b2-4ac≥0的前提条件下，把各项系数a．b．c的值代入，就能够求得方程的根。注：（1）在运用求根公式求解时，应先计算b2-4ac的值；当b2-4ac≥0时，能够用公式求出两个不相等的实数解；当b2-4ac＜0时，方程没有实数解。就不用再代入公式计算了。（2）把方程化为一般形式后，在确定a、b、c时，需注意符号。[设计妄图]：让学生经历知识形成的过程动并主动进行知识建构，发挥学生主体作用，培养学生解析问题、解决问题的能力。四、牢固训练[例题]解方程x2-7x-18＝0。解析：要求方程x2-7x-18＝0的解，需先确定A、B、c的值。注意a、b、c带有符号。解：这里a＝1，b＝-7，c＝-18．24×1×(-18)＝121＞0，∵b-4ac=(-7)2-7121711∴x=212，即x1＝9，x2＝-2．[设计妄图]：加深对所学知识的理解，经过例题及练习引导学生概括出公式法解一元二次方程的步骤。五、讲堂小结14[师]经过本节课学习，你有何收获？你能总结出公式法解一元二次方程的一般步骤吗？[生1]公式法的推导过程；求根公式；公式法的应用。[生2]其一般步骤是：（1）把方程化为一般形式，进而确定a，b，c的值。(注意符号)2bb24ac（3）在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的直代入求根公式，求出2a的值，最后写出方程的根。[设计妄图]：培养学生语言表达概括的能力，形成圆满的知识系统。六、测试讨论1．用公式法解以下方程：（1）2x2-9x+8＝0；（2）9x2+6x+1＝0。2．一个直角三角形三边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三条边长。[设计妄图]：运用所概括的知识解决问题，提高学生的解决问题的能力。【板书设计】2一、解：2x-7x+3＝0，三、解方程x2-7x-18＝0【授课反省】在授课过程中，我多给学生展现的机会，让学生走上讲台，向同学们展现自己的聪颖才干，激发学生的学习兴趣，并经过解析，引导，练习，使得学生掌握用求根公式解一元二次方程的方法。但由于学生第一次接触求根公式，能够说特别陌生，因此简单出现以下错误1．a、b、c的符号问题犯错，