数学观与数学教学观解答课件

数学观与数学教学观

数学观与数学教学观

1数学观与数学教学观——对数学和数学教学本质问题的回答数学观与数学教学观解答课件2数学观——人们对数学的性质、任务、来源、以及数学与人类社会各个领域的知识之间的关系的认识。数学观与数学教学观解答课件3数学是科学的女王数学是一种别具匠心的艺术数学是符号加逻辑数学是人类的思考中最高的成就数学是研究抽象结构的理论数学是上帝描述自然的符号数支配着宇宙数学是一种会不断进化的文化数学是一切知识中的最高形式数学是人类智慧皇冠上最灿烂的明珠数学是知识的工具，亦是其它知识工具的泉源。所有研究顺序和度量的科学均和数学有关数学是一种理性的精神，使人类的思维得以运用到最完善的程度给我空间、时间、及对数，我可以创造一个宇宙自然界的书是用数学的语言写成的数学是各式各样的证明技巧第一是数学，第二是数学，第三是数学……什么是数学数学是科学的女王什么是数学4数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学与人类发展和社会进步息息相关，随着现代信息技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面。数学作为对客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具，不仅是自然科学和技术科学的基础，而且在人文科学与社会科学中发挥着越来越大的作用。特别是20世纪中叶以来，数学与计算机技术的结合在许多方面直接为社会创造价值，推动着社会生产力的发展。。（全日制义务教育数学课程标准（修改稿），2011年）什么是数学数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学与人类发展和社会进步5什么是数学不同历史时期有很不相同、很不一致的观点古代中国：数学是术，是用来解决生产与生活问题的计算方法。古希腊：数学是理念，是关于世界本质的学问，数学对象是一种不依赖于人类思维的客观存在，但可以通过亲身体验，借助实验、观察和抽象获得有关的知识。代表人物：毕达哥拉斯、柏拉图，强调数量关系是现实的本质，自然界是按数学方式设计的，并且这个设计是和谐优美的内部真理。（张维忠.论数学观的演变.大自然探索，1998，1.）什么是数学不同历史时期有很不相同、很不一致的观点（张维忠.论6什么是数学毕达哥拉斯学派神秘主义数学观

毕达哥拉斯（Pythagoras，572BC—497BC）古希腊数学家、哲学家。无论是解说外在物质世界，还是描写内在精神世界，都不能没有数学！最早悟出万事万物背后都有数的法则在起作用的，是生活在2500年前的毕达哥拉斯。

毕达哥拉斯学派：亦称“南意大利学派”，是一个集政治、学术、宗教三位于一体的组织。古希腊哲学家毕达哥拉斯所创立。产生于公元前6世纪末，公元前5世纪被迫解散，其成员大多是数学家、天文学家、音乐家。它是西方美学史上最早探讨美的本质的学派。

数是宇宙万物的本原，事物的性质是由某种数量关系决定的，万物按照一定的数量比例而构成和谐的秩序什么是数学毕达哥拉斯学派神秘主义数学观7“万物皆数”：“1”是数的第一原则，万物之母，也是智慧；“2”是对立和否定的原则，是意见；“3”是万物的形体和形式；“4”是正义，是宇宙创造者的象征；“5”是奇数和偶数，雄性与雌性和结合，也是婚姻；“6”是神的生命，是灵魂；“7”是机会；“8”是和谐，也是爱情和友谊；“9”是理性和强大；“10”包容了一切数目，是完满和美好。

“美是和谐”：数是音乐和谐的基础。他们发现，音乐的和谐是由高低长短轻重不同的音调按照一定的数量上的比例组成，当一根琴弦被缩短到原来长度的一半时，拨动琴弦，音调将提高8度；比率为3∶2和4∶3时，相对应的是高5度和高4度的和声。和声就是由这样一些不同的部分组成的整体。他们认为，正是由于各种事物的数值比确定了它们分别是什么，并显示出彼此之间的关系。

“万物皆数”：“1”是数的第一原则，万物之母，也是智慧；“28柏拉图主义柏拉图（Plato，Πλάτων，约前427年－前347年），古希腊伟大的哲学家，也是全部西方哲学乃至整个西方文化最伟大的哲学家和思想家之一，他和老师苏格拉底，学生亚里士多德并称为古希腊三大哲学家。柏拉图还是西方教育史上第一个提出完整的学前教育思想并建立了完整的教育体系的人。柏拉图指出了每门学科对于发展抽象思维的意义。从20～30岁，那些对抽象思维表现特殊兴趣的学生就要继续深造，学习算术、几何、天文学与和声学等学科，以锻炼他的思考能力，使他开始探索宇宙的奥妙。主张未来的统治者在30岁以后，要进一步学习辩证法，以洞察理念世界。经过5年后，他就可以成为统治国家的哲学王了。他主张心身和谐发展，强调“用体育锻炼身体，用音乐陶冶心灵”。柏拉图丰富的体育思想对后世体育的发展有深远的影响。柏拉图曾旅行到意大利南部，在那儿遇到毕达哥拉斯学派的学者，对他产生了影响：视数学为万物的本质；宇宙二元论——真理（理念）世界和由影子组成的可见世界；对理论科学感兴趣；宗教神秘主义和道德禁欲主义；灵魂的轮回和不朽。柏拉图主义9教育是约束和指导青少年，培养他们正当的理智。每个人最初所受教育的方向容易决定以后行为的性质，感召的力量是不小的。耐心是一切聪明才智的基础。开始是工作的最重要部分。意志不纯正，则学识足以为害。语言的美、乐调的美以及节奏的美，都表现好性情。所谓“好性情”并不是人们通常用来恭维愚笨的人的那个意思，而是心灵真正尽善尽美。技艺没有知识，他对于那种技艺的语言和作为，就不能作正确的判断了。不知道自己的无知，乃是双倍的无知。子女教育是社会的基础。美具有引人向善的作用和力量。爱是美好带来的欢欣，智慧创造的奇观，神仙赋予的惊奇。尊重人不应该胜过尊重真理。只要有信心，人永远不会挫败。每天告诉自己一次：“我真的很不错”。

教育是约束和指导青少年，培养他们正当的理智。每个人最初所受教10柏拉图主义（Platonism）是数学历史上影响最大的数学哲学观点，在西方近现代数学界都有相当大的影响，一些数学巨匠如G．康托尔、罗素、哥德尔、布尔巴基学派基本上都持这种观点。它起源于古希腊的柏拉图，此后在西方数学界一直有着或明或暗的柏拉图主义观念，19世纪，它在数学界几乎占了统治地。20世纪初，数学基础三大学派的争议刚趋平息，柏拉图主义观点又成为讨论的热点之一。

柏拉图主义的基本观点：数学的对象就是数、量、函数等数学概念，而数学概念作为抽象一般或“共相”是客观存在着的。柏拉图认为它们存在于一个特殊的理念世界里，后世的柏拉图主义者并不接受“理念论”，但也认为数学概念是一种特殊的独立于现实世界之外的客观存在，它们是不依赖于时间、空间和人的思维的永恒的存在。数学家得到新的概念不是创造，而是对这种客观存在的描述；数学新成果不是发明，而是发现。与之相应的，柏拉图主义认为数学理论的真理性就是客观的由那种独立于现实世界之外的存在决定的，而这种真理性是要靠“心智”经验来理解，靠某种“数学直觉”来认识的，人们只有通过直觉才能达到独立于现实世界之外的“数学世界”。

柏拉图主义（Platonism）是数学历史上影响最大的数学哲11古典柏拉图主义：“数学理念世界”数学观。数学的理念世界是独立于人的感性经验之外的世界，是一种客观存在着的完善的永恒世界。近代柏拉图主义：上帝是用数学方案来构造宇宙的，而寻求自然界的数学规律是对上帝智慧的证明；数学对象是具有客观性的理念实体，需要通过理性的心智活动去认识，而不应受直观感觉的约束；数学真理具有必然性和唯一性；数学仅仅是研究具有确定性的数量与空间形式的科学，那些具有模糊性的或超越二值范畴的对象关系都不能作为数学对象。现代柏拉图主义的“先验论”/“实在主义”数学观:数学对象是“客观实在”（“数学实体”，哈代），是一些理想化的结构，这种理想结构不同于物理世界的构造，至多只存在某种近似的关联；数学真理是客观存在的，而人们对其认识不可能是完全的，数学发展到任何时候总有一批未解决的难题，而有许多问题结论的真假不能判定。（徐利治.数学中的现代柏拉图主义与有关问题.数学教育学报，2004，3.）古典柏拉图主义：“数学理念世界”数学观。数学的理念世界是独立12近代以数学基础三大学派的逻辑主义、形式主义、直觉主义所形成的数学观为代表逻辑主义把数学化归为逻辑

代表人物：英国著名数学家、哲学家、逻辑学家罗素（《数学哲学导论》）代表作：罗素，怀特海：《数学原理》。作者企图在这3卷本的数学巨著中向人们说明：全部数学可以从逻辑概念出发用明显的定义得出数学概念；由逻辑命题开始用纯逻辑的演绎推得数学定理。从而，全部数学都可以从基本的逻辑概念和逻辑规则而推导出来。这样，就可以把数学看成是逻辑学延伸或分支。故“逻辑学生数学的青年时代，而数学是逻辑学的壮年时代。”“数学即逻辑”（罗素）近代13在《数学原理》中，罗、怀通过纯逻辑的途径再加上集合论的选择公理和无穷公理把当时的数学严格的推导了出来。罗素宣称：“从逻辑中展开纯数学的工作，已由怀特海和我在《数学原理》中详细地做了出来。”问题是：数学的基础是逻辑吗？罗、怀的工作：在推导数学时使用集合论的两个公理！这是不可缺的，否则不能完成。因为，不用“无”则自然数系统无法构造，更不要说全部数学了！→将数学化归为逻辑还是集合论？要从逻辑推出全部数学，就必须发展集合论，而集合论是自相矛盾的，没有相容性。但是，在逻辑系统中是不允许矛盾的！因此，必须排除悖论。→“数学就是逻辑”，“一切数学思维都是逻辑思维”不被接受!在《数学原理》中，罗、怀通过纯逻辑的途径再加上集合论的选择公14对《数学原理》的肯定“该书在20世纪的科学技术发展中影响很大。它以当时最严格的形式化的符号语言来陈述作者建立的逻辑体系、定义和定理，从而标准符合逻辑方法的成功。并显示了数学的逻辑基础研究的意义，因而进一步显示了现代逻辑的科学意义”。“此书在方法论上的意义是不可忽视的。他们相当成功的把古典数学纳入了一个统一的公理系统，使之能从几个逻辑概念和公理出发，再加上集合论的无穷公理就能推出康托集合论、一般算术和大部分数学来。这把逻辑推理发展到前所未有的高度，使人们看到，在数理逻辑演算的基础上能够推演出许多数学内容来，形成了集合论公理系统的逻辑体系，这种逻辑史上是一件大事，对数理逻辑后来的发展起来决定作用，是现代公理方法的一个重要起点。”对《数学原理》的肯定15什么是数学形式主义者要把数学组织成“形式系统”

代表人物：德国数学家希尔伯特非欧几何：当得出互相矛盾的定理的两种几何都证明不了自相矛盾的时候，数学的真理到底体现在哪里？为什么两个几何都成立？在数学与逻辑之间是存在有质的区别的，不可能成功的把数学化归为逻辑。什么是数学16只有有限的范畴才是绝对的可靠的，涉及无限是不那么可靠的，古典数学中包含了许多关于无限的概念和方法，所以是不那么可靠的。既要保留古典数学，又要消除数学当中出现的悖论。通过某些方法进行处理，例如，简化证明，统一各种不同的理论，保存传统的逻辑法则，等等，我们仍然可以把非有限的因素作为理想元素引入到数学中来，问题的关键就是要证明这种引进不会导致错误。希尔伯特计划

构造出一个相容的、完备的、可判定的形式系统，系统中的定理对应于与直觉上为真的数学命题集，而且，关于相容的、完备的、可判定等性质的证明又可以仅仅借助有限的方法得以实现。即用有限的方法证明由古典数学抽象而出的形式系统（首先是形式算术系统）是相容的性，而“有限的方法”一般认为总可以在算术系统内得到表述。

只有有限的范畴才是绝对的可靠的，涉及无限是不那么可靠的，古典17希尔伯特规划的提出，体现了一种新的数学思想，也就是所谓的形式主义数学观：数学只是一组相容的、独立的、完备的公理系，按照一定方式推理出来的一堆“形式”，与它表示的内容无关。→一切数学对象都只是无意义的符号，数学命题则是按照指定的法则组成的符号序列，在数学中，我们要做的工作就是按照指定的法则对于无意义的符号序列去进行纯形式的变形。逻辑学家哥德尔证明了这一目标是不可能实现的！哥德尔不完备性定理：所有以形式算术系统为子系统的形式系统，如果是相容的，那它就一定是不完备的。也就是说，对于任何相容的形式系统来说，如果其中足以开展出适量的算术理论的话，那么，在这一系统中一定存在有这样的命题，其自身及其否命题都不可能在这一系统中得到证明。

这样，其目标是把古典数学组织成相容的、完备的形式系统的希尔伯特规划，也就被证明是不可能实现的了。

希尔伯特规划的提出，体现了一种新的数学思想，也就是所谓的形式18希尔伯特的数学思想中有合理因素，但是，又有片面性:片面夸大有限和无限的对立性，完全否认了包含有无限性成份的古典数学的客观意义。关于有限的数学是绝对可靠的（从而可以成为全部数学的可靠基础）这一点是错误的。因为任何一种数学理论都只是一种相对真理，都有特定的适用范围，所以认为有限性数学是绝对可靠是错误的。完全强调形式的研究，而忽视了内容的分析是错误的。虽然形式相对独立于内容，在一定的条件下，我们可以撇开具体的内容去进行纯形式的研究，但是两者又不能截然分开，因为形式最终又是由内容所决定的。希尔伯特的数学思想中有合理因素，但是，又有片面性:19直觉主义者提出“存在必须等于被构造”代表人物:荷兰数学家，布劳维尔

直觉主义者认为，数学主要是指人类的一种特殊的思维活动，而不是指经由这种思维活动发展起来的数学理论，这种思维活动的主要特性在于它的“纯主观性”，即是建立在所谓的“纯直觉”之上的，而且，这种纯直觉又是完全不依赖语言（和逻辑的）。我们不能希望通过局部的修改或限制来解决数学的可靠性问题，而必须从根本上去重新考虑数学的性质等基本问题。“直觉是数学的最终依据”.“存在必须等于被构造。”

数学观与数学教学观解答课件20什么是数学否定排中律，双重否定律逻辑是数学的一部分对所有辑概念都予以“构造性”的解释，所有逻辑命题都具有“我已经实现了具有如下性质的一个构造……”的形式。承认p→～～p，而不承认～～p→p

直觉主义者对于数学和逻辑研究是有一定的贡献的：对数学中的定义和证明提出了一种更为严格的要求，为数学研究开拓了一个新的方向，对电子计算机的设计与改进起着积极作用，肯定创造性思维的作用及数学的发展性，提出了构造性与非构造性数学的区分，揭示了古典数学与古典逻辑的相对性，等。什么是数学否定排中律，双重否定律21直觉主义失败分析：片面强调创造性思维在数学发展中的作用，把数学只归结为对于人类思想的某种功能的研究，而且完全否认了数学的客观意义，从而就走上了唯心主义的错误道路。片面地强调对于数学的动态的研究，数学思想与语言形式被绝对地对立了起来，最终不可避免地导致了“数学神秘主义”。将直觉作为数学唯一可靠的基础，提出“存在必须等于被构造”的原则，否定非构造性数学即古典数学并对构造性数学采取绝对肯定的态度，这是错误的。绝对否定古典逻辑和绝对肯定直觉主义逻辑，这是错误的。

直觉主义失败分析：22

直觉主义并没有真正实现按照构造性的要求来重建古典数学（至少是其大部分）的目标。与古典数学相比，直觉主义数学在很多场合下并没有显得更为“直接”或更为“明显”，恰恰相反，某些部分反而表现出了更大的抽象性与复杂性。因此，在这样的意义上，直觉主义数学也就并不比古典数学更为可靠。数学观与数学教学观解答课件23数学基础研究三大思潮的出现，是当时数学发展造成的，随着数学基础研究的逐步开展，与基础问题有关的哲学思考就逐渐成为现代数学哲学研究的主要内容。他们虽然失败了，但他们的工作大大地促进了数学基础研究的发展。数学基础研究三大思潮的出现，是当时数学发展造成的，随着数学基24什么是数学现代Mathematics:powerfulpatternsinnatureandsociety.数学：描绘自然与社会的有力模式（哈里•亨德森（作家、编辑，撰写科技、计算机技术、数学、传记、历史图书））：斐波那契数列统计学博弈论数字计算机分形奇点理论扭曲彭罗斯铺砌兰顿环通用计算机……绝对主义数学观可误主义数学观社会建构主义数学观什么是数学现代25什么是数学由于观察与思考的角度不同，有各种不同的描述恩格斯：数学是关于现实世界的空间形式和数量关系的科学。弗赖登塔尔：数学在现实世界中有它的现象学基础。数学实质上是人们常识的系统化。数学的概念、结构与思想都是物理世界、社会存在与思维世界各种具体现象的反映，也是组织这些现象的工具。数学来源于现实，存在于现实，并且应用于现实。柯尔莫哥洛夫：数学的研究对象产生于现实，但数学又必须离开现实（抽象）。由于数学内容不断丰富，应用范围无限扩大，因而并非完全脱离现实。所有数学的基础是纯集合论，数学的各专门分支研究各种各样的结构，每一种结构由相应的公理体系所确定。什么是数学由于观察与思考的角度不同，有各种不同的描述26从数学的研究方法来分析，有更大的分歧有人认为，数学全然不涉及观察、归纳、因果等方法；对人进行的训练，全都是利用演绎方法；数学家工作的起点，只需少数公理，一见就懂，无需证明，而其余的工作则都可由此推演出来。与此相反地，解决数学问题常常必须借助于新定理、新见解、新方法；在具体解决问题和从事研究的过程中，常常要进行观察和比较。在这其中，归纳法是十分常用的，而且需要依赖实际经验；数学家的工作，都离不开观察、推测、归纳、实验、经验、因果等方法。甚至，数学家还需要有高度的直觉和想象力。更有人声称，数学是证明与反驳的交互过程，数学从来不是严谨的。从数学的研究方法来分析，有更大的分歧27由于个体不同的知识背景，对数学的理解角度不同，就会有不同的回答。数学是一种语言数学是人类的一种活动数学是科学，数学也是一门技术数学是组织现实世界的工具数学是科学，数学更是一门创造性的艺术数学是模式的科学数学是一种文化……由于个体不同的知识背景，对数学的理解角度不同，就会有不同的回28数学是一个多元的综合体数学是一个多元的综合产物，不能简单地将数学等同于命题和公式汇集成的逻辑体系。数学通过模式的构建与现实世界密切联系，但又借助抽象的方法，强调思维形式的探讨；现代技术渗透于数学之中，成为数学的实质性内涵，但抽象的数学思维仍然是一种创造性的活动；数学是一种特殊的语言，由此形成的思维方式，不仅决定了人类对物质世界的认识方式，还对人类理性精神的发展具有重要的影响，因而必然成为人类文化的一个重要组成部分。数学是一个多元的综合体29数学发展史上的四个高峰（2000年8月，日本东京ICME-9，藤田宏主席，P18）：（1）以《几何原本》为代表的古希腊的公理化数学（前700—300）（2）以牛顿发明微积分为代表的无穷小算法数学（17—18c）（3）以希尔伯特为代表的现代公理化数学（19—20c中叶）（4）以现代计算机技术为代表的信息时代数学（20c中叶—今）数学观与数学教学观解答课件30核心数学发展的特点（P20-21）：线性→非线性（混沌、分形、动力系统等研究迅速发展）交换→非交换（矩阵、算子的乘法都是不可交换的）一维→高维（特别是4维和无穷维）随机数学和确定性数学、离散和连续、局部性质和整体性质间的对立与整合核心数学发展的特点（P20-21）：31当今数学科学的发展出现了三种新趋向内部各分支相互渗透及与其他科学交叉融会计算机使得数学成立形式科学与实验科学两种不同的知识类型的结合在思维形式与研究方法等各方面都需在差异中寻求平衡数学的应用领域日趋广泛20世纪数学观的变化（P21）（1）公理化方法、形式演绎仍然是数学的特征之一，但是数学不等于形式，数学正在走出形式主义光环。（2）在计算机技术的支持下，数学注重应用。（3）数学不等于逻辑，要做“好”数学。数学观与数学教学观解答课件32不同的数学观，会折射出不同的教学思想和行为，即决定了我们拥有怎样的数学教学观：如果把数学理解成一种科学语言→注重数学语言的形成和师生间的平等对话和交流；如果认为数学是一种工具→侧重于对学习的记忆和训练，或者将数学应用于解题和生活实际的问题中；如果是一种模型的数学观→注重数学模型的发生、抽象过程；如果认为数学是一种文化→把数学纳入到广阔的社会文化中去，让学生理解数学的理性精神、创新内涵和思想方法。（林夏水

.数学观对数学及其教育的影响.数学教育学报》2007年第04期

）不同的数学观，会折射出不同的教学思想和行为，即决定了我们拥有33英国学者PaulErnest根据数学哲学及数学教学的实验研究，提出数学教师的三种数学观及其在教学上的相应表现，认为大致可归结为以下三种类型：1)问题解决观点

将数学看成是动态的、以问题为主导和核心的过程.数学是一个不断探索、不断求真、不断扩大发展的过程.数学不是一个已经完成的产品，其最终结果总是开放的，有待继续修正.

教学表现：强调数学教学是一种活动，主张“学数学就是做数学”，不仅关注知识的结果，更加注重获得知识的过程，旨在鼓励学生亲身经历并进入数学的生成发展过程.

英国学者PaulErnest根据数学哲学及数学教学的实验研34

2)柏拉图的观点

将数学看成是静态的、统一的知识实体.数学是水晶般清澈的王国，其中包含有相互联系的各种结构与真理，并由逻辑的与内在涵义形成的纤维，共同将其装订成一整体。数学是如磐石般稳定的永远不变的产品。数学只能被发现而不能被创造。

教学表现：强调数学作为严谨的形式体系的整体结构，以概念为主导，注重概念的内涵，尤其重视推理的逻辑，强调关系，突出“为什么”，容许学生自己构造算法，但必须考虑其可行性与相容性，以符合数学的纯粹的形式法则。数学观与数学教学观解答课件35

3)工具主义的观点

将数学看成是一个工具袋，由各种事实、规则与技能累积而成，由于某些外部目标的追求，而由那些熟练的工匠加以运用。因而，数学只是一些互不相关但却有用的规则与事实的集合。

教学表现：教师按照传统方式，突出对规则、步骤的演示，强调操练程序，不重视证明，甚至不允许超出课本中列出的算法，只要求学生能掌握根据教学目标规定的熟练技能。作为个体，一个人对数学观的认识是从模糊、片面的到系统的，动态的一个过程。你很有可能就停留在这一维度的某个中间点上。

数学观与数学教学观解答课件36

数学教学观——教师对数学本质、学生学习数学的认知过程以及教学形式和方法的认识。数学教学观——教师对数学本质、学生学习37教学的语义分析汉语中“教学”及其语义的发展教学即学习教学即教授教学即教学生学教学即教师的教与学生的学英语中“teach”及其定义teach、learn、instructSmith,B.O.对英语国家teaching涵义的归类什么是教学教学的语义分析什么是教学38教学的规定性定义教、教学经常是通用的。教与学在理性思维中是可分的。“教的行为”是教学理论的中心问题。围绕这一中心问题的是两大问题：教是怎样影响学的怎样的教才是有效的教学（教）就是教师引起、维持和促进学生学习的所有行为。教学行为即探究行为（教学即探究，教师即研究者）。引起学生学习的意向、明释学生学习的内容、采用易于学生觉知的方式是教学活动的逻辑必要条件教学内容、教师、学生是教学活动最基本的构成要素教学的规定性定义39教学活动的本质特殊认识说、发展说、实践说、交往说——观察教学本质的基本维度：过程、功能、关系教学的基本问题教学中的人际关系掌握知识与发展智力教学中的认知与情感接受学习与发现学习教学活动的本质40树立现代数学教学观树立现代数学教学观纯数学的为什么要进行数学教学怎样进行数学教学数学教学的目标是什么人本主义的实用主义的数学学习活动的本质是什么数学教学活动的本质是什么教学内容的科学性教学方法的科学性被动吸收主动建构授予促进和增强学习者的数学学习过程树立现代数学教学观树立现代数学教学观纯数学的为什么要进行数学41

20世纪我国数学教学观的现代化:

(见教材P27-32)1)关心教师的“教”→也关注学生的“学”2)“双基”+“三力”观点的形成→更宽广的能力观和素质观（提出、分析和解决问题的能力；创新意识与应用意识；数学探究能力；数学建模能力；数学交流能力；数学实践能力）3)听课、阅读、演题→提倡实验、讨论、探索的学习方式4)看重数学的抽象、严谨→关注数学文化、数学探究和数学应用20世纪我国数学教学观的现代化:(见教材P27-32)421.数学观与数学教学的关系如何？2.试谈谈我国数学教学观产生了哪些变化？3.构建现代的数学观及数学教学观。下次课：数学概念的逻辑结构思考1.数学观与数学教学的关系如何？思考43理解概念的内涵和外延、概念间的关系，掌握概念定义的方法以及概念分类的方法。下课，再见！理解概念的内涵和外延、概念间的关系，掌握概念定义的方法以及概44

数学观与数学教学观

数学观与数学教学观

45数学观与数学教学观——对数学和数学教学本质问题的回答数学观与数学教学观解答课件46数学观——人们对数学的性质、任务、来源、以及数学与人类社会各个领域的知识之间的关系的认识。数学观与数学教学观解答课件47数学是科学的女王数学是一种别具匠心的艺术数学是符号加逻辑数学是人类的思考中最高的成就数学是研究抽象结构的理论数学是上帝描述自然的符号数支配着宇宙数学是一种会不断进化的文化数学是一切知识中的最高形式数学是人类智慧皇冠上最灿烂的明珠数学是知识的工具，亦是其它知识工具的泉源。所有研究顺序和度量的科学均和数学有关数学是一种理性的精神，使人类的思维得以运用到最完善的程度给我空间、时间、及对数，我可以创造一个宇宙自然界的书是用数学的语言写成的数学是各式各样的证明技巧第一是数学，第二是数学，第三是数学……什么是数学数学是科学的女王什么是数学48数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学与人类发展和社会进步息息相关，随着现代信息技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面。数学作为对客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具，不仅是自然科学和技术科学的基础，而且在人文科学与社会科学中发挥着越来越大的作用。特别是20世纪中叶以来，数学与计算机技术的结合在许多方面直接为社会创造价值，推动着社会生产力的发展。。（全日制义务教育数学课程标准（修改稿），2011年）什么是数学数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学与人类发展和社会进步49什么是数学不同历史时期有很不相同、很不一致的观点古代中国：数学是术，是用来解决生产与生活问题的计算方法。古希腊：数学是理念，是关于世界本质的学问，数学对象是一种不依赖于人类思维的客观存在，但可以通过亲身体验，借助实验、观察和抽象获得有关的知识。代表人物：毕达哥拉斯、柏拉图，强调数量关系是现实的本质，自然界是按数学方式设计的，并且这个设计是和谐优美的内部真理。（张维忠.论数学观的演变.大自然探索，1998，1.）什么是数学不同历史时期有很不相同、很不一致的观点（张维忠.论50什么是数学毕达哥拉斯学派神秘主义数学观

毕达哥拉斯（Pythagoras，572BC—497BC）古希腊数学家、哲学家。无论是解说外在物质世界，还是描写内在精神世界，都不能没有数学！最早悟出万事万物背后都有数的法则在起作用的，是生活在2500年前的毕达哥拉斯。

毕达哥拉斯学派：亦称“南意大利学派”，是一个集政治、学术、宗教三位于一体的组织。古希腊哲学家毕达哥拉斯所创立。产生于公元前6世纪末，公元前5世纪被迫解散，其成员大多是数学家、天文学家、音乐家。它是西方美学史上最早探讨美的本质的学派。

数是宇宙万物的本原，事物的性质是由某种数量关系决定的，万物按照一定的数量比例而构成和谐的秩序什么是数学毕达哥拉斯学派神秘主义数学观51“万物皆数”：“1”是数的第一原则，万物之母，也是智慧；“2”是对立和否定的原则，是意见；“3”是万物的形体和形式；“4”是正义，是宇宙创造者的象征；“5”是奇数和偶数，雄性与雌性和结合，也是婚姻；“6”是神的生命，是灵魂；“7”是机会；“8”是和谐，也是爱情和友谊；“9”是理性和强大；“10”包容了一切数目，是完满和美好。

“美是和谐”：数是音乐和谐的基础。他们发现，音乐的和谐是由高低长短轻重不同的音调按照一定的数量上的比例组成，当一根琴弦被缩短到原来长度的一半时，拨动琴弦，音调将提高8度；比率为3∶2和4∶3时，相对应的是高5度和高4度的和声。和声就是由这样一些不同的部分组成的整体。他们认为，正是由于各种事物的数值比确定了它们分别是什么，并显示出彼此之间的关系。

“万物皆数”：“1”是数的第一原则，万物之母，也是智慧；“252柏拉图主义柏拉图（Plato，Πλάτων，约前427年－前347年），古希腊伟大的哲学家，也是全部西方哲学乃至整个西方文化最伟大的哲学家和思想家之一，他和老师苏格拉底，学生亚里士多德并称为古希腊三大哲学家。柏拉图还是西方教育史上第一个提出完整的学前教育思想并建立了完整的教育体系的人。柏拉图指出了每门学科对于发展抽象思维的意义。从20～30岁，那些对抽象思维表现特殊兴趣的学生就要继续深造，学习算术、几何、天文学与和声学等学科，以锻炼他的思考能力，使他开始探索宇宙的奥妙。主张未来的统治者在30岁以后，要进一步学习辩证法，以洞察理念世界。经过5年后，他就可以成为统治国家的哲学王了。他主张心身和谐发展，强调“用体育锻炼身体，用音乐陶冶心灵”。柏拉图丰富的体育思想对后世体育的发展有深远的影响。柏拉图曾旅行到意大利南部，在那儿遇到毕达哥拉斯学派的学者，对他产生了影响：视数学为万物的本质；宇宙二元论——真理（理念）世界和由影子组成的可见世界；对理论科学感兴趣；宗教神秘主义和道德禁欲主义；灵魂的轮回和不朽。柏拉图主义53教育是约束和指导青少年，培养他们正当的理智。每个人最初所受教育的方向容易决定以后行为的性质，感召的力量是不小的。耐心是一切聪明才智的基础。开始是工作的最重要部分。意志不纯正，则学识足以为害。语言的美、乐调的美以及节奏的美，都表现好性情。所谓“好性情”并不是人们通常用来恭维愚笨的人的那个意思，而是心灵真正尽善尽美。技艺没有知识，他对于那种技艺的语言和作为，就不能作正确的判断了。不知道自己的无知，乃是双倍的无知。子女教育是社会的基础。美具有引人向善的作用和力量。爱是美好带来的欢欣，智慧创造的奇观，神仙赋予的惊奇。尊重人不应该胜过尊重真理。只要有信心，人永远不会挫败。每天告诉自己一次：“我真的很不错”。

教育是约束和指导青少年，培养他们正当的理智。每个人最初所受教54柏拉图主义（Platonism）是数学历史上影响最大的数学哲学观点，在西方近现代数学界都有相当大的影响，一些数学巨匠如G．康托尔、罗素、哥德尔、布尔巴基学派基本上都持这种观点。它起源于古希腊的柏拉图，此后在西方数学界一直有着或明或暗的柏拉图主义观念，19世纪，它在数学界几乎占了统治地。20世纪初，数学基础三大学派的争议刚趋平息，柏拉图主义观点又成为讨论的热点之一。

柏拉图主义的基本观点：数学的对象就是数、量、函数等数学概念，而数学概念作为抽象一般或“共相”是客观存在着的。柏拉图认为它们存在于一个特殊的理念世界里，后世的柏拉图主义者并不接受“理念论”，但也认为数学概念是一种特殊的独立于现实世界之外的客观存在，它们是不依赖于时间、空间和人的思维的永恒的存在。数学家得到新的概念不是创造，而是对这种客观存在的描述；数学新成果不是发明，而是发现。与之相应的，柏拉图主义认为数学理论的真理性就是客观的由那种独立于现实世界之外的存在决定的，而这种真理性是要靠“心智”经验来理解，靠某种“数学直觉”来认识的，人们只有通过直觉才能达到独立于现实世界之外的“数学世界”。

柏拉图主义（Platonism）是数学历史上影响最大的数学哲55古典柏拉图主义：“数学理念世界”数学观。数学的理念世界是独立于人的感性经验之外的世界，是一种客观存在着的完善的永恒世界。近代柏拉图主义：上帝是用数学方案来构造宇宙的，而寻求自然界的数学规律是对上帝智慧的证明；数学对象是具有客观性的理念实体，需要通过理性的心智活动去认识，而不应受直观感觉的约束；数学真理具有必然性和唯一性；数学仅仅是研究具有确定性的数量与空间形式的科学，那些具有模糊性的或超越二值范畴的对象关系都不能作为数学对象。现代柏拉图主义的“先验论”/“实在主义”数学观:数学对象是“客观实在”（“数学实体”，哈代），是一些理想化的结构，这种理想结构不同于物理世界的构造，至多只存在某种近似的关联；数学真理是客观存在的，而人们对其认识不可能是完全的，数学发展到任何时候总有一批未解决的难题，而有许多问题结论的真假不能判定。（徐利治.数学中的现代柏拉图主义与有关问题.数学教育学报，2004，3.）古典柏拉图主义：“数学理念世界”数学观。数学的理念世界是独立56近代以数学基础三大学派的逻辑主义、形式主义、直觉主义所形成的数学观为代表逻辑主义把数学化归为逻辑

代表人物：英国著名数学家、哲学家、逻辑学家罗素（《数学哲学导论》）代表作：罗素，怀特海：《数学原理》。作者企图在这3卷本的数学巨著中向人们说明：全部数学可以从逻辑概念出发用明显的定义得出数学概念；由逻辑命题开始用纯逻辑的演绎推得数学定理。从而，全部数学都可以从基本的逻辑概念和逻辑规则而推导出来。这样，就可以把数学看成是逻辑学延伸或分支。故“逻辑学生数学的青年时代，而数学是逻辑学的壮年时代。”“数学即逻辑”（罗素）近代57在《数学原理》中，罗、怀通过纯逻辑的途径再加上集合论的选择公理和无穷公理把当时的数学严格的推导了出来。罗素宣称：“从逻辑中展开纯数学的工作，已由怀特海和我在《数学原理》中详细地做了出来。”问题是：数学的基础是逻辑吗？罗、怀的工作：在推导数学时使用集合论的两个公理！这是不可缺的，否则不能完成。因为，不用“无”则自然数系统无法构造，更不要说全部数学了！→将数学化归为逻辑还是集合论？要从逻辑推出全部数学，就必须发展集合论，而集合论是自相矛盾的，没有相容性。但是，在逻辑系统中是不允许矛盾的！因此，必须排除悖论。→“数学就是逻辑”，“一切数学思维都是逻辑思维”不被接受!在《数学原理》中，罗、怀通过纯逻辑的途径再加上集合论的选择公58对《数学原理》的肯定“该书在20世纪的科学技术发展中影响很大。它以当时最严格的形式化的符号语言来陈述作者建立的逻辑体系、定义和定理，从而标准符合逻辑方法的成功。并显示了数学的逻辑基础研究的意义，因而进一步显示了现代逻辑的科学意义”。“此书在方法论上的意义是不可忽视的。他们相当成功的把古典数学纳入了一个统一的公理系统，使之能从几个逻辑概念和公理出发，再加上集合论的无穷公理就能推出康托集合论、一般算术和大部分数学来。这把逻辑推理发展到前所未有的高度，使人们看到，在数理逻辑演算的基础上能够推演出许多数学内容来，形成了集合论公理系统的逻辑体系，这种逻辑史上是一件大事，对数理逻辑后来的发展起来决定作用，是现代公理方法的一个重要起点。”对《数学原理》的肯定59什么是数学形式主义者要把数学组织成“形式系统”

代表人物：德国数学家希尔伯特非欧几何：当得出互相矛盾的定理的两种几何都证明不了自相矛盾的时候，数学的真理到底体现在哪里？为什么两个几何都成立？在数学与逻辑之间是存在有质的区别的，不可能成功的把数学化归为逻辑。什么是数学60只有有限的范畴才是绝对的可靠的，涉及无限是不那么可靠的，古典数学中包含了许多关于无限的概念和方法，所以是不那么可靠的。既要保留古典数学，又要消除数学当中出现的悖论。通过某些方法进行处理，例如，简化证明，统一各种不同的理论，保存传统的逻辑法则，等等，我们仍然可以把非有限的因素作为理想元素引入到数学中来，问题的关键就是要证明这种引进不会导致错误。希尔伯特计划

构造出一个相容的、完备的、可判定的形式系统，系统中的定理对应于与直觉上为真的数学命题集，而且，关于相容的、完备的、可判定等性质的证明又可以仅仅借助有限的方法得以实现。即用有限的方法证明由古典数学抽象而出的形式系统（首先是形式算术系统）是相容的性，而“有限的方法”一般认为总可以在算术系统内得到表述。

只有有限的范畴才是绝对的可靠的，涉及无限是不那么可靠的，古典61希尔伯特规划的提出，体现了一种新的数学思想，也就是所谓的形式主义数学观：数学只是一组相容的、独立的、完备的公理系，按照一定方式推理出来的一堆“形式”，与它表示的内容无关。→一切数学对象都只是无意义的符号，数学命题则是按照指定的法则组成的符号序列，在数学中，我们要做的工作就是按照指定的法则对于无意义的符号序列去进行纯形式的变形。逻辑学家哥德尔证明了这一目标是不可能实现的！哥德尔不完备性定理：所有以形式算术系统为子系统的形式系统，如果是相容的，那它就一定是不完备的。也就是说，对于任何相容的形式系统来说，如果其中足以开展出适量的算术理论的话，那么，在这一系统中一定存在有这样的命题，其自身及其否命题都不可能在这一系统中得到证明。

这样，其目标是把古典数学组织成相容的、完备的形式系统的希尔伯特规划，也就被证明是不可能实现的了。

希尔伯特规划的提出，体现了一种新的数学思想，也就是所谓的形式62希尔伯特的数学思想中有合理因素，但是，又有片面性:片面夸大有限和无限的对立性，完全否认了包含有无限性成份的古典数学的客观意义。关于有限的数学是绝对可靠的（从而可以成为全部数学的可靠基础）这一点是错误的。因为任何一种数学理论都只是一种相对真理，都有特定的适用范围，所以认为有限性数学是绝对可靠是错误的。完全强调形式的研究，而忽视了内容的分析是错误的。虽然形式相对独立于内容，在一定的条件下，我们可以撇开具体的内容去进行纯形式的研究，但是两者又不能截然分开，因为形式最终又是由内容所决定的。希尔伯特的数学思想中有合理因素，但是，又有片面性:63直觉主义者提出“存在必须等于被构造”代表人物:荷兰数学家，布劳维尔

直觉主义者认为，数学主要是指人类的一种特殊的思维活动，而不是指经由这种思维活动发展起来的数学理论，这种思维活动的主要特性在于它的“纯主观性”，即是建立在所谓的“纯直觉”之上的，而且，这种纯直觉又是完全不依赖语言（和逻辑的）。我们不能希望通过局部的修改或限制来解决数学的可靠性问题，而必须从根本上去重新考虑数学的性质等基本问题。“直觉是数学的最终依据”.“存在必须等于被构造。”

数学观与数学教学观解答课件64什么是数学否定排中律，双重否定律逻辑是数学的一部分对所有辑概念都予以“构造性”的解释，所有逻辑命题都具有“我已经实现了具有如下性质的一个构造……”的形式。承认p→～～p，而不承认～～p→p

直觉主义者对于数学和逻辑研究是有一定的贡献的：对数学中的定义和证明提出了一种更为严格的要求，为数学研究开拓了一个新的方向，对电子计算机的设计与改进起着积极作用，肯定创造性思维的作用及数学的发展性，提出了构造性与非构造性数学的区分，揭示了古典数学与古典逻辑的相对性，等。什么是数学否定排中律，双重否定律65直觉主义失败分析：片面强调创造性思维在数学发展中的作用，把数学只归结为对于人类思想的某种功能的研究，而且完全否认了数学的客观意义，从而就走上了唯心主义的错误道路。片面地强调对于数学的动态的研究，数学思想与语言形式被绝对地对立了起来，最终不可避免地导致了“数学神秘主义”。将直觉作为数学唯一可靠的基础，提出“存在必须等于被构造”的原则，否定非构造性数学即古典数学并对构造性数学采取绝对肯定的态度，这是错误的。绝对否定古典逻辑和绝对肯定直觉主义逻辑，这是错误的。

直觉主义失败分析：66

直觉主义并没有真正实现按照构造性的要求来重建古典数学（至少是其大部分）的目标。与古典数学相比，直觉主义数学在很多场合下并没有显得更为“直接”或更为“明显”，恰恰相反，某些部分反而表现出了更大的抽象性与复杂性。因此，在这样的意义上，直觉主义数学也就并不比古典数学更为可靠。数学观与数学教学观解答课件67数学基础研究三大思潮的出现，是当时数学发展造成的，随着数学基础研究的逐步开展，与基础问题有关的哲学思考就逐渐成为现代数学哲学研究的主要内容。他们虽然失败了，但他们的工作大大地促进了数学基础研究的发展。数学基础研究三大思潮的出现，是当时数学发展造成的，随着数学基68什么是数学现代Mathematics:powerfulpatternsinnatureandsociety.数学：描绘自然与社会的有力模式（哈里•亨德森（作家、编辑，撰写科技、计算机技术、数学、传记、历史图书））：斐波那契数列统计学博弈论数字计算机分形奇点理论扭曲彭罗斯铺砌兰顿环通用计算机……绝对主义数学观可误主义数学观社会建构主义数学观什么是数学现代69什么是数学由于观察与思考的角度不同，有各种不同的描述恩格斯：数学是关于现实世界的空间形式和数量关系的科学。弗赖登塔尔：数学在现实世界中有它的现象学基础。数学实质上是人们常识的系统化。数学的概念、结构与思想都是物理世界、社会存在与思维世界各种具体现象的反映，也是组织这些现象的工具。数学来源于现实，存在于现实，并且应用于现实。柯尔莫哥洛夫：数学的研究对象产生于现实，但数学又必须离开现实（抽象）。由于数学内容不断丰富，应用范围无限扩大，因而并非完全脱离现实。所有数学的基础是纯集合论，数学的各专门分支研究各种各样的结构，每一种结构由相应的公理体系所确定。什么是数学由于观察与思考的角度不同，有各种不同的描述70从数学的研究方法来分析，有更大的分歧有人认为，数学全然不涉及观察、归纳、因果等方法；对人进行的训练，全都是利用演绎方法；数学家工作的起点，只需少数公理，一见就懂，无需证明，而其余的工作则都可由此推演出来。与此相反地，解决数学问题常常必须借助于新定理、新见解、新方法；在具体解决问题和从事研究的过程中，常常要进行观察和比较。在这其中，归纳法是十分常用的，而且需要依赖实际经验；数学家的工作，都离不开观察、推测、归纳、实验、经验、因果等方法。甚至，数学家还需要有高度的直觉和想象力。更有人声称，数学是证明与反驳的交互过程，数学从来不是严谨的。从数学的研究方法来分析，有更大的分歧71由于个体不同的知识背景，对数学的理解角度不同，就会有不同的回答。数学是一种语言数学是人类的一种活动数学是科学，数学也是一门技术数学是组织现实世界的工具数学是科学，数学更是一门创造性的艺术数学是模式的科学数学是一种文化……由于个体不同的知识背景，对数学的理解角度不同，就会有不同的回72数学是一个多元的综合体数学是一个多元的综合产物，不能简单地将数学等同于命题和公式汇集成的逻辑体系。数学通过模式的构建与现实世界密切联系，但又借助抽象的方法，强调思维形式的探讨；现代技术渗透于数学之中，成为数学的实质性内涵，但抽象的数学思维仍然是一种创造性的活动；数学是一种特殊的语言，由此形成的思维方式，不仅决定了人类对物质世界的认识方式，还对人类理性精神的发展具有重要的影响，因而必然成为人类文化的一个重要组成部分。数学是一个多元的综合体73数学发展史上的四个高峰（2000年8月，日本东京ICME-9，藤田宏主席，P18）：（1）以《几何原本》为代表的古希腊的公理化数学（前700—300）（2）以牛顿发明微积分为代表的无穷小算法数学（17—18c）（3）以希尔伯特为代表的现代公理化数学（19—20c中叶）（4）以现代计算机技术为代表的信息时代数学（20c中叶—今）数学观与数学教学观解答课件74核心数学发展的特点（P20-21）：线性→非线性（混沌、分形、动力系统等研究迅速发展）交换→非交换（矩阵、算子的乘法都是不可交换的）一维→高维（特别是4维和无穷维）随机数学和确定性数学、离散和连续、局部性质和整体性质间的对立与整合核心数学发展的特点（P20-21）：75当今数学科学的发展出现了三种新趋向内部各分支相互渗透及与其他科学交叉融会计算机使得数学成立形式科学与实验科学两种不同的知识类型的结合在思维形式与研究方法等各方面都需在差异中寻求平衡数学的应用领域日趋广泛20世纪数学观的变化（P21）（1）公理化方法、形式演绎仍然是数学的特征之一，但是数学不等于形式，数学正在走出形式主义光环。（2）在计算机技术的支持下，数学注重应用。（3）数学不等于逻辑，要做“好”数学。数学观与数学教学观解答课件76不同的数学观，会折射出不同的教学思想和行为，即决定了我们拥有怎样的数学教学观：如果把数学理解成一种科学语言→注重数