数学史融入中学数学教学的实践与案课件

如何在数学教学中体现“立德树人”的根本任务，如何实施数学学科德育，日益受到人们的关注。国际上，数学核心素养的内涵涉及知识、能力、思维、情感，而国内目前的数学核心素养框架中并未涉及数学情感。数学史与数学教育之间的关系（HPM）是今日数学教育领域的热门课题。HPM产生浓厚兴趣。如何设计、实施、评价HPM课例？HPM视角下的数学教学实践是否可以促进教师的专业发展？背景如何在数学教学中体现“立德树人”的根本任务，如何实施数学学科为什么要将数学史融入数学教学？融入什么？如何融入？背景数学史料人物事件概念术语数学问题公式定理学科思想工具符号选材原则趣味性可学性科学性有效性新颖性运用方式附加式复制式顺应式重构式效果评价知识之谐方法之美探究之乐能力之助文化之魅德育之效为什么要将数学史融入数学教学？融入什么？如何融入？背背景教师专业发展信念知识能力教学取向的数学知识（MKT）的构成背景教师专业发展信念知识能力教学取向的数学知识（MKT）背景HPM课例的设计、实施和评价背景HPM课例的设计、实施和评价数学史融入中学数学教学的实践与案例背景概念与思想公式与定理问题与求解结语数学史融入中学数学教学的实践与案例背景概念与思想公式与定理问教学设计引入古埃及一元一次方程问题探究古希腊丢番图问题的求解形成用字母表示任意数或一类数巩固字母表示数的应用小结字母表示数的意义案例1用字母表示数案例1用字母表示数教学设计引入古埃及一元一次方程问题探究古希腊丢番图问题的求解案例1用字母表示数问题1：一个量，加上它的2/3，它的1/2和它的1/7，等于33。求该量。案例1用字母表示数问题1：一个量，加上它的2/3，它的1案例1用字母表示数问题2：已知两数的和与差，你能求出这两个数吗？案例1用字母表示数问题2：已知两数的和与差，你能求出这两公元前1700年16世纪公元3世纪古巴比伦人修辞代数：用文字来表达一个方程丢番图缩略代数：用字母表示未知数符号代数用字母表示任意数韦达案例1用字母表示数公元前1700年16世纪公元3世纪古巴比伦人修辞代数：丢番图案例1用字母表示数问题3：搭5个正方形，需要几根火柴棍？搭任意多个正方形呢？44+134+234+33生：任意多个正方形所需火柴棍数：4+(正方形个数-1)3案例1用字母表示数问题3：搭5个正方形，需要几根火柴棍？案例1用字母表示数知识之谐经历从字母表示未知数到字母表示任意数的自然过程探究之乐积累数学活动经验文化之魅字母表示数的历史德育之效数学思想发展的曲折与艰辛学生教师内容与课程知识（KCC）字母表示数的历史内容与学生知识（KCS）从字母表示未知数到字母表示任意数的困难内容与教学知识（KCT）借鉴代数学的历史来设计教学案例1用字母表示数知识之谐学生教师内容与课程知《太上感应篇》“入重出轻”的故事。案例2反比例函数引入案例2反比例函数《太上感应篇》“入重出轻”的故事。案例2反比例函数引案例2反比例函数数据a(cm)n(g)b(cm)m(g)第1次8100450第2次810012150第3次810016200a和n不变,b和m之间的正比例关系新课探究案例2反比例函数数据a(cm)n(g)b(cm)m(g)案例2反比例函数a和m不变,b和n之间的反比例关系数据a(cm)m(g)b(cm)n(g)第1次81001650第2次81008100第3次81004200总结：当n增加时，b却减少，b随n的增加而减小。且满足bn=am=非零常数，b与n成反比例。案例2反比例函数a和m不变,b和n之间的反比例关系数据案例2反比例函数定义：设b=y，n=x，则y=k/x。形如y=k/x（k为常数，且k0）的函数成为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数。概念形成辨析：（1）对“形如”怎样理解？（2）怎样理解“k为常数，且k0”？（3）反比例函数与前面所学的什么知识有联系？（4）为什么成为反比例函数？案例2反比例函数定义：设b=y，n=x，则y=教学设计引入笛卡儿的故事探究如何表示天花板上的苍蝇的位置？形成直角坐标的概念巩固在直角坐标系中求点的坐标小结直角坐标系的意义案例3直角坐标系案例3直角坐标系教学设计引入笛卡儿的故事探究如何表示天花板上的苍蝇的位置？形从那天起，当它们臆测又一个真理揭开了面容在地狱般的圈栏暴发出一阵阵哀鸣案例3直角坐标系缪斯女神把这光芒馈赠毕达哥拉斯要把祭礼行百牛烤熟又切片难表心中感激之情难阻真理发现者的暴行毕氏让它们永不得安宁它们瑟瑟颤抖着绝望地闭上了眼睛复习旧知：数轴的三要素；笛卡儿的故事；问题1：苍蝇向右爬5cm，如何表示它的位置？问题2：苍蝇向左爬5cm，如何表示它的位置？从那天起，当它们臆测案例3直角坐标系缪斯女神把这光芒馈案例3直角坐标系问题3：苍蝇向上爬5cm，如何表示它的位置？问题4：苍蝇向右爬3cm，再向上5cm，如何表示它的位置？案例3直角坐标系问题3：苍蝇向上爬5cm，如何表示S：用+3表示。T：那如果苍蝇向上爬了6cm，7cm，又如何表示它的位置呢？S：还是+3。T：可是，苍蝇的位置明明不同啊？案例3直角坐标系问题4：苍蝇向右爬3cm，再向上5cm，如何表示它的位置？S：用+3表示。案例3直角坐标系问题4：苍蝇向右爬案例3直角坐标系S：用8来表示。T：那么如果苍蝇先向右爬4cm，再向上爬4cm，那你怎么表示？S：还是8。T：不同的位置，但是你却用同一个数来表示，同学们觉得这样可行吗？S：不可行。问题4：苍蝇向右爬3cm，再向上5cm，如何表示它的位置？案例3直角坐标系S：用8来表示。问题4：苍蝇向右爬案例3直角坐标系S：用“5垂直于3”表示。T：那如果苍蝇向左爬了3cm，再向上爬了5cm呢？S：“5垂直于-3”。T：这位同学很棒，用两个数来表示点的位置，那么能不能再简练一点呢？S：53。S：5.3。S：5/3。问题4：苍蝇向右爬3cm，再向上5cm，如何表示它的位置？案例3直角坐标系S：用“5垂直于3”表示。问题4：T：还有其他表示方法吗？[有两组学生开始用量角器与直尺]S7：北偏东50。T：……T：我们将5垂直于3表示为（3,5）。案例3直角坐标系T：还有其他表示方法吗？案例3直角坐标系案例3直角坐标系知识之谐经历坐标概念的自然发生过程探究之乐体验成功的快乐、积累数学活动经验文化之魅数学与现实生活之间的联系德育之效兴趣、自信心、亲近数学学生教师内容与课程知识（KCC）直角坐标系的历史内容与学生知识（KCS）从一维到二维的困境内容与教学知识（KCT）借鉴坐标概念的历史来设计教学水平内容知识（HCK）直角坐标系与数轴的联系案例3直角坐标系知识之谐学生教师内容与课程案例4函数的概念函数概念的历史案例4函数的概念案例4函数的概念函数概念的历史案例4函数的概念总之有自变量、因变量且一个x有且仅有一个y的值与其对应的式子案例4函数的概念师：关于函数概念，同学们并不陌生。现在，请大家回忆一下，初中数学中的函数是怎么定义的？引入总之有自变量、因变量且一个x有且仅有一个y的值与其对L.Euler(1707–1783)案例4函数的概念欧拉的函数定义(1748)：一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何方式组成的解析式。——《无穷分析引论》L.Euler(1707–1783)案例4函数的德摩根《代数学》的定义(1837)：A.deMorgan(1806-1871)案例4函数的概念Anyexpressionwhichcontainsxinanywayiscalledafunctionofx.德摩根《代数学》的定义(1837)：A.deMorg李善兰的译文：“凡式中含天，为天之函数。”这便是中文“函数”名称的由来。案例4函数的概念李善兰的译文：“凡式中含天，为天之函数。”这便是中文“函数”例1(课本)：表1列出了男子一百米栏项目从1900年开始的世界纪录创立的时间和成就，请思考：（1）统计表中有哪几个变量？是什么？（2）当时间年份确定时，相应的世界纪录成绩是否确定？能写出成绩随时间变化的关系式吗？年份19001908192019361959197319932006成绩15.41514.814.213.213.112.9112.88男子100米栏世界纪录统计表案例4函数的概念概念生成从“解析式”到“变量依赖关系”例1(课本)：表1列出了男子一百米栏项目从1900年开始的世案例4函数的概念问题：下图为某天沪深300指数随时刻变化的图像。该图像体现了指数和时刻之间的关系，那么这两个变量之间的关系能否用一个解析式来刻画呢？案例4函数的概念问题：下图为某天沪深300指数随时刻变化

如果某个量依赖于另一个量，当后面这个量变化时，前面这个量也随之变化，则前面这个量称为后面这个量的函数。

——《微分学基础》L.Euler(1707–1783)案例4函数的概念欧拉的新定义（1755）：如果某个量依赖于另一个量，当后面这个量变化时，前面这案例4函数的概念例2：y=0(xR)是不是一个函数？说明理由。师：初中阶段我们学习了具体的一次、二次函数等，在这些函数中，变量

y与

x之间就有明确的依赖关系。但是，利用“依赖关系”来刻画函数，是否尽善尽美了呢？从“变量依赖关系”到“变量对应关系”案例4函数的概念例2：y=0(xR)是课前的问卷调查表明：161人中有65人认为它不是函数关系，占比40.37%。理由是：y不随x的变化而变化；没有y与x的关系式；x与y之间没有关系；y没有依赖x的变化而改变，…………案例4函数的概念例2：y=0(xR)是不是一个函数？说明理由。课前的问卷调查表明：161人中有65人认为它不是函数关系，占师：那我们该怎样描述这两个变量之间的关系呢？重新审视函数

y=0(xR)

，无论

怎样变化，

的值都是以不变应万变，此处的关键词“应”即为“对应”之意，也就是对每一个

的值，都有

的值0与之对应。我们能否从这样一个新的视角来理解前面遇到的例子呢？生：男子100米栏世界纪录表中，对于每一个出现的年份，都能找到一个世界纪录与之对应；而在沪深指数图像中，每一个时刻都有一个确定的股票指数与之对应。案例4函数的概念师：那我们该怎样描述这两个变量之间的关系呢？重新审视函数y师：理解得很到位，那么对于我们熟悉的函数y=2x2

呢？生：对每一个x的值，都有y的值与之对应。师：我们还发现，对于变量x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，说明我们同样可以从对应的角度来理解曾经学习过的函数。通过以上实例的分析，同学们能否提炼并概括一下这些关系的共同特征？生：以上函数关系中，对变量

x的每一个值，变量

y都有唯一确定的值与之对应。案例4函数的概念师：理解得很到位，那么对于我们熟悉的函数y=2x2呢？案例师：那么，能不能用集合的语言和对应关系来描述初中所学的函数概念呢？生：如果在某个变化的过程中有两个变量

x和

y，对于某个实数集合

D内的每一个确定的

x，

y都有唯一确定的值和它对应，那么

y

就是

x

的函数，x叫做自变量，x

的取值范围叫做函数的定义域，和

x对应的

y的值叫做函数值。师：非常好！这正是德国数学家狄利克雷于1837年提出的函数定义。案例4函数的概念师：那么，能不能用集合的语言和对应关系来描述初中所学的函数概

狄利克雷的现代定义（1837）：设a、b是两个确定的值，x是可取a、b之间一切值的变量。如果对于每一个x，有唯一有限的y值与它对应,当x连续变化时，y也随之变化那么

y叫做

x

的函数。L.Dirichlet（1805-1859）案例4函数的概念狄利克雷的现代定义（1837）：设a、b是两个确定的案例4函数的概念师：反观刚才分析过的这些函数，其对应关系可以用一个图表、一个图像或者一个解析式来呈现，我们把它统称为“对应法则”。例如表1中，14.2与1936对应，1973有唯一的13.1与之对应，这个表格就是一个对应法则。那么同学们能否从这个角度来分析其他例子的对应关系呢?生：图2的沪指变化图像就是一种对应法则。生：函数

y=2x2，这个解析式就是一种对应法则。案例4函数的概念师：反观刚才分析过的这些函数，其对应关系案例4函数的概念案例4函数的概念案例5对数的概念计算：案例5对数的概念案例5对数的概念计算：案例5对数的概念案例5对数的概念x123456789102481632641282565121024x1112131415161718204840968192163843276865536131072262144x192021222324524288x2526272829134217728268435456536870912x303132331073741824214748364842949672968589934592案例5对数的概念x1234567891024816326mnm+nMN=MN案例5对数的概念mnm+nMN=MN案例5对数的概念299792.458+光在真空中的速度（千米/秒)一年的秒数=1光年一个天文单位29979245831536179875474889937737414989622902997924588993773749454254955488案例5对数的概念计算：299792.458+光在真空中的速度（千米/秒案例5对数的概念x1112131415161718204840968192163843276865536131072262144x252627282913421772826843545653687091231536299792458案例5对数的概念x1112131415161718204案例5对数的概念x1416384.00014.930573.62514.9431433.16614.94431520.43814.944531531.36414.9445931533.331…………14.9450031537.7031532768.000我们需要创造新数！31536.000案例5对数的概念x1416384.00014.93057《几何原本》卷11之棱柱定义一个棱柱是一个立体图形，它是有一些平面构成的，其中有两个面是相对的、相等的、相似且平行的，其他各面都是平行四边形。案例6棱柱的概念案例6棱柱的概念《几何原本》卷11之棱柱定义案例6棱柱的概念案例6Wentworth&Smith(1913)之棱柱定义：有两个面为平行平面上的全等多边形、其他面均为平行四边形的多边形叫棱柱。案例6棱柱的概念Wentworth&Smith(1913)之棱柱定义：案案例6棱柱的概念历史上的棱柱定义分布案例6棱柱的概念历史上的棱柱定义分布案例6棱柱的概念棱柱定义的演进案例6棱柱的概念棱柱定义的演进Schuyler(1876)最早对欧氏定义进行改进。棱柱是一个多面体，它有两个面为全等、平行的多边形且对应边平行，其余各面均为以全等多边形对应边为底的平行四边形。案例6棱柱的概念Schuyler(1876)最早对欧氏定义进行改进。案例Stone&Millis(1916)的定义：棱柱是这样的多面体，它的两个面为平行平面上的全等多边形，其余各面均为平行四边形、且有一组对边分别为这两个全等多边形的对应边。案例6棱柱的概念Stone&Millis(1916)的定义：棱柱是这样案例6棱柱的概念尝试对空间几何体进行归类案例6棱柱的概念尝试对空间几何体进行归类52案例6棱柱的概念案例6棱柱的概念53案例6棱柱的概念师：我们身边有各种各样的空间几何体，下面请大家将下列几何体按照一定的特征进行分类。生：根据有没有曲面，①、②、⑤、⑥、⑦、⑧和⑨为一类，③、④、⑩、⑪和⑫为一类。案例6棱柱的概念师：我们身边有各种各样的空间几何体，下54案例6棱柱的概念师：很好，像①、②、⑤、⑥、⑦、⑧和⑨这些几何体，是由什么图形围成的？生：平面多边形。师：这些几何体就叫做多面体。师：像③、⑩、⑪和⑫这些几何体可以由一个平面图形绕其平面内一条定直线旋转而围成，它们叫做旋转体。师：如果将①、②、⑤、⑥、⑦、⑧和⑨这些多面体再细分的话，应该怎么分呢？生：我根据上下两头的大小，认为①、②、⑧为一类，⑥、⑦为一类，⑤是一类，⑨是一类。案例6棱柱的概念师：很好，像①、②、⑤、⑥、⑦、⑧和⑨55案例6棱柱的概念师：很好，大家都同意他的意见吗？生：我认为⑤与①、②、⑧是同一类，因为它们都不是尖的。（犹豫一下）但是好像又不能归为一类，毕竟⑤上下不一样大，侧面是梯形。师：很好，其实①、②、⑧就是棱柱，⑥、⑦是棱锥，⑤是棱台，而这三类几何体是多面体中最基本、最简单的几何体。下面，我们逐个对棱柱、棱锥、棱台进行研究。首先，我们来研究棱柱的结构特征。案例6棱柱的概念师：很好，大家都同意他的意见吗？56案例6棱柱的概念棱柱定义的初步构建让学生用自己的语言，以小组为单位尝试给棱柱下一个定义。教师强调：定义必须真正刻画出棱柱这一类几何体，而不会产生意外。[经过5分钟的讨论，学生逐渐提交成果，笔者将学生的定义分成7类，分别用D1、D2、…、D7表来示，见下表。]案例6棱柱的概念棱柱定义的初步构建让学生用自己的语57案例6棱柱的概念类别定义属性D1上下面相同且平行的多面体叫棱柱。底面特征D2两个底面是平行且相等的多边形，侧面是平行四边形。底面、侧面特征D3侧面的棱要平行且长度相等，上底和下底一样的多面体。底面、侧棱特征D4有互相平行的两个面，且两个面之间的连线相互平行的几何体叫棱柱。底面、侧棱特征D5至少有两个面互相平行，由多个四边形组成，且相邻的边互相平行。底面、侧面、侧棱特征D6上下有两个平行并相等的多边形，并由相对不平行的线段将上下各点平行相连的柱体。动态生成D7由一个多边形向一个固定的方向，扫过所形成的空间几何立体图形。动态生成案例6棱柱的概念类别定义属性D1上下面相同且平行的多面58案例6棱柱的概念棱柱定义的不断完善师：满足条件D1的多面体是棱柱吗？生：不是，⑨就是反例。师：看来只规定上下两个面的属性是不够的，那如何完善呢？生：侧面都是平行四边形。师：很好，这就是D2（屏幕投影D2），我们来看看，满足条件D2的几何体是不是棱柱呢？[D1：上、下面相同且平行的多面体叫棱柱。][D2：两个底面是平行且相等的多边形，侧面是平行四边形。]案例6棱柱的概念棱柱定义的不断完善师：满足条件D159案例6棱柱的概念[教师逐一将“棱柱类”实物进行验证，发现侧面都是平行四边形，绝大多数学生也开始相信D2是正确的。]生：将两个像⑧这样的棱柱叠在一起，让它们“扭”一下，也许是个反例。师：你能利用现有的教具将反例构造出来吗？学生用斜棱柱拼接形成一个反例案例6棱柱的概念[教师逐一将“棱柱类”实物进行验证，发60案例6棱柱的概念生：这个不算反例，因为它本质上是两个棱柱。师：很好，看来有同学对这个反例不满意，毕竟它是可以分解成两个棱柱。师：其实，D2与历史上伟大的数学家欧几里得的定义是一致的。《几何原本》卷11之棱柱定义一个棱柱是一个立体图形，它是有一些平面构成的，其中有两个面是相对的、相等的、相似且平行的，其他各面都是平行四边形。[PPT放映欧几里得的画像、生平以及《几何原本》中的棱柱定义。]案例6棱柱的概念生：这个不算反例，因为它本质上是两个棱61案例6棱柱的概念生：哇，好神奇！它符合D2，但一点棱柱的影子都没有。师：是的，但是它可以分解成4个棱柱。[学生们用期待的眼神看着教师，迫切想见证奇迹的发生。教师用事先制作好的模型现场分解（如下图），学生惊呆了。][教师用8个菱形、4个正方形磁力片现场拼出这个反例，如图4。]案例6棱柱的概念生：哇，好神奇！它符合D2，但一点棱柱62案例6棱柱的概念案例6棱柱的概念63案例6棱柱的概念生：（惊叹）竟然是4个棱柱！师：对，这就是立体几何的奇妙之处。看来把棱柱当成最基础、最简单的几何体来研究是非常有必要。师：既然D2规定了底面的特征以及侧面是平行四边形还不够，那么如何修改呢？生：加上“侧棱都平行”这个条件。师：很好，如果加上“侧棱都平行”这个条件，棱柱的定义就完整了。但我们再仔细剖析一下，如果有了“侧棱都平行”这个条件，那么侧面一定会是平行四边形吗？生：会的。案例6棱柱的概念生：（惊叹）竟然是4个棱柱！64案例6棱柱的概念师：所以，我们这时把“侧面都是平行四边形”弱化成“侧面都是四边形”可不可以？生：可以。师：很好，这就是D5，也是教材上对棱柱的定义，下面请大家一起看教材。师：其实D3、D4都关注到了侧棱的特征，而D6、D7是从棱柱生成的角度定义了棱柱。历史上都有类似的定义（PPT上放映），有兴趣的同学课后自己去查阅资料。D5：至少有两个面互相平行，由多个四边形组成，且相邻的边互相平行。D3：侧面的棱要平行且长度相等，上底和下底一样的多面体。D4：互相平行的两个面，且两个面之间的连线相互平行的几何体叫棱柱。D7：一个多边形向一个固定的方向，扫过所形成的空间几何立体图形。案例6棱柱的概念师：所以，我们这时把“侧面都是平行四边65数学史融入中学数学教学的实践与案例背景概念与思想公式与定理问题与求解结语数学史融入中学数学教学的实践与案例背景概念与思想公式与定理问案例8三角形内角和[从泰勒斯的故事引入泰勒斯的发现。]三角形内角和的发现案例8三角形内角和[从泰勒斯的故事引入泰勒斯的发现。]案例8三角形内角和师：请同学们以小组为单位，分别用六个同样的等腰三角形（黄色）和六个同样的不等边三角形（红色）来拼图，感受泰勒斯当年的探究和发现过程。案例8三角形内角和师：请同学们以小组为单位，分别用六个同案例8三角形内角和等腰三角形拼图方案案例8三角形内角和等腰三角形拼图方案案例8三角形内角和不等边三角形拼图方案案例8三角形内角和不等边三角形拼图方案案例8三角形内角和案例8三角形内角和案例8三角形内角和[教师让学生在图中锁定某一个三角形，通过添加辅助线来说理。按位置，六个三角形分别称为上左、上中、上右、下左、下中和下右三角形。各小组经过讨论之后，产生了多种方案。]三角形内角和的说理案例8三角形内角和[教师让学生在图中锁定某一个三角形，通案例8三角形内角和第1组的方案：锁定下中三角形。[与毕达哥拉斯的证明相同]案例8三角形内角和第1组的方案：锁定下中三角形。[与案例8三角形内角和第2组的方案：锁定下中三角形。[与19世纪末美国教科书上的证明相同]案例8三角形内角和第2组的方案：锁定下中三角形。[与19案例8三角形内角和第3组的方案：锁定下中三角形。[与克莱罗的证明相同]案例8三角形内角和第3组的方案：锁定下中三角形。[与案例8三角形内角和第4组的方案：锁定下中三角形。[与欧几里得的证明相同]案例8三角形内角和第4组的方案：锁定下中三角形。[与案例8三角形内角和方法之美三角形内角和定理的不同证明探究之乐积累数学活动经验、体验成功快乐文化之魅三角形内角和定理的历史德育之效兴趣、自信心、亲近数学学生教师内容与课程知识（KCC）三角形内角和定理的历史材料专门内容知识（SCK）三角形内角和定理的发现与各种证明内容与教学知识（KCT）借鉴定理的历史来设计教学案例8三角形内角和方法之美学生教师内容与案例9正弦定理同学们有没有想过，流星离我们有多远呢？像星星那样远吗？比月亮离得近吗？图5是某次测量的示意图，其中O是地球的球心，A、B是两个观测者所在的位置，相距500km（球面距离）。AD、BD表示地平线，相交于点D。两人观测到同一颗流星C时的仰角分别为

=23.2，=44.3。问题是：流星距离两位观测者分别有多远呢？引入案例9正弦定理同学们有没有想过，流星离我们有多远呢？像星案例9正弦定理定理探究直角三角形中的边角关系，，斜三角形中有同样结果吗？案例9正弦定理定理探究直角三角形中的边角关系，，斜案例9正弦定理定理新证17世纪，中国清代数学家和天文学家梅文鼎在《平三角举要》给出了另一种精彩的证明。梅文鼎(1633-1721)案例9正弦定理定理新证17世纪，中国清代数学家和天文韦达(1571)的证明案例9正弦定理，，，故得

定理拓展F.Viete（1540-1603)

韦达(1571)的证明案例9正弦定理，，，定理拓案例9正弦定理历史概说雷格蒙塔努斯梅文鼎纳绥尔丁韦达案例9正弦定理历史概说雷格蒙塔努斯梅文鼎纳绥尔丁韦达案例9正弦定理一个定理

：正弦定理两种方法；纳绥尔丁同径法和韦达的外接圆方法；三类应用：

角边角、角角边、边边角（一般含两个解）。四则启示：（1）数学源于实际问题；（2）数学发展逐渐完善；（3）数学方法丰富灵动；（4）多元文化精彩纷呈。课堂小结案例9正弦定理一个定理：正弦定理课堂小结数学史融入中学数学教学的实践与案例背景概念与思想公式与定理问题与求解结语数学史融入中学数学教学的实践与案例背景概念与思想公式与定理问案例10全等三角形的应用Thales(624B.C.?-547?B.C.)泰勒斯出生于米利都，希腊七贤之一。青年时代曾游历埃及，利用竿影测量过金字塔的高度，利用全等三角形计算过轮船到海岸的距离。创立爱奥尼亚学派。最早将几何学引入希腊，并将其变为演绎科学。被誉为“几何学鼻祖”。几何鼻祖泰勒斯案例10全等三角形的应用Thales(624B.C.案例10全等三角形的应用

对顶角相等；圆为直径所平分；三角形内角和定理；等腰三角形底角相等；角边角定理；半圆上的圆周角为直角；相似三角形对应边成比例泰勒斯发现的几何命题案例10全等三角形的应用对顶角相等；泰勒斯发现的几何命案例10全等三角形的应用普罗克拉斯（Proclus,5世纪）说：“欧得姆斯在其《几何史》中将该定理归于泰勒斯。因为他说，泰勒斯证明了如何求出海上轮船到海岸的距离，其方法中必须用到该定理。”Thales泰勒斯与角边角定理案例10全等三角形的应用普罗克拉斯（Proclus,5案例10全等三角形的应用直竿EF垂直于地面，在其上有一固定钉子A，另一横杆可以绕A转动，但可以固定在任一位置上。将该细竿调准到指向船的位置，然后转动EF（保持与底面垂直），将细竿对准岸上的某一点C。则根据ASA定理，DC=DB。泰勒斯的测量方法案例10全等三角形的应用直竿EF垂直于地面案例10全等三角形的应用16世纪意大利数学家贝里（S.Belli,?～1575）出版于1565年的测量著作中的插图，图中所示的方法与泰勒斯所用方法相同。案例10全等三角形的应用16世纪意大利数学家贝里拿破仑军队在行军途中为一河流所阻，一名随军工程师用运用泰勒斯的方法迅速测得河流的宽度，因而受到拿破仑的嘉奖。因此，从古希腊开始，角边角定理在测量中一直扮演者重要角色。案例10全等三角形的应用战争中的泰勒斯方法拿破仑军队在行军途中为一河流所阻，一名随军工程师用运用泰勒斯案例10全等三角形的应用在抗美援朝战争中，一名志愿军战士利用泰勒斯的方法测量敌营的距离。战争中的泰勒斯方法案例10全等三角形的应用在抗美援朝战争中，一名志愿军战士案例10全等三角形的应用巩固两个三角形全等的基本判定方法；经历构造全等三角形解决实际问题的过程，培养学生的创新意识、合作能力和表达能力，激发学生学习的积极性和自信心；认识数学的价值，感受数学与现实生活之间的密切联系。感悟数学背后的人文精神。教学目标案例10全等三角形的应用巩固两个三角形全等的基本判定方法案例10全等三角形的应用巩固两个三角形全等的基本判定方法；经历构造全等三角形解决实际问题的过程，培养学生的创新意识、合作能力和表达能力，激发学生学习的积极性和自信心；认识数学的价值，感受数学与现实生活之间的密切联系。感悟数学背后的人文精神。教学目标案例10全等三角形的应用巩固两个三角形全等的基本判定方法案例10全等三角形的应用探究之乐体验成功的快乐、积累数学活动经验文化之魅角边角定理的悠久历史；数学与现实生活之间的联系德育之效人文精神与意志品质；倾听、合作、交流、包容学生教师内容与课程知识（KCC）全等三角形的历史内容与教学知识（KCT）借鉴全等三角形的历史来设计教学水平内容知识（HCK）全等三角形与相似三角形之间的联系；案例10全等三角形的应用探究之乐学生教师内容与课案例11解一元二次方程的配方法数学泥版YBC6967案例11解一元二次方程的配方法数学泥版YBC6967案例11解一元二次方程的配方法《几何原本》卷2命题6案例11解一元二次方程的配方法《几何原本》卷2命题6案例11解一元二次方程的配方法花拉子米《代数学》案例11解一元二次方程的配方法花拉子米《代数学》案例11解一元二次方程的配方法复习旧知解一元二次方程：用几何语言来表达上述方程。案例11解一元二次方程的配方法复习旧知解一元二次方程案例11解一元二次方程的配方法问题提出9世纪阿拉伯数学家花拉子米在他的《代数学》中提出以下问题：一平方与十根等于二十迪拉姆，求根。（解一元二次方程方程）师：在古代，开方就相当于“已知正方形面积求边长”。那么，这个问题是否也可以借助几何图形来解决呢？请同学们观察一下，这个方程的左边可以表示成什么图形？生1：边长为x的正方形面积，再加上一个长和宽分别为x和10的长方形。方法引导案例11解一元二次方程的配方法问题提出9世纪阿拉伯数案例11解一元二次方程的配方法师：将它们拼在一起，能得到什么图形？生：长为x+10，宽为x的长方形。师：请画到黑板上，让大家看看。生1：[在黑板上作出一个长方形。]案例11解一元二次方程的配方法师：将它们拼在一起，能得到案例11解一元二次方程的配方法师：但问题又来了，这不是一个正方形，不能直接开平方吧。生2：要把它变成一个正方形，用截补的方法。生3：[在黑板上将生1所作的长方形补成正方形。]案例11解一元二次方程的配方法师：但问题又来了，这不是一案例11解一元二次方程的配方法师：我们一起来看看，此时这个图形的面积是怎么表示的？生：表示为

x2+20x+100。师：对比一下原来的方程，这里的一次项与原方程有出入，怎么办？生4：在等式右边也加上10x。生5：不行，这样不满足开平方法的特征呀。生：左边满足，右边不行，加得太复杂了。师：右边多了一次项，那怎么办？能不能不让它多出来？案例11解一元二次方程的配方法师：我们一起来看看，此时这案例11解一元二次方程的配方法生5：[在黑板上给出了一种作图法。]案例11解一元二次方程的配方法生5：[在黑板上给出了一种案例11解一元二次方程的配方法师：请生5说说你的具体做法。生5：把长为x、宽为10的矩形一分为二，再把其中一半移到正方形的下方，最后补上边长为5的小正方形。师：太棒了！和花拉子米的做法完全一样。[众生啧啧称奇。]请同学们想一想，这相当于对原方程实施了怎样的操作呢？生：

。师：我们最后得到的方程满足开平方法的特征。案例11解一元二次方程的配方法师：请生5说说你的具体做法案例11解一元二次方程的配方法拓展理解古巴比伦泥板上的问题：已知两数乘积为10，差为4，求这两数，相当于解方程一元二次方程

x2-4x=10。[教师让学生分小组讨论相应的几何方法。学生遇到了很大困难，一筹莫展！]案例11解一元二次方程的配方法拓展理解古巴比伦泥板上案例11解一元二次方程的配方法最后，一个学生仿照一次项系数为正的情形解决了难题。相应的配方过程：案例11解一元二次方程的配方法最后，一个学生仿照一次项系数学史融入中学数学教学的实践与案例背景概念与思想公式与定理问题与求解结语数学史融入中学数学教学的实践与案例背景概念与思想公式与定理问数学史融入中学数学教学的实践与案例数学史与教师MKT之间的密切关联数学史一般内容知识专门内容知识内容与课程知识内容与学生知识内容与教学知识水平内容知识数学史融入中学数学教学的实践与案例数学史与教师MKT之间的密一种模式一个团队一批案例一条进路数学史融入中学数学教学的实践与案例一种模式数学史融入中学数学教学的实践与案例如何在数学教学中体现“立德树人”的根本任务，如何实施数学学科德育，日益受到人们的关注。国际上，数学核心素养的内涵涉及知识、能力、思维、情感，而国内目前的数学核心素养框架中并未涉及数学情感。数学史与数学教育之间的关系（HPM）是今日数学教育领域的热门课题。HPM产生浓厚兴趣。如何设计、实施、评价HPM课例？HPM视角下的数学教学实践是否可以促进教师的专业发展？背景如何在数学教学中体现“立德树人”的根本任务，如何实施数学学科为什么要将数学史融入数学教学？融入什么？如何融入？背景数学史料人物事件概念术语数学问题公式定理学科思想工具符号选材原则趣味性可学性科学性有效性新颖性运用方式附加式复制式顺应式重构式效果评价知识之谐方法之美探究之乐能力之助文化之魅德育之效为什么要将数学史融入数学教学？融入什么？如何融入？背背景教师专业发展信念知识能力教学取向的数学知识（MKT）的构成背景教师专业发展信念知识能力教学取向的数学知识（MKT）背景HPM课例的设计、实施和评价背景HPM课例的设计、实施和评价数学史融入中学数学教学的实践与案例背景概念与思想公式与定理问题与求解结语数学史融入中学数学教学的实践与案例背景概念与思想公式与定理问教学设计引入古埃及一元一次方程问题探究古希腊丢番图问题的求解形成用字母表示任意数或一类数巩固字母表示数的应用小结字母表示数的意义案例1用字母表示数案例1用字母表示数教学设计引入古埃及一元一次方程问题探究古希腊丢番图问题的求解案例1用字母表示数问题1：一个量，加上它的2/3，它的1/2和它的1/7，等于33。求该量。案例1用字母表示数问题1：一个量，加上它的2/3，它的1案例1用字母表示数问题2：已知两数的和与差，你能求出这两个数吗？案例1用字母表示数问题2：已知两数的和与差，你能求出这两公元前1700年16世纪公元3世纪古巴比伦人修辞代数：用文字来表达一个方程丢番图缩略代数：用字母表示未知数符号代数用字母表示任意数韦达案例1用字母表示数公元前1700年16世纪公元3世纪古巴比伦人修辞代数：丢番图案例1用字母表示数问题3：搭5个正方形，需要几根火柴棍？搭任意多个正方形呢？44+134+234+33生：任意多个正方形所需火柴棍数：4+(正方形个数-1)3案例1用字母表示数问题3：搭5个正方形，需要几根火柴棍？案例1用字母表示数知识之谐经历从字母表示未知数到字母表示任意数的自然过程探究之乐积累数学活动经验文化之魅字母表示数的历史德育之效数学思想发展的曲折与艰辛学生教师内容与课程知识（KCC）字母表示数的历史内容与学生知识（KCS）从字母表示未知数到字母表示任意数的困难内容与教学知识（KCT）借鉴代数学的历史来设计教学案例1用字母表示数知识之谐学生教师内容与课程知《太上感应篇》“入重出轻”的故事。案例2反比例函数引入案例2反比例函数《太上感应篇》“入重出轻”的故事。案例2反比例函数引案例2反比例函数数据a(cm)n(g)b(cm)m(g)第1次8100450第2次810012150第3次810016200a和n不变,b和m之间的正比例关系新课探究案例2反比例函数数据a(cm)n(g)b(cm)m(g)案例2反比例函数a和m不变,b和n之间的反比例关系数据a(cm)m(g)b(cm)n(g)第1次81001650第2次81008100第3次81004200总结：当n增加时，b却减少，b随n的增加而减小。且满足bn=am=非零常数，b与n成反比例。案例2反比例函数a和m不变,b和n之间的反比例关系数据案例2反比例函数定义：设b=y，n=x，则y=k/x。形如y=k/x（k为常数，且k0）的函数成为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数。概念形成辨析：（1）对“形如”怎样理解？（2）怎样理解“k为常数，且k0”？（3）反比例函数与前面所学的什么知识有联系？（4）为什么成为反比例函数？案例2反比例函数定义：设b=y，n=x，则y=教学设计引入笛卡儿的故事探究如何表示天花板上的苍蝇的位置？形成直角坐标的概念巩固在直角坐标系中求点的坐标小结直角坐标系的意义案例3直角坐标系案例3直角坐标系教学设计引入笛卡儿的故事探究如何表示天花板上的苍蝇的位置？形从那天起，当它们臆测又一个真理揭开了面容在地狱般的圈栏暴发出一阵阵哀鸣案例3直角坐标系缪斯女神把这光芒馈赠毕达哥拉斯要把祭礼行百牛烤熟又切片难表心中感激之情难阻真理发现者的暴行毕氏让它们永不得安宁它们瑟瑟颤抖着绝望地闭上了眼睛复习旧知：数轴的三要素；笛卡儿的故事；问题1：苍蝇向右爬5cm，如何表示它的位置？问题2：苍蝇向左爬5cm，如何表示它的位置？从那天起，当它们臆测案例3直角坐标系缪斯女神把这光芒馈案例3直角坐标系问题3：苍蝇向上爬5cm，如何表示它的位置？问题4：苍蝇向右爬3cm，再向上5cm，如何表示它的位置？案例3直角坐标系问题3：苍蝇向上爬5cm，如何表示S：用+3表示。T：那如果苍蝇向上爬了6cm，7cm，又如何表示它的位置呢？S：还是+3。T：可是，苍蝇的位置明明不同啊？案例3直角坐标系问题4：苍蝇向右爬3cm，再向上5cm，如何表示它的位置？S：用+3表示。案例3直角坐标系问题4：苍蝇向右爬案例3直角坐标系S：用8来表示。T：那么如果苍蝇先向右爬4cm，再向上爬4cm，那你怎么表示？S：还是8。T：不同的位置，但是你却用同一个数来表示，同学们觉得这样可行吗？S：不可行。问题4：苍蝇向右爬3cm，再向上5cm，如何表示它的位置？案例3直角坐标系S：用8来表示。问题4：苍蝇向右爬案例3直角坐标系S：用“5垂直于3”表示。T：那如果苍蝇向左爬了3cm，再向上爬了5cm呢？S：“5垂直于-3”。T：这位同学很棒，用两个数来表示点的位置，那么能不能再简练一点呢？S：53。S：5.3。S：5/3。问题4：苍蝇向右爬3cm，再向上5cm，如何表示它的位置？案例3直角坐标系S：用“5垂直于3”表示。问题4：T：还有其他表示方法吗？[有两组学生开始用量角器与直尺]S7：北偏东50。T：……T：我们将5垂直于3表示为（3,5）。案例3直角坐标系T：还有其他表示方法吗？案例3直角坐标系案例3直角坐标系知识之谐经历坐标概念的自然发生过程探究之乐体验成功的快乐、积累数学活动经验文化之魅数学与现实生活之间的联系德育之效兴趣、自信心、亲近数学学生教师内容与课程知识（KCC）直角坐标系的历史内容与学生知识（KCS）从一维到二维的困境内容与教学知识（KCT）借鉴坐标概念的历史来设计教学水平内容知识（HCK）直角坐标系与数轴的联系案例3直角坐标系知识之谐学生教师内容与课程案例4函数的概念函数概念的历史案例4函数的概念案例4函数的概念函数概念的历史案例4函数的概念总之有自变量、因变量且一个x有且仅有一个y的值与其对应的式子案例4函数的概念师：关于函数概念，同学们并不陌生。现在，请大家回忆一下，初中数学中的函数是怎么定义的？引入总之有自变量、因变量且一个x有且仅有一个y的值与其对L.Euler(1707–1783)案例4函数的概念欧拉的函数定义(1748)：一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何方式组成的解析式。——《无穷分析引论》L.Euler(1707–1783)案例4函数的德摩根《代数学》的定义(1837)：A.deMorgan(1806-1871)案例4函数的概念Anyexpressionwhichcontainsxinanywayiscalledafunctionofx.德摩根《代数学》的定义(1837)：A.deMorg李善兰的译文：“凡式中含天，为天之函数。”这便是中文“函数”名称的由来。案例4函数的概念李善兰的译文：“凡式中含天，为天之函数。”这便是中文“函数”例1(课本)：表1列出了男子一百米栏项目从1900年开始的世界纪录创立的时间和成就，请思考：（1）统计表中有哪几个变量？是什么？（2）当时间年份确定时，相应的世界纪录成绩是否确定？能写出成绩随时间变化的关系式吗？年份19001908192019361959197319932006成绩15.41514.814.213.213.112.9112.88男子100米栏世界纪录统计表案例4函数的概念概念生成从“解析式”到“变量依赖关系”例1(课本)：表1列出了男子一百米栏项目从1900年开始的世案例4函数的概念问题：下图为某天沪深300指数随时刻变化的图像。该图像体现了指数和时刻之间的关系，那么这两个变量之间的关系能否用一个解析式来刻画呢？案例4函数的概念问题：下图为某天沪深300指数随时刻变化

如果某个量依赖于另一个量，当后面这个量变化时，前面这个量也随之变化，则前面这个量称为后面这个量的函数。

——《微分学基础》L.Euler(1707–1783)案例4函数的概念欧拉的新定义（1755）：如果某个量依赖于另一个量，当后面这个量变化时，前面这案例4函数的概念例2：y=0(xR)是不是一个函数？说明理由。师：初中阶段我们学习了具体的一次、二次函数等，在这些函数中，变量

y与

x之间就有明确的依赖关系。但是，利用“依赖关系”来刻画函数，是否尽善尽美了呢？从“变量依赖关系”到“变量对应关系”案例4函数的概念例2：y=0(xR)是课前的问卷调查表明：161人中有65人认为它不是函数关系，占比40.37%。理由是：y不随x的变化而变化；没有y与x的关系式；x与y之间没有关系；y没有依赖x的变化而改变，…………案例4函数的概念例2：y=0(xR)是不是一个函数？说明理由。课前的问卷调查表明：161人中有65人认为它不是函数关系，占师：那我们该怎样描述这两个变量之间的关系呢？重新审视函数

y=0(xR)

，无论

怎样变化，

的值都是以不变应万变，此处的关键词“应”即为“对应”之意，也就是对每一个

的值，都有

的值0与之对应。我们能否从这样一个新的视角来理解前面遇到的例子呢？生：男子100米栏世界纪录表中，对于每一个出现的年份，都能找到一个世界纪录与之对应；而在沪深指数图像中，每一个时刻都有一个确定的股票指数与之对应。案例4函数的概念师：那我们该怎样描述这两个变量之间的关系呢？重新审视函数y师：理解得很到位，那么对于我们熟悉的函数y=2x2

呢？生：对每一个x的值，都有y的值与之对应。师：我们还发现，对于变量x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，说明我们同样可以从对应的角度来理解曾经学习过的函数。通过以上实例的分析，同学们能否提炼并概括一下这些关系的共同特征？生：以上函数关系中，对变量

x的每一个值，变量

y都有唯一确定的值与之对应。案例4函数的概念师：理解得很到位，那么对于我们熟悉的函数y=2x2呢？案例师：那么，能不能用集合的语言和对应关系来描述初中所学的函数概念呢？生：如果在某个变化的过程中有两个变量

x和

y，对于某个实数集合

D内的每一个确定的

x，

y都有唯一确定的值和它对应，那么

y

就是

x

的函数，x叫做自变量，x

的取值范围叫做函数的定义域，和

x对应的

y的值叫做函数值。师：非常好！这正是德国数学家狄利克雷于1837年提出的函数定义。案例4函数的概念师：那么，能不能用集合的语言和对应关系来描述初中所学的函数概

狄利克雷的现代定义（1837）：设a、b是两个确定的值，x是可取a、b之间一切值的变量。如果对于每一个x，有唯一有限的y值与它对应,当x连续变化时，y也随之变化那么

y叫做

x

的函数。L.Dirichlet（1805-1859）案例4函数的概念狄利克雷的现代定义（1837）：设a、b是两个确定的案例4函数的概念师：反观刚才分析过的这些函数，其对应关系可以用一个图表、一个图像或者一个解析式来呈现，我们把它统称为“对应法则”。例如表1中，14.2与1936对应，1973有唯一的13.1与之对应，这个表格就是一个对应法则。那么同学们能否从这个角度来分析其他例子的对应关系呢?生：图2的沪指变化图像就是一种对应法则。生：函数

y=2x2，这个解析式就是一种对应法则。案例4函数的概念师：反观刚才分析过的这些函数，其对应关系案例4函数的概念案例4函数的概念案例5对数的概念计算：案例5对数的概念案例5对数的概念计算：案例5对数的概念案例5对数的概念x123456789102481632641282565121024x1112131415161718204840968192163843276865536131072262144x192021222324524288x2526272829134217728268435456536870912x303132331073741824214748364842949672968589934592案例5对数的概念x1234567891024816326mnm+nMN=MN案例5对数的概念mnm+nMN=MN案例5对数的概念299792.458+光在真空中的速度（千米/秒)一年的秒数=1光年一个天文单位29979245831536179875474889937737414989622902997924588993773749454254955488案例5对数的概念计算：299792.458+光在真空中的速度（千米/秒案例5对数的概念x1112131415161718204840968192163843276865536131072262144x252627282913421772826843545653687091231536299792458案例5对数的概念x1112131415161718204案例5对数的概念x1416384.00014.930573.62514.9431433.16614.94431520.43814.944531531.36414.9445931533.331…………14.9450031537.7031532768.000我们需要创造新数！31536.000案例5对数的概念x1416384.00014.93057《几何原本》卷11之棱柱定义一个棱柱是一个立体图形，它是有一些平面构成的，其中有两个面是相对的、相等的、相似且平行的，其他各面都是平行四边形。案例6棱柱的概念案例6棱柱的概念《几何原本》卷11之棱柱定义案例6棱柱的概念案例6Wentworth&Smith(1913)之棱柱定义：有两个面为平行平面上的全等多边形、其他面均为平行四边形的多边形叫棱柱。案例6棱柱的概念Wentworth&Smith(1913)之棱柱定义：案案例6棱柱的概念历史上的棱柱定义分布案例6棱柱的概念历史上的棱柱定义分布案例6棱柱的概念棱柱定义的演进案例6棱柱的概念棱柱定义的演进Schuyler(1876)最早对欧氏定义进行改进。棱柱是一个多面体，它有两个面为全等、平行的多边形且对应边平行，其余各面均为以全等多边形对应边为底的平行四边形。案例6棱柱的概念Schuyler(1876)最早对欧氏定义进行改进。案例Stone&Millis(1916)的定义：棱柱是这样的多面体，它的两个面为平行平面上的全等多边形，其余各面均为平行四边形、且有一组对边分别为这两个全等多边形的对应边。案例6棱柱的概念Stone&Millis(1916)的定义：棱柱是这样案例6棱柱的概念尝试对空间几何体进行归类案例6棱柱的概念尝试对空间几何体进行归类161案例6棱柱的概念案例6棱柱的概念162案例6棱柱的概念师：我们身边有各种各样的空间几何体，下面请大家将下列几何体按照一定的特征进行分类。生：根据有没有曲面，①、②、⑤、⑥、⑦、⑧和⑨为一类，③、④、⑩、⑪和⑫为一类。案例6棱柱的概念师：我们身边有各种各样的空间几何体，下163案例6棱柱的概念师：很好，像①、②、⑤、⑥、⑦、⑧和⑨这些几何体，是由什么图形围成的？生：平面多边形。师：这些几何体就叫做多面体。师：像③、⑩、⑪和⑫这些几何体可以由一个平面图形绕其平面内一条定直线旋转而围成，它们叫做旋转体。师：如果将①、②、⑤、⑥、⑦、⑧和⑨这些多面体再细分的话，应该怎么分呢？生：我根据上下两头的大小，认为①、②、⑧为一类，⑥、⑦为一类，⑤是一类，⑨是一类。案例6棱柱的概念师：很好，像①、②、⑤、⑥、⑦、⑧和⑨164案例6棱柱的概念师：很好，大家都同意他的意见吗？生：我认为⑤与①、②、⑧是同一类，因为它们都不是尖的。（犹豫一下）但是好像又不能归为一类，毕竟⑤上下不一样大，侧面是梯形。师：很好，其实①、②、⑧就是棱柱，⑥、⑦是棱锥，⑤是棱台，而这三类几何体是多面体中最基本、最简单的几何体。下面，我们逐个对棱柱、棱锥、棱台进行研究。首先，我们来研究棱柱的结构特征。案例6棱柱的概念师：很好，大家都同意他的意见吗？165案例6棱柱的概念棱柱定义的初步构建让学生用自己的语言，以小组为单位尝试给棱柱下一个定义。教师强调：定义必须真正刻画出棱柱这一类几何体，而不会产生意外。[经过5分钟的讨论，学生逐渐提交成果，笔者将学生的定义分成7类，分别用D1、D2、…、D7表来示，见下表。]案例6棱柱的概念棱柱定义的初步构建让学生用自己的语166案例6棱柱的概念类别定义属性D1上下面相同且平行的多面体叫棱柱。底面特征D2两个底面是平行且相等的多边形，侧面是平行四边形。底面、侧面特征D3侧面的棱要平行且长度相等，上底和下底一样的多面体。底面、侧棱特征D4有互相平行的两个面，且两个面之间的连线相互平行的几何体叫棱柱。底面、侧棱特征D5至少有两个面互相平行，由多个四边形组成，且相邻的边互相平行。底面、侧面、侧棱特征D6上下有两个平行并相等的多边形，并由相对不平行的线段将上下各点平行相连的柱体。动态生成D7由一个多边形向一个固定的方向，扫过所形成的空间几何立体图形。动态生成案例6棱柱的概念类别定义属性D1上下面相同且平行的多面167案例6棱柱的概念棱柱定义的不断完善师：满足条件D1的多面体是棱柱吗？生：不是，⑨就是反例。师：看来只规定上下两个面的属性是不够的，那如何完善呢？生：侧面都是平行四边形。师：很好，这就是D2（屏幕投影D2），我们来看看，满足条件D2的几何体是不是棱柱呢？[D1：上、下面相同且平行的多面体叫棱柱。][D2：两个底面是平行且相等的多边形，侧面是平行四边形。]案例6棱柱的概念棱柱定义的不断完善师：满足条件D1168案例6棱柱的概念[教师逐一将“棱柱类”实物进行验证，发现侧面都是平行四边形，绝大多数学生也开始相信D2是正确的。]生：将两个像⑧这样的棱柱叠在一起，让它们“扭”一下，也许是个反例。师：你能利用现有的教具将反例构造出来吗？学生用斜棱柱拼接形成一个反例案例6棱柱的概念[教师逐一将“棱柱类”实物进行验证，发169案例6棱柱的概念生：这个不算反例，因为它本质上是两个棱柱。师：很好，看来有同学对这个反例不满意，毕竟它是可以分解成两个棱柱。师：其实，D2与历史上伟大的数学家欧几里得的定义是一致的。《几何原本》卷11之棱柱定义一个棱柱是一个立体图形，它是有一些平面构成的，其中有两个面是相对的、相等的、相似且平行的，其他各面都是平行四边形。[PPT放映欧几里得的画像、生平以及《几何原本》中的棱柱定义。]案例6棱柱的概念生：这个不算反例，因为它本质上是两个棱170案例6棱柱的概念生：哇，好神奇！它符合D2，但一点棱柱的影子都没有。师：是的，但是它可以分解成4个棱柱。[学生们用期待的眼神看着教师，迫切想见证奇迹的发生。教师用事先制作好的模型现场分解（如下图），学生惊呆了。][教师用8个菱形、4个正方形磁力片现场拼出这个反例，如图4。]案例6棱柱的概念生：哇，好神奇！它符合D2，但一点棱柱171案例6棱柱的概念案例6棱柱的概念172案例6棱柱的概念生：（惊叹）竟然是4个棱柱！师：对，这就是立体几何的奇妙之处。看来把棱柱当成最基础、最简单的几何体来研究是非常有必要。师：既然D2规定了底面的特征以及侧面是平行四边形还不够，那么如何修改呢？生：加上“侧棱都平行”这个条件。师：很好，如果加上“侧棱都平行”这个条件，棱柱的定义就完整了。但我们再仔细剖析一下，如果有了“侧棱都平行”这个条件，那么侧面一定会是平行四边形吗？生：会的。案例6棱柱的概念生：（惊叹）竟然是4个棱柱！173案例6棱柱的概念师：所以，我们这时把“侧面都是平行四边形”弱化成“侧面都是四边形”可不可以？生：可以。师：很好，这就是