高考复习专题-数列与数学文化（学生版）

高考复习专题——数列与数学文化新课程标准（2017版）进一步明确了数学文化在教学中的地位，数学文化作为素养考查的四大内涵之一，以数学文化为背景的试题将是新高考的考察内容，数列与数学文化有着紧密的联系，本文总结了近年来数学文化在数列中出现的真题和模拟题。一、中华传统文化中的数列问题1、(2022·鹤壁市高三模拟)古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点(或圆球)在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，….我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落—形”堆垛就是每层为“三角形数”的堆垛(如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，…).若一“落—形”三角堆垛有10层，则该堆垛总共球的个数为()A．55 B．220C．285 D．3852、(2020·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A．3699块 B．3474块C．3402块 D．3339块二、源于世界数学名题的高考试题1、(湖北高考)已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(an,2)，当an为偶数，,3an＋1，当an为奇数，))若a6＝1，则m所有可能的取值为________．跟踪练习1、我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”上述问题中，两鼠在第几天相逢？()A．2 B．3C．4 D．62、(2017·全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A．1盏 B．3盏C．5盏 D．9盏3、(多选)(2022·福州质检)分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．如图，有一列曲线P0，P1，P2，…，Pn，…．已知P0是边长为1的等边三角形，Pk＋1是对Pk进行如下操作而得到的：将Pk的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉(k＝0,1,2，…)．记Pn的周长为Ln，面积为Sn．对于n∈N，下列结论不正确的是()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,Ln)))为等差数列 B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,Ln)))为等比数列C．∃M>0，使Ln<M D．∃M>0，使Sn<M4、五位同学围成一圈依次循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．已知甲同学第一个报数，当五位同学依次循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为________．5、Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28．记bn＝[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0．9]＝0，[lg99]＝1．(1)求b1，b11，b101；(2)求数列{bn}的前1000项和．6、设x∈R，记不超过x的最大整数为[x]，{x}＝x－[x]，则eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)＋1,2)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)＋1,2)))，eq\f(\r(5)＋1,2)()A．是等差数列但不是等比数列B．是等比数列但不是等差数列C．既是等差数列又是等比数列D．既不是等差数列也不是等比数列7、满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3)的数列{an}称为斐波那契数列，又称黄金分割数列．依次以斐波那契数列{an}各项为边长作正方形，在每个正方形中取半径为该正方形边长、圆心角为90°的圆弧，依次连接圆弧端点所成的曲线被称为斐波那契螺旋线(也称“黄金螺旋线”)．如图，圆心角为90°的扇形OAB中的曲线是斐波那契螺旋线的一段，则阴影部分面积与扇形OAB面积的比值为()A．eq\f(3,8) B．eq\f(1,2)C．eq\f(5,8) D．eq\f(7,8)8、(多选)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中出现了球体堆垒的形状，后人称为“三角垛”(其平面图形如图所示)，其中最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…．设从上到下各层球数构成数列{an}，则下列说法正确的是()A．a4＝12 B．an＋1＝an＋n＋1C．a100＝5050 D．2an＋1＝an·an＋29、一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群．该塔群随山势凿石分阶而建，依山势自上而下，第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第四阶5座，第五阶5座，从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计108座，故名一百零八塔．则该塔的阶数是()A．10 B．11C．12 D．1310、我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：现有一根金箠，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤．若该金箠从头到尾，每一尺的质量构成等差数列，则该金箠共重为()A．6斤 B．7斤C．9斤 D．15斤11、(2022·安徽淮北模拟)定义：若数列{an}对任意的正整数n，都有|a